套利与套利组合

11
收益率（%） P B 10 8
o
F
我们要问充分分散组合P与充分分散组合B能否 同时并存？ 答案不可能。因为无论共同因子处于 何种水平，证券组合P都优于证券组合B，这就是 产生了套利机会（无风险）。
投资学 第1章 12
[0.10 1.0 F 0.08 1.0 F ] 1百万=2万元
n
n
=D( wi bi f )
i 1
=D( f )( wi bi ) 2
i 1
n
若要D( wi ri ) 0, 则要 wi bi 0
i 1 ห้องสมุดไป่ตู้ 1
n
n
投资学 第1章
19
4.3.3 套利定价模型
• 假设投资者构造这样的资产组合：（1）无风 险利率借入1元钱；（2） 1元钱投资在两种资 产，这样构造一个自融资组合。
1 1 1 1 D f P 0 1 0.5 2 2 2 2


D的期望收益率等于: 这样证券组合D与C有相同的 值，但D的期望收益
投资学 第1章 16
1 1 1 1 E rD r f E rP 0.04 0.10 0.07 2 2 2 2
例如,投资者可卖空价值一百万元的B,再买入价值 一百万元的P,构造出一个零投资组合,其收益额为:
注意,投资者没有使用自己的任何本金,就获得了 2万元的收益,并且由于实行等额卖空与买入,该零 投资组合的 值就为零，因此系统风险全部消除, 同时,由于证券组合P与B都是充分分散组合,非系统 风险也全部消除,所以该零投资组合实际上没有任何 风险,如果真正存在这种套利机会,那么投资者要想获 取多少收益就能得到多少,事实上,这是不可能的,即 使这种机会出现,也不会保持长久,正如前面分析的那 样,套利者的套利行为将引起市场上对P与B的供需
4.3 套利定价理论（APT）
• 定义：套利（Arbitrage）是同时持有一种或 者多种资产的多头或空头，从而存在不承 担风险的情况下锁定一个高于无风险利率 的收益。
– 不花钱就能挣到钱，即免费的午餐！
• 两种套利方法：
– 当前时刻净支出为 0 ，将来获得正收益（收益 净现值为正） – 当前时刻一系列能带来正收益的投资，将来的 净支出为零（支出的净现值为0）。
投资学 第1章 22
• 证明：假设在资产i上投资wi，构造零投资 且无风险的组合，即wi满足下列条件
零投资
T w w i 10 i 1 n
（4.4）
无风险
n T w b w b1 0 i i1 i 1 n T wi bi 2 w b 2 0 i 1 n T w b w bm 0 i im i 1
投资学 第1章 1
• 假设现在6个月即期年利率为10%（连续复 利，下同），1年期的即期利率是12%。如 果有人把今后6个月到1年期的远期利率定 为11%，则有套利机会。 • 套利过程是：
1. 交易者按10%的利率借入一笔6个月资金（假设 1000万元）
2. 签订一份协议（远期利率协议），该协议规定 该交易者可以按11%的价格6个月后从市场借入 资金1051万元（等于1000e0.10×0.5）。
当证券组合包含的证券数越来越多
n
且各证券权重的平方 xi2越来越小时,上式中的非
系统风险将逐渐趋于零。 得到作为实际用途的充分分散证券组合的收益率 构造：
rp Erp p F 2 2 2 且 p p F p p F
，
下面再看下图，
投资学 第1章
投资学 第1章
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4.3.2 构建套利组合（Arbitrage portfolio）
1. 零投资：套利组合中对一种证券的购买所需要 的资金可以由卖出别的证券来提供，即自融资 （Self-financing）组合。 2. 无风险：在因子模型条件下，因子波动导致风 险，因此，无风险就是套利组合对任何因子的 敏感度为0。 3. 正收益：套利组合的期望收益大于零。
wr
投资学 第1章 24
• 又由于非零向量1,b1,b2,…,bm线性无关，则 r 必定落在由1,b1,b2,…,bm张成的向量空间Rm+1中，也就 m 是存在一组不全为零的数 0 , 1 ,..., 使得
r 0 1 1b1 2b2 ,..., mbm
证毕。 1和bj是该空间的一组基
– 因此，不必对投资者风险偏好作假设？
2.
3.
资产的回报可以用因子表示
投资学 第1章
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• APT假设证券回报可以用预期到的回报和未 预期到的回报两个部分来解释，构成了一 个特殊的因子模型
ri ri bi f ei
预期的回报
E( ft t 1 ) 0
未预期到的变化
f是证券i的某个因子的变化，基于有效市场理 论，它是不可预测的。
理解： r 必须落在Rm+1空间中，才能必然成立
wr
