梁的弹塑性弯曲
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第四章 结构弹塑性分析
( ≠ 0) ，其余应力为零。
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
同济大学水利工程系
Mises(畸变能)屈服条件为：
σi =
1 (σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ 2 xy + τ 2 yz + τ 2 zx ) 2 1 = σ 2 + σ 2 + 6τ 2 ) = σ 2 + 3τ 2 ) = σ s 2
Ex4.1 集中荷载（如图示）作用下，求：1) 弹塑性状态时的弹塑性分界线; 2)求极限 P0 = ?
同济大学水利工程系
李遇春编
图 4.3
3、混凝土板的屈服线理论（塑性计算） 混凝土板在极端荷载作用下（如核爆炸、罕遇强烈地震等）可采用塑性法设计，设计 的原则：允许结构破坏，但保证结构不坍塌。 （1） 屈服线假定： 1） 板在行将破坏时，在最大弯矩处形成屈服线。
(4.18)
在小变形下， τ 比 σ 小得多，所以 σ 2 + 3τ 2 ) ≈ σ ，于是屈服条件可近似写为：
σ =σs
根据平截面假设 ε x = ky ， k 为曲率，小变形下 k = −
d 2v εx = −y 2 dx
(4.19)
d 2v ， v 为 y 方向上的位移（挠度） 。所以： dx 2
(4.20)
假定材料为理想弹塑性材料，于是发生塑性变形后，弹性区应力为：
σ = Eε x = − Ey
塑性区应力为：
d 2v dx 2
(4.21)
σ = ±σ s
应力首先在上下边达到屈服值，塑性区逐渐向内扩展。设
(4.22)
y = ±ξ ( x ) 为弹塑性分界面，则：
同济大学水利工程系
影响梁变形的因素公式
影响梁变形的因素公式
在结构设计中，梁主要承受垂直于其轴线的荷载作用，柱主要承受平行于其轴线的荷载所用。
柱主要是轴向拉伸变形或压缩变形。
假设材料是线弹性，服从胡克定律。
若应力超出弹性范围，材料中就会出现塑性变形。
在这种情况下，平截面假设仍然有效，但应力与应变关系不再是线性，且在加载和卸载过程中遵循不同的规律。
在考虑塑性变形的基础上研究梁的弹塑性弯曲问题，会得出一些不同的结果。
影响梁变形的主要因素有：
1、构件的材料性能：与材柚弹性模量E成反比；
2、构件的跨度：与跨度L的n次方成正比，此因素影响最大；
3、构件的截面尺寸：与截面的惯性矩I成反比。
根据梁挠度变形公式，f=5qLLLL除以(384EJ)，构件的变形与构件跨度L的n次方成正比。
因此，梁的跨度因素影响最大。
梁的变形公式跨度越大，影响越大，截面的惯性矩越大，影响越小，外荷载越大，影响越大。
例如：两个矩形截面梁a和b除了截面不同，其他条件相同。
a的截面宽和高分别为：2和2，面积为4，惯性矩=2×2×2×2/12=16/12；
b的截面宽和高分别为：5和1，面积为5，惯性矩=5×1×1×1/12=5/12；
所以，a的截面积比b的截面积小，可是a的惯性矩比b的惯性矩大，所以根据梁变形公式，a的变形比b的变形小。
基于应变的纯弯曲梁弹塑性分析
０ ０ ５ ） ＝ ３ ３ ８１ ５ Ｐａ ． ０７ 。 ） ５ ２． ２ Ｍ
通 过上 面 的分 析计 算 ， 以下几 点 结论 ： １ 有 （） 在平 截面假 定下 ， 对形 心 轴 和 中性 轴 相重 合 的 截 面 ， 于应 变 的纯 弯 曲梁 弹 塑性 分 析利 用 截面 上 基 应变 分布 为直线 ， 当已知截 面最外层 纤维应 变 ， 可 方便 地等 比例 推 得 截 面 其 它 点 的应 变 。 ２ （ ）用 截
参 考 文 献
一Leabharlann 一２ｏ ｏ ｇ ｏ ｏ×３ ６ ． ５ ６ ０ ４ ０ ９
７ ６Ｏｌ ９ ＯＮ ・ｍ ６ ４０
—
一
一
一
—
７ ． ６６ ＯＫ Ｎ ・
由上面 的计 算 分 析 可 看 出梁 的抵 抗 弯 矩 为 ｌ ７ ｌ．
２ ＫＮ ・ ， 由于 塑 性 应 变 损 失 的 抵 抗 弯 矩 为 而
Ａ 一 ６ ， ＝ １ ． × ２ ０ ＝ ５ ｍｍ 。 ＾ ＝ ２ ５ ＝ ０ ＝ ＝２ ００
那 么截 面抵抗 弯矩 为
Ｍ 一 －— — Ａ， ， ， ｈ
