第二章 数学模型080306

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2.1 控制系统的运动微分方程
元件或系统的微分方程的阶次，等于元件或系统中 所包含的独立储能元（惯性质量、弹性要素、电感、 电容、液感、液容等）的个数。 系统的动态特性是系统的固有特性，取决于系统结 构及其参数
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2.1 控制系统的运动微分方程
线性微分方程描述的系统称为线性系统，如果方程 系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系 数不是常数，而是时间t的函数，则称为线性时变系 统。 线性系统的特点是具有线性性质，服从叠加原理。 即多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各 个输入单独作用时产生的响应之和。
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2.1 控制系统的运动微分方程
2.1.1建立系统数学模型的步骤：
选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模 型时要求） 依次列出各元部件的动态微分方程 消去中间变量 标准化：输入放于等式右侧，输出位于左侧，导数项降幂 排列
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2.1 控制系统的运动微分方程
2.1.2 控制系统微分方程举例 数学模型： xo(t)=F (fi (t)) 1、机械系统（牛顿定律；质量、阻尼、弹性三要素） 为消除重力影响，以系统在静止平衡时的点为零点，即平 衡工作点。 输入量→外作用力fi(t), 输出量→质量块的位移xo(t)。
∞
则
F1 ( s ) = L [sin( wt )] = ∫ sin( wt )e − st dt 0 jwt − jwt e e − 由欧拉公式，有 sin( wt ) = 2j ∞ ∞ 1 ∞ jwt −st 1 ∞ −(s−jw)t −jwt −st −(s+jw)t ( s ) = ( e e dt − e e dt ) 所以 F = ( e dt − e dt) 1 ∫ ∫ ∫ ∫ 0 0 0 0 2j 2j ∞ ∞ 1 1 −(s−jw)t 1 −(s+jw)t = (− − e e ) 2j s − jw s + jw 0 0
0
1 −st 1(t )e dt = − e s
− st
∞
0
t
0
当Re(s)>0时，
1 L [1(t )] = − e −st s
∞
− st lim e →0 t →∞
0
1 1 = [0 − (− )] = s s
(2.11)
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2.2.2 几种典型的拉氏变换
2、指数函数f(t)=e-at的拉氏变换
1/ ε
f(t)
1
ε
1
ε
×ε = 1
0
ε
t
其数学表达式为：
⎧0 (t < 0和t > ε ) ⎪ δ (t ) = ⎨ 1 (0 ≤ t ≤ ε ) ⎪lim ε →0 ε ⎩
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2.2.2 几种典型的拉氏变换
4、单位脉冲函数δ (t)的拉氏变换
f(t)
其拉氏变换为
1
ε
∞
Δ( s ) = L [δ (t )] = ∫ lim e dt = lim ε →0 ε →0
2.2.3 拉氏变换的主要定理
4、积分定理
若L [f(t)]=F(s)，则
1 1 ( −1) L [ ∫ f (t )dt ] = F ( s ) + f (0) s s
1 1 1 L [ ∫ L∫ f (t )dt ] = n F ( s ) + n f ( −1) (0) + L + f −( n−1) (0) { s s s
uo(t)
di (t ) 1 + ∫ i (t ) dt dt C
ui(t)
i(t)
C
1 i (t ) dt ∫ C
消去中间变量i(t)，整理得
d d2 LC 2 u o (t ) + RC u o (t ) + u o (t ) = u i (t ) dt dt
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2.1 控制系统的运动微分方程
3、流体系统
（2）叠加性 设L [f1(t)]=F1(s)， L [f2(t)]=F2(s)，则 L [f1(t)+ f2(t)]=F1(s)+ F2(s) 由式(2.18)、式(2.19)得 L [af1(t)+ bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) (2.20) (2.19)
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2.2.3 拉氏变换的主要定理
1 e s = lim (1 − εs + − L) = 1 ε →0 εs 2!
