弯矩作用下热塑性复合材料悬臂梁弹塑性分析
功能梯度双材料复合悬臂梁受集中剪力作用的弹性力学解
ｅ 虹 一 炬 差炬 扫 一 ， 一 十 篝＋
ｅ虹 一
（ ２ ）
上下层 间的界面条件为
Ｏ ＇ １ ＝ ＝ ：０ ＂ ２ ｙ ， ｒ １ ＝ ＝ ＝ ， １＝ ＝ ＝Ｕ ２ ， ｗｌ： ＝ ＝
沿梁厚 度 方 向指 数 变化功 能梯度 简支 梁 的二维 弹性
１ 基本方程与模型
如图 １ 所 示 的功 能梯 度双 材料 层 合悬 臂 梁 ， 长
为Ｌ ， 厚度为 ２ ， 在 自由端受集中剪力 Ｐ的作用． 该 层合梁上下层均为功能梯度材料 ， 每层厚度均为 ｈ ，
各 自沿厚 度方 向 以功能 函数 Ｆ １ （ ）和 Ｆ ２ （ ）变化 ．
功 能 梯 度 双材 料 复合 悬臂 梁 受集 中剪 力 作 用 的弹 性 力 学解
杨 青， 郑 百林 ， 张 锴， 朱建新
２ ０ ０ ０ ９ ２ ）
（ 同济大学 航空航天与力学学院 ， 上海
摘
要： 采用应力函数的方法， 求解 了功能梯度双材料层合悬臂梁在端部受集 中剪 力作 用下的弹性解． 该梁 中含有
／
解， 并纠正 了 Ｓ ａ ｎ ｋ ａ ｒ ［ ］ 求解 中的一些错误． 仲政［ ７ ］ 等将二维梁看作平 面应力 问题 ， 利用应力函数半逆 解法 ， 求得了模量以任意梯度函数变化时悬臂梁 问
题 的解 析解． Ｖｅ ｎ ｋ ａ ｔ ａ ｒ ａ ｍａ ｎ Ｅ ］ 求 解 了功 能 梯 度 夹 芯 梁 的应 力 分布 ， 其 中表层 结构 利用 梁 理论 进行 了假设． Ｈｓ ｕ ｅ ｈ ［ ９ ］ 等分 析 了梯 度 夹 芯 梁 的 热 应 力 分 布． Ａｎ － ｄ ｅ ｒ ｓ ｏ ｎ － ｒ 。 ］ 分析 了三维 板结 构在 横 向力 作 用下 的弹性
ansys实例5悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算
悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算摘要：本文介绍了悬臂梁在循环荷载作用下基于Ansys有限元软件进行弹塑性分析的过程，分析了材料为多线性弹性材料的悬臂梁在循环荷载作用下观测点P的水平方向的应力应变历程，并给出了相应的结果。
关键词：有限元，弹塑性，悬臂梁，应力应变Elastoplastic Calculation of Cantilever Beam UnderCyclic LoadingAbstract:This article describes the process of a cantilever beam under cyclic loading Ansys finite element software elastoplastic analysis, and analyzes history of the horizontal direction of the observation point P of the cantilever whose material is multi-linear elastic material under cyclic loading stress strain. And gives the corresponding results.Key words: finite element,elastoplastic, cantilever, stress-strain.1.前言一个左端固定的悬臂梁见图 1-1(a)，厚度为 1cm,在它的右段中点上施加有一个集中力，该集中力为循环载荷见图 1-1(b)，悬臂梁的材料为多线性弹性材料，材料的弹性模量为 20000 N/cm2，实验获得的该材料的非线性应力-应变行为见表1-1，分析该悬臂梁在循环载荷作用下的观测点 P 的水平方向上的应力应变历程。
图1-1 一个悬臂梁示意图以及加载历程图表1-1 材料的应力-应变行为实验数据为考察悬臂梁根部P点的应力-应变历程，采用2D的计算模型，使用平面单元PLANE42，材料采用多线性弹塑性模型(mkin)，进行循环加载过程的分析。
梁的弹塑性弯曲
4 M e 2bh Pe ss l 3l 弹性极限载荷
s
ss
ss
s
4
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
he
塑性区扩展
h/ 2
ss
z
M s 2b s x zdz 2b s s zdz
0 he
sx
he h / 2
zs s M s 2b zdz 2b s s zdz he 0 he
P
o
x
Me he2 Ms 34 2 2 h he 1 2 P (l x ) 3 h 2 Pe l
x l
z
Ms M p
M Pp l Me Pe l
Pe 2 Pp 3
Mp ss
Me
h/ 2
l 3
z ss
11
x
bh2 MP ss 塑性极限弯矩 4 3Me Mp 2 4 M P bh2 PP s s 塑性极限载荷 l l
ss
h/ 2
