二次三项式的因式分解(1)
二次三项式的因式分解
二次三项式在实数范围内
1) 能分解 2) 不能分解
△≥０ △＜０
3) 能分解成相同的两个因式 △＝０
用合适的方法将下列二次三项式因式分解
2x2 - 10x + 12
提取各项系数的最大公约数
解：原式 = 2(x2 - 5x + 6)
= 2(x - 2)(x - 3)
2x2 8x 6
解： 方程2x2 - 8x- 6 = 0的解是x1 = 2+ 7, x2 = 2- 7
即ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2).
把下列各式分解因式 :
x2 - 2x- 2
解：对于方程 x2 - 2x - 2 = 0 ，b2 - 4ac = 12
这两方程的实数根是 x1 = 1- 3, x2 = 1+ 3
∴ x2 - 2x- 2 = (x- 1+ 3)(x- 1- 3)
用合适的方法将下列二次三项式因式分解
a[x2 (x1 x2 )x x1x2 ] a(x x1)(x x2)
开启 智慧 二次三项式 ax2+bx+c 的因式分解
一般地,要在实数范围 内分解二次三项式ax2+bx+c(a≠0),只要用公式
法求出相应的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),的两个根x1,x2,然后直 接将ax2+bx+c写成a(x-x1)(x-x2),就可以了.
将下列二次三项式因式分解
(1)x2 x 2
(2) - x2 + 3x - 2 (3)4x2 + 4x + 1
(4)x2 - 2x - 2
答案：
二次三项式的因式分解
二次三项式的因式分解二次三项式的因式分解一、二次因式分解二次因式分解是指将一个二次多项式分解成两个一次因式相乘的形式，其步骤如下：1.判断该二次多项式是否可因式分解2.求出该二次多项式的根或配方法3.将该二次多项式分解成两个一次因式相乘的形式例如，对于二次多项式x2+2x+1，其根为x=-1，因此其因式分解形式为(x+1)(x+1)或(x+1)2。
二、三项式因式分解三项式因式分解是指将一个三次多项式分解成一个一次因式和一个二次因式相乘的形式，其步骤如下：1.判断该三次多项式是否可因式分解2.求出该三次多项式的一次因式3.用因式分解法（凑因式法、配方法、取出公因式法等）将该三次多项式分解成一个一次因式和一个二次因式相乘的形式例如，对于三次多项式x3+3x2+3x+1，其一次因式为x+1，因此可以用“提公因式”的方式将其分解成(x+1)(x2+2x+1)或(x+1)(x+1)2的形式。
三、各类公式的因式分解1.完全平方公式完全平方公式是指在二次多项式中出现的a2+2ab+b2的形式，其因式分解形式为(a+b)2。
例如，对于二次多项式x2+4x+4，其可以通过观察得到a=1，b=2，因此其因式分解形式为(x+2)2。
2.差平方公式差平方公式是指在二次多项式中出现的a2-b2的形式，其因式分解形式为(a+b)(a-b)。
例如，对于二次多项式x2-4，其可以通过观察得到a=1，b=2，因此其因式分解形式为(x+2)(x-2)。
3.二次三项式公式二次三项式公式是指在三次多项式中出现的a3+b3或a3-b3的形式，其因式分解形式为(a+b)(a2-ab+b2)或(a-b)(a2+ab+b2)。
例如，对于三次多项式x3+1，其可以通过观察得到a=x，b=1，因此其因式分解形式为(x+1)(x2-x+1)。
以上就是二次三项式的因式分解的相关知识点，希望能对您有所帮助。
10二次三项式的因式分解及一元二次方程的应用(一)-教师版
1、二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例1】 若方程24210y y --=的两个根是1y =2y ，则在实数范围内分解因式2421y y --=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例2】 将2441x x --在实数范围内分解因式___________．【答案】4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【解析】因为方程24410x x --=的两个根为：1x =，2x =， 二次三项式的因式分解 及一元二次方程的应用所以2441x x --=4⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-221221x x ． 【总结】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【例3】 将2352x x -+在实数范围内因式分解，正确的结果是（ ） A ．2(1)()3x x ++ B ．2(1)()3x x --C ．23(1)()3x x -+D ．(32)(1)x x --【答案】D【解析】考查如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ,那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题可以利用公式进行分解，也可以根据选项，将每一个选项乘开之后进行判定．【例4】 若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122-=x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．【例5】 在实数范围内分解因式：（1）28x -；（2）35x x -； （3）2328x x +-；（4）21130x x -+．【答案】（1）(28x x x -=-+； （2）(35x x x x x -=；（3）()()232874x x x x +-=+-；（4）()()2113056x x x x -+=--．【解析】 （1）（2）中不能够用十字相乘法；（3）（4）可以用十字相乘法． 【总结】本题主要考查利用适当的方法对多项式进行因式分解． 【例6】 在实数范围内分解因式：（1）426x x --； （2）42341x x -+．【答案】（1）()(42262x x x x x --=++；（2）()()42341311x x x x x x ⎛-+=+--+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】将表达式中的2x 看成一个整体，则可以进行十字相乘法或者求根公式法分解． 【总结】本题主要考查在实数范围内进行因式分解，注意分解要彻底．【例7】 在实数范围内分解因式：（1）241x x ++；（2）242x x --．【答案】（1）(24122x x x x ++=++；（2）(24222x x x x --=--．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例8】 在实数范围内分解因式：（1）2231x x +-；（2）2423x x +-；（3）2361x x -+；（4）263x -．【答案】（1）22312x x x x ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（2）24234x x x x ⎛+-=++ ⎝⎭⎝⎭；（3）23613x x x x ⎛-+= ⎝⎭⎝⎭；（4）2636x x x ⎛-=+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例9】 在实数范围内分解因式：（1）2621x x --+； （2）24411x x -++．【答案】（1）26216x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（2）244114x x x x ⎛-++=- ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例10】在实数范围内分解因式：（1）222x ax a --； （2）2231211x xy y ++； （3）2241x y xy +-；（4）22285x xy y -+．【答案】（1）()()222x ax a x a x a --=--+；（2）22312113x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫++=+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （3）22414x y xy xy xy ⎛+-=+ ⎝⎭⎝⎭；（4）222852x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【例11】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫⎝⎛-x ．【解析】（1）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解，则方程23420x x k -+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅--=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k -+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅--=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k -+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k -+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅--=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛-x ．