二元函数极限不存在的判别
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
如何证明极限不存在(精选多篇)
如何证明极限不存在(精选多篇)证明极限不存在二元函数的极限是高等数学中一个很重要的内容,因为其定义与一元函数极限的定义有所不同,需要定义域上的点趋于定点时必须以任意方式趋近,所以与之对应的证明极限不存在的方法有几种.其中有一种是找一种含参数的方式趋近,代入二元函数,使之变为一元函数求极限.若最后的极限值与参数有关,则说明二重极限不存在.但在证明这类型的题目时,除了选y=kx这种趋近方式外,许多学生不知该如何选择趋近方式.本文给出证明一类常见的有理分式函数极限不存在的一种简单方法.例1证明下列极限不存在:lim→x4y2x6+y6;lim→x2y2x2y2+2.证明一般地,对于选择当沿直线y=kxy=kx趋近于时,有lim→x4y2x6+y6=limx→0k2x6x6=k21+k 6.显然它随着k值的不同而改变,故原极限不存在.对于若仍然选择以上的趋近方式,则不能得到证明.实际上,若选择沿抛物线y=kx2+x→趋近于,则有l..2是因为定义域d={|x不等于y}吗，从哪儿入手呢，请高手指点沿着两条直线y=2xy=-2x趋于时极限分别为-3和-1/3不相等极限存在的定义要求延任何过直线求极限时极限都相等所以极限不存在3lim趋向于无穷大/证明该极限不存在lim/=lim/-8y/=1-lim8/因为不知道x、y的大校所以lim趋向于无穷大/极限不存在4如图用定义证明极限不存在~谢谢!!反证法若存在实数l，使limsin=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1=1/∈x，有sin=1，②记x2=1/∈x，有sin=-1，使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。
即|1-l|这与|1-l|+|-1-l|≥|-|=2发生矛盾。
所以，使limsin=l成立的实数l 不存在。
如何证明极限不存在反证法若存在实数l，使limsin=l，取ε=1/2，在x=0点的任意小的邻域x内，总存在整数n，①记x1=1/∈x，有sin=1，②记x2=1/∈x，有sin=-1，使|sin-l| 和|sin-l| 同时成立。
二元函数极限存在的判别法
编号学士学位论文二元函数极限存在的判别法学生姓名：古丽加玛丽·图拉克学号：20080101049系部：数学系专业：数学与应用数学年级：2008-3班指导教师：木台力甫·努尔完成日期：2013 年05 月10 日I摘要极限方法是研究函数的主要方法之一。
极限理论，思想方法在许多领域有着广泛应用，函数的极限是高等数学的重点，难点的内容，二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展的，二者之间即有联系也有区别，一元函数和二元函数的四则运算是相同的，但是随着变量的个数的增加，二元函数的极限比一元函数极限变得复杂得多，本文先介绍二元函数极限的定义，二重极限与累次极限的定义，讨论了二重极限与累次极限之间的关系，并且利用二重极限与累次极限的关系给出有关二重极限存在性的一些结论，二元函数极限存在的充分条件，主要讨论不可约有理分式函数极限存在的判别法，以及齐次有理分式函数极限存在的判别法。
关键词：二元函数极限，二重极限，累次极限。
II目 录摘要 ............................................................... I 引言 ............................................................... 1 1.二元函数极限的基本概念 ........................................... 1 2.二重极限与累次极限之间的关系 . (4)2.1关系1 ...................................................... 4 2.2关系2 ...................................................... 4 2.3关系3 （定理1） ............................................ 5 3.二元函数极限存在的充要条件 ....................................... 6 4.有关极限存在的结论 .. (9)4.1结论1 ...................................................... 9 4.2结论2. ..................................................... 