ｏ ２ｏ ４ ６０ ８０ ０ ｏ ００ ０ ０ ｌ ００ｌ ０ ４０ ６０ ００ ００ ０ｌ ０１ ０ｌ ２ ８ ２０
第 ２ 卷 第 ５期 １ ２０ ０ ８年 ｌ ０月
高等 函授学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｅ ｃ ｄ ｃ ｔｏ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎｄ ｎ ｅ Ｅ ｕ ａ ｉｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ
１ ７ ０ ０× （． ０ ｉ 。 ｌ ５ ５× ０［ ０ ０ Ｏ０ ｌ ） ＋ １．
通 过上 面 的分 析计 算 ， 以下几 点 结论 ： １ 有 （） 在平 截面假 定下 ， 对形 心 轴 和 中性 轴 相重 合 的 截 面 ， 于应 变 的纯 弯 曲梁 弹 塑性 分 析利 用 截面 上 基 应变 分布 为直线 ， 当已知截 面最外层 纤维应 变 ， 可 方便 地等 比例 推 得 截 面 其 它 点 的应 变 。 ２ （ ）用 截
参 考 文 献
一Leabharlann 一２ｏ ｏ ｇ ｏ ｏ×３ ６ ． ５ ６ ０ ４ ０ ９
７ ６Ｏｌ ９ ＯＮ ・ｍ ６ ４０
—
一
一
一
—
７ ． ６６ ＯＫ Ｎ ・
由上面 的计 算 分 析 可 看 出梁 的抵 抗 弯 矩 为 ｌ ７ ｌ．
２ ＫＮ ・ ， 由于 塑 性 应 变 损 失 的 抵 抗 弯 矩 为 而
Ａ 一 ６ ， ＝ １ ． × ２ ０ ＝ ５ ｍｍ 。 ＾ ＝ ２ ５ ＝ ０ ＝ ＝２ ００
那 么截 面抵抗 弯矩 为
Ｍ 一 －— — Ａ， ， ， ｈ
ｏ ２ｏ ４ ６０ ８０ ０ ｏ ００ ０ ０ ｌ ００ｌ ０ ４０ ６０ ００ ００ ０ｌ ０１ ０ｌ ２ ８ ２０
第 ２ 卷 第 ５期 １ ２０ ０ ８年 ｌ ０月
高等 函授学 报（ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｉ ｈ ｒＣｏ ｒ ｓ ｏ ｅ ｃ ｄ ｃ ｔｏ （ ｔ ｒ ｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ ｒ ａ ｇ ｅ ｒｅ ｐ ｎｄ ｎ ｅ Ｅ ｕ ａ ｉｎ Ｎａ ｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ
１ ７ ０ ０× （． ０ ｉ 。 ｌ ５ ５× ０［ ０ ０ Ｏ０ ｌ ） ＋ １．
第十七章-弹塑性分析详解
b
s
max s
理想弹塑性模型
P
h
开始屈服
max
M W
M bh2
6
(+) Pl 4
b
s
max s
理想弹塑性模型
M e sW
P
h
(+) Pl 4
b
进入屈服
s
max
M W
M bh2
2e
6
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理想弹塑性模型
M
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•
1 (h 22
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W'
sz
(h2 4
e2 )b s
2 3
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整截面屈服
(+) Pl 4
M e=0
h2 (
4 Mu
e2 )b s
h2 4
b
s
2 3
b
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b
s
s
理想弹塑性模型
Mu 6 1.5 Me 4
P
塑性铰 的形成
塑性铰（plastic hinge)的力学模型
Mu
Mu
与普通铰相比，塑性铰
是个概念或力学模型
s，进入屈服阶段，接着还有强化阶段，最后进入局部变
形阶段，然后破坏。
认为屈服就破坏，这是弹性设计的概念。按照 弹性设计的构件工作时只允许发生弹性变形。 安全性与经济性的平衡：工程师必须考虑的问题 弹塑性设计：充分利用材料的塑性变形，化有害 为有利。
塑性材料应力应变关系
column beam
joint
N2
P cos2 1 2 cos3
P
N3 1 2 cos3
第九章 塑性力学简单实例