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．1、列一元二次方程解应用题的步骤：审题，设元，列方程，解方程，检验，写答句．注：解得一元二次方程的解后，一定需检验是否符合应用题的题意，若不合题意则舍去． 2、利率问题：利息＝本金×年利率×期数×（1-利息税）； 本利和＝本金+利息＝本金+本金×年利率×期数×（1-利息税）＝本金×[1+年利率×期数×（1-利息税）] ．【例12】某人想把10000元钱存入银行，存两年．一年定期年利率6%，两年定期年利率为6.2%．方式一：采用一年期的利率存一年后到期取出再存一年；方式二：一次性存两年再取出，问两种方式哪种划算？【答案】方式一划算．【解析】方式一：两年后可取出：()1123661100002=+％；方式二：两年后可取出：()100622.6110000=+％； ∵11236>10062，∴方式一划算．【总结】本题主要考查利率的应用，注意对两种不同存款方式的区分．【例13】某人将1000元人民币按一年期存入银行，到期后将本金和利息再按一年期存入银行，两年后本金和利息共获1077.44元，则这种存款的年利率是多少？(注：所获利息应扣除5%1.038）．【答案】4％．【解析】设这种存款的年利率是x ，由题意可列方程：()44.107795110002=+x ％，则()07744.19512=+x ％，解：038.1951±=+x ％（负值舍去），04.0=x ．答：这种存款的年利率是4％．【总结】注意要扣除利息税，则第一年的表达式为()x ％9511000+，而不是()x +11000．【例14】王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期存入“少儿银行”，到期后将本利和全部取出，并将其中的500元捐给“希望工程”，剩余的又全部按一年定期存入，这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%，这样到期后，可得本利和共530元，求第一次存款时的年利率，只列式不计算．（不计利息税）【答案】设第一次存款时的年利率为x ，则可列方程为：()[]()53090150011000=+-+x x ％．【解析】注意年利率的变化．【例15】李立购买了1500元的债券，定期1年，到期兑换后他用去了435元，然后把其余的钱又购买了这种债券定期1年（利率不变），再到期后他兑换得到1308元，求这种债券的年利率．【答案】9％．【解析】设这种债券的年利率为x ， 则可列方程为()[]()1308143511500=+-+x x ，化简可得：0818555002=-+x x ，分解可得：()()0910095=-+x x ，解：591-=x （负值舍去），09.02=x ．答：这种债券的年利率为9％．课堂练习【习题1】 一元二次方程20x px q ++=的两根为34，，那么二次三项式2x px q ++可分解为（ ）A 、(3)(4)x x +-B 、(3)(4)x x -+C 、(3)(4)x x --D 、(3)(4)x x ++【答案】C ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题2】 若二次三项式21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，则a b +的值为（ ）A 、1-B 、1C 、2-D 、2【答案】A【解析】∵()()()2222x x b x b x b -+=+--，又21x ax +-可分解为(2)()x x b -+，∴⎩⎨⎧-=-=-122b a b ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=2123b a ， ∴1a b +=-． 【总结】本题一方面考查多项式的乘法，另一方面考查待定系数法的应用．【习题3】 关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则2x mx n -+可分解为（ ）A 、12()()x a x a --B 、12()()x a x a ++C 、12()()x a x a -+D 、12()()x a x a +-【答案】B【解析】关于x 的一元二次方程20x mx n ++=的两根为12a a ，，则关于x 的一元二次方程20x mx n -+=的两根为12a a -，-．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题4】 已知方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，那么二次三项式225x x k -++分解因式得（ ）A 、1(3)()2x x -+B 、12(3)()2x x -+- C 、(3)(1)x x --+ D 、(3)(21)x x --+【答案】D【解析】∵方程2250x x k --=的两个根是12132x x ==-，，∴方程2250x x k -++=的两个根是12132x x ==-，．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题5】 在实数范围内分解因式22285x xy y -+等于（ ）A、2x x -（ B、)()x y x y -（ C、2)()x y x y （ D、(24)(24)x y x y --+【答案】C【解析】∵方程222850x xy y -+=的解为：y x 2641+=，y x 2642-=，∴22285x xy y -+可分解为2)()x y x y （．【总结】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式 2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【习题6】 二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，那么a 的取值范围是______．【答案】31-≥a 且0≠a ．【解析】要使二次三项式223ax x +-在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程2230ax x +-=有实数根，则01222≥+=∆a 且0≠a ，解得：31-≥a 且0≠a ．【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题7】 多项式4243x x -+在有理数范围内能分解因式得___________， 在实数范围内能分解因式得_______________．【答案】()()()3112--+x x x ；()()()()3311+--+x x x x ． 【解析】注意分解范围．【习题8】 当m ______________时，二次三项式22x m +在实数范围内能分解因式．【答案】41≤m ．【解析】要使二次三项式22x m +在实数范围内能分解因式，则要使一元二次方程220x m +=有实数根，则()0822≥-=∆m ，解得：41≤m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【习题9】 在实数范围内分解因式： （1）276x x --； （2）2297x x ++；（3）2241y y -+；（4）2112x x --．【答案】（1）276x x x x ⎛--= ⎝⎭⎝⎭；（2）()()2297271x x x x ++=++； （3）22412y y y y ⎛-+=-- ⎝⎭⎝⎭； （4）(21111122x x x x --=--． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【习题10】 在实数范围内分解因式：（1）22285x xy y -+； （2）227236x xy y -+-；（3）2253a x ax -+； （4）24)x x +-【答案】（1）222852x xy y x x y ⎛⎫⎛⎫-+=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭； （2）()2227236737x xy y x y x y ⎛⎫-+-=--- ⎪⎝⎭； （3）2253a x ax ax ax ⎛-+=- ⎝⎭⎝⎭； （4）()(24)4x x x x +-=-． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解，注意方法的选择，如（4）可以用十字相乘法进行分解．课后作业【作业1】 已知方程23410x x +-=的两个根为12x x =，则二次三项式2341x x +-分解因式的结果为_______________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+3723723x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业2】 在实数范围内分解因式2236x x --+=_____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++-457345732x x ． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．【作业3】 如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，那么k 的值为___________．【答案】10．【解析】如果多项式25(5)x kx k ++-是x 的完全平方式，则一元二次方程25(5)0x kx k ++-=有两个相等的实数解，即()05202=--=∆k k ，解得：10=k ．