PP M 2
Pe l l 2 Me 4
l 6 确定塑性区位置
z ss
8
• 塑性铰：在全塑性阶段，跨中截面的 上下两塑性区相连，使跨中左右两截
h/ 2
he
z
ss
P x l/2 z
bs s Ms 3h2 4he2 12
l/2
o
bh2 Me ss 6
Me Ms 2
he2 3 4 h2
5
三．弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
M s Me
塑性区扩展
ss
第四章 结构弹塑性分析
(4.26)
(4.27)
当截面全部成为塑性区时，变形可无限制地流动 → 塑性铰，结构变为机构（破坏） 。此时 设极限荷载为 q0 ，跨中极限弯矩（全部塑性 ξ = 0 ）为：
M max
所以：
1 2 bh 2 = q0 l = σs 2 4
(4.28)
bσ q0 = s 2
⎛⎞ ⎜ ⎟ ⎝l⎠
2
(4.29)
李遇春编
如图 4.5，X 方向上配筋所产生的抵抗（分布）弯矩为 M ux （这个弯矩可根据钢筋混凝土 结构理论确定） ，在长度 L sin θ 上的总抵抗弯矩为 M ux L sin θ ，这个弯矩在屈服线上的分量为：
M u1 = ( M x L sin θ ) ⋅ sin θ = M x L sin 2 θ
图462屈服线计算理论i屈服线上的抵抗弯矩图47如图47x方向上配筋所产生的抵抗分布弯矩为ux这个弯矩可根据钢筋混凝土结构理论确定在长度sin上的总抵抗弯矩为uxsinsin443同理y方向上的配筋抵抗弯矩在屈服线上的分量为
同济大学水利工程系
李遇春编
第四章 结构弹塑性分析
1、弹塑性力学边值问题的提法 （1）全量理论边值问题
（ⅳ）边界条件： 在应力边界 sσ 上：
dσ ij l j = dPi
(4.13) (4.14) (4.15)
(4.16)
在位移边界 su 上： dui = dui
(4.17)
同济大学水利工程系
李遇春编
2、 梁的弹塑性弯曲
图 4.2 如图 4.2 的简支梁，梁的变形满足平截面假设。根据材料力学（弹性力学） ，梁内的应力 状态为： σ x = σ (≠ 0) ， σ y ≈ 0 (与其它量比，可忽略不计） ， τ xy = τ
潜在类别分析原理及实例分析
潜在类别分析原理及实例分析潜在类别分析是一种广泛应用于诸多领域的数据分析方法，它通过探究数据中隐藏的类别结构，帮助研究者更好地理解和解释数据。
在本文中，我们将深入探讨潜在类别分析的原理，并通过实际例子来展示其应用和重要性。
潜在类别分析是一种基于概率模型的数据分析方法，它通过建立一系列的概率统计模型来揭示数据中隐藏的类别结构。
该方法将数据中的观察值视为随机样本，每个观察值所属的类别由其特征决定的概率分布决定。
潜在类别分析利用统计推理和最大似然估计等手段，估计出各个类别的概率分布和似然函数，从而将数据中的观察值划分为不同的潜在类别。
以一个电商平台的数据为例，我们可以通过潜在类别分析来探究消费者购物行为的异同。
假设我们有两个特征：消费者的购物频率和购物金额。
我们希望通过这两个特征将消费者划分为不同的类别。
我们可以运用因子分析或聚类分析等方法对数据进行探索性分析，以了解数据的潜在结构。
然后，我们可以通过潜在类别分析建立概率模型，并使用迭代方法来估计模型参数并进行类别划分。
通过潜在类别分析，我们可能会发现两个潜在类别：一类是高频低值消费者，他们经常购物但每次购物的金额相对较低；另一类是低频高值消费者，他们购物的频率较低，但每次购物的金额较高。
这两个类别反映了消费者不同的购物行为和消费习惯。
数据收集和预处理：收集包含多个特征的数据，并进行数据清洗、缺失值处理等预处理工作。
探索性分析：通过因子分析、聚类分析等手段了解数据的潜在结构，为后续的潜在类别分析提供参考。
模型选择与参数估计：选择合适的概率模型（如高斯混合模型、朴素贝叶斯分类器等），并利用迭代方法估计模型参数，这包括各个类别的概率分布和似然函数。
类别划分：根据估计的模型参数，将数据中的观察值划分为不同的潜在类别。
结果解释与分析：对划分的类别进行解释和分析，探究不同类别之间的异同以及类别的优缺点。
在上述电商平台的例子中，我们通过潜在类别分析将消费者划分为高频低值和低频高值两个类别。
弹塑性力学之结构的塑性极限分析
塑性极限载荷
4"6
确定塑性区位置
截面的上下两塑性区相连，使 跨中左右两截面产生像结构
・特点:
-塑性较的存在是由于该截面 上的弯矩等于塑性极限弯矩; 故不能传递大于塑性极限弯 矩的弯矩。
<]
ax(x9z\ay=az= rxy=ryz= rzx=0
♦:・小挠度假设：在梁达到塑性极限状态瞬 间之前，挠度与横截面尺寸相比为一微 小量，可用变形前梁的尺寸进行计算。
二.弹性阶段
—
P1
6M
♦ Mises屈服条件:
xmax
bh2
弹性极限弯矩
二
2bh2
弹性极限载荷
三.弹塑性阶段（约束塑性变形阶段）
>Mp塑性区扩展
第十章结构的塑性极限分析
矗塑性极限分析定理和方法
❖梁的极限分析❖圆板的极限分析