9 4.3结论3 ..................................................... 11 4.4结论4 ..................................................... 15 总结 .............................................................. 19 参考文献 .......................................................... 20 致谢 .. (21)1引言二元函数的极限是在一元函数的极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。
关于证明二元函数在某一点极限不存在的一点思考
路径 ，，： 一 。＋ ’，则
：（二：： ：！：鱼
ｉｍ Байду номын сангаас
：
．
ｙ—ｍ
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即，（ ，ｙ）＝ 沿着这些 路径 的极 限值 与参数 有
关．故 ，，，）＝ 在 （ｏ，ｏ）也是不 存在极 限的．那 么 ，一
限 ｌｉｍ ，ｙ）存在且 也等 于 Ａ．这一 性质 常常 用来证
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纂一 椴隰 谤侄勃一 考
◎ 吴元 泽 （中 国矿 业 大 学数 学 学 院 ，江 苏 徐 州 ２２１００８）
【摘 要】众所周 知，对于二元 函数 ，Ｙ）来说 ，证明其在 某一 点（ 。，Ｙｏ）不 存在 极 限的方 法是 找到 两条 不 同的趋 于 （ 。，Ｙｏ）的路 径 ，使 得ｆ（ ，Ｙ）在这 两条 路径 上趋 于 不 同的 值．本文利用复合 函数 的观 点并结 合一元 函数 的洛 必达 法 则 ，给 出 一种 发 现 这 些路 径 的 新 思路 ．
的路径 Ｙ＝一 ＋ｇ（ ）是 充分光 滑 的，则分 子、分母 同时求 导 可 得 如 下 极 限 ：
３ ＋３ ＇，
． ‘
若进一步地 ，还 有 （ ）：０，则 ｌｉｍ
同样
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学 学 习 与研 究 ２０１８，３
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是一个关于变量 的罟型极限．对分子、分母再次同时求导
（ ）； ，则上述 极 限存 在且 等于 ．由一元 函数 的洛必
路证 明其在 （Ｏ，０）不存在极 限 ，只不过对该 函数的计算 量偏 大罢 了．事 实上 ，通过观察我们不难 发现当 Ｙ＝ 一 ＋ｇ（ ）且
二元函数极限不存在性研究
二元函数极限不存在性研究1 引言二元函数极限是数学分析中非常重要的内容，也是比较难以理解和掌握的知识．二元函数极限 虽然从定义形式上与一元函数极限差异不大，但由于二元函数的自变量有两个，其变量变化过程要 比一元函数的变量变化过程复杂的多，这就使得极限问题发生了质的变化，存在性的判定和极限的计算方法也变得非常困难．二元函数极限在多元函数微分学中具有举足轻重的作用，探讨其不存在性及计算方法是进一步学习多元函数微分学有关概念和方法的基础．本文就二元函数极限问题进行了讨论．２ 二元函数极限的定义2.1 重极限 定义1)92](1[P 设f 是定义在D ⊂2R 上的二元函数，0P 为D 内一个聚点，A 是一个确定的实数，若对任给的ε，总存在某正数δ，使得当00(;)P U P D δ∈⋂时，都有()f P A -<ε，则称f 在D上当0P P →时，以A 为极限，记作0lim P P →()f P A =．当0,P P 分别用坐标00(,),(,)x y x y 表示时，常记作0,0(,)()lim x y x y →(,)f x y A =，这种极限也称重极限．例1)93](1[P 依定义验证22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=．证 因为 227x xy y ++-=22(4)2(1)x xy y -+-+-=(2)(2)(2)2(1)(1)(1)x x x y y y y +-+-+-++- 2213x x y y y ≤-+++-+先限制在点(2,1)的δ=1的方邻域{}(,)21,11x y x y -<-<内讨论．于是有314145y y y +=-+≤++<2(2)(1)52157x y x y x y ++=-+-+≤-+-+<所以 22772517(21)x xy y x y x y ++-≤-+-<-+-.设ε为任意的正数，取min(1,)14εδ=，则当2,1x y δδ-<-<，(,)(2,1)x y ≠ 时 就有22714x xy y δε++-<<．所以22(,)(2,1)lim ()7x y x xy y →++=例2 证明222(,)(0,0)lim0x y x yx y →=+． 