工程力学第二章 汇交力系
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工程力学第二章平面汇交力系
FF
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
湖南工业大学土木工程学院
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
cos Y Fy
FF 式中 cos和 cos 称为力 F 的方向余弦。
第二章 平面汇交力系
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§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
【例题 3】试求图中各力在坐标轴上的投影。已知 P1=P2=P4=10kN， P3=P5=15kN， P6=20kN。
第二章 平面汇交力系
工程力学
第二章 平面汇交力系
第二章 平面汇交力系
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第二章 平面汇交力系
§2–1平面汇交力系合成与平衡的几何法 §2–2平面汇交力系合成与平衡的解析法
第二章 平面汇交力系
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§2-1平面汇交力系 合成与平衡的几何法
第二章 平面汇交力系
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矢量表达式：R= F1+F2
由力的平行四边形法则作，也可用力的三角形来作。
由余弦定理：
R F12 F22 2F1F2 cos
合力方向由正弦定理：
F1
R
sin sin(180 )
第二章 平面汇交力系
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2. 任意个共点力的合成
F1
A F2
F4 F3
F1 B F2
A
R
C
F3
D
F4
E
F1、F2、F3、F4 为平面共点力系：
表达式： R F1 F 2F3 F4
第二章 平面汇交力系
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称为力链）。 加上一封闭边，就得到一个多边形，称为力多边形。
工程力学第二章-汇交力系
４.区分力系的主矢和合力是两个不同的概念。 力系中各力矢的矢量和称为力系的主矢。主矢是一个几何量，
有大小和方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。 合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有
意义。
思考题：:
1.平面汇交力系可合成为个1合力,其作用线通过, 其大小和方向可用力多边形的表示封. 闭边
内的投影与x轴的夹角
z
F
γβ
O
y
α
x
Fx F cos F y F cos Fz F cos
F
γ
O
y
x
Fxy
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为 Fx，FY，FZ
z
则该力的大小和方向分别为：
Fz
大小：F Fx2Fy2Fz2
而当坐标轴不相互垂直时，轴向分 力与力的投影在数值上不相等。 o
F
x
结论与讨论
➢ 力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系
(1)力的投影是代数量，力的分量是矢量
(2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：
Fx Fcos
Fy Fcos
α、β分别为力F与、轴的夹角。
(3)分力 Fx,应Fy按平行四边形法则计算
F2
或：
FR Fi
作用点：原力系的汇交点。
注意： １.要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。 ２.作力多边形时，可以任意变换力的次序， 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 果不改变。
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
３.力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力 的起点指向最后一个力的终点。
有大小和方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。 合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有
意义。
思考题：:
1.平面汇交力系可合成为个1合力,其作用线通过, 其大小和方向可用力多边形的表示封. 闭边
内的投影与x轴的夹角
z
F
γβ
O
y
α
x
Fx F cos F y F cos Fz F cos
F
γ
O
y
x
Fxy
Fx F sin cos
Fy F sin sin
Fz F cos
如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为 Fx，FY，FZ
z
则该力的大小和方向分别为：
Fz
大小：F Fx2Fy2Fz2
而当坐标轴不相互垂直时，轴向分 力与力的投影在数值上不相等。 o
F
x
结论与讨论
➢ 力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系
(1)力的投影是代数量，力的分量是矢量
(2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：
Fx Fcos
Fy Fcos
α、β分别为力F与、轴的夹角。
(3)分力 Fx,应Fy按平行四边形法则计算
F2
或：
FR Fi
作用点：原力系的汇交点。
