凸函数的性质

凸函数的性质
【摘自[前苏]克拉斯诺西尔斯基等著《凸函数与奥尔里奇空间》（中译本）】
通常称函数)(x f 在区间),(b a 内是“下(上)凸函数”，若对于),(b a 内任意两点1x 和
2x )(21x x ≠与任意)1,0(∈t ，都满足“琴生(Jesen)不等式”
1212()
[(1)]()(1)()f tx t x tf x t f x >+-<+- (※)
或
()
11221122()()()f t x t x t f x t f x >+<+ (※※)
[其中1t 和2t 为正数且121=+t t ]
它的特别情形(取2
1
=
t )是 ()()()121222f x f x x x f >++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
()21x x ≠ (※※※)
在§2-7中曾把它作为下(上)凸函数的定义.。

我们将证明，对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的。

正因为这样，我们在教科书中就用简单的不等式(※※※)定义了下(上)凸函数（因为我们研究的函数都是连续函数）。

下凸函数简称为凸函数，上凸函数简称为凹函数。

请读者注意．．．．．，这些称呼同国内某些教科书中的称呼是不一致的．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。

但是，我们的上述称呼与新近出版的许多教科书或发表的论文中的称呼是一致的。

因为函数的“上凸”与“下凸”是对偶的，所以，下面只讨论下凸函数的性质。

相信读者一定能够把下面得出的结论，类比到上凸函数上。

（一）琴生不等式的几何意义 我们先解释一下琴生不等式的几何意义。

如图一，
设231x x x <<，则21
21
3112323x x x x x x x x x x x --+--=（根据解析几何中的定比分点公式（*））。

根据琴生不等式(※※)，
)(3x f )()(2121311232x f x x x
x x f x x x x --+--<
[注意1
213212321,x x x x t x x x x t --=--=]
图一
从而，得不等式
3
23212121313)
()()()()()(x x x f x f x x x f x f x x x f x f --<--<--（基本不等式）
它说明(见图一)，弦AC 的斜率小于弦AB 的斜率，而弦AB 的斜率又小于弦CB 的斜率。

（二）凸函数的性质 为简单起见，下面只讨论与我们的问题有关的凸函数的性质。

性质1 若()f x 在区间),(b a 内是下凸函数，则 ⑴ 在每一点),(b a x ∈都有左导数)(x f -'和右导数)(x f +'【因此（*）
，凸函数是连续函数】， 而
且≤'-)(x f ()x f +'；
⑵ 左导数)(x f -'和右导数)(x f +'都是单调增大的函数。

证⑴ 设210h h <<，并且满足不等式(图二)
b h x h x x h x h x a <+<+<<-<-<2112
根据基本不等式，则有
22111122)
()()()()()()()(h x f h x f h x f h x f h h x f x f h h x f x f -+<-+<--<--
考虑函数
h
h x f x f h )
()()(--=
φ （a x h -<<0）
根据上述不等式中最左边的不等式①，当0→h 时，函数)(h φ是单增的且有上界，所以有极限
0lim →h )(h φ=)()
()(lim
0x f h
h x f x f h -→'=-- 类似地，根据最右边的②，函数
h
x f h x f h )
()()(-+=
ϕ （x b h -<<0）
当0→h 时是单减的且有下界，所以有极限
)()
()(lim
)(lim 00x f h
x f h x f h h h +→→'=-+=ϕ
根据中间一个不等式③，)(h φ＜)(h ϕ，再让0→h ，得≤'-)(x f )(x f +'.
证⑵ 为证左、右导数都是单调增大的，譬如证)(x f +'是单调增大的。

设21x x <，并取正数
h 足够小，使
2211x h x h x x <-<+<（图三）
根据基本不等式，
x -h 2 x -h 1 x x +h 1
x +h 2
b
(
a
) ••• x
••
图二
图三
①
② ③
h
h x f x f h x f h x f )
()()()(2211--<
-+ 注意到当0→h 时，左端（关于h ）是单减的，右端是单增的，所以)()(21x f x f -+'<'. 再根据上面已证的结论[)()(22x f x f +-'≤']，就得到)()(21x f x f ++'<'.
假若函数)(x f 在区间),(b a 内可微分，根据教科书中的定理2-3，则
导数)(x f '是增大的⇒函数)(x f 是下凸的。

现在，我们又证明了“函数)(x f 是下凸的⇒导数)(x f '是增大的”[注意，
()()()f x f x f x -+'''==]。

因此，对于可微函数来说，
它是下凸的．．．．．⇔它的导函数是增大的．．．．．．．．．。

根据对偶性，它是上凸的．．．．．⇔它的导函数是减小的．．．．．．．．．。

性质2 若)(x f 是区间),(b a 内的连续函数，则不等式
()()()121222f x f x x x f >++⎛⎫
< ⎪⎝⎭
()21x x ≠ (※※※) 与琴生不等式
()[]211x t tx f -+()
()()()211x f t x tf -+<> ]10,[21<<≠t x x (※)
是等价的。

证 显然，在琴生不等式中取12t =，就是不等式(※※※)。

剩下来就是要证明，从不等式(※※※)也可以推出琴生不等式(※)。

为简单起见，我们只证明其中的情形“＜”。

事实上，(反证法)假若琴生不等式(※)不成立，即至少有一个()1,0∈t 和有1x 与()212x x x ≠，使
)()1()(])1([2121x f t x f t x t x t f -+≥-+
作(连续)函数
)]()1()([])1([)(2121x f t x tf x t tx f t -+--+=φ ),10(21x x t ≠≤≤
并记它的最大值为M ，则0≥M (根据反证法的假设)。

首先假定0>M ，并把函数)(t φ在区间[]1,0上取到最大值M 的最大值点的最小者记为0t ，则100<<t (因为0)1()0(==φφ)。

取正数δ足够小，使]1,0[],[00⊂+-δδt t ，于是对于点
()()20101
1x t x t x δδ+-+-=' 和 ()()201021x t x t x δδ--++=' 则根据不等式(※※※)，即
()()222121
x f x f x x f '+'<
⎪⎭
⎫ ⎝⎛'+' 可得[注意2)(21
x x '+'=2010)1(x t x t -+] ]
)1()[(])1()[(20102010x t x t f x t x t f δδδδ--++++-+-
两端再同时减去)]()1()([2010x f t x f t -+，便得到
000()()
()2
t t M t M φδφδφ-++=<
<
这是不可能的 (M M <)。

其次，若0=M ，根据反证法的假设，则至少有一点)1,0(∈t 使0)(=t φ. 重复上面的作法，则得
02
)
()()(0=≤++-<
=M t t t δφδφφ
这也是不可能的()00<。

因此，对于一切)1,0(∈t 和任意1x 与()212x x x ≠，都有0)(<t φ，即函数)(x f 满足琴生不等式
)()1()(])1([2121x f t x tf x t tx f -+<-+ ],10[21x x t ≠<<
正因为对于连续函数来说，不等式(※※※)与琴生不等式(※)是等价的，所以我们在教科书中就把简单的不等式(※※※)作为下(上)凸函数的定义.。