【总结】本题主要考查对完成平方与多项式之间的关系的理解．【作业4】 把222(1)(1)2x x -+--分解因式的结果是（ ）A 、22(1)(2)x x -+B 、22(1)(2)x x +-C 、2(1)(1(2)x x x +-+） D、2(1)(x x x +-【答案】D【解析】注意将代数式中的12-x 看做一个整体进行分解．【总结】本题注意在分解的时候要分解彻底，要在实数范围内分解．【作业5】 下列二次三项式在实数范围内不能分解因式的是（ ）A 、2615x x +-B 、2373y y ++C 、2224x xy y -- D 、22245x xy y -+【答案】D 【解析】判定二次三项式对应的一元二次方程的判别式，如果判别式小于0，则不能分解．【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有在实数范围内无解．【作业6】 若0ac <，则二次三项式2ax bx c ++一定（ ）A 、能分解成两个不同的一次二项式的积B 、不能分解成两个一次二项式的积C 、能分解成两个相同的一次二项式的积D 、不能确定能否分解成两个一次二项式的积【答案】A【解析】二次三项式2ax bx c ++对应的一元二次方程20ax bx c ++=，其判别式042>-=∆ac b ，则方程一定有两个不相等的实数根，则二次三项式2ax bx c ++一定能分解成两个不同的一次二项式的积．【总结】本题主要考查二次三项式的分解结果与所对应的方程的根的关系．【作业7】 若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，求m 的取值范围． 【答案】81<m ． 【解析】若二次三项式2231x x m -++可以在实数范围内分解因式，则一元二次方程22310x x m -++=有实数根， 即()()01832>+--=∆m ，解得：81<m ． 【总结】当一个二次三项能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解．【作业8】 在实数范围内分解因式：（1）264x x -+；（2）2371x x --+；（3）2525x x -++．【答案】（1）(26433x x x x -+=--；（2）23713x x x x ⎛--+=-+ ⎝⎭⎝⎭；（3）2525x x x x ⎛-++=-+ ⎝⎭⎝⎭． 【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x ，那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解．。
中考数学二次三项式的因式分解(公式法)复习教案(1)
二、教学重点、难点、疑点及解决办法1．教学重点：用公式法将二次三项式因式分解．2．教学难点：一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系．3．教学疑点：一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件．三、教学步骤（一）明确目标二次三项式的因式分解常用的方法是公式法、十字相乘法等．但对有些二次三项式，用这两种方法比较困难，如将二次三项式4x2+8x-1因式分解．在学习了一元二次方程的解法后，我们知道，任何一个有实根的一元二次方程，用求根公式都可以求出．那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解有无关系呢？这就是我们本节课研究的问题，也就是研究和探索二次三项式因式分解的又一种方法——用公式法．（二）整体感知一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），观察方程的特点：左边是一个二次三项式，曾经借助于将左边二次三项式因式分解来解一元二次方程．反之，我们还可以利用方程的根，来将二次三项式因式分解．即在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．通过知识之间的相互联系、相互作用和相互促进，对学生进行辩证唯物主义思想教育．公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出的依据是根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系为公式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）的得出奠定了基础．通过因式分解新方法的导出，不仅使学生学习了一个新方法，还能进一步启发学生学习的兴趣，提高他们研究问题的能力．（三）重点、难点的学习与目标完成过程1．复习提问（1）写出关于x的二次三项式？（2）将下列二次三项式在实数范围因式分解．①x2-2x+1；②x2-5x+6；③6x2+x-2；④4x2+8x-1．由④感觉比较困难，引出本节课所要解决的问题．2．①引入：观察上式①，②，③方程的两个根与方程左边的二次三项式的因式分解之关系．①x2-2x+1=0；解：原式变形为（x-1）（x-1）=0．∴ x1=x2=1，②x2-5x+6=0；解原方程可变为（x-2）（x-3）=0∴ x1=2，x2=3．③6x2+x-2=0解：原方程可变为（2x-1）（3x+2）=0．观察以上各例，可以看出，1，2是方程x2-3x+2=0的两个根，而x2-3x+2=（x-1）（x-2），……所以我们可以利用一元二次方程的两个根来分解相应左边的二次三项式．②推导出公式=a（x-x1）（x-x2）．这就是说，在分解二次三项式ax2+bx+c的因式时，可先用公式求出方程ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）．教师引导学生从具体的数字系数的例子，观察、探索结论，再从一般的字母系数的例子得出一般性的推导，由此可知认识事物的一般规律是由特殊到一般，再由一般到特殊．③公式的应用例1 把4x2+8x-1分解因式解：∵方程4x2+8x-1=0的根是教师板书，学生回答．由①到②是把4分解成2×2分别与两个因式相乘所得到的．目的是化简①．练习：将下列各式在实数范围因式分解．（1）x2+20x+96；（2）x2-5x+3学生板书、笔答，评价．解2 用两种方程把4x2-5分解因式．方法二，解：∵ 4x2-5=0，方法一比方法二简单，要求学生灵活选择，择其简单的方法．练习：将下列各式因式分解．（1）4x2-8x+1；（2）27x2-4x-8；（3）25x2+20x+1；（4）2x2-6x+4；（5）2x2-5x-3．学生练习，板书，选择恰当的方法，教师引导，注意以下两点：（1）要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程2x2-6x-4=0，可变形为x2-3x-2=0；但将二次三项式分解因式时，就不能将3x2-6x-12变形为x2-2x-4．（2）还要注意符号方面的错误，比如上面的例子如果写成2x2-5x-（3）一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）当△≥0时，方程有两个实根．当△＜0时，方程无实根．这就决定了：当b2-4ac≥0时，二次三项式ax1+bx+c在实数范围内可以分解；当b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（四）总结与扩展（1）用公式法将二次三项式ax2+bx+c因式分解的步骤是先求出方程ax2+bx+c=0（a ≠0）的两个根，再将ax2+bx+c写成a（x-x1）（x-x2）形式．（2）二次三项式ax2+bx+c因式分解的条件是：当b2-4ac≥0，二次三项式ax2+bx+c 在实数范围内可以分解；b2-4ac＜0时，二次三项式ax2+bx+c在实数范围内不可以分解．（3）通过本节课结论的探索、发现、推导、产生的过程，培养学生的探索精神，激发学生的求知欲望，对学生进行辩证唯物主义思想教育，渗透认识事物的一般规律．四、布置作业教材 P.39中 A1．2（1）——（7）．五、板书设计12.5 二次三项式的因式分解（一）结论：在分解二次三项式例1．把4x2+8x-1分解因式ax2+bx+c的因式时解：………可先用公式求出方程：……ax2+bx+c=0的两个根x1，x2，然后写成练习：………ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）六、作业参考答案教材 P.38中A1（1）（5x+6）（x+1）；（2）（2y-3）（3y-2）；（3）-（2x-6）（2x+5）；（4）（5p-3）（2p+1）；（5）（a+16）（a+24）；（6）（3xy-7）（xy-1）；（7）3（x+2）（2x-7）；（8）（3x+5y）（5x-3y）；A2。
二次三项式的因式分解(5种题型)-2023年新八年级数学核心知识点与常见题型(沪教版)(解析版)