❖梁模型法计算圆板和环板的塑性极限 載荷
§10-1梁的弹塑性弯曲
1.基本假定
•:•平截面假设：在变形过程中，变形 前为平面的横截面，变形后仍保持 为平面，且与变形后梁的轴线垂直。
z5=— P
・纵向纤维互不挤压：不计挤压应力， 横截面上只有正应力。
heh/2
陆=2町(yxzdz+ 2町aszdz
0he
陆
0叽he
“Me
Ms=—-
s2
h2
弹塑性区交界线:
h/2
(Jszdz
陆=
£
弹塑性区交界线：饥=±丄3
h~2\
<]
►P(lΒιβλιοθήκη 2x)2ALPl/4
四.全塑性阶段
X—6
x = 0
塑性极限弯矩
n
A
有限元作业：悬臂梁
例一：悬臂梁在循环加载作用下的弹塑性计算(GUI)一、问题描述：一个左端固定的悬臂梁见图1-1(a)，厚度为1cm,在它的右段中点上施加有一个集中力，该集中力为循环载荷见图1-1(b)，悬臂梁的材料为多线性弹性材料，材料的弹性模量为20000，实验获得的该材料的非线性应力-应变行为见表1-2，分析该悬臂梁在循环载荷作用下的观测点P的水平方向上的应力应变历程。
(a)悬臂梁以及加载位置(cm)(b)所受的循环载荷(N)图1-1一个悬臂梁以及加载历程表1-2 〉材料的应力-应变行为实验数据二、问题分析解答：为考察悬臂梁根部P点的应力-应变历程，采用2D的计算模型，使用平面单元PLANE42，材料采用多线性弹塑性模型(mkin)，进行循环加载过程的分析。
建模的要点如下：①设置几何以及材料参数，②输入材料的多线性弹塑性模型(包括：弹性模量、屈服极限)，见图1-3；③通过设置time来给出加载历程，每次加载都输入当时的状态载荷值，不是增量加载，每次加载后，必须进行计算，再进入下一步的计算；④在时间后处理中，通过设置几何位置来查询对应的P观测点的节点编号，并设置观测点的应力显示变量(2号变量)以及塑性应变为显示变量(3号变量)，最后将3号变量设置为横轴，画出2号变量随3号变量的变化曲线见图1-4，可以看出，该材料具有非常明显的Bauschinger效应(即正向屈服与反向屈服之和是单拉实验屈服极限的2倍)。
给出的基于图形界面(GUI)的交互式操作(step by step)过程如下：(1) 进入ANSYS（设定工作目录和工作文件）程序→ANSYS →ANSYS Interactive →Working directory（设置工作目录）→Initial jobname（设置工作文件名）: Beams →Run →OK(2) 设置计算类型ANSYS Main Menu：Preferences… →Structural →OK(3) 设定不显示时间ANSYS Utility Menu：PlotCtrls→Window Controls →Window Options… →DATE：No Date or Time →OK(4) 定义单元类型ANSYS Main Menu：Preprocessor →Element Type →Add/Edit/Delete... →Add…→Solid: Quad 4node 42 →OK（返回到Element Types窗口）→Close(5) 定义材料参数ANSYS Main Menu: Preprocessor →Material Props →Material Models →Structural →Linear →Elastic →Isotropic →输入EX: 2E4, PRXY: 0.3 (定义弹性模量及泊松比) →OK →返回Define Material ModelBehavior 窗口Structural →NonLinear→Inelastic →Rate Independent →Kinematic Hardening Plasticity →Mises Plasticity →Multilinear (Fixed table) →在Strain一行中对应1至4号点输入0.004、0.015、0.03、0.08 →在Curve1中对应1至4号点输入80、160、210、280 →点击右下角Graph→OK →Close（关闭材料定义窗口），见图1-3，观察窗口中的多线性弹塑性模型(6) 构造模型生成关键点ANSYS Main Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Keypoints→In Active CS →Keypoints number：1，X，Y，Z Location in active CS：0，0，0 →Apply →同样依次输入其他三个关键点（100，0，0）、（100，10，0）与（0，10，0）→OKANSYS Main Menu：Preprocessor →Modeling →Create →Areas →Arbitrary →Through KPs →用鼠标依次点击1、2、3、4关键点，生成面单元，见图1-5构造模型图(7) 网格划分ANSYS Main Menu：Preprocessor →Meshing →Mesher Opts →Mesher Type : Mapped →OK →2D Shape Key : Quad →OKANSYS Main Menu：Preprocessor →Meshing →size contrls→ManualSize→Lines →Picked Lines →选择上下两条横边线，Ok →NDIV 设置为20 →Apply →选择两条竖边线→Ok →NDIV设置为8 →OK ANSYS Main Menu：Preprocessor →Meshing →Mesh →Areas →Target Surf →点击生成面几何体的位置，显示矩形面被选中→OK，见图1-6网格划分图(8) 模型加约束ANSYS Main Menu: Solution →Define Loads →Apply →Structural →Displacement On Lines →选取左侧边线（L4）→OK →select Lab2: All DOF(施加全部约束) →OK，见图1-7模型加约束图(9)求解设置ANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Analysis Options 为Large Displacement Satic，Number of substeps: 8, Max no. of substeps :25Min no. Of substeps:2, Frequency 设置为Write N number of substeps Where N = 10 →OK(10)按照时间步施加循环载荷ANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep:1 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→OK →Lab：Fy，Value：-40 →OK，结果见图1-8ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-9ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 2 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→OK→Lab：Fy，Value：0 →OK，结果见图1-10ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 3 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→OK →Lab：Fy，Value：40 →OK，结果见图1-11ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-12ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 4 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→Lab：Fy，Value：0 →OK，结果见图1-13ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-14ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 5 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→Lab：Fy，Value：-40 →OK，结果见图1-15ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-16ANSYS Utility Menu : Plot →ReplotANSYS Main Menu : Solution →Analysis Type →Sol’n Controls →在Basic标签下设置Time at end of loadstep: 6 →OKANSYS Main Menu : Solution →Define Loads →Apply →Structural →Force/Moment →On Nodes →选择右侧边缘中点（26号节点）→Lab：Fy，Value：0 →OK，结果见图1-17ANSYS Main Menu：Solution →Solve →Current LS →OK，结果见图1-18(11) 计算结果ANSYS Main Menu：General Postproc→Read Results →Last SetANSYS Main Menu：General Postproc→Plot Results →Deformed Shape →Def + Undeformed→OK，观察最后变形情况，见图1-19ANSYS Main Menu：General Postproc→Plot