投资学 第1章
25
示意图：向量空间
C
a
d
0
b
在向量空间中，如果向量a、b正交于c，蕴 含着d正交与c，则d必须落在由a和b张成的 二维空间上，d可以由a、b线性表示！
投资学 第1章 26
APT的意义
ri 0 bij j
j 1 m
投资学 第1章 13
量发生变化,从而最终消除此二证券组合在价格 上的差异.换句话说,在市场均衡状态下,相同的 证券组合必须有相同的期望收益率,否则无风险套 利机会就将存在. 在市场均衡状态下，具有同 值的充分分散证券 组合应具有相同的期望收益率 那么对于不同 值的充分分散证券组合，它们的 期望收益率与其 值之间存在什么关系呢？
（4.5）
即，1、bj（j=1,2,…,m)线性无关。
投资学 第1章 23
如果市场有效，则不会有套利均衡，即零投 资、无风险的组合必然是无收益的，从而只 要（4.4）和（4.5）成立，则蕴含(followed)
T w r w r 0 ii i 1 n
这等价于，只要
对于任意的W，必然有
w 1, w b j , j 1,..., m
设无风险利率为l ， ，在因子 j 0 两个资产是资产i和资产 模型的假定下，套利组合的收益为（忽略残差）
rp w(ri bi f ) (1 w)(rj b j f ) 1 0 [ w(ri rj ) rj 0 ] [ w(bi b j ) b j ] f
投资学 第1章 2
3. 按12%的利率贷出一笔1年期的款项金 额为1000万元。 4. 1年后收回1年期贷款，得本息1127万元 （等于1000e0.12×1），并用1110万元 （等于1051e0.11×0.5）偿还1年期的债务 后，交易者净赚17万元（1127万元1110万元）。
投资学 第1章
投资学 第1章
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• 用数学表示就是
wi 0 （4.1） i 1 n bi wi 0 （4.2） i 1 n wi ri 0 （4.3） i 1
n
D( wi ri ) D( wi [ri bi f ei ]
i 1 i 1 n
投资学 第1章 8
充分分散投资组合的套利定价 假定某证券组合 P 由n种证券构成，各证券的组合 n xi 1 权数为 x i i 1
n
n
rp xi ri = xi E ri i F ei =Erp p F e p
其中 p xi i
– 套利行为将导致一个价格调整过程，最终使 同一种资产的价格趋于相等，套利机会消失！
投资学 第1章
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• APT的基本原理：由无套利原则，在因子模 型下，具有相同因子敏感性的资产（组合） 应提供相同的期望收益率。 • APT与CAPM的比较
– APT 对资产的评价不是基于马克维茨模型，而 是基于无套利原则和因子模型。
i 1
i 1
n
i 1
代表投资组合P对共同因子F的敏感度；
e p xi ei 为P的非系统收益率。
i 1
n
类似于利用指数模型对证券风险的讨论，我们 可将证券及证券组合的风险分成由共同因子引起
投资学 第1章 9
的系统风险与由特殊因素引起的非系统风险两 部分。由（4-2）式，有
2 ri VarE ri i F ei
投资学 第1章
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期望收益率（%）
10 7 6
rf
P D · C
0.5 1
投资学 第1章

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假设某充分分散证券组合C的 系数为0.5,期望收益
率为 ErC =0.06,C位于由 rf rf 0.04 与P的连接线
的下方, 如果以二分之一权重的P及二分之一权重的 rf 构成一新的投资组合D, 那么D的 值为:
自变量
若bij＝0，则上式退化为无风险资产，则意味 m 着
0 rf ri rf bij j
j 1
若bij≠0，则期望回报 ri 随着 bij 的增加而增大， 所以 是因子 的风险价格。 fi j
投资学 第1章 27
APT的意义
在单因子条件下，有ri rf 1bi , i 1,..., n
– 不要求“同质期望”假设，并不要求人人一致 行动。只需要少数投资者的套利活动就能消除 套利机会。 – 不要求投资者是风险规避的！
投资学 第1章 5
4.3.1 APT的基本假设
1. 市场是有效的、充分竞争的、无摩擦的 （Perfectly competitive and frictionless capital markets）； 投资者是不知足的：只要有套利机会就 会不断套利，直到无利可图为止。