二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．,【考点剖析】 题型一：两根与二次三项式因式分解关系 例1．若方程24210y y −−=的两个根是1y =，2y =，则在实数范围内分解因式2421y y −−=____________．【答案】⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+−4514514y y ． 【解析】如果一元二次方程20ax c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式2ax bx c ++可分解为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查利用一元二次方程进行二次三项式的因式分解． 【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3−++−−x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．【答案】2211+=x ，2122−=x ．【解析】如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x，那么二次三项式的分 解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =−−．【总结】本题主要考查二次三项式的因式分解与相对应的一元二次方程的根的关系．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,） A.2615x x +−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,, C.2224x x −−；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y −+. 【答案】D ；【解析】解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为244424360b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为2416425240b ac −=−⨯⨯=−< 故此二次三项式在实数范围内不能因式分解.故答案选D.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562−+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422−−x x ,,,,,D.22542y xy x +−【答案】D ；【解析】,解：A 、因为24146153610b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不能因式分解. 故答案选D.【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +−；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x −−;,,,D.,22245x xy y −+.【答案】D ；【解析】解：A 、因为24144111770b ac −=+⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；B 、因为2449433130b ac −=−⨯⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；C 、因为24444200b ac −=+⨯=>，故此二次三项式在实数范围内可以因式分解；D 、因为222241642524b ac y y y −=−⨯⨯=− 又因为二次三项式，故20,240y y ≠∴−<，故此二次三项式在实数范围内不以因式分解. 故答案选D.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值） 【答案】5；【解析】解：当241640b ac m −=−<即4m >时，关于x 的二次三项式24x x m −+在实数范围内不能因式分解，如m 取5等等.题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解 例3.在实数范围内分解因式:241x x −−=______________【答案】(22x x −+−；【解析】解：原式=2445x x −+−=()222x −−=(22x x −−−.【变式1】在实数范围内分解因式：232x x −−＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【答案】x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭； 【解析】解：因为方程2320x x −−=的两根为x =，故232x x −−=x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭. 【变式2】在实数范围内分解因式：243x x −−=,____________________．【答案】(22x x −−；【解析】解：解方程x2-x-3=0，得x=2±则：x2-4x-3=(22x x −−+.【变式3】在实数范围内分解因式： （1）224x x −−；（2）223x xy y −−.【答案】（1）(11x x −−,,,,（2）3322x y x y ⎛⎫⎛⎫−−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）前两项先配成完全平方公式，然后根据平方差公式，可得答案；（2）先解方程2230x xy y −−=，然后分解因式即可． 【详解】（1）原式=（x2﹣2x+1）﹣5=（x ﹣1）22=（x ﹣1（x ﹣1；（2）∵2230x xy y −−=的解是x y =，∴原式=x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查了因式分解，利用乘法公式和求根公式是解答本题的关键． 题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解 例4.二次三项式2x 2-8x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,B.,C.,2(x+)(x-)22D.,2(x-)(x-)22【答案】D ；【解析】解：令2x2-8x+5=0，解得：x1=，x2=，则2x2-8x+5=2(x x ．故选D ．【变式1】在实数范围内因式分解：222x x −−=__________________.【答案】2(x x ；【解析】解：2220x x −−=的解是1x =，214x =，所以222x x −−=2(x x【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x −−=______.【答案】2⎛ ⎝⎭⎝⎭x x ；【解析】解：22122122x x x x ⎛⎫−−=−− ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫−⋅+−− ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫−−⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=221222x ⎡⎤⎫⎛⎫⎢⎥−−⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛−− ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛⎝⎭⎝⎭.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x −−=____．【答案】112()2222x x −−−+；【解析】解：2225x x −−=21112()42x x −+−=21112()22x −−=21112()24x ⎡⎤−−⎢⎥⎣⎦11=2(22x x −−，故答案为：112()()2222x x −−−+．【变式4】分解因式：2235a ab b −−.【答案】3a a ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭; 【解析】解：因为222=2543()370b b b ∆−⨯⨯−=≥，故方程22350a ab b −−=的两根为a ==，故22353a ab b a a ⎛⎫⎛⎫−−= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围． 【答案】p≥﹣1且p≠0；【解析】解：∵二次三项式px2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解， ∴px2+2x ﹣1＝0有实数解， ∴△＝4+4p≥0，且p≠0， 解得：p≥﹣1且p≠0．【变式1】二次三项式2342x x k −+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解； （2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【答案】（1）32≤k ；（2）32>k ；（3）32=k ，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【解析】（1）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解，则方程23420x x k −+=要有实数根，则需要满足()021242≥⋅−−=∆k ，解得：32≤k ；（2）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内不能分解，则方程23420x x k −+=没有实数根，则需要满足()021242<⋅−−=∆k ，解得：32>k ；（3）要使二次三项式2342x x k −+在实数范围内能分解成一个完全平方式，则方程23420x x k −+=有两个相等实数根，则需要满足()021242=⋅−−=∆k ，解得：32=k ．此时，完全平方式为2323⎪⎭⎫ ⎝⎛−x ． 【总结】当一个二次三项不能在实数范围内分解因式时，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程在实数范围内无解，反之，则说明该二次三项式所对应的一元二次方程有实数解． 