证 因为()(),0,0x y ≠时，22222102x y xy xx x x y x y ≤=≤≤++．从而任意0ε>，取δ=ε，则当0x δ<<，0y δ<<时，222x yx y+< ε，所以222(,)(0,0)lim x y x y x y →+0=． 2.2 累次极限定义2)97](1[P 设,x y E E R ⊂，0x 是x E 的聚点，0y 是y E 的聚点，二元函数f 在集合x yD E E =⨯上有定义，若对每一个y ∈y E ，0y y ≠，存在极限0lim (,)x x f x y →()y ϕ=，而且进一步存在极限L=0limy y →ϕ()y ，则称此极限为二元函数f 先对0()x x →后对的0()y y →累次极限，并记作00lim lim (,)y y x x L f x y →→=．类似地可以定义先对y 后对x 的累次极限 00lim lim (,)x x y y K f x y →→=．例3 求函数(,)f x y = 222y x y +在(0,0)点的累次极限．解 00lim lim x y →→ 222y x y +=0lim x →20x +=0， 00lim lim y x →→222y x y +=0lim y →22y y =1． 3 二元函数重极限与累次极限之间的关系及其应用3.1 重极限与累次极限的区别与联系累次极限与重极限是二元函数极限的不同概念，二者之间没有必然的蕴涵关系，但在某些特殊 条件下两者又存在着某些联系．例４ 设(,)f x y 为定义在点00(,)x y 附近的二元函数，试讨论重极限0lim (,)x x y y f x y →→，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→三者之间的关系．解 (1)重极限00lim (,)x x y y f x y →→存在，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→可能不存在．例如 函数11(,)()sinsin f x y x y x y=+，因为11(,)()sin sin 0f x y x y x y x y=+≤+→．所以(,)(0,0)lim (,)0x y f x y →=，但01lim (,)lim siny y f x y x y →→=，001lim (,)lim sin x x f x y y x→→=都不存在，从而00lim lim x y →→(,)f x y 与00limlim (,)y x f x y →→都不存在．(2)累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→都存在也可能不相等．例如 函数3333(,)x y f x y x y -=+，有00lim lim x y →→3333x y x y -+=0lim x →330x x -+=1 ， 00lim lim y x →→3333x y x y -+=3300lim 10y y y →-=-+ (3)累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→都存在且相等，重极限0lim (,)x x y y f x y →→也可能不存在．例如 函数22(,)xyf x y x y =+，虽然有 22220000lim limlim lim x y y x xy xyx y x y →→→→=++=0，但2(,)(0,0)lim 1x y y kxkk→==+这个极限与k 有关，所以重极限(,)(0,0)lim (,)x y f x y →不存在． (4)若重极限0,0(,)()lim (,)x y x y f x y →，累次极限00lim lim (,)x x y y f x y →→与00lim lim (,)y y x x f x y →→三者都存在，则它们一定相等．证 设00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=，则对任给的正数ε，总存在正数δ，使得当00(,)(;)P x y U p δ∈时，有(,)f x y A ε-< （1）另由存在累次极限之假设，对任一满足不等式00x x δ<-<的x ，存在极限lim (,)()y y f x y x ϕ→= （２）回到不等式（1），让其中0y y →，由（2）可得()x A ϕε-≤，从而证得0lim ()x x x A ϕ→=，即0000(,)(,)lim lim (,)lim (,)x x y y x y x y f x y f x y A →→→==，同理00lim lim (,)y y x x f x y →→＝A ，证毕．