注意： １.要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。 ２.作力多边形时，可以任意变换力的次序， 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 果不改变。
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
３.力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力 的起点指向最后一个力的终点。
工程力学课件 02汇交力系
①选择研究对象
平面汇交力系平衡的解析条件 平面汇交力系的平衡方程。 说明：两个方程可求解两个未知量；
投影轴可任意选择。
②画出研究对象的受力图（取分离体）
③列平衡方程（选投影轴）
19
2、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
F R F R 2 F x R 2 F y R 2 z (F x ) 2 (F y ) 2 (F z ) 2 0 F Rx F x 0 F Ry F y 0 空间汇交力系的平衡方程 F Rz F z 0
说明：①空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解三 个未知量。
②上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任 何两轴不相互平行。
20
[例3] 已知 AC=BC= l , h , P . 解：①研究C
②画出受力图
求 : FAC , FBC
③列平衡方程
Fx 0
F BC co F sAC co 0 s
明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力， 如果求出负值，说明物体受压力。
29
2-6 2-8 2-10
30
q q F y 0 ,T 1 s 6 i T 2 c n 0 c o 4 o T 3 s c 5 s c o 4 o 0 s 5 s
q q F z 0 ,N 2 T 1 c 6 o T 2 0 s s i T 3 s n i 0 n
T 2 T 3 4 .9 ( 1 k),N N 2 2 .0 ( 3 k)N
方向： tg q F Ry
F Rx
qta1 nFRyta1 n Fy
FRx
平面汇交力系平衡的解析条件 平面汇交力系的平衡方程。 说明：两个方程可求解两个未知量；
投影轴可任意选择。
②画出研究对象的受力图（取分离体）
③列平衡方程（选投影轴）
19
2、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
F R F R 2 F x R 2 F y R 2 z (F x ) 2 (F y ) 2 (F z ) 2 0 F Rx F x 0 F Ry F y 0 空间汇交力系的平衡方程 F Rz F z 0
说明：①空间汇交力系只有 三个独立平衡方程，只能求解三 个未知量。
②上式中三个投影轴可以任取，只要不共面、其中任 何两轴不相互平行。
20
[例3] 已知 AC=BC= l , h , P . 解：①研究C
②画出受力图
求 : FAC , FBC
③列平衡方程
Fx 0
F BC co F sAC co 0 s
明力方向与假设相反。对于二力构件，一般先设为拉力， 如果求出负值，说明物体受压力。
29
2-6 2-8 2-10
30
q q F y 0 ,T 1 s 6 i T 2 c n 0 c o 4 o T 3 s c 5 s c o 4 o 0 s 5 s
q q F z 0 ,N 2 T 1 c 6 o T 2 0 s s i T 3 s n i 0 n
T 2 T 3 4 .9 ( 1 k),N N 2 2 .0 ( 3 k)N
方向： tg q F Ry
F Rx
qta1 nFRyta1 n Fy
FRx
工程力学(二)第2章 平面汇交力系
例 题 2- 3
重物质量m =10 kg,悬挂在支架铰接点B处，A、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重 量，求重物处于平衡时，AB、BC杆所受的力。
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
60
45
。
A
解：取铰B为研究对象，其上作用有 三个力：重力mg；BC杆的约束力FCB（设为拉力） 及AB杆的约束力FAB（设为压力），列出平衡方程 ∑Fx= 0, -FCB cos30o + FABcos45o =0 ∑Fy= 0, -mg+FCB sin30o +FABsin45o =0
FCB 。 30 。 45 FAB y B x mg
例 题 2- 3
联立上述两方程，解得： FAB=88.0 N， FCB=71.8 N。
例题 2- 3
C 。 B FCB 。 30 。 45 FAB
y B x mg
60
45
。
A
由于求出的FAB和FCB 都是正值，所以原先假设 的方向是正确的，即BC 杆承受拉力，AB 杆承受压 力。若求出的结果为负值，则说明力的实际方向与 原假定的方向相反。
30o
并以铰链A，C与墙连接。如
P
两杆与滑轮的自重不计并忽 略摩擦和滑轮的大小，试求 平衡时杆AB和BC所受的力。
C
例 题 2-4
A
60o
D
B
解：取滑轮B为研究对象，忽 略滑轮的大小，设AB受拉，BC受 压，受力图及坐标如图。 列平衡方程
Fx = 0, − FAB + F1sin 30o − F2sin 60o = 0 ∑ Fy = 0, FBC − F1 cos 30o − F2 cos 60o = 0 ∑
2022学年中职高二年级机电类专业基础课程《工程力学》(王亚双主编)第二章教案
《工程力学》王亚双主编电子教案第二章 平面汇交力系【课题】第一节 平面汇交力系合成平衡的几何法【课时】【教学目标】1、掌握二汇交力合成的三角形法则2、掌握多个汇交力合成的力的多边形法则3、平面汇交力系平衡的几何条件【教学重点】多个汇交力合成的力的多边形法则【教学难点】平面汇交力系平衡的几何条件【教学方法】问题导向，任务驱动【教学过程】第一课时一、复习导入二、新授内容（一）平面汇交力系的几个概念1、平面力系：当力系中各力的作用线处于同一个平面内，称该力系为平面力系。