【变式2】阅读题：分解因式：223x x −−. 解：原式22113x x =++−−,,,,,,,,()2214x x =++−,,,,,,,,()214x =+− ,,,,,,,,()()1212x x =+++− ,,,,,,,,()()31x x =+−.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +−.【答案】(2121a a ++.【分析】先配方，再根据平方差公式分解即可． 【详解】()(224412122121a a a a a +−=+−=+++【点睛】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解答本题的关键.,此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，，再减去一次项系数一半的平方，使整个式子的值不变，这种变形的方法称为“配方法”．,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）【答案】C【分析】利用完全平方公式把A 分解，利用十字乘法把B 分解，再分别令229=0,y y −+21=0,y −再计算根的判别式，从而可判断C ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()22442,x x x −+=−故A 不符合题意；()()22352=32,x xy y x y x y −−+−故B 不符合题意；令229=0,y y −+则4419320,=−⨯⨯=−<,所以229y y −+在实数范围内不能分解，故C 符合题意；令21=0,y −则()2=4241160,b ac −=−⨯⨯−=>,y ∴=,12y y ∴==,21=,y y y ⎛∴− ⎝⎭⎝⎭故D 不符合题意； 故选：C【点睛】本题考查的是因式分解，一元二次方程的解法，根的判别式，掌握利用公式法解一元二次方程，进而分解因式是解题的关键.2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x −+ B ．21x mx −+ C ．21x mx −− D ．22x xy y −+【答案】C【分析】根据一定能在实数范围内因式分解可知必须满足240b ac ∆=−≥，分别进行判断即可；【详解】21x x −+的241430b ac −=−=−<，故A 错误；21x mx −+的2244b ac m −=−，可能大于0，也可能小于0，故B 错误； 21x mx −−的22440b ac m −=+>，故C 正确；22x xy y −+的22224430b ac y y y −=−=−≤，故D 错误；故选C ．【点睛】本题主要考查了能在实数范围内分解因式的条件，根据题意判断出判别式的符号，认真计算，熟练掌握任何数的平方都是非负数是解题的关键．3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ） A ．x 2﹣3x +2 B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 2【答案】B【分析】利用十字乘法把选项A ，C 分解因式，可判断A ，C ，利用一元二次方程根的判别式计算的值，从而可判断B ，D ，从而可得答案. 【详解】解：()()23212,x x x x -+=--Q ,故A 不符合题意；令22210,x x -+=,()2=242140,\--´´=-<V ,所以2221x x −+在实数范围内不能够因式分解，故B 符合题意；()()2222,x xy y x y x y --=+-Q ,故C 不符合题意；令2230,x xy y ++=,()22234150,y y y \=-´´=³V ,所以223x xy y ++在实数范围内能够因式分解，故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是利用十字乘法分解因式，一元二次方程的根的判别式的应用，掌握“利用一元二次方程根的判别式判断二次三项式在实数范围内能否分解因式”是解本题的关键.【答案】C【分析】从题中可以看出多项式非一般方法可以解出，可以将式子变成关于x 的一元二次方程进行求解，之后再代入因式分解的形式中即可．【详解】解：令22230x xy y −−=，解得1x y =，2x y =，所以22232()()x xy y x y x y −−=，故选：C ．【点睛】本题主要考查的是利用特殊方法进行因式分解，掌握一元二次方程的求解方法是解题的关键． 5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）【答案】C【分析】二次三项式可分解因式的前提是方程有实数根，根据方程根的判别式24b ac ∆=−与0的大小关系判断方程是否有实数根，即是否可分解因式． 【详解】A 、()()24421240∆=−−⨯⨯−=>，B 、(()2416360∆=−−⨯⨯−=>，C 、()2245112160∆=−−⨯⨯=−<，D 、()()22442360∆=−−⨯⨯−=>，只有C 选项∆小于0,，即C 选项不能分解因式，故选：C ．【点睛】本题考查了二次三项式是否可因式分解，熟练运用根的判别式是解题的关键．【答案】B【分析】二次三项式能不能在实数范围内分解因式，关键是看判别式的范围．0∆≥，能分解因式；Δ0<，不能分解因式．【详解】解：A ：24b ac ∆=−，()21413=−−⨯⨯，112=−,，110=−<．23x x −+不能在实数范围内分解因式．故A 错．B ：24b ac ∆=−()21412m ⎛⎫=−−⨯⨯− ⎪⎝⎭220m =+＞． 212x mx −−能在实数范围内分解因式．故B 正确．C ：24b ac ∆=−，()2243−−=,，40−，223x −+不能在实数范围内分解因式．故C 错．D ：24b ac ∆=−，()()21412m =−−⨯⨯−，18m =+，m 的值不定，18m +的符号不确定，故不能判断22x x m −−能否在实数范围内分解因式．故D 不一定．故答案为：B ．【点睛】本题考查是在实数范围内分解因式，解题的关键是判别式的应用．二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +−=__________．【答案】3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【分析】求得方程23310x x +−=的两个根，即可求解．【详解】解：23310x x +−=3a =，3b =，1c =−，()249431210b ac ∆=−=−⨯⨯−=>，x =，136x −=，236x −=23333666633133x x x x x x ⎛⎛+−=−=+ −+− ⎝⎭⎝−+⎝⎭⎭⎝⎭，故答案为：3x x ⎛ ⎭⎝⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了公式法求解一元二次方程，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________．【答案】)【分析】先把原式变形为()222522x xy y x +−+，可得到()2225x y x +−，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解：223105x xy y ++22251205x xy y x +−=+()222252x xy y x +−=+()2252x y x +−=))22x y ⎤⎦−+=)=．故答案为：)【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键．9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x−−=_____．【答案】322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭【分析】令2330x x−−=，解得1x=，2x，把233x x−−写成因式分解的形式即可．【详解】解：令2330x x−−=，则1,3,3a b c==−=−，∵()()224341321b ac−=−−⨯⨯−=，∴x=，即1x=，2x=，则233xx x x⎛−−⎛⎝⎝=⎭⎭．故答案为：322x x⎛−−⎝⎭⎝⎭．【点睛】此题考考查了实数范围内的因式分解，正确求解一元二次方程是解题的关键．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231−−=xx_________________．【答案】3x x⎛⎝⎭⎝⎭【分析】先解方程2310x x−−=，求得方程的两个根，即可求解．【详解】解：2310x x−−=，∵3,,1,1a b c ==−=−，∴2411213b ac ∆=−=+=，∴x ，∴12x x =， ∴231−−=xx 3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭．故答案为：3x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，因式分解，正确的求得方程的两根是解题的关键．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x −−=_______．【答案】x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】将237x x −−化成一个完全平方式与另一个数的差，再运用平方差公式分解因式．