水动力学基本微分方程
地下水动力学(第二章 地下水向河渠的运动-专)
( ) (
)
任一断面单宽流量： ∂h 上式对x求导，并代入Darcy定律 q = − Kh ∂x 得：
q x ,t K = q x ,0 + ∆ h02,t G x, t − ∆ hl2,t G ′ x, t 2l
[ ( ) ( ) ( ) ( )]
式中：qx,0—x断面处回水前单宽流量； qx,t—x断面处回水后t时刻的单宽流量； G (x, t ) —河渠流量函数；
hx2, 0 = h02, 0 −
h02, 0 − hl2, 0 l
x
(3) 两侧河渠水位同时出现水位上升，发生瞬时回 水，左河水位自h0,0上升至h0,t，右河自hl,0上升至hl,t。 （二）数学模型的建立和求解 如图坐标，可得如下数学模型：
∂ ∂h ∂h K h = µ ∂x ∂x ∂t h 2 ( x,0 ) = h02, 0 − h(0 ,t ) = h0 ,t h(l ,t ) = hl ,t h02, 0 − hl2, 0 l x
d dh W =0 h + dx dx K h x =0 = h1 h x =l = h2
模型求解： W dh d h = − dx 将微分方程化为： dx K 两边不定积分： dh W
h dx =− K x + C1
再化简： 再积分：
W hdh = − xdx + C1dx K
特例， h1=h2
l=2
时， a =
l 2
，代入(2)式，可得
K 2 hmax − h12 W
(
)
可见，当水位条件一定时，在入渗强度愈大和渗 透性愈弱的含水层中，排水渠间距愈小，反之愈大。 (3) 河渠间单宽流量的计算 通用公式： 2 2 当x=0时，得流入左河的单宽流量：
水动力学基本微分方程
流出： (Q Qy dy)dt y
y 2
沿z方向流入单元体的水量： v2 dx dy dt 流出：v1 dx dy dt
流入量－流出量＝：
Q x x方向： dxdt x
y方向： Q y y dydt
2 H 2 H 2 H s H 2 2 2 K t x y z
２.对于二维的情况，常用 和T表示(
各项均乘以m）
H H H (Tx ) (Ty ) ， x x y y t 2 H 2 H H 当Tx Ty T时, 则 2 2 x y T t
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
H H H H ( K xx ) ( K yy ) ( K zz ) s x x y y z z t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
a
o
b a dy
x y Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量 a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
Qx (Qx dx)dt x
第二章 水静力学
第二章 水静力学水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。
“静止”是一个相对的概念。
这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。
绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。
水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。
因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。
§2-1 静水压强及其特性1．静水压强的定义 在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即dA dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为[][]21--=T ML p 。
2．静水压强的特性静水压强具有两个重要的特性：(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。
在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。
现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。
假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。
从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。
所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。
(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。
水动力学基本微分方程
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
无量纲，大部分含水层 介于10-5～10-3之间
物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱 体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位 时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水：
①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部
从上游断面流入：(q dq x)dt
dx 2
从下游断面流出：(q dq x)dt
dx 2 在∆t时间内，垂直方向的
补给量为：Wx dt
由于潜水面的上升而 引起的均衡区内的水的增 量为：
H x dt
t
其差 dq x dt dx
根据连续性原理，上面两个增量应相等，即
q W H
x x K K t
式中：：水位下降时称为给水度，水位上升时称为饱和差；
W：降雨入渗强度（+）或蒸发强度（—）； h：含水层厚度； H：含水层的水位（平均值）； K：含水层渗透系数；
注意：
a.Ｈ为整个含水层厚度上的平均值； b.Ｈ、h均为未知，所以该方程为二阶非线性偏微分方程； c.该方程不适于水力梯度较大地段；不能计算任一点的Ｈ。
o
dx
x
y
在dt内，均衡单元贮存量的变化量为:
《地下水动力学》课程总结
求水文地质参数
K、T、μ、μ*、B…
计算运动要素
Q、q、H、s、t….