Results →Contour Plot →Element solu→PlasticStrain →Equivalent plastic strain →OK，观察累计的等效塑性应变，见图1-20ANSYS Main Menu：TimeHistPostpro→关闭弹出窗口→Define Variables →Add… →Element Results →OK 在方框中输入2 →OK 在方框中输入4 →OK →在Item，Comp Data item 中选择Stress, X-direction SX →OK返回Define Time-History Variables →Add… →Element Results →OK 在方框中输入2 →OK 在方框中输入4 →OK →在Item，Comp Data item 中选择Strain-plastic, X-dir’n EPPL X →OK →Close ANSYS Main Menu：TimeHistPostpro→关闭弹出窗口→Settings →Graph →Single Variable No. 输入3 →OKANSYS Main Menu：TimeHistPostpro→关闭弹出窗口→Graph Variables →Nvar1中输入2 →OK观察观测点P上的应力应变历程(SX)，见图1-4ANSYS Utility Menu：File →Exit →Save Everything →OK三、ANSYS分析结果：图1-3 多线性弹塑性模型图1-4 观测点P上的应力应变历程(SX)图1-5 构造模型图图1-6 网格划分图图1-7 模型加约束图图1-8图1-9 图1-10图1-11 图1-12图1-13 图1-14图1-15 图1-16图1-17图1-18图1-19 图1-20。
塑性力学 第二章梁的弹塑性弯曲及
当载荷P先加到P 然后又卸载到零时， 当载荷P先加到P，然后又卸载到零时，自由端 的残余挠度？ 的残余挠度？
13 2 δ = L Ke 54
0 s
§2.3 强化材料矩形截面梁的弹塑性纯弯曲
一般强化材料: 一般强化材料:
σ = Eε[1−ω(ε)],
在纯弯曲条件下，单调加载时，弯矩表达式为： 在纯弯曲条件下，单调加载时，弯矩表达式为：
二、弹性阶段
将
σ = Eε = E(Ky +ε0) 由 N =0 得 ε0 = 0
(5) 代入（3）、（4） ）、（4
(6)
h M = 2bEK∫ 0/ 2 y2dy = EJK
1 3 J = bh ——截面的惯性矩 12 说明弯矩和曲率之间有线性关系
代入式（ 代入式（5）
σ = M y,
J
(7)
说明应力分布与y 说明应力分布与y成比例
h y= 2
由
M* M* yh = σs J 2 Me
和
M* 1< ≤ .5 1 Me 得 M* σ 0 h =σs (1) <0 Me 2
外层的正应力改变了符号但未出现 反向屈服 3.当再次施加的正向弯矩值不 3.当再次施加的正向弯矩值不 超过M* M*时 梁将呈弹性响应。 超过M*时，梁将呈弹性响应。
+
−σ s
M* σs Me +
+
-
+
-
=
-
σs
M* − σs Me 图 4
4.如卸载到零以后再施加反向弯矩， 4.如卸载到零以后再施加反向弯矩，则开始时的 如卸载到零以后再施加反向弯矩 响应仍是弹性的， 响应仍是弹性的，当△M满足 ∆M σs +( )σs = -σs 或 ∆M = -2Me Me 外层纤维开始反向屈服, 外层纤维开始反向屈服,即弯矩的变化范围不大 Me时 结构将是安定的。 于2Me时，结构将是安定的。
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弯矩作用下热塑性复合材料悬臂梁弹塑性分析
雷勇军;刘明伟;张大鹏;高艺航
【期刊名称】《国防科技大学学报》
【年(卷),期】2022(44)2
【摘要】基于Timoshenko梁理论和Tsai-Hill屈服准则,建立了自由端弯曲载荷作用下悬臂梁弹塑性问题分析的数学模型,并得到了梁应力和位移的精确解。
通过与相关文献和有限元计算结果进行对比,验证了该方法的正确性,并在此基础上,进一步分析了纤维方向角、弯矩、跨高比以及纤维体积分数对梁弹塑性应力和位移的影响规律。
相关成果可为热塑性复合材料的设计和工程应用提供参考。
【总页数】10页(P24-33)
【作者】雷勇军;刘明伟;张大鹏;高艺航
【作者单位】国防科技大学空天科学学院;空天任务智能规划与仿真湖南省重点实验室;中国运载火箭技术研究院北京宇航系统工程研究所
【正文语种】中文
【中图分类】O344.3
【相关文献】
1.悬臂梁在冲击荷载作用下的弹塑性响应分析
2.弯矩作用下热塑性复合材料平面曲梁弹塑性特性分析
3.悬臂梁在倾斜载荷作用下的弹塑性大挠度分析
4.开孔热塑性复合材料的三维弹塑性面内应力分析
5.热塑性复合材料开孔层合板弹塑性及机理分析
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