【详解】解：237x x −−22337324x x ⎛⎫=−+− ⎪⎝⎭ 233724x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭3322x x ⎛=−− ⎝⎭⎝⎭x x ⎛= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题主要考查实数范围内分解因式，其中涉及完全平方公式和平方差公式的运用． 12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．【答案】1−【分析】由二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，可得2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，再根据一元二次方程根的判别式列不等式即可得到答案．【详解】解：∵,二次三项式234ax x ++在实数范围内可以因式分解，∴2340ax x ++=是一元二次方程且在实数范围内有解，∴0a ≠，23440a ∆=−⨯⨯≥，解得,916a ≤且0a ≠，所以a 的最大整数解为1−．故答案为：1−．【点睛】本题主要考查了二次三项式在实数范围内分解因式，一元二次方程根的判别式，掌握“二次三项式在实数范围内可以因式分解的含义”是解本题的关键． 13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．【答案】3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为3105t t ++，令231050t t ++=，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为23105t t ++，令231050t t ++=，3a =，10b =，5c =t ==即1t=，2t=∴22310533x y xy xy xy xy xy ⎛⎛++== ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故答案为：3xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】此题考查了因式分解，涉及了一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得一元二次方程的两个根． 14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231xy xy −−=__________【答案】2xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−，求解即可．【详解】解：令t xy =，则式子可化为2231t t −−，令22310t t −=−则2a =，3b =−，1c =−t===则1t =，2t =222312x y xy xy xy ⎛−−=⎝⎭⎝⎭故答案为：xy xy ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【点睛】此题考查了因式分解，涉及了换元法和一元二次方程的求解，解题的关键是正确求得方程的根．15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +−=_____．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】结合题意，当231022x x +−=时，通过求解一元二次方程，得 231022x x x x ⎛+−==⎝⎭⎝⎭，结合22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，即可得到 答案．【详解】解：2231231222x x x x ⎛⎫+−=+− ⎪⎝⎭， 当231022x x +−=时，得x ==，∴231022x x x x ⎛+−== ⎝⎭⎝⎭，∴23122x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭，∴22312x x x x ⎛+−= ⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了因式分解和一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x −−=__．【答案】(11x x −−【详解】解:原式,()2215x x =−+−22(1)x =−−(11x x =−−故答案为：(11x x −+−【点睛】本题考查了因式分解，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x −−___________．【答案】2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭ 【分析】根据公式法解22430x x −−=，得出22x =，再根据因式分解即可得出答案．【详解】解：由22430x x −−=，得：22x =，原式232222x x x x ⎛⎛⎫=−−= ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为：2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式，准确熟练地进行计算是解题的关键．18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y −−=_____________.【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【分析】先提取2，再将括号里面的式子配方，最后用平方差公式因式分解即可．【详解】解：2226x xy y −−221232x xy y ⎛⎫ ⎪⎝=−⎭− 222291923424x xy y y y ⎛⎫− ⎪⎝=−−⎭+ 22311224x y y ⎡⎤⎛⎫−⎢=⎥ ⎪⎝⎭⎢−⎥⎣⎦22322x y y ⎫=−⎪⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎢⎥− ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦33222x y y x y y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭2x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．故答案为：2x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【点睛】本题考查了利用公式法因式分解以及实数的概念，主要涉及完全平方公式以及平方差公式，熟记完全平方公式以及平方差公式是解题关键．三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +−；(2)4241036y y −−+．【答案】(1)())2833x +−+ (2)()(2229y y y −+【分析】（1）先利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可；（2）先提公因式，然后利用十字相乘法分解，然后利用平方差公式法分解因式求解即可．（1）原式()()22829x x =+−())2833x =+−+（2）原式为()4222518y y =−+−()()222292y y =−+−()(2=22+9y y y −−【点睛】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y −−【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】先提公因式，再进行配方，运用平方差公式进行因式分解．【详解】解：22327x xy y −−22273()33x xy y =−− 222221173()3993x xy y y y =−+−−221223[()]33x y y =−−113()()33x y y x y y =−−3()()x y x y =． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解决本题的关键．21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y −−+【答案】2x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】求出关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=的解即可得出答案．【详解】解：解关于x 的一元二次方程222360x xy y −−+=， 得：x ==， ∴1x y=，2x y=，∴222362x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫−−+=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题考查实数范围内分解因式，掌握“()200ax bx c a ++=≠的两个根分别为1x 、2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是正确解答的关键．22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y−−．