• 圆杆的位移,应变和应力 采用圆柱坐标,位移分量 a 为: ur 0 zra z u zr r uz 0 o x 其中 为单位长度扭角. 应变 z r , 其它为零. 应力除 z (它的大小与 z 有关,是 r 的 函数)不等于零外, 其它为零. 注意: 这个问题满足简单加载条件. 另外, 应力满足平衡条件, 也满足圆杆侧 面的边界条件. 根据Saint-Venant原理杆 两端的边界条件可以只在合力方面得到 满足.
5) 残余应力 在 T 作用下, 按弹性计算得 到 2Tr z R4
3)弹性极限扭角( rs R
e
s
):
RG 3
弹性极限扭矩为
Te
由卸载前的应力减去上 式的剪应力得到残余应 力.见前页图.
R 3 s
2 3
4-5 非圆截面杆的塑性极限扭矩 在圆杆的弹塑性扭转中, 截面上的最大剪应力产生在距圆心最远 处的外边界上, 且在扭转过程中截面无翘曲. 对于非圆截面杆件, 前述两个结论不适用. 此时杆件截面将发生翘曲, 及扭转中横截 面不再保持平面, 但刚性转动的假定仍然成立, 而因此得到的最 大剪应力产生在距形心最近处. 先讨论非圆截面杆的弹性扭转. y zr 1.弹性分析
b y
M
M
x o
h/2
z h/2
y
y
• 基本关系式 按照梁的初等弯曲理论: 平截面和小变形, 并且材料不 可压缩,即 1/ 2 ,它们的应力和应变表示为
截面上的应力分布情况( 距离):
是梁的中性面到弹塑性分界面的
梁截面上要 满足的条件
1. 对于理想弹塑性材料
• 截面上的弯矩是
是弹性区对中性轴的惯性矩,
弹塑性力学第五章分析解析
平衡方程
1
几何方程
2 1 3
2018/7/31
变形协调方程
22
第五章 简单弹塑性力学问题
二、考虑加载路径对桁架变形的影响——比例加载
P 3 2 1 A 2 2 P 2 2 A 2 2 P 1 2 3 A 2 2
塑性极限荷载
得
由于此时三根杆都已屈服，变形已不再受到任何约束，桁架进入 无限制塑性变形阶段 ，结构丧失进一步承载的能力，所以，又表示桁 架的 极限承载能力 。从上式可以发现， Ps 与材料的弹性模量无关。这 表明，如果采用理想刚塑性模型，则求出的 Ps 仍是一样的。这就为结 构的极限分析带来了极大的方便。
2018/7/31 5
第五章 简单弹塑性力学问题
【解】1、弹性阶段－弹性解和弹性极限荷载（ 0＜P≤ Pe ）
N1 N3
N1 cos N 2 N3 cos P
平衡关系
N3 N1 N2 1 , 2 , 3 A A A
1 3 2 1 cos 2 P / A
第五章 简单弹塑性力学问题
福州大学土木工程学院 卓卫东 教授
第五章 简单弹塑性力学问题
引
言
简单桁架问题 梁的弹塑性弯曲问题 平面问题
2018/7/31
2
第五章 简单弹塑性力学问题
引 言
从本章开始，我们将应用前几章的基础理论和一般性原 理，解决工程实践中遇到的弹塑性力学问题。已经知道，经 过抽象化处理后，一个实际的弹塑性力学问题在数学上总是 归结为一个偏微分方程组的边值问题。因此，需要在严格的 边界条件下求解复杂的偏微分方程组。由于往往难以克服数 学上的困难，所以在一般情况下，很难求得问题的解析解或 精确解，而只有一些简单的问题，才存在解析解。 本章将通过几个简单的问题，说明弹塑性力学问题的理 论求解方法。
弹塑性力学之结构的塑性极限分析
25
塑性极限载荷
4"6
确定塑性区位置
截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构
・特点:
-塑性较的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩; 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。
<]
ax(x9z\ay=az= rxy=ryz= rzx=0
♦:・小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
二.弹性阶段
—
P1
6M
♦ Mises屈服条件:
xmax
bh2
弹性极限弯矩
二
2bh2
弹性极限载荷
三.弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
>Mp塑性区扩展
第十章结构的塑性极限分析
矗塑性极限分析定理和方法