(5)若0,0(,)()lim(,)x y x y f x y →=A 存在，且00lim lim (,)x x y y f x y →→的内层极限0lim (,)y y f x y →在0x 的某个1δ邻域里存在，( 1δ>0)，则00lim lim (,)x x y y f x y →→存在且等于A ．(另一个累次极限亦然)证 因∀ε>0，∃δ>0，(取δ<1δ)，当00,x x y y δδ-<-<时， 有(,)A f x y A εε-<<+，.在不等式里令0y y →取极限，记0lim (,)()y y f x y g x →=， 得()A g x A εε-≤≤+0(:),x x x δ∀-<此即表明000lim ()lim lim (,)x x x x y y A g x f x y →→→==，证毕．3.2 二元函数极限的应用利用偏导数的定义，有些关于偏导数的问题可以转化为相应的极限问题．例5)654653](2[-P 设''",,x y yx f f f 在00(,)x y 的某邻域内存在， "yx f 在点00(,)x y 处连续，证明"00(,)xy f x y 存在，且"00(,)xy f x y ="00(,)yx f x y ．证 (1) 将混合偏导数转化成累次极限． 根据偏导数的定义0,000"00000000000000'()'(,)(,)lim(,)(,)(,)(,)1limlim lim x x xy y y x x f x y y f x y f x y yf x x y y f x y y f x x y f x y y x x ∆→∆→∆→∆→+∆-=∆+∆+∆-+∆+∆-⎧⎫=-⎨⎬∆∆∆⎩⎭00lim lim,y x Wx y∆→∆→=∆∆其中00000000(,)(,)(,)(,)W f x x y y f x y y f x x y f x y =+∆+∆-+∆-+∆+，同理可证"0000(,)lim limyx x y Wf x y x y∆→∆→=∆∆．(2) 证明重极限00limx y W x y ∆→∆→∆∆存在，且等于"00(,)yx f x y ．令 00()(,)(,)y f x x y f x y ϕ=+∆-． 则001[()()W y y y x y x yϕϕ=+∆-∆∆∆∆] 0110010010011'()(01)1'(,)'(,)"(,)(01)y y y yx y y x f x x y y f x y y xf x x y y ϕθθθθθθθ=+∆<<∆=+∆+∆-+∆∆=+∆+∆<< 因"yx f 在00(,)x y 处连续，故00limx y Wx y∆→∆→∆∆=00100lim "(,)yx x y f x x y y θθ∆→∆→+∆+∆=00"(,)yx f x y ． (3) 因为','x y f f 在00(,)x y 的邻域内存在，且y ∆充分小时，0limx Wx∆→∆存在，由累次极限定理即例４中结论(5)，得0000"(,)lim limxy y x W f x y x y ∆→∆→=∆∆0,0lim x y Wx y∆→∆→=∆∆="00(,)yx f x y ．4 二元函数极限的不存在性根据重极限与累次极限的关系，证明二元函数极限不存在，通常方法是：(1)特殊路径判别法；(2)累次极限判别法；(3)极坐标判别法；(4)证明某个特殊路径的极限不存在等．下面就这几种方法进行具体的讨论．4.1 特殊路径判别法二元函数重极限定义中，动点(,)P x y 可以沿任意路径趋于定点000(,)P x y ，若二元函数的重极限存在，则(,)P x y 沿任意曲线趋向于000(,)P x y 时极限都存在而且相等．反之，若点P 沿不同路径趋于0P 时极限不存在或存在但不相等则可断定重极限不存在，因此通常可以利用特殊路径法判别二元函数极限不存在．4.1.1 选择直线路径例６ 问极限2222200lim ()x y x y x y x y →→+-是否存在?并说明理由．解 令(,)x y 沿直线y kx =趋于(0,0)，得2224222242200lim lim ()(1)x x y kx x y k x x y x y k x x k →→==+-+-．当1k =时，上式极限为1；当1k ≠时，上式极限为0，故2222200lim ()x y x y x y x y →→+-不存在．注 易知22222222220000lim lim lim lim 0()()x y y x x y x y x y x y x y x y →→→→==+-+- ，再一次表明两累次极限存在且相等，重极限不一定存在．4.1.2 选择二次曲线路径 例７证明0x y →→的极限不存在．证0x y →→=00x y →→(,)x y 沿曲线2y x kx =-+(0)k ≠趋于(0,0)时，有20limx y x kx xyx y →=-+→+=2200()11lim lim x x x x kx kx kx k k →→-+-+==-．