2、平面汇交力系：指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。
（二）讨论汇交力系的合成与平衡问题的方法：1、几何法：几何画图的方法。
2、解析法：建立坐标系，在坐标系里用矢量投影研究问题。
（三）平面汇交力系合成的几何法1、二汇交力合成的三角形法则（1）在刚体上点A 作用两个力F1和F2，由平行四边形公理可知，这两个力可以合成一个力F R ，记FR=F1+F2。
（对角线即为它们的合力F R ）此时由这两个力构成的三角形均称为力三角形。
（二汇交力合成的三角形法则）2、多个汇交力合成的力的多边形法则【总结】平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于各力的矢量和（几何和），合力的作用线通过汇交点。
设平面汇交力系包含n 个力，以F R 表示它们的合力矢，则有：F R = F1+F2+F3+F4+...+Fn = ∑Fi n i=1 即 F R = ∑Fi如力系中各力的作用线都沿同一直线，则称此力系为共线力系。
3、平面汇交力系平衡的几何条件（1）平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。
用矢量式表示，即 ∑Fi = 0 （平衡情形下，力多边形中最后一力的尾与第一力的首重合，称此时的力多边为封闭的力多边形）接在铅垂墙上，AC = BC ，角度如图，不计各构件自重，在B处作用一铅垂力F = 10 KN ，求CD杆受力与铰支座A处的约束力。
工程力学课后题答案
第二章 汇交力系习 题2.1 在刚体的A 点作用有四个平面汇交力。
其中F 1＝2kN ，F 2=3kN ，F 3=lkN ， F 4=2.5kN ，方向如题2.1图所示。
用解析法求该力系的合成结果。
题2.1图解 00001423cos30cos45cos60cos45 1.29Rx F X F F F F KN ==+--=∑00001423sin30cos45sin60cos45 2.54Ry F Y F F F F KN ==-+-=∑222.85R Rx Ry F F F KN =+=0(,)tan63.07Ry R RxF F X arc F ∠==2.2 题2.2图所示固定环受三条绳的作用，已知F 1＝1kN ，F 2=2kN ，F 3=l.5kN 。
求该力系的合成结果。
F 1F 23解：2.2图示可简化为如右图所示023cos60 2.75Rx F X F F KN ==+=∑ 013sin600.3Ry F Y F F KN ==-=-∑222.77R Rx Ry F F F KN =+=0(,)tan6.2Ry R RxF F X arc F ∠==-2.3 力系如题2.3图所示。
已知：F 1＝100N ，F 2=50N ，F 3=50N ，求力系的合力。
32F 1解：2.3图示可简化为如右图所示080arctan5360BAC θ∠=== 32cos 80Rx F X F F KN θ==-=∑ 12sin 140Ry F Y F F KN θ==+=∑22161.25R Rx Ry F F F KN =+=0(,)tan60.25Ry R RxF F X arc F ∠==2.4 球重为W ＝100N ，悬挂于绳上，并与光滑墙相接触，如题2.4 图所示。
已知30α=o ，试求绳所受的拉力及墙所受的压力。
题2.4图WOF 推解：2.4图示可简化为如右图所示sin 0X FF α=-=∑拉推cos W 0Y Fα=-=∑拉115.47N 57.74N F F ∴==拉推，∴墙所受的压力F=57.74N2.5 均质杆AB 重为W 、长为 l ，两端置于相互垂直的两光滑斜面上，如题2.5图所示。
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
工程力学最新版教学课件第2章
2.3 平面任意力系的简化和平衡
3. 平面任意力系简化结果的讨论 （1） FR ′=0，MO′≠0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 （2）FR′≠0，MO′=0，则作用于简化中心的力FR ′就是原力系的合力，作用线通过简化 中心。 （3）FR ′≠0，MO′≠0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力FR ，经 过新的简化中心O。 平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对力系所在平面内任一点的矩等于其 各分力对同一点的矩的代数和。 （4）FR ′=0，MO′=0，此时力系处于平衡状态。
PS：投影是代数量，有正负之分。
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
PS：力的投影和分力的区别： ➢ 力的投影是代数量，它只有大小和正负； ➢ 而力的分量是矢量，不仅有大小和方向，还有作用点，二者不可混淆。 ➢ 只有当x、y轴相垂直的时候，分力的大小是投影的绝对值。
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
【例2-1】如图所示，分别求各力在x轴和y轴上的投影。
Fx Fy
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
4.平面汇交力系的合成 当平面汇交力系为已知时，可先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影， 再根据合力投影定理求得合力在x、y轴上的投影，即可求得合力。
FR FR2x FR2y ( Fx )2 ( Fy )2 cos FRx Fx
FR FR
平面力系
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
汇交力系——各力作用线汇交于同一点的力系； 平面汇交力系——若汇交力系中各力作用线在同一平面内。