❖梁的极限分析❖圆板的极限分析
❖梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 載荷
§10-1梁的弹塑性弯曲
1.基本假定
•:•平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
z5=— P
・纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
heh/2
陆=2町(yxzdz+ 2町aszdz
0he
陆
0叽he
“Me
Ms=—-
s2
h2
弹塑性区交界线:
h/2
(Jszdz
陆=
£
弹塑性区交界线：饥=±丄3
h~2\
<]
►P(lΒιβλιοθήκη 2x)2ALPl/4
四.全塑性阶段
X—6
x = 0
塑性极限弯矩
n
A
塑性极限载荷
4"6
确定塑性区位置
截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构
・特点:
-塑性较的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩; 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。
<]
ax(x9z\ay=az= rxy=ryz= rzx=0
♦:・小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
二.弹性阶段
—
P1
6M
♦ Mises屈服条件:
xmax
bh2
弹性极限弯矩
二
2bh2
弹性极限载荷
三.弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
>Mp塑性区扩展
第十章结构的塑性极限分析
矗塑性极限分析定理和方法
❖梁的极限分析❖圆板的极限分析
❖梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 載荷
§10-1梁的弹塑性弯曲
1.基本假定
•:•平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
z5=— P
・纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
heh/2
陆=2町(yxzdz+ 2町aszdz
0he
陆
0叽he
“Me
Ms=—-
s2
h2
弹塑性区交界线:
h/2
(Jszdz
陆=
£
弹塑性区交界线：饥=±丄3
h~2\
<]
►P(lΒιβλιοθήκη 2x)2ALPl/4
四.全塑性阶段
X—6
x = 0
塑性极限弯矩
n
A
浅析混凝土梁弹塑性阶段弯曲性能
浅析混凝土梁弹塑性阶段弯曲性能摘要：本文主要针对混凝土结构梁进行制作及试验模拟，通过对混凝土结构梁进行弯曲试验，检验梁的弯曲性能。
通过试验数据及混凝土梁的变形产生的裂缝，分析其弹塑性阶段变化，同时对混凝土梁各类裂缝进行分析控制，以便更好地运用到实际工程。
关键词：混凝土梁；试验；裂缝；弯曲性能；弹塑性阶段1 研究背景随着我国城市化迅猛发展，建筑业成为我国各行业的领跑者。
其中，混凝土结构建筑在我国乃至世界范围内都广泛使用，研究混凝土结构性能对于混凝土结构设计及现场施工愈发重要，本文主要针对混凝土结构梁的试验、受力性能分析及应用展开分析。
2 试验概况2.1 材料及力学性能本次试验地点位于某项目实验室。
试验设计混凝土梁为1200mm（长）×200mm（高）×100mm（宽）。
试验梁配合比为水泥：砂：水：纤维=0.43：0.2：0.35：0.02（体积比）。
所用原材料为刚拆封水泥（理论质量37.15kg，实际质量37.2kg），细沙（理论质量17.388kg，实际质量16.5kg），自来水（理论质量12.24kg，实际质量12.225kg）和纤维（理论质量0.9kg，实际质量0.9kg）。
理论质量与实际质量略有偏差，但误差在5%以内，可忽略不计。
混凝土强度取于试验梁同条件制作并养护的标准立方体试块的抗压强度。
2.2 试件制作本试件采用纤维（PVA）的素混凝土梁，总体积0.024立方米，各参数如表所示。
2.3 梁的制作步骤（1）在试模内表面涂一薄层矿物油或其他不与混凝土反应的脱模剂，并且在试模底部放置一纸片。