k 取不同值 ，上式极限有不同结果，所以00limx y xy x y →→+不存在，而001)2x y →→=存在，故0x y →→不存在．例８ 求24210(1)lim (1)x y x yx y →→--+．解 因为224222(1)(1)(,)0(1)1[](1)y x y x f x y y x y x ---==--++-．令2(1)y k x =-，则2(,)1k f x y k =+． 当(,)x y 沿曲线2(1)y k x =-趋近于(1,0)时,有222421120(1)02(1)(1)lim lim 0(1)1[](1)x x y y k x y x y x y x y x →→→=-→---=--++-21k k =+ 随着k 的取值不同，21kk +取不同的值，所以极限不存在． 4.1.3 选取分式曲线路径当(,)f x y 为分式函数时，有时可将分子、分母变形，反过来推导y 与x 的函数关系，从中找出恰当的分式曲线路径．例９求00x y →→．解由于(,)f x y ==xy x y =+易知012x y →→=，因此只需讨论00limx y xyx y →→+，由于xy x y +的分子．分母只有y 的一次幂．故令 xy x y +=k (0)k ≠，解得kx y x k =-，当0x →时有0y →，因此沿曲线kxy x k=-得00lim x x y kxy x k→→→=→-=01lim 2x kxy x kk →=→-==． 随着k 的取值不同，12k 没有固定值，因此极限不存在． 对于有些结构形式的函数，需要先做适当变形，再选取适当路径来证明极限不存在．例10 验证222222001cos()lim ()x y x y x y x y →→-++不存在．解 先将函数变形，有22222222222222222222222(sin )sin 1cos()22().()()22x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y ++-++==⋅+++令22222sin 2(,)()2x y f x y x y +=+，2222(,).2x y g x y x y +=一方面00lim (,)x y f x y →→=10≠，另一方面当动点 (,)P x y 沿直线y x =趋于原点(0,0)时，有242000021lim (,)lim lim 2x x x y x x g x y x x →→→=→===∞．所以00lim (,)x y x g x y →=→=∞，从而0lim (,)(,)x y f x y g x y →→⋅=∞．这表明222222001cos()lim ()x y x y x y x y →→-++不存在． 4.2 累次极限判别法若二元函数在点00(,)x y 某邻域内连续而二累次极限存在不相等，则该重极限不存在．累次极限 一般不是特殊路径的极限，但在某空心邻域里若函数连续，则累次极限实为沿坐标轴方向的极限．例11 证明函数3333(,)x y f x y x y-=+在(0,0)处重极限不存在． 证 (,)f x y 在除(0,0)点外处处连续，但330000lim lim (,)lim 10x y x x f x y x →→→-==+， 330000lim lim (,)lim 1,0y x y y f x y y →→→-==-+所以0lim (,)x y f x y →→不存在．4.3 极坐标判别法4.3.1 证明径向路径的极限与幅角有关．例12 设(,)f x y 是区域:1,1D x y ≤≤上的有界k 次齐次函数(1)k ≥，问极限lim (,)(1)y x y f x y x e →→⎡⎤+-⎣⎦是否存在?若存在，试求其值． 解 令cos ,sin x r y r θθ==．由于(,)f x y 是区域D 上的有界k 次齐次函数，所以(,)(cos ,sin )(cos ,sin )(0)k k f x y f r r r f r M M θθθθ==≤>而0lim 0kr r M →=，所以0lim (,)lim (cos ,sin )0x r y f x y f r r θθ→→→==，00lim (,)(1)1y x y f x y x e →→⎡⎤+-=-⎣⎦．4.3.2 (,)f x y 中含“22x y +”或为(,)f x y 的齐次有理分式函数若函数(,)f x y 中含有“22x y +”或为(,)f x y 的齐次有理分式函数，可以先进行坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩0r ≤<∞，02θπ<≤，然后适当选取不同路径． 例13验证220x y →→证 作坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩22化为1cos rθ+．（1）取路径0θθπ=≠当0θθ=，0r +→时1cos rθ+0→;（2）取路径()1cos r θθ=+，当,0r θπ-+=→时1cos rθ+1→，所以2200x y →→存在．