模型识别
判断水文地质条件 如边界性质
1、介质（为描述介质特性提出的一些概念）
连续介质模型-典型单元体 渗透性：
渗透系数（K）、等效渗透系数 均质、非均质 各向同性、各向异性
2、渗流场
渗流特征 运动要素：实际流速、渗透流速、质点流速、单个孔隙
5、水文地质参数及获取方法
渗透系数K 入渗强度W 导水系数T=KM 弹性释水系数μ* 给水度μ 阻越流系数B 压力传导系数a =T/ μ*
配线法 直线图解法 水位恢复资料法
1、达西定律
dH Q = -KA
ds
dH v = -K
ds
适用条件：1<Re<10的层流
2、 Dupuit假定，Dupuit微分方程
Kz
∂ ∂z
s(r, H 0 ,t )
=
-μ
∂ ∂t
s(r, H 0 ,t )
方程解析解
s(r, z, t) Q
4 T
1
0
4
yJ 0
(
y
2
)[ 0
(
y)
n ( y)]dy
n 1
• 纽曼解的特点
5、地下水向不完整井的运动
• 不完整井流特点（三点）
• 地下水向不完整井的稳定运动
井底进水的承压水不完整井（空间汇点法）
井壁进水的承压水不完整井（空间汇线法）
∫ Q
s = 4πK(z2 - z1)
[z2
1
+
z1 (z - η）2 +r 2
1
]dη
(z + η）2 +r 2
空气动力学——空气流动的数学模型和水动力学原理
空气动力学——空气流动的数学模型和水动力学原理人类一直在探索自然，寻找其中的规律和奥妙。
在气体和液体的流动领域中，空气动力学和水动力学一直是研究的热点。
本文将分别介绍这两个领域的数学模型和原理。
一、空气动力学空气动力学是研究气体在物体表面流动的科学。
空气动力学的研究对象主要是飞行器、船舶、建筑物及其它工程结构物的气流特性。
空气动力学的基本研究方程式是Navier-Stokes方程式，它描述了气体在三维空间中运动的微分方程组。
这些方程可以解释风洞实验中的气流现象和飞行器在高速飞行时的空气动力学性能。
但是由于方程式过于复杂，目前仍无法对所有气流现象进行精确分析。
在通常的研究中，经常使用的是雷诺平均Navier-Stokes方程组（RANS方程组）。
这个模型假设气体流向可以拆解为平均流动和扰动流动两部分，将对平均流动的分析看作是气体流动问题的主要部分，扰动流动部分视为干扰，用一些附加的模型来进行分析。
针对不同的气体流动情况，可以采用不同的数值模拟方法，进行数值分析。
最常用的方法是有限体积法（FVM）和有限元法（FEM）。
这些方法将航空、航天以及一般的流体动力学设计用计算机模拟，降低了实验和生产成本，提高了产品的可靠性和性能。
二、水动力学原理水动力学是研究液体的运动及其所产生的效应的科学，应用于水流方面的研究，例如洪灾、水利、河流、湖泊和海洋等。
与空气动力学类似，水动力学的研究对象是船舶、水利工程结构、海洋平台、波浪、洪水等。
在水动力学中，常见的问题是流体结构相互作用（FSI）问题。
研究FSI问题的方法有许多种，包括基于网格的方法和非网格的方法。
基于网格方法包括有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）和有限体积法（FVM）。
而非网格方法有物体空间分解法（BEM）和粒子法（PF）。
流体动力学的模拟分析在工业上有广泛的应用，如造船、岸边水利工程设计、水电站的设计评估、混合设备的设计等。
同时也广泛应用于水环境模拟、污染扩散模拟和洪水预测等领域。
水动力学基本
3.2.3 流线与迹线
一、流线 1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组
成的线，线上任一点的流速方向与该线在该点 相切。流线上任一点的切线方向就代表该点的 流速方向，则整个液流的瞬时流线图就形象地 描绘出该瞬时整个液流的运动趋势。
3.2.3 流线与迹线
一、流线
流线微分方程式：
y
ux uy uz 1 dx dy dz dt
量，简称压能。
u2 2g — 不计射流本身重量和空气阻力时，以断面流速u 为初速的铅直上升射流所能达到的高度，水力学中称流
速水头，表示单位重量液体动能。
测压管水头—表示断面测压管水面相对于基准面的 高度，表明单位势能，以Hp表示：
Hp
z
p
断面总水头—表明单位总能量，以H表示：
H z p u2
以个别液体运动质点为对象.研究给定质点在整 个运动过程中的轨迹.各个质点运动状态总和构 成整个液体运动.
