基于云模型的不确定性变量半定量化研究_王洪利

基金项目： 国家自然科学基金资助项目 （71001082） 作者简介： 王洪利 (1978- )， 男， 黑龙江哈尔滨人， 博士后， 副教授， 研究方向： 管理系统仿真、 决策与决策支持系统。 4
统计与决策２０1 2 年第 14 期·总第 362 期
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定性概念的可度量粒度， 熵越大通常概念越宏观， 也是定 性概念不确定性的度量， 由概念的随机性和模糊性共同决 定。一方面 En 是定性概念随机性的度量， 反映了能够代 表这个定性概念的云滴的离散程度； 另一方面又是定性概 念亦此亦彼性的度量， 反映了在论域空间可被概念接受的 云滴的取值范围； 超熵 He(Hyper entropy)是熵的不确定性 度量,即熵的熵， 由熵的随机性和模糊性共同决定。用三 个 数 字 特 征 表 示 的 定 性 概 念 的 整 体 特 征 记 做 C(Ex,En, He)。 一维正态云模型 [9] [10]：Ar Forward (C(Ex, En, He)) 是一 个把定性概念的整体特征变换为定量表示的映射
j=1
(i = 1,2,..., m) 。得到表 3。
表3 取值 v i 取此值的专家个数比例 p i 变量 x i 的各取值的专家个数的比例
v1 p1 v2 p2
… …
vm pm
表 3 中所给的 p i 就是该变量取 v i 的可能性， 越多的 专家选择此选项， 则表示不确定性变量取该值的可能性越 大。将 p i 最大时的 v i 的取值记为 v max( pi) 。 如果表 2 中 v i 的个数足够多 （即个数多到数据分布符 合正态分布规律特征） ， 首先将表 2 绘制成直方图 （横坐标 为 vi ， 纵坐标为取该值的专家的个数） ， 采用云模型理论中 的方法， 创建该不确定性变量取值的云模型。步骤如下： ①根据 “复杂问题相信和依靠领域专家” 与 “少数服从 多数” 两个基本准则， 取群体专家判断所对应的云模型的 数字特征中的期望 Ex = v max( pi) 。如果存在两个以上的相 等的 p i ， 则在一定的水平阈值 δ 内， 选取其中最左边和最 右边的两个 v i ， 作为梯形云的左期望和右期望 （只有一个 可看成左期望等于右期望） 。 p i 最大， ②分别从左期望向左和右期望向右， 将熵值从 0 以较 小的步长逐渐增加， 直到左右半正态云的函数值与直方图 值之差小于误差容许阈值。将左右两个半正态云的熵值 记为梯形云的两个熵值 En l 、 En r 。 可将以上两步过程看成将整个数据集只变换成一个
π:C → ∏ ,满足以下条件：
的可能性。这种定性划分上中间临界值就客观上存在很 大的不确定性。 对于以上描述的不确定性变量的取值的获取， 一直是 各相关领域研究的关键和难点问题。在复杂系统的仿真 中， 本文对不确定性变量取值的获取， 采取在社会科学和 管理科学中的德尔菲、 调查、 访问、 头脑风暴法等科学实用 的方法来获取专家的判断。 假设对象集合为 O = {o 1 对象 O 的定性变 ,o2 ,..., o n} ， x x x 量 集 合 为 X = { 1, 2,..., n} ， 专 家 集 合 为
i
则在一定的水平阈值 δ 内， 选取其中最左边和最右边 p′i ， 的两个 v i ， 作为梯形云的左期望和右期望 （只有一个 p′i 最大， 可看成左期望等于右期望） 。 ②分别从左期望向左和右期望向右， 将熵值从 0 以较 小的步长逐渐增加， 直到左右半正态云的函数值与直方图 值之差小于误差容许阈值。将左右两个半正态云的熵值 记为梯形云的两个熵值 En l 、 En r 。 可将以上两步过程看成将整个数据集只变换成一个 云模型的云变换过程。 ③分别计算位于左期望左边的所有 v iL 和位于右期望
-( x i - Ex)2 /(2t i2)
}
其中，Norm( μ, δ) 为期望为 μ 方差为 δ 的正态随机
第 k 个专家 e k 对各对象变量的判断值
o1 v v
k 11 k 21
o2 v v
k 12 k 22
… … … … …
on
k v1 n k v2 n
… xn
…
k vn 1
…
k vn 2
E = {e1, e2,..., e n} 。以下分为几种情况来研究群体领域专
家的判断值转化为半定量的云模型表示的方法： （1） 假如不同专家给出的判断值是不同的准确值 （不 是区间） 表 1 为第 k 个专家 e k 对各对象变量的判断值。其中
v 表示第 k 个专家对 j 个对象的第 i 个变量的判断值。
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基于云模型的不确定性变量半定量化研究
王洪利
Байду номын сангаас（西安交通大学 管理学院， 西安 710004）
