九年级圆的教学设计

24.1《圆》教学设计一、教学目标知识技能: 1．了解圆和圆的相关概念,知道圆实轴对称图形,理解并掌握垂直于弦的直径有哪些性质.2．了解弧、弦、圆心角、圆周角的定义，明确它们之间的联系.数学思考: 1．在引入圆的定义过程中，明确与圆相关的定义，体会数学概念间的联系.2．在探究弧、弦、圆心角、圆周角之间的联系的过程中，培养学生的观察、总结及概括能力.问题解决: 1．在明确垂直于弦的直径的性质后，能根据这个性质解决一些简单的实际问题.2．能根据弧、弦、圆心角、圆周角的相关性质解决一些简单的实际问题.情感态度：在引入圆的定义及运用相关性质解决实际问题的过程中，感悟数学源于生活又服务于生活.在探索过程中，形成实事求是的态度和勇于创新的精神.二、重难点分析教学重点：垂径定理及其推论；圆周角定理及其推论．垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法．所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点．对于垂径定理，可以结合圆的轴对称性和等腰三角形的轴对称性，引导学生去发现“思考”栏目图中相等的线段和弧，再利用叠合法推证出垂径定理．对于垂径定理的推论，可以按条件画出图形，让学生观察、思考，得出结论．要注意让学生区分它们的题设和结论，强调“弦不是直径”的条件．圆周角定理的证明，分三种情况进行讨论．第一种情况是特殊情况，是证明的基础，其他两种情况都可以转化为第一种情况来解决，转化的条件是添加以角的顶点为端点的直径为辅助线．这种由特殊到一般的思想方法，应当让学生掌握．教学难点：垂径定理及其推论；圆周角定理的证明．垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对于分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容是本节的难点．圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.三、学习者学习特征分析圆是生活中常见的图形,学生小学时对它已经有了初步接触,对于圆的基本性质有所了解.但是对于垂径定理和推论、圆周角定理和推论及其理论推导还比较陌生，教师应该鼓励引导学生通过动手操作、动脑思考等途径去发现结论，加深认识.四、教学过程（一）创设情境，引入新课圆是一种和谐、美丽的图形，圆形物体在生活中随处可见.在小学我们已经认识了圆这种基本的几何图形，并能计算圆的周长和面积.早在战国时期，《墨经》一书中就有关于“圆”的记载，原文为“圆，一中同长也”.这是给圆下的定义，意思是说圆上各点到圆心的距离都等于半径.现实生活中，路上行驶的各种车辆都是圆形的轮子，为什么车轮做成圆形的？为什么不做成椭圆形和四边形的呢？这一节我们就一起来学习圆的有关知识，并且来解决上述的疑问.（二）合作交流，探索新知1．观察图形，引入概念(1）圆是生活中常见的图形，许多物体都给我们以圆的形象．（多媒体图片引入）（2）观察画圆的过程，你能由此说出圆的形成过程吗？（3）圆的概念：让学生根据上面所找出的特点，描述什么样的图形是圆.（学生可以在讨论、交流的基础上自由发言；绝大部分学生能够比较准确的描述出圆的定义，部分学生没有说准确，在其他学生带动下也能够说出）在学生充分交流的基础上得到圆的定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A形成的图形叫做圆，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．（多媒体动画引入）（4）圆的表示方法以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．（5）从画圆的过程可以看出：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；②到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．因此，圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r 的点的集合．（把一个几何图形看成是满足某种条件的点的集合的思想，在几何中十分重要，因为这实际上就是关于轨迹的概念．圆，实际上是“到定点的距离等于定长的点”的轨迹．事实上，①保证了图形上点的纯粹性，即不杂；②保证了图形的完备性，即没有漏掉满足这种条件的点．①②同时符合，保证了图形上的点“不杂不漏”．）（6）由车轮为什么是圆形，让学生感受圆在生活中的重要性．问题1，车轮为什么做成圆形？问题2，如果做成正方形会有什么结果？（通过车轮实例，首先让学生感受圆是生活中大量存在的图形．教学时给学生展示正方形车轮在行走时存在的问题，使学生感受圆形的车轮运转起来最平稳．）把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，这也是车轮都做成圆形的数学道理．2.与圆有关的概念（1）连接圆上任意两点的线段（如线段AC）叫做弦.（2）经过圆心的弦（如图中的）叫做直径．（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的 ABC，）叫做优弧．（4）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．（5）能够重合的两个圆叫做等圆．（容易看出半径相等的两个圆是等圆，反过来，同圆或等圆的半径相等．）（6）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（对于和圆有关的这些概念，应让学生借助图形进行理解，并弄清楚它们之间的联系和区别．例如，直径是弦，但弦不一定是直径．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆即不是劣弧，也不是优弧．）3.垂直于弦的直径（1）创设情景引入新课问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m.你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？）（2）圆的对称性的探究①活动：用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？（学生可能会找到1条，2条，3条…教师不要过早地去评判，应该把机会留给学生，让他们在互相交流中，认识到圆的对称轴有无数多条，要鼓励学生表达自己的想法）②得到结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．（3）垂径定理及其逆定理①垂径定理的探究如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？? （2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧吗？为什么？（旨在通过这样复合图形的轴对称性探索垂径定理，教学时应鼓励学生探索方式的多样性．引导学生理解，证明垂径定理的基本思路是：先构造等腰三角形，由垂直于弦得出平分弦；然后将直径看做圆的对称轴，利用轴对称图形对应元素相等的性质得出平分弧的结论）（多媒体动画引入）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．②垂径定理的逆定理的探究（仿照前面的证明过程，鼓励学生独立探究，然后通过同学间的交流得出结论）垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．③解决求赵州桥拱半径的问题4.弧，弦，圆心角（1）通过实验探索圆的另一个特性如图，将圆心角∠AOB绕圆心O旋转到∠A’OB’的位置，你能发现哪些等量关系？为什么？