例14 证明22332200lim x y x y x y x y →→-+-+不存在． 证 作坐标变换cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，函数223322(,)x y x y f x y x y -+-=+化为 (,)(cos sin )(cos sin sin cos )f r r r θθθθθθθ=-+++．（1）取路径0θ=，当0,0r θ+=→时(cos sin )(cos sin sin cos )1r r θθθθθθ-+++→．（2）取路径4πθ=，当,04r πθ+=→时(cos sin )(cos sin sin cos )r r θθθθθθ-+++→0所以22332200lim x y x y x y x y →→-+-+不存在． 4.4 证明某个特殊路径的极限不存在例15 证明二元函数2(,)cos y f x y x =在点(0,0)的极限不存在．证 取14y x =，当(,)x y 在14y x =上时，则有2cos yx =，故142(,)(0,0)0lim cos lim x y x y x y x →→==2(,)(0,0)lim cos x y y x →不存在．。
证明二元函数极限不存在的方法与技巧
219理论研究证明二元函数极限不存在的方法与技巧杨万娟,杨子艳,木绍良（云南大学旅游文化学院 信息学院,云南 丽江 674100）摘 要：本文主要解决在证明二元函数极限不存在的问题时选择特殊路径的方法和技巧。
关键词：二元函数极限；无穷小量；无穷小量的阶；特殊路径DOI:10.16640/ki.37-1222/t.2019.19.1961 二元函数极限概念分析 二元函数的极限存在,是指点沿任意路径无限接近某一点时,函数总是无限接近某一固定的数A 。
此时称A 为二元函数在时的极限,记作。
定理（1）设函数在内有定义,则；（2）设函数在有定义,且,则。
由定理可知,在求二元函数极限时,通过选择特殊的路径可转化为一元函数极限问题,所以,当沿着不同的路径趋于时（即当时,沿着不同的趋近于）函数趋于不同的值,那么就可以断定此函数的极限不存在。
但是找到特殊路径对学生来说不是一件容易的事,因此很有必要探究该问题。
本文对常见的两种类型作了讨论,其思路为：考虑分母中的最高次幂与分子中的最低次幂保持一致,通过化解可知极限是否与有关,若与有关,则可知极限不存在。
2 证明二元函数极限不存在时找特殊路径的方法2.1 类型一：证明(,)(0,0)lim a bm mx y x y x y →±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当且时,令； （2）当时,令。
例1 证明233(,)(0,0)limx y x yx y →−极限不存在。
证明：，故令， 显然,当k 不同时,31k k −便不同,所以极限233(,)(0,0)lim x y x yx y →−不存在。
例2 证明极限(,)(0,0)lim +x y xyx y→不存在。
证明：，故令，， 显然,当k 不同时,1k−便不同,所以极限(,)(0,0)lim +x y xyx y →不存在。
2.2 类型二：证明(,)(0,0)+lima b x y x y x y→±极限不存在时找特殊路径的方法 （1）当时,令； （2）当时,令。
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
x→y0
分析：通过观察极限中的二元函数知分子是分母的高阶无穷小，
故极限应为 0。定义证明：坌ε>0，因为
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
+
y4 x2+y2
姨 ≤x2+y2， 故 要 使
x4+y4 x2+y2
-0
<ε 只 要 取 δ =
ε 4
，则
x4+y4 x2+y2
-0
≤
x4 x2+y2
x2y2ln(x2+y2)
x2y2 x2+y2
x2+y2ln(x2+y2)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
由于
0≤
x2y2 x2+y2
≤
(x2+y2)2 x2+y2
≤x2+y2→0，令 x2+y2=t 则
x2y2
lim (x2+y2)ln(x2+y2)=lim tlnt=0,故 lim (x2+y2) =e0=1。
科技信息
高校理科研究
二元函数极限的求法和极限不存在的判断
山东政法学院 唐新华
［摘 要］极限方法是研究函数最主要的方法之一，函数极限是高等数学中的重点、难点内容。文章通过具体例子给出了求二元函数 极限的几种方法和二重极限不存在的判断方法。 ［关键词］二元函数 极限 二重极限
引言