2.1.1 平面汇交力系的合成
1. 力多边形
力的可传递性和力的三角形法则
矢量关系的数学表达式为
FR F1 F2 F3 F4
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§2-1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法（投影法）：
力在坐标轴上的投影
b2
Fy
y
B
平面力矢的投影
力在坐标轴上的投影
Fy
A
F
a2
Fx F cos
投影的正负号由 确定。
Fx
x
Fy F sin
§2-1 汇交力系的合成 例
已知：F、α、β，
试求：Fx、Fy、Fz。
解：
Fx — F sin cos
Fy F cos
Fz F sin sin
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§2-2 汇交力系的平衡条件
平衡条件：
——刚体在某力系作用下维持平衡状态，该力系各力应满足的条件 对于汇交力系，平衡的充要条件为：
F
O
γ
α
y x
O
γ
Fxy
y
x
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
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如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为 Fx，FY，FZ
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e
例：
已知：F1=12k， F2=4j， F3=3i ( 力的单位为N）。各力作用点的 坐标为： O（0，0，0），A（0，a，0）， B（b1，b2，0)（ b2=0）。 求：该力系的主矢量大小与方 向。
2
k j i
Fx Fx i , Fy Fy j，Fz Fz k
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
而当坐标轴不相互垂直时，轴向分 力与力的投影在数值上不相等。
F
o
x
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结论与讨论
力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系 (1)力的投影是代数量，力的分量是矢量 (2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：
包括:
平面汇交力系
空间汇交力系
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§2-1 汇交力系的合成
一、力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体
内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
B
A
F
A
=
F
力的大小 向
作用在刚体上力的三要素： 方
作 用 线
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z
则该力的大小和方向分别为：
Fz
2 z
γ
大小： F
方向：
F F F
2 x 2 y
F
β α
Fx
x
O
Fy
y
, , 为F关于x、y、z轴的夹角。 其中，
力的解析表示：
力F沿坐标轴方向的分力 因此，力F的解析表达式为：F F1 F2 F3 Fx i Fy j Fz k
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３.力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力 的起点指向最后一个力的终点。 ４.区分力系的主矢和合力是两个不同的概念。
力系中各力矢的矢量和称为力系的主矢。主矢是一个几何量，有大小和 方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。
解： 主矢量的模： ( Fxi ) ( Fyi ) ( Fzi ) 13N FR
2 2
主矢量的方向：
F cos(F , i )
R
Fz 12 Fy 4 3 , k) cos(FR , j) cos(FR FR 13 FR 13 FR 13
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F3
合力投影定理
F1 F4
F2
F3
R
C F3 D F2 F4 B E F1 R A b a c
d
ae ac cd de bc ba cd de = ab + bc + cd + de
合力在任一坐标轴上的投影等于力系中各 力在同一轴上投影的代数和。
P
§2-2 汇交力系的平衡条件
解析条件：
合力的大小：
FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
=0
空间汇交力系的平衡方程：
汇交力系平衡的解析条件：
Fx 0 Fy 0 F 0 z
力系中各力在直角坐标系每一轴上的投影代数和都等于零。
特别地：
F3
F4
( b)
F2
F1
F3
F4
( c)
F2
F1
F3
F4
( a)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________;
F2 F3 F4 F1 ( b)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________; F2 F3 F1 F4 ( c)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________;
引
言
力系——作用在物体上力的总称（力的集合） 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系 任意力系
根据力的作用线是否汇交可分为：