（多媒体图片引入）（教科书展示了一种证明方法——叠合法，教学时要鼓励学生用多种方法探索图形的性质，学生的想法未必完善，但只要有合理的成分就应给予肯定和鼓励．）结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所的弧相等，所对的弦也相等．（2）对（1）中结论的逆命题的探究在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_____，所对的弦_____；在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角______，所对的弧_____．（教学时仍要鼓励学生用多种方法进行探索）（3）应用新知，体验成功例. 如图，在⊙O中，= ，∠ACB=60°，求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.5.圆周角（1）创设情境引入概念如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物，同学甲站在圆心O的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（∠AOB和∠ACB）有什么关系？如果同学丙，丁分别站在其他靠墙的位置D和E，他们的视角（∠ADB和∠AEB）和同学乙的视角相同吗？概念：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．（意在引出同弧所对的圆心角与圆周角，同弧所对的圆周角之间的大小关系．教学时要引导学生分析圆周角有两个特征：角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦．）（2）圆的相关性质①动手实践活动一：分别量一下所对的两个圆周角的度数，比较一下，再变动点C在圆周上的位置，圆周角的度数有没有变化？你能发现什么规律？活动二：再分别量出图中所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你有什么发现？（利用一些计算机软件，可以很方便的度量圆周角，圆心角，有条件的话可以试一试）得到结论：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．②为了进一步研究上面发现的结论，在⊙O任取一个圆周角∠BAC，将圆对折，使折痕经过圆心O和∠BAC的顶点A．由于A的位置的取法可能不同，这时折痕可能会：在圆周角的一条边上；在圆周角的内部；在圆周角的外部．（学生解决这一问题是有一定难度的，应给学生留有时间和空间，让他们进行思考．引导学生观察后两种情况，让学生思考：这两种情况能否转化为第一种情况？如何转化？当解决一个问题有困难时，我们可以首先考虑其特殊情形，然后再设法解决一般问题．这是解决问题时常用的策略．）由此得到圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．进一步我们还可以得到下面的推论：半径（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．由圆周角定理可知：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．（3）圆内接多边形的定义及其相关性质① 定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆．②利用圆周角定理，我们的得到关于圆内接四边形的一个性质：圆内接四边形的对角互补．（三）应用新知，体验成功利用资源库中的“典型例题”进行教学.（四）课堂小结，体验收获（PPT显示）这堂课你学会了哪些知识？有何体会？（学生小结）1.圆的有关概念；2.垂径定理及其逆定理；3.弧，弦，圆心角的相关性质；4.圆周角的概念及相关性质;（五）拓展延伸，布置作业利用资源库中或手头的相关材料进行布置.五、学习评价：(一)选择题1．如图，如果AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，那么下列结论中，•错误的是（）（A）CE=DE．（B）．（C）∠BAC=∠BAD ．（D）AC>AD．1题图 2题图 3题图2．如图，在⊙O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，•则下列结论中不正确的是（）（A）AB⊥CD ．（B）∠AOB=4∠ACD．（C）．（D）PO=PD．3．如图，⊙O中，如果=2，那么（）（A）AB=AC．（B）AB=AC．（C）AB<2AC．（D）AB>2AC．4．如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）（A）140°．（B）110°．（C）120°．（D）130°．4题图 5题图 6题图5．如图，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（）（A）∠4<∠1<∠2<∠3 ．（B）∠4<∠1=∠3<∠2．（C）∠4<∠1<∠3∠2 ．（D）∠4<∠1<∠3=∠2．6．如图，AD是⊙O的直径，AC是弦，OB⊥AD，若OB=5，且∠CAD=30°，则BC等于（）（A）3．（B）3+．（C）5-. （D）5．(二)填空题7．如图，AB为⊙O直径，E是中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC=_____．7题图 9题图 10题图 11题图8．P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；最长弦长为_______．9．如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_______（只需写一个正确的结论）10．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE=3，则弦CE=________．11．如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．(三)解答题12．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长．13．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作圆，分别交BC、AD于E、F，若∠D=50°，求的度数和的度数．14．如图，弦AB把圆周分成1：2的两部分，已知⊙O半径为1，求弦长AB．15．如图，已知AB=AC，∠APC=60°（1）求证：△ABC是等边三角形．（2）若BC=4cm，求⊙O的面积．16．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为（0，4），M是圆上一点，∠BMO=120°．（1）求证：AB为⊙C直径．（2）求⊙C的半径及圆心C的坐标．12题图13题图14题图15题图16题图答案：(一)选择题1．D； 2．D； 3．C； 4．D； 5．B； 6．D．(二)填空题7．8；8．8 10；9．AB=CD； 10．3； 11．90°．(三)解答题12．过O作OF⊥CD于F，如下图所示∵AE=2，EB=6，∴OE=2，∴EF=，OF=1，连结OD，在Rt△ODF中，42=12+DF2，DF=，∴CD=2．13．BE的度数为80°，EF的度数为50°；14．；15．（1）证明：∵∠ABC=∠APC=60°，又=，∴∠ACB=∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形．（2）解：连结OC，过点O作OD⊥BC，垂足为D，在Rt△ODC中，DC=2，∠OCD=30°，设OD=x，则OC=2x，∴4x2-x2=4，∴OC=.16．（1）略（2）4，（-2，2）。