点—线—面 运动轨迹 运动要素
四、局限性： 液体质点运动轨迹非常复杂，实用上不需要知 道某一质点的运动轨迹，因此水力学上不常采 用此方法。
3.1.2 欧拉法
一、定义： 直接从流场中每一固定空间点的流速分布入手 ，建立速度、加速度等运动要素的数学表达式 ，来获得整个流场的运动特性。
3.恒定元流连续性方程：
根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量 等于流出dA2的质量：
ρ1u1 dA1＝ρ2u2 dA2＝常数 对于不可压缩液体，ρ1＝ρ2＝常数，则有：
u1 dA1＝u2 dA2＝dQ＝常数 恒定元流连续性方程
4.恒定总流连续性方程： 因总流是无数元流的集合体，因此,对上式在总流 过水断面上积分：
uz t
(ux
地下水动力学习题及答案(1)
18.在同一条流线上其流函数等于_常数_，单宽流量等于_零_，流函数的量纲为__ __。
19.在流场中，二元流函数对坐标的导数与渗流分速度的关系式为_ _。
20.在各向同性的含水层中流线与等水头线_除奇点外处处正交_，故网格为_正交网格_。
3．在多孔介质中，不连通的或一端封闭的孔隙对地下水运动来说是无效的，但对贮水来说却是有效的。
4.地下水过水断面包括_空隙_和_固体颗粒_所占据的面积.渗透流速是_过水断面_上的平均速度，而实际速度是_空隙面积上__的平均速度。
在渗流中，水头一般是指测压管水头，不同数值的等水头面(线)永远不会相交。
5.在渗流场中，把大小等于_水头梯度值_，方向沿着_等水头面_的法线，并指向水头_降低_方向的矢量，称为水力坡度。水力坡度在空间直角坐标系中的三个分量分别为_ _、 _和_ _。
31.在均质各向同性的介质中，任何部位的流线和等水头线都正交。(×)
32.地下水连续方程和基本微分方程实际上都是反映质量守恒定律。(√)
33.潜水和承压水含水层的平面二维流基本微分方程都是反映单位面积含水层的水量均方程。(√)
34.在潜水含水层中当忽略其弹性释放水量时，则所有描述潜水的非稳定流方程都与其稳定流方程相同。(×)
27.沿流线的方向势函数逐渐减小，而同一条等势线上各处的流函数都相等。(×)
28.根据流函数和势函数的定义知，二者只是空间坐标的函数，因此可以说流函数和势函数只适用于稳定流场。(×)
29.在渗流场中，一般认为流线能起隔水边界作用，而等水头线能起透水边界的作用。(√)
30.在同一渗流场中，流线在某一特定点上有时候也可以相交。(√)
水力学总复习题 答案
三、绘图计算题
1．绘出图中曲面上的的压力体图，并标出水压力铅直分力的方向。
4
2.
图示一倒 U 形差压计，左边管内为水，右边管内为相对密度（即比重） s 1 0.9 的油。
倒 U 形管顶部为相对密度 s 2 0.8 的油。已知左管内 A 点的压强 p A 98KN / m 2 ，试求右边 管内 B 点的压强。 3. 有 一 盛 水 的 开 口 容 器 以 的 加 速 度 3.6m/s2 沿 与水 平 面 成 夹 角 的 斜面 向 上 运 动， 试 求 容 器中 水 面 的 倾 角.