二元函数极限定义[1] 设函数 z=f(x,y)在点 P0(x0,y0)的某空心邻域有
=e
x→∞
x
证明二重极限不存在
证明二重极限不存在证明二重极限不存在如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在,是二元函数这一节的难点,在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论,只是略谈一下在判断二重极限不存在时,一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知,要讨论limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找几条通过(或趋于)定点(x0,y0)的特殊曲线,如果动点(x,y)沿这些曲线趋于(x0,y0)时,f(x,y)趋于不同的值,则可判定二重极限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,这一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲线时,是有一定技巧的,不过不管找哪条曲线,这条曲线一定要经过(x0,y0),并且定点是这条曲线的非孤立点,这一点很容易疏忽大意,特别是为图方便,对于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的极限,在判断其不存在时,不少人找的曲线是f(x,y)-g(x,y)=0,这样做就很容易出错。
例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲线x2y-(x2+y2)=0→(0,0)时,所得的结论就不同(这时f(x,y)→1)。
为什么会出现这种情况呢?仔细分析一下就不难得到答案2若用沿曲线，( ，y)一g( ，y)=0趋近于( ，y0)来讨论，一0g ，Y 。
可能会出现错误，只有证明了( ，)不是孤立点后才不会出错。
[关键词】二重极限;存在性;孤立点[中图分类号]o13 [文献标识码]A [文章编号]1673-3878(2008)0l__0l02__02 如何判断二重极限(即二元函数极限)不存在。
是二元函数这一节的难点，在这里笔者对这一问题不打算做详细的讨论。
只是略谈一下在判断二重极限不存在时。
一个值得注意的问题。
由二重极限的定义知，要讨论limf(x，y)不存在，通常x—’10 y—’y0 的方法是：找几条通过(或趋于)定点(xo，Yo)的特殊曲线，如果动点(x，Y)沿这些曲线趋于(xo，Y。
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二元函数极限不存在的判别
①
桂 咏 新
(数学系) 摘 要 本文根据二元函数的结构特征,给出了判定二元函数极限不存在的几种路径选取
方法.
关键词 二重极限;λ次齐次函数;广义零次齐次函数
本文只讨论点(x 0,y 0)=(0,0)的情形,若(x 0,y 0)≠(0,0)而x 0,y 0均为有限数时,可令x =x 0+s y =y 0+t =,便有lim x →x 0y →y 0
f (x ,y )=lim s →0t →0
f (x 0+s ,y 0+t ).二元函数极限的归结原则是判定二元函数极限不存在的主要依据,然而,关于路径的选取,却没有详细论述,本文给出了一些结果.
命题:设f (x ,y )在区域D 上有定义,(0,0)是D 的一个聚点,y =y 1(x ),y =y 2(x )是D 中两条不同的连续曲线,满足lim x →0y i (x )=0(i =1,2)如果lim x →0f (x ,y i (x ))=A i ,而A 1≠A 2;或者对其一个i (i =1或2),lim x →0f (x ,y i (x ))不存在,则lim x →0y →0
f (x ,y )不存在.这个命题给出了判定二元函数极限不存在的基本方法,显然曲线路径y =y (x )的选取完全取决于函数f (x ,y )本身的结构.下面结合某些函数类型说明路径的选取方法.
1 零次齐次函数选取直线路径y =kx
设f (x ,y )是不恒为常数的零次齐次函数,即f (tx ,ty )≡t 0f (x ,y ),且f (x ,y ) C.令t =1x
,则有f (x ,y )=f (1,
y x ) C ∴lim x →0y →kx f (x ,y )=lim x →0y =kx →0f (1,y x
)=f (1,k ) C 所以,对于不恒为常数的零次齐次函数的极限问题,直线路径y =kx 是适用的.
例1:f (x ,y )=xy/(x 2+y 2)为零次齐次函数.
lim x →0y =kx →0
xy x 2+y 2=lim x →0x ・kx/(x 2+k 2x 2)=k/(k 2+1)此结果因k 而异 ∴lim x →0y =→0xy/(x 2+y 2)不存在.