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§2-1 汇交力系的合成
汇交力系：各力的作用线汇交于一点的力系
FA
y
A
B
FB
Fx 0, P FA cos 0 Fy 0, FB FA sin 0
FR 0
几何条件： 力多边形自行封闭（各力矢首尾相接） F4
Fn
Fn F2 P2
F3
Pn A P1 P3
F1
F4
F1 F3 F1
FR
F2
Fn
F3
F2
力多边形自行封闭(平衡)
合成的力多边形
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例 题
已知：P，a
P
C
F2
y F1
合力与轴x，y夹角的方向余弦为： FRx cos 0.754 FR
60
O
45
30
FR 所以，合力与轴x，y的夹角分别为： 40.99 49.01
cos
FRy
0.656
45
x
F3
F4
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x
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例：求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2 y 解： 根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3 N
位置图
力矢图
F2 F1 F3 O F4
F2 F1
F3
力多边形法则
F4
封闭边 O FR FR F1 F2 F3 F4 F
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2. ( a)
F2
F1
作用点：原力系的汇交点。
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注意： １.要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。 ２.作力多边形时，可以任意变换力的次序， 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 果不改变。
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ２ Ｆ４ Ｆ１ ＦＲ Ｆ３ Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
Fx Fcos
Fy Fcos
α、β分别为力F与Ox、Oy轴的夹角。 (3)分力 Fx , Fy 应按平行四边形法则计算
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结论与讨论
y
y
b
Fy
Fy
b
Fx
O
a
x
Fy
O
Fx
a F x
x
可见，力在轴上的投影和力沿轴的分量的大小不一定相等
合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有意义。
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思考题：:
力系的汇交点 1.平面汇交力系可合成为___ 1 个合力,其作用线通过______________, 封闭边 表示. 其大小和方向可用力多边形的____________
滑 移 矢 量
§2-1 汇交力系的合成
二、合成过程
Fn F3
Pn A P1 P3
平行四边形法则
A
FR
F2 P2
F1
力多边形法则
汇交力系的合成结果： 作用于原力系汇交点的一个合力。 合力矢：
§2-1 汇交力系的合成
三、汇交力系合成的解析法（投影法）：
力在坐标轴上的投影
b2
Fy
y
B
平面力矢的投影
力在坐标轴上的投影
Fy
A
F
a2
Fx F cos
投影的正负号由 确定。
Fx
x
Fy F sin
§2-1 汇交力系的合成 例
已知：F、α、β，
试求：Fx、Fy、Fz。
解：
Fx — F sin cos
Fy F cos
Fz F sin sin
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§2-2 汇交力系的平衡条件
平衡条件：
——刚体在某力系作用下维持平衡状态，该力系各力应满足的条件 对于汇交力系，平衡的充要条件为：
F
O
γ
α
y x
O
γ
Fxy
y
x
Fx F cos Fy F cos Fz F cos
Fx F sin cos Fy F sin sin Fz F cos
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如果已知一力在直角坐标轴上的投影分别为 Fx，FY，FZ
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e
例：
已知：F1=12k， F2=4j， F3=3i ( 力的单位为N）。各力作用点的 坐标为： O（0，0，0），A（0，a，0）， B（b1，b2，0)（ b2=0）。 求：该力系的主矢量大小与方 向。
2
k j i
Fx Fx i , Fy Fy j，Fz Fz k
F Fx Fy Fz Fx i Fy j Fz k
而当坐标轴不相互垂直时，轴向分 力与力的投影在数值上不相等。
F
o
x
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结论与讨论
力在轴上的投影和力沿轴的分量之间的关系 (1)力的投影是代数量，力的分量是矢量 (2)不论是否为直角坐标系，力的投影都按下式计算：
包括:
平面汇交力系
空间汇交力系
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§2-1 汇交力系的合成
一、力的可传性 作用于刚体上某点的力，可以沿其作用线移到刚体
内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。
B
A
F
A
=
F
力的大小 向
作用在刚体上力的三要素： 方
作 用 线