30o
4.矩形平板闸门 AB 如图所示,A 处设有转轴。已知闸门长 l=3m，宽 b=2m，形心 点水深 hc=3m，倾角 α=45°，忽略闸门自重及门轴摩擦力。试求开启闸门所需 拉力 FT。
5
hc A B α
5. 一曲面的形状为 3/4 个圆柱面，半径 R=0.8 m，宽度(垂直于纸面)为 1 m。圆心位于
(
) D. -43.3
21.图示的容器 a 中盛有重度为 1 的液体，容器 b 中盛有密度为 1 和2 的两种液体， 则两个容器中曲面 AB 上 压力体及压力应为 ( ) (1) 压力体相同，且压力相等； (2) 压力体相同，但压力不相等； (3) 压力体不同，压力不相等； (4) 压力体不同，但压力相等。
第1章 一、选择题 1．按连续介质的概念，流体质点是指（ A .流体的分子；
绪
论
）
B. 流体内的固体颗粒； C . 无大小的几何点； D. 几何尺寸同流动
空间相比是极小量，又含有大量分子的微元体。 2．作用在流体的质量力包括（ ）
A. 压力； B. 摩擦力； C. 重力； D. 惯性力。 3．单位质量力的国际单位是：（ ）
流体动力学方程
流体动力学方程
《流体动力学方程》
一、定义
流体动力学方程又称为气体动力学方程。
它描述了理想流体在特定条件下的流动规律。
它是一组称为Navier-Stokes方程的微分方程，用来描述流体的压力、速度、温度和其他物理量之间的关系。
二、表达式
Navier-Stokes方程又称为流体动力学方程，包括控制方程和物理方程两部分。
控制方程：
u/t + (u)u = -P + μ2u
其中，u为物质的速度，t为时间，P为压强，μ为粘性系数。
物理方程：
u/t + (u)u = -P + c(T) + 2u
其中，t为时间，P为压强，T为温度，C为热扩散系数。
三、应用
1、气体动力学：流体动力学研究的最重要应用之一就是对于气
体动力学的研究，包括非定常气流、边界层气流、喷气发动机气流等。
2、水力机械：流体动力学方程在水力机械方面也有重要应用，
它可以用来研究水力机械系统中的液体流动特性。
3、流体动力：流体动力学方程可用于研究流体中的动力学特性，从而求解流体在某种特定条件下的动力学参数。
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(P rh) ( rh) 两个物理过程
图
（1）H下降△h，水体积膨胀，从而释放出一定 体积的水；
（2）σ保持不变，骨架所受压力增加，因为固 体颗粒接近于刚性体不可压缩，所以压力增加 引起含水层压缩，使含水层空隙中的部分地下 水被挤出。
这两点就是弹性释水的机理。
H y
)
z
(K zz
H z
)
W
s
H t
W为单位时间从单位体积含水层中流入或流出的水量
二维：
(T H ) (T H ) W H
x x y y
t
W为单位时间从垂直方向单位面积含水层中流入 或流出的水量(补给强度或蒸发强度)
令a
T
，a称为压力传导系数，
也叫导压系数(在二维情况)
单位：m2 / s
（二）方程的化简和讨论
１.对于均质各向同性含水层，Ｋ为常数，这时 简化为：
2 H 2 H 2 H s H
x2 y 2 z 2 K t
２.对于二维的情况，常用 和T表示( 各项均乘以m）
x
(Tx
H x
)
y
(Ty
H y
)
H t
，
当Tx Ty T时,
则 2H x 2
2H y2
T
H t
无量纲，大部分含水层 介于10-5～10-3之间
物理意义：在单位面积、厚度为m的含水层柱 体中，当水头降低（或升高）一个单位时，单位 时间内从含水层中释放（或贮存）的水量。
3.给水度
对潜水含水层而言，当水头下降时，引起两部分 排水：
①含水层下部饱水部分的弹性释水，其释水能力用
s表示；
②上部潜水面下降部分引起的重力疏干排水，这部
上述分析表明：H降低，承压含水层释 放部分地下水；H增大，承压含水层贮存部 分地下水，这部分水量称为弹性贮存量。
弹性贮水量的大小与含水层的岩性和 结构有关，为了表征含水层弹性释水（储 水）的能力，下面将给出弹性贮水率和贮 水系数的概念。
2.含水层的贮水率和贮水系数
１.贮水率（Specific storativity）用 s 表示
均衡区
在渗流场中取一无限小的平行六面体，作为均衡单元，