（2）在实验室搅拌混凝土时，其量应以质量计量单位，水泥渗透料，水泥和外加剂为±0.5%，骨料为±1%。
（3）取样，将试验搅拌的混凝土尽快一次装入试模，在装料时，沿着试模四周插捣。
（4）插捣混凝土拌合物应分两层装入模内，每层的装料厚度大致相等。
插捣应按螺旋方向从边缘向中心均匀进行。
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4 M e 2bh Pe ss l 3l 弹性极限载荷
s
ss
ss
s
4
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
ss
z
M s 2b s x zdz 2b s s zdz
0 he
sx
he h / 2
zs s M s 2b zdz 2b s s zdz he 0 he
P
o
x
Me he2 Ms 34 2 2 h he 1 2 P (l x ) 3 h 2 Pe l
x l
z
Ms M p
M Pp l Me Pe l
Pe 2 Pp 3
Mp ss
Me
h/ 2
l 3
z ss
11
x
bh2 MP ss 塑性极限弯矩 4 3Me Mp 2 4 M P bh2 PP s s 塑性极限载荷 l l
ss
h/ 2
PP M 2
Pe l l 2 Me 4
l 6 确定塑性区位置
z ss
8
• 塑性铰：在全塑性阶段，跨中截面的 上下两塑性区相连，使跨中左右两截
h/ 2
he
z
ss
P x l/2 z
bs s Ms 3h2 4he2 12
l/2
o
bh2 Me ss 6
Me Ms 2
he2 3 4 h2
5
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
塑性区扩展
ss
z
Me Ms 2
h 3 4 h
P o l/2 z l/2
x
x
P l Me 2 2
he h 2
x
x
h he 2
x0
h Pl he 3 2 2Me
Pl/4
Me
7
四．全塑性阶段
x0
P
x
l 6
he 0
bs s 3h2 4he2 12
Ms
o l/2 z l/2
一．基本假定 平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
d
x
z d dx
dx
z d d
d
d ( + z )d
x z
dx
b
P x
h
z
y
l/2 l/2
x
z
1
一．基本假定 纵向纤维互不挤压：不计挤压应力，横截面上只有正应力。 P x l/2 l/2 h z
2 e 2
sx
he h / 2
z
ss
P x
P l M x x 2 2
o x l/2 z l/2
令： M S M x
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
6
弹塑性区交界线：
he 1 P (l 2 x ) 3 h 2 2Me
P o l/2 z
x
l 6
x l/2
面产生像结构（机械）铰链一样的相
对转动－－塑性铰。 • 特点： – 塑性铰的存在是由于该截面上的 弯矩等于塑性极限弯矩；故不能
P
x
传递大于塑性极限弯矩的弯矩。
– 塑性铰是单向铰，梁截面的转动 方向与塑性极限弯矩的方向一致。 否则将使塑性铰消失。 l/2 z
9
l/2
例题：悬臂梁在自由端受集中力，求弹性极限载荷、塑 性极限载荷、弹塑性分界线。 P o l z x
h z
解：
b y
Mmax Pl
P M max l
bh2 Me ss 6 bh2 Pe ss 6l bh2 Mp ss 4 bh2 Pp ss 4l 10
M max
Pe P PP
b y
s x ( x, z ) s y s z xy yz zx 0
sx
sx
2
一．基本假定 小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬间之前，挠度与 横截面尺寸相比为一微小量，可用变形前梁的尺寸进行 计算。 P x l/2 l/2 h b y
bh3 I 12
z
Mmax=Pl/4
d 2w M ( x) 2 dx EI 1
3
二．弹性阶段
Mz s x E x I 6M s x max 2 bh Ez bh I 12
3
P x
l/2
b h y z
l/2
s x max s s Mises屈服条件：
bh2 Me ss 6
2ss弹性极限来自矩