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z
则该力的大小和方向分别为：
Fz
2 z
γ
大小： F
方向：
F F F
2 x 2 y
F
β α
Fx
x
O
Fy
y
, , 为F关于x、y、z轴的夹角。 其中，
力的解析表示：
力F沿坐标轴方向的分力 因此，力F的解析表达式为：F F1 F2 F3 Fx i Fy j Fz k
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３.力多边形中诸力应首尾相连，合力的方向则是从第一个力 的起点指向最后一个力的终点。 ４.区分力系的主矢和合力是两个不同的概念。
力系中各力矢的矢量和称为力系的主矢。主矢是一个几何量，有大小和 方向，但不涉及作用点问题，可在任意点画出。
解： 主矢量的模： ( Fxi ) ( Fyi ) ( Fzi ) 13N FR
2 2
主矢量的方向：
F cos(F , i )
R
Fz 12 Fy 4 3 , k) cos(FR , j) cos(FR FR 13 FR 13 FR 13
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F3
合力投影定理
F1 F4
F2
F3
R
C F3 D F2 F4 B E F1 R A b a c
d
ae ac cd de bc ba cd de = ab + bc + cd + de
合力在任一坐标轴上的投影等于力系中各 力在同一轴上投影的代数和。
P
§2-2 汇交力系的平衡条件
解析条件：
合力的大小：
FR
( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
=0
空间汇交力系的平衡方程：
汇交力系平衡的解析条件：
Fx 0 Fy 0 F 0 z
力系中各力在直角坐标系每一轴上的投影代数和都等于零。
特别地：
F3
F4
( b)
F2
F1
F3
F4
( c)
F2
F1
F3
F4
( a)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________;
F2 F3 F4 F1 ( b)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________; F2 F3 F1 F4 ( c)图中四个力的关系为____,其矢量表达式为__________________;
引
言
力系——作用在物体上力的总称（力的集合） 根据力的作用线是否共面可分为： 平面力系 空间力系 汇交力系 平行力系 任意力系
根据力的作用线是否汇交可分为：
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§2-1 汇交力系的合成
汇交力系：各力的作用线汇交于一点的力系
FA
y
A
B
FB
Fx 0, P FA cos 0 Fy 0, FB FA sin 0
FR 0
几何条件： 力多边形自行封闭（各力矢首尾相接） F4
Fn
Fn F2 P2
F3
Pn A P1 P3
F1
F4
F1 F3 F1
FR
F2
Fn
F3
F2
力多边形自行封闭(平衡)
合成的力多边形
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例 题
已知：P，a
P
C
F2
y F1
合力与轴x，y夹角的方向余弦为： FRx cos 0.754 FR
60
O
45
30
FR 所以，合力与轴x，y的夹角分别为： 40.99 49.01
cos
FRy
0.656
45
x
F3
F4
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x
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例：求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N，F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2 y 解： 根据合力投影定理，得合力在轴 x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129.3 N
位置图
力矢图
F2 F1 F3 O F4
F2 F1
F3
力多边形法则
F4
封闭边 O FR FR F1 F2 F3 F4 F
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2. ( a)
F2
F1
作用点：原力系的汇交点。
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注意： １.要选择恰当的长度比例尺和力的比例尺。 ２.作力多边形时，可以任意变换力的次序， 虽然得到形状不同的力多边形，但合成的结 果不改变。
Ｆ３
Ｆ２
Ｆ２ Ｆ４ Ｆ１ ＦＲ Ｆ３ Ｆ４
Ｆ１
ＦＲ
Fx Fcos
Fy Fcos
α、β分别为力F与Ox、Oy轴的夹角。 (3)分力 Fx , Fy 应按平行四边形法则计算
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结论与讨论
y
y
b
Fy
Fy
b
Fx
O
a
x
Fy
O
Fx
a F x
x
可见，力在轴上的投影和力沿轴的分量的大小不一定相等
合力是一物理量，除了大小和方向，还必须说明其作用点才有意义。
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思考题：:
力系的汇交点 1.平面汇交力系可合成为___ 1 个合力,其作用线通过______________, 封闭边 表示. 其大小和方向可用力多边形的____________
滑 移 矢 量
§2-1 汇交力系的合成
二、合成过程
Fn F3
Pn A P1 P3
平行四边形法则
A
FR
F2 P2
F1
力多边形法则
汇交力系的合成结果： 作用于原力系汇交点的一个合力。 合力矢：