2 广义零次齐次函数选取曲线路径y =l x β
α如果函数f (x ,y )满足f (t αx ,t βy )≡t 0f (x ,y )(α,β>0)称f (x ,y )为广义零次齐次函数.当t =x -1α时有f (x ,y )≡f (1,yx -βα)当(x ,y )沿曲线路径y =l x βα(x >0)超于(0,0)时
lim x →0y =lx βα→0f (x ,y )=lim x →0y =lx β
α→0f (1,yx -βα
)=f (1,l )
其结果是l 的函数.故对于不恒为常数的广义零次齐次函数可以选取曲线路径y =l x βα.例2:f (x ,y )=x 4y 4/(x 4+x 2)3
第17卷第3期 咸宁师专学报(自然科学版) 1997年8月
①收稿日期:1997—04—11
∵f (t x ,t 2y )≡t 0f (x ,y )
∴可取曲线路径y =l x 2
于是lim x →0y =lx 2→0x 4y 4/(x 4+y 2)3=lim x →0
x 4(l x 2)4/[x 4+(l x 2)2]3=l 4/(l 2+1)3
∴lim x →0
y →0
x 4y 4/(x 4+y 2)3不存在.3 λ次齐次函数(λ≠0)曲线路径的选取引入极坐标变换
x =ρcos θy =ρsin θ( (0≤ρ<+∞,-π<θ≤π)则f (x ,y )=f (ρcos θ,ρsin θ)≡ρλf (cos θ,sin θ),常常可以很简便地选取适用路径ρ=ρ(θ).例3:讨论当(x ,y )→(0,0)时,f (x ,y )=(2x 3+x 2y +5xy 2-2y 3)y 2
33x 13(x 2+y 2)32的极限是否存在.
显然f (x ,y )是13次齐次函数.f (ρcos θ,ρsin θ)=ρ13sin 23θ3cos 13θ(2cos 3θ+cos 2θsin θ+5cos θsin 2θ-2sin 3θ)容易看出,若取ρ=ρ(θ)=cos θ,ρ(±π2)=0,有lim θ→
π2
ρ=cos θ→0f (ρcos θ,ρsin θ)=-23而ρ=cos θ正是圆(x -12)2+y 2=(12
)2,亦即:y =±x -x 2(0≤x ≤1)
而取y =kx 时lim x →0y =kx →0f (x ,y )=lim x →0
f (x ,kx )=0∴f (x ,y )的极限不存在.
4 根据定义域的边界线,选取曲线路径
设函数f (x ,y )=x m y n /(y -ψ(x ))
不妨设ψ(0)=0,ψ′+(0)存在,且lim x →0+ψ(x )x r
=c ≠0,(r >0);又m ≥1,n 是正整数.显然(0,0)位于f (x ,y )定义域D 的边界线y =ψ(x )上.
对于这类函数,选取曲线路径y =ψ(x )+lx α其中,x >0,l >0,α>α0=max {1,r}.显然,y ′+(0)=ψ′+(0),即沿D 的边界线y =ψ(x )在(0,0)点的切线方向选取曲线路径.
事实上 ∵lim x →0+
y =ψ(x )+lx 2→0f (x ,y )=lim x →0+x m [ψ(x )+lx α]n lx
α
=0 α0<α<m +nr
c n
l α=m +nr /∴lim x →0y →0
x m y m /(y -ψ(x ))不存在.例4 考查函数f (x ,y )=(x 3+y 3)/(x 2+y )在点(0,0)的极限.选取曲线路径y =ψ(x )=-x 2+lx 3(l >0)
则有lim x →0
y =-x 2+lx 3→0(x 3+y 3)/(x 2+y )=lim x →0x 3+(-x 2+lx 3)3/lx 3=1l 可见lim x →0y →0
(x 3+y 3)/(x 2+y )不存在.参 考 文 献
1 [美]W ・弗列明著,庄业栋译.多元函数(上、下册).北京:人民教育出版社,19812 [苏]B ・A 卓里奇著,蒋铎等译.数学分析.北京:高等教育出版社,19883 何琛,史济怀,徐森林.数学分析.北京:高等教育出版社,19834 华东师范大学数学系编.数学分析(下册).北京:高等教育出版社.5 薛宗慈等编.数学分析习作课讲义(下册).北京:北京师范大学出版社.91第3期 桂咏新 二元函数极限不存在的判别。