如图示，六面体边长分别为dx、dy、dz，下面分析dt时
段内，均衡单元中的质量守恒问题。
均衡期
依据质量守恒和能 z
量守恒定律，建立承
c
c
压含水层中渗流基本
微分方程。
Qx
d
b a dx
d
dz
Qx
Qx x
dx
b
a dy
yo
x
Ｑx为单位时间内通过abcd断面流入的水量。在dt内，
３.当含水层有垂直水量交换时，其量常用Ｗ表示，称 为源（汇）项，含水层的源（汇）项可是t和位置的 函数 W=W(x,y,z,t)。
当从含水层中抽水或从垂直方向有水流出含水层时， Ｗ为负，称为汇；
当给含水层中注水或从垂直方向有水流入含水层时， Ｗ为正，称为源；
三维：
x
(K xx
H x
)
y
(K yy
1 r2
2H
2
2H z 2
s
K
H t
三、越流含水层中渗流基本微分方程
（一）什么是越流？
第二章 水动力学基本微分方程
2-1 地下水动力学基本微分方程
一、含水层的弹性理论
1.含水层的弹性释水（以承压水为例）
从承压含水层中抽出的水，由两部分组成 含水层所贮存水的弹性释放 侧向补给（来自远方）
现取一处于平衡状态的承压含水层柱体。设含水层 上覆岩层对含水层中的固体颗粒和地下水产生的应力为
σ，骨架上的反压强为 ，水的顶托力为P。 当水处于平衡状态时， p p h
Qx
Kxx
H x
dydz
Qy
K yy
H y
dxdz
Qz
K zz
H z
dxdy
Qx x
x
(Kxx
H )dydz x
Qy y
y (K yy
H )dxdz y
Qz z
z
(K zz
H z
)dxdy
x
(K xx
H x
)
y
(K yy
H y
)
z
(K zz
H z
)
s
H t
上式就是非均质各向异性承压含水层中地下水三 维非稳定运动的基本微分方程。对各向异性介质，取 坐标轴方向与主渗透方向一致。
沿x方向通过abcd断面流入均衡单元的水量
a＇b＇c＇d＇断面从均衡单元流出的水量为
(Qx
Qx x
dx)dt
Q,通x dt过
dt时段内分别沿oy、
z
oz进入单元的水量为
c
c
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Qy dt和Qz dt 而流出的水量为
(Qy
Qy y
dy)dt
和(Qz
Qz z
dz)dt
d
Qx b
d
dz
Qx
Qx x
dx
b
a
a dy
当含水层中的水头降低（或升高）一 个单位时，单位时间内在单位体积含水层 中，由于水的弹性膨胀（或压缩）及含水 层的弹性压缩（或膨胀）释放（或贮存） 的水量，称为贮水率,也称单位贮存量， 量纲为［L-1］。
２.贮水系数（ storage coefficient ）
s m
m为含水层厚度，用于二维流计算。
o
dx
x
y
在dt内，均衡单元贮存量的变化量为:
s
H t
dxdydzdt
据水均衡原理得：
Qxdt
(Qx
Qx x
dx)dt
Qydt
(Qy
Qy y
dy)dt
Qzdt
(Qz
Qz z
dz)dt
s
H t
dtdxdydz
化简为：
( Qx x
dx
Q y y
dy
Qz z
dz)
s
H t
dxdydz
根据达西定律：
③ 弹性释放瞬时完成；重力疏干具明显的滞后效应；
④ 数量级： s 约10-5～10-3； 约0.1～0.3； ∵ ＞＞ s ∴在潜水含水层中，通常只考虑重力疏干，忽略弹性
释水。
二、承压含水层中渗流基本微分方程
（一）方程的建立
设：
① 地下水、含水层均为弹性体；
② 弹性释水瞬时完成；
③ 为常数（constant）；
这时有： 2H 2H 1 H x2 y2 a t
4. 对于稳定流，H 0 t
可得到三维、二维相应的稳定状态下的渗流基本微分 方程。 对于均质各向同性的三维流来说：
2H 2H 2H 0 通常称为laplace方程 x2 y 2 z 2
5.若化为柱坐标（三维各向同性介质）
1 r
r
(r
H ) r
分给水能力用给水度 （Specific yield）表示；
给水度的物理意义：当含水层中水头下降一个单 位时，在单位体积含水层中，由重力疏干所排出的 水量。
4.贮水率与给水度的区别
① 弹性释水由减压引起， s 为压力变化所给出的水量， 为重力疏干排出的水量；
② 贮水率与整个含水层厚度上的岩性、液体性质有关， 给水度仅与水位波动带的岩性、液体性质有关；