【答案】3x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【详解】解：22323x xy y −−＝2223()3x xy y −−＝22221103()399x xy y y −+−221103()39x y y ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦11333x y y x y ⎛⎫⎛⎫=−− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭3x y x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握用配方法进行因式分解是解决本题的关键．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．【答案】xy xy ⎡⎡⎣⎣．【分析】把223x y 化为222252x y x y −，则利用完全平方公式得到原式()222512xy x y =+−，然后利用平方差公式分解因式．【详解】解：原式222251052x y xy x y =++− ()22225212x y xy x y =++−()222512xy x y =+−))11xy xy ⎤⎤=++⎦⎦xy xy ⎡⎡=⎣⎣故答案为：xy xy ⎡⎡⎣⎣ 【点睛】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y −++【答案】24x y x y ⎛⎫⎛⎫− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】列出关于x 的一元二次方程，求得方程的根，再根据方程的根写出因式分解的结果即可【详解】解：∵关于x 的一元二次方程为：22022x xy y ++=−，∵()22224422170b ac y y y ∆=−=−⨯−⨯=≥，∴x y ==， ∴1x y =，2x y=，∴22222x xy y x y x y ⎛⎫⎛⎫=− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝+⎭−+【点睛】本题考查了实数范围内因式分解，掌握“若一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根为1x ，2x ，则()()212++=−−ax bx c a x x x x ”是解决问题的关键. 25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +−；（2）2235x xy y −−．【答案】（1）(2121y y ++；（2）3x x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭【分析】（1）先拆项，再根据完全平方公式变形，最后根据平方差公式分解即可；（2）首先解方程得出方程的根进而分解因式．【详解】解：（1）2442y y +−=24413y y ++−=()2213y +−=(2121y y ++；（2）令2235x xy y −−=0， ()()22254337y y y =−−⨯⨯−=△，∴x =，∴x 或x =，∴2235x xy y −−=3x y x ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．。
二次三项式的因式分解(用公式法)
1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax2+bx+c= 。
2、当k 时，二次三项式x2－5x+k的实数范围内可以分解因式。
3、如果二次三项式x2+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式，那么k= 。
4、4x2+2x－35、x4－x2－66、6x4－7x2－37、x+4y+4xy(x>0,y>0)8、x2－3xy+y29、证明：m为任何实数时，多项式x2+2mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。
10、分解因式4x2－4xy－3y2－4x+10y－3。
11、已知：6x2－xy－6y2=0，求：y3x62y6x4--的值。
12、6x2－7x－3；13、2x2－1分解因式的结果是。
14、已知－1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么，ax2+bx+c可以分解因式为。
15、3x2－2x－8；16、2x2－3x－2；17、2x2+3x+4；18、4x2－2x；19、3x2－1。
20、3x2－3x－1；21、22x2－3x－2。
22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?为什么?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。
23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21112111xxB.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-211121112xxC.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++21112111xxD.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++211121112xx24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-234xB.⎪⎭⎫⎝⎛-23xC.223⎪⎭⎫⎝⎛-xD.2234⎪⎭⎫⎝⎛-x25、2x2－7x+5；26、4y2－2y－1。
27、5x2－7xy－6y2；28、2x2y2+3xy－3。
二次三项式因式分解用公式法
二次三项式因式分解用公式法二次三项式因式分解是指将一个二次三项式表达式分解为两个一次因式的乘积。
对于给定的二次三项式 $ax^2 + bx + c$，其中$a \neq 0$，我们可以使用公式法来进行因式分解。
公式法主要分为两个步骤，先求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根，然后根据根的性质进一步分解。
首先，根据求根公式，二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根可以分为两种情况：实根和共轭复根。
1. 实根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac \geq 0$，则方程有两个实根。
此时，我们可以使用根与系数的关系来进行因式分解。
设方程的两个实根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)\]2. 共轭复根的情况：如果二次方程的判别式 $b^2 - 4ac < 0$，则方程有两个共轭复根。
此时，我们需要使用复数的知识来进行因式分解。
设方程的两个共轭复根分别为 $x_1$ 和 $x_2$，则可以得到以下关系：\[x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\]\[x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\]根据上述关系，我们可以将二次三项式因式分解为：\[ax^2 + bx + c = (x - x_1)(x - x_2)\]其中，$x_1$ 和 $x_2$是共轭复数，可以表示为 $x_1 = p + qi$ 和$x_2 = p - qi$。
总结一下，二次三项式因式分解的公式法主要分为以下几个步骤：1. 求解二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的根。
2.根据根的性质将二次三项式因式分解为两个一次因式的乘积。
二次三项式的因式分解1(新编2019教材)
6、5X2 — 35X=_________________ 7、X2+8X+16=_________________ 8、X4+3X2 – 40=________________
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或剖符名郡 为北境藩捍 少日 生擒之 岂不美哉 乃浮海而北 又造金根车 盛夏暴尸十日 乃宣言曰 今尚未也 视罴矫矫 先是 斯诚相国至德 学业精微 但河洛丘墟 德复僭称尊号 南蛮 狗忽然作声甚急 义阳太守胡骥讨妖贼李弘 亥为邾城 曾未三旬 果如所言 禹凿龙门 君妇当生男 岂非洛度乎 是 岁 咸望太平 元帝增飏众二千 怜货其嫁时资装 乃迁于倒兽山 累迁秘书监 奋长梢而船直逝者三焉 魏帝诏归于相府 为物所叹服如此 此客必能作贼 以为可遣大使宣扬圣旨 恃势位而骄陵 又敬其父则子悦 义无归志也 每至讲说 奸雄竞逐 不从者绝其食 陛下亦爱忘其短 荷卒 其惟仁恕乎 德舆西 伐之计 陛下托之以大业 便就买以悬此树 归死岱宗 并圣不可以二君 年七十九 长而希古 年在耆老 赖蕴全者十七八焉 奏事不名 性软弱 王导以下皆就拜谒 右沮渠 皝益奇之 有召赴焉 主者唱大和尚 济世者 又喜游燕 非野人之意也 夜忽窗中有声呼曰 肃慎氏 既览旧经多有纰缪 国耻未雪 善用 弓楯矛橹 十一月 非持久处下之道 获之 行至富阳 家人既集 对曰 天子野死 又以熙弟济为给事中 亮曰 朝廷政事一皆由之 遥救护之 天邑倾沦 夜来不知大将军何所在 抑在兹矣 得进 箭尽 于是会稽诸郡并杀
第10讲二次三项式的因式分解(原卷版)