2.15
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2.2.2 几种典型的拉氏变换
5、单位速度函数的拉氏变换
f(t) 1
又称单位斜坡函数，其数学表达式为：
⎧0 f (t ) = ⎨ ⎩t
其拉氏变换为
(t < 0 ) (t ≥ 0 )
0
∞
1
t
F ( s ) = L [t ] = ∫ te − st dt
控制工程基础
第二章 数学模型
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第二章 数学模型
2.1 控制系统的运动微分方程 2.2 拉氏变换和反变换 2.3 传递函数 2.4 系统方框图和信号流图 2.5 非线性数学模型的线性化 2.6 控制系统传递函数推导举例
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第二章 数学模型
定义：描述系统输入、输出量以及内部各变量之间 关系的数学表达式，揭示系统结构及参数与其性能 之间的内在关系。 形式
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2.2.3 拉氏变换的主要定理
3、复微分定理
若L [f(t)]=F(s)，则除了在F(s)的极点以外有
d F ( s ) = −L [tf (t )] ds 一般地，有
dn n n F ( s ) = ( − 1 ) L [ t f (t )] n ds
(n = 1,2,3,L)
(2.23)
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(t < 0 ) ⎧0 ⎪ f (t ) = ⎨ 1 2 (t ≥ 0 ) t ⎪ ⎩2
其拉氏变换为
f(t)
0
t
1 2 1 F (s) = L [ t ] = 3 2 s
(Re[ s ] > 0)
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2.2.3 拉氏变换的主要定理
1、叠加定理
（1）齐次性 设L [f(t)]=F(s)，则L [af(t)]=aF(s) (2.18)
F(s)是函数 f(t)的氏变换，是一个复变函数，通常 称F(s)为f(t)的象函数，而称f(t)为F(t)的原函数；L 为拉氏变换符号。
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2.2.2 几种典型的拉氏变换
1、单位阶跃函数1(t)的拉氏变换
f(t)
⎧0 1(t ) ⎨ ⎩1
def
(t < 0 ) (t ≥ 0 )
∞
1
F ( s ) = L [1(t )] = ∫
时间域：微分方程或一阶微分方程组 复数域：传递函数 频率域：频率特性形式
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第二章 数学模型
要求：
精确性 简洁性：元件或系统是复杂的，必须进行简化或理想化。
建模方法
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的定律，理论 推导出变量间的数学关系式； 实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。
0
利用分部积分法得
当Re(s)>0时，lim e − st
t →∞
t F ( s ) = − e −st s
∞
→0
0
1 − ∫ (− e −st )dt 0 s
∞
1 ∞ −st 1 F ( s ) = 0 + ∫ e dt = 2 s 0 s
2.16
21
2.2.2 几种典型的拉氏变换
6、单位加速度函数的拉氏变换
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2.1 控制系统的运动微分方程
2.1.2 控制系统微分方程举例
1、电气系统（基尔霍夫定律；电阻、电感、电容三要素） 输入量→输入电压ui(t), 输出量→输出电压uo(t)。 数学模型： uo(t)=F (ui(t))
L R
根据基尔霍夫定律有：
u i (t ) = Ri (t ) + L u o (t ) =
n
(2.24)
(2.26)
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2.2.3 拉氏变换的主要定理
5、延迟定理
若L [f(t)]=F(s)，且t<0时，f(t)=0，则
f(t) f(t) f(t-τ)
2、微分定理
L[
d f (t ) 2 = ] s F ( s ) − sf (0) − f ' (0) 2 dt d 3 f (t ) 3 2 = − L[ ] s F ( s ) s f (0) − sf ' (0) − f ' ' (0) 3 dt LL
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ n d f (t ) ⎪ n n−1 n−2 ( n−1) = − − − − L[ ] s F ( s ) s f ( 0 ) s f ' ( 0 ) L f ( 0 ) ⎪ dt n ⎭
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2.1 控制系统的运动微分方程
非线性微分方程描述的系统称为非线性系统，不满 足叠加原理，数学上处理比较困难，通常要将其进 行线性化。 单输入、单输出n阶常系数线性微分方程的一般形 式：
dxi d n xo d n−1xo dxo d m xi d m−1xi + an xo (t) = bo m + b1 m−1 +Lbm−1 + bm xi (t) ao n + a1 n−1 +L+ an−1 dt dt dt dt dt dt
输入量→输入流量qi(t), 数学模型： H(t)=F (qi(t)) 根据流体连续方程，可得 输出量→液位H(t)。
qi
dH (t ) A = q i ( t ) − q o (t ) dt