摘 要： 文章针对复杂系统仿真中不确定性变量不能有效表示的关键问题， 提出了一种基于群体决策和云 模型的不确定性变量半定量化方法。首先综述了已有半定量化方法和云模型的基本概念;然后提出基于云模 型的不确定性变量的半定量化方法， 分别对群体专家给出的评估判断为具体值和区间值两种情况， 给出了从群 体专家判断到半定量化的云模型数字特征构建的理论和方法。 关键词： 复杂系统； 定性仿真； 不确定性变量； 半定量； 云模型 中图分类号： N941 文献标识码： A 文章编号： 1002-6487 （2012） 14-0004-03
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云模型的云变换过程。 ③分别计算位于左期望左边的所有 v 和位于右期望
ˉ = 1 ∑vi ； 右边的所有 v 的均值 v 样 本 方 差 s2 = 1 k-1 k i=1
R i k L i
①根据表 5 取群体专家判断所对应的云模型的数字 特征中的期望 Ex = v max( p′ ) 。如果存在两个以上的相等的
表1 对象 变量
x1 x2
k ij
(1) Θ = {t i|Norm(En, He)的一次实现 i = 1..N } (2) X = { x i|x i为Norm(Ex, t i)的一次实现t i ∈ Θ, i = 1..N } (3) ∏ = {( x i, y i)|x i ∈ X, t i ∈ Θ, y i = e 变量， N 为云滴的个数。 利用正态云， 就可以把定性概念 C(Ex,En,He)变换为 数值表示的云滴集合， 实现了概念空间到数值空间的转 换。一维正态云可以拓广至 n 维正态云。其中正态云模 型是最重要的一种云模型， 李德毅院士已证明了正态云模 型的普适性[9]。 2 基于云模型的不确定性变量的半定量化 首先， 需要明确一下不确定性变量和定性变量的区 别。定性变量是不用数值型来体现的一组变量。比如性 别、 宗教信仰、 客户满意度等等。定性变量表示的并非真 有数量上的变化， 而只有性质上的差异。这些量还可以分 为两种， 一种是有序变量， 它没有数量关系， 只有次序关 系， 如某教师的工作评价分为优秀、 良好、 一般等； 另一种 是名义变量， 这种变量既无等级关系， 也无数量关系， 如颜 色 （红、 黑） 、 性别 （男、 女） 等。定量变量是可用具体数值来 表示的变量， 就是通常所说的连续量， 如产量、 库存、 现金、 发表论文的数量等， 它们是由测量或计数、 统计所得到的 量， 这些变量具有数值特征， 称为定量变量。确定性变量 是指根据现有的客观条件和人们头脑中的知识和经验可 以确定其具体值 （定性或定量值） 的变量。不确定性变量 是指由于系统的复杂性， 根据现有的客观条件和人们头脑 中的知识和经验无法确定其具体数值， 但通过人们的观 察、 判断和分析可以判断其大致范围的变量。从以上可以 看出， 不确定性变量可能是定量变量， 也可能是定性变 量。不确定变量在我们处理复杂系统问题时是普遍存在 的一种变量。不确定性变量不是我们对其一无所知的变 量， 也不是完全透彻清楚了解其具体取值的变量。除此之 外， 某些定性变量具有 “与生俱来” 客观的不确定性存在。 如对人按年龄划分分为少年、 青年、 中年、 老年等几个阶 段， 那么一个人 16 岁， 属于少年还是青年呢？人们总是回 答属于青年的可能性是多少， 同时也没有否定有属于少年
[2]
此变量表达模型的基础上， 研究具有量性融合特征的半定 性仿真的定性建模、 定性推理的理论和方法。 已有的研究中， 为了解决系统仿真中不确定变量的半 定量化的问题， 提出以下有代表性的不确定性变量的定量 化方法： （1） 基于区间数的方法 [4]； （2） 模糊数方法 [5]（ ; 3） 概 念灰数方法[6]。 参考和借鉴钱学森先生的综合集成思想和方法， 本文 将在系统仿真中， 引入擅长量性转化的云模型作为复杂系 统中不确定性变量的表示方法， 对复杂系统仿真中不确定 性变量的半定量化方法进行分析和研究。 1 云模型及其基本概念 云模型是由中国的著名学者李德毅院士 1995 年提出 的一种定性表达与定量互相转化的模型[7]。从其诞生至今 在解决诸如世界著名难题三维倒立摆控制、 知识发现与数 据挖掘、 评价与决策、 信息与控制等诸多方面和领域取得 了较大的成功应用。 云和云滴[8]： 设 U 是一个用数值表示的定量论域， C是 x U 上的定性概念， 若定量值 ∈ U 是定性概念 C 的一次随 机实现， x 对 C 的确定度 μ( x) ∈[0,1] 是有稳定倾向的随机 数: μ:U → [0,1] ∀x ∈ U x → μ( x) ， 则 x 在论域 U 上的分 布称为云(Cloud)， 记为云 C(X).每一个 x 称为一个云滴。如 果概念对应的论域是 n 维空间， 那么可以拓广至 n 维云。 云模型所表达概念的整体特性可以用云的数字特征 来反映。云用期望 Ex （Expected value） 、 熵 En(Entropy)和超 熵 He(Hyper entropy)这 3 个数字特征来整体表征一个概 念， 多维云模型的整体特征可由多组数字特征表示， 期望 Ex 是云滴在论域空间分布的期望， 是最能够代表定性概 念的点， 或者说是这个概念量化的最典型样本； 熵 En 代表