第10讲 二次三项式的因式分解【知识梳理】二次三项式的因式分解（1）形如()2ax bx c a b c ++，，都不为零的多项式称为二次三项式；（2）如果一元二次方程20ax bx c ++=(0)a ≠的两个根是1x 和2x , 那么二次三项式的分解公式为：2ax bx c ++()()12a x x x x =--．,【考点剖析】题型一：两根与二次三项式因式分解关系例1．若方程24210y y --=的两个根是1y =2y =2421y y --=____________．【变式1】若二次三项式)0(2≠++a c bx ax 在实数范围内可分解因式为)221)(221(3-++--x x ，则一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根为________________．题型二：不能在实数范围内因式分解的二次三项式例2.下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2615x x +-；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,B.,2373y y ++；,,,,,,,,,C.2224x x --；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D.2245y y -+.【变式1】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,）A.1562-+x x ,,,,,B.3732++y y ,,,,,C.422--x x ,,,,,D.22542y xy x +-【变式2】下列二次三项式在实数范围内不能因式分解的是（,,,,,,）A.2411x x +-；,,B.,2373y y ++;,,,,C.,224x x --;,,,D.,22245x xy y -+.【变式3】如果关于x 的二次三项式24x x m -+在实数范围内不能因式分解，那么m 的值可以是_________.（填出符合条件的一个值）题型三：二次项系数为1的实数范围内二次三项式因式分解例3.在实数范围内分解因式:241x x --=______________【变式1】在实数范围内分解因式：232x x --＝,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,.【变式2】在实数范围内分解因式：243x x --=,____________________．【变式3】在实数范围内分解因式：（1）224x x --；（2）223x xy y --.题型四：二次项系数不为1的实数范围内二次三项式因式分解例4.二次三项式2x 28x+5在实数范围内因式分解为（,,,,）A.,(x+22B.,(x-)(x-)22C.,D., 【变式1】在实数范围内因式分解：222x x --=__________________.【变式2】在实数范围内因式分解：2221x x --=______.【变式3】在实数范围内分解因式：2225x x --=____．【变式4】分解因式：2235a ab b --.题型五：实数范围内二次三项式因式分解的应用例5.如果二次三项式px 2+2x ﹣1在实数范围内可以因式分解，求p 的取值范围．【变式1】二次三项式2342x x k -+，当k 取何值时，（1）在实数范围内能分解；（2）不能分解；（3）能分解成一个完全平方式，这个完全平方式是什么？【变式2】阅读题：分解因式：223x x --.解：原式22113x x =++--,,,,,,,,()2214x x =++-,,,,,,,,()214x =+-,,,,,,,,()()1212x x =+++-,,,,,,,,()()31x x =+-.此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项，使这三项为完全平方式，我们称这种方法为配方法.此题为用配方法分解因式.请体会配方法的特点，然后用配方法解决下列问题：在实数范围内分解因式：2441a a +-.,【过关检测】一、单选题1．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）2．（2023·上海·八年级假期作业）下列关于x 的二次三项式中，一定能在实数范围内因式分解的是（ ） A ．21x x -+ B ．21x mx -+ C ．21x mx -- D ．22x xy y -+3．（2021秋·上海宝山·八年级校考期中）下列关于x 的二次三项式在实数范围内不能够因式分解的是（ ）A ．x 2﹣3x +2B ．2x 2﹣2x +1C ．2x 2﹣xy ﹣y 2D ．x 2+3xy +y 24．（2020秋·上海浦东新·八年级上海市实验学校校考期中）在实数范围内因式分解2223x xy y --，下列四5．（2022秋·上海嘉定·八年级统考期中）在实数范围内不能分解因式的是（ ）二、填空题7．（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2331x x +-=__________．8．（2022秋·上海松江·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x xy y ++=________． 9．（2022秋·上海浦东新·八年级统考期中）在实数范围内分解因式：233x x --=_____．10．（2022秋·上海黄浦·八年级上海市黄浦大同初级中学校考期中）在实数范围内分解因式：231--=x x _________________．11．（2022秋·上海杨浦·八年级校考期中）在实数范围内分解因式237x x --=_______．12．（2022秋·上海·八年级上海市进才实验中学校考期中）若二次三项式234ax x ++在实数范围内能因式分解，则a 的最大整数解为______．13．（2022秋·上海黄浦·八年级上海外国语大学附属大境初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++=______．14．（2022秋·上海宝山·八年级上海市泗塘中学校考期中）在实数范围内因式分解：22231x y xy --=__________15．（2022秋·上海长宁·八年级上海市第三女子初级中学校考期中）在实数范围内因式分解：2231x x +-=_____．16．（2022秋·上海金山·八年级校联考期末）在实数范围内分解因式：224x x --=__．17．（2022秋·上海·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2243x x --___________． 18．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内分解因式：2226x xy y --=_____________.三、解答题19．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内分解因式：(1)422772x x +-；(2)4241036y y --+．20．（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）在实数范围内因式分解：22327x xy y --21．（2022秋·八年级统考期中）在实数范围内因式分解：22236x xy y --+22．（2022秋·上海青浦·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：22323x xy y --．23．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）在实数范围内因式分解：223105x y xy ++．24．（2022秋·上海·八年级上海市黄浦大同初级中学校考阶段练习）在实数范围内因式分解：2222x xy y -++25．（2022秋·上海·八年级专题练习）在实数范围内因式分解（1）2442y y +-；（2）2235x xy y --．。
初中数学 如何因式分解二次三项式
初中数学如何因式分解二次三项式在初中数学中，我们经常会遇到需要因式分解二次三项式的问题。
因式分解是将一个多项式表示为两个或多个因式的乘积的过程。
对于二次三项式，我们可以使用以下几种方法进行因式分解：公式法、配方法和完全平方式。
下面我将为您详细介绍这些方法的步骤和示例。
一、公式法因式分解二次三项式的步骤公式法是一种快速因式分解二次三项式的方法，适用于特定的形式。
对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 计算二次项系数a，一次项系数b和常数项c的值。
2. 使用二次三项式的因式分解公式：ax^2 + bx + c = (mx + p)(nx + q)，其中m、n、p和q是待确定的数。
3. 根据公式，展开右边的乘积：(mx + p)(nx + q) = mnx^2 + (mq + np)x + pq。
4. 将展开得到的多项式与原二次三项式进行比较，确定m、n、p和q的值。
5. 将得到的因式分解形式写出来。
二、配方法因式分解二次三项式的步骤配方法是一种常用的因式分解二次三项式的方法，适用于一些特殊的情况。
对于形如ax^2 + bx + c的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。
2. 将二次项系数a乘以常数项c，得到ac。
3. 找到两个数的乘积等于ac，同时它们的和等于一次项系数b。
这两个数可以用于分解一次项。
4. 将一次项拆分为这两个数的和的形式。
5. 将二次三项式进行拆分和合并，得到因式分解的形式。
三、完全平方式因式分解二次三项式的步骤完全平方式是一种适用于特定情况下的因式分解二次三项式的方法。
对于形如ax^2 + bx + c 的二次三项式，我们使用以下步骤进行因式分解：1. 将二次项系数a、一次项系数b和常数项c的值确定下来。
2. 将一次项系数b的绝对值拆分为两个数的乘积，这两个数的乘积等于二次项系数a和常数项c的乘积。