零输入响应
电路零输入响应
一、RC 电路的零输入响应
+ t =0
C uC(t)
-
iC
+
R uR
-
已知uC(0－)＝U0，t＝0时开关闭合，电容储存的电 荷会通过R支路释放（放电）此时电路中虽然没有 激励，但电路中有响应存在。
—— 零输入响应。
物理分析：
电容在t ≥ 0会通过R支路放电。放电过程中， 在电阻R上消耗能量，当t→∞放电结束， 能量全部消耗在电阻上。
iL 0
U0 R0
I0
t > 0 后电路中没有激励，由于L中存储由磁场 能量，将通过RL回路释放出来，
——零输入响应
物理分析：
t≤0－ iL(0－)＝I0电路稳定。 t＝0时换路iL(0＋)＝iL(0－)＝I0
t≥0+为单回路。电感通过电阻释放能量。最后，能 量全部消耗在电阻上，电路又进入稳态。
+ t =0
uC (t)
-
iC
+
R uR
-
再利用初始值uC(0＋)＝U0 确定系数A
uC(0＋)＝Ae0＝U0
∴ A＝U0
uc (t)
t
U0e RC
uc
(0
)e
t
iC
C
duC dt
CU0 (
1
t
)e RC
RC
U0 U0 uC (t)
R
U0 R
t
e RC
iC
(0
)e
t RC
0 iC(t)
t
uc (t) U0est
t
0+
∞
uC
U0
0
iC U0/R 0
uR
一阶电路的零输入响应
dt
50 1 e1500t 0.05 1500 e1500t
50 25e1500tV
第17页/共26页
§10.4 一阶电路的全响应 一、全响应的分解
全响应：电路中输入激励和储能元件的储能共同产生的响应。
R
+
+ uR – i
–US
C
uC 0 U0
电路方程
ui US
+u US-U0 C
一、RC电路的零输入响应
12 i
uC i
特征根
p
1
+ U0
—
R0
+ C uC
—
+ R uR
—
U0
U0
R
uC
i
0
RC
t
uC Ae RC t 0
确定积分常数
t
uC 0 U0
uC 0 U0
电路方程
uR uC 0
电压与电流的关系
u R iR
电路方程
RC
duC dt
uC
0
t＞0
通解
uC Aept
二、全响应的分解
1.全响应可分解为稳态分量和瞬态分量。
t
uC = uC′+ uC″ = US + （U0 - US）e
τ
稳态分量 瞬态分量
强制分量 自由分量
2.全响应可分解为零输入响应和零状态响应。
t
t
uc = uc1 + uc2 = U0e τ + US（1-e τ ）
零输入响应 零状态响应
uC US
+ uR –
uR uC i
+
R+i
零输入响应和零状态响应
计算方法
利用系统的传递函数和初始条 件进行计算。
通过求解常微分方程或差分方 程ห้องสมุดไป่ตู้找到系统的零输入响应。
在MATLAB/Simulink等仿真软 件中，可以通过设置系统的初 始状态来模拟零输入响应。
02 零状态响应
定义
零状态响应：是指在系统无输入 信号的情况下，系统对初始状态
产生的响应。
描述了系统在没有输入信号作用 时，其内部状态的变化情况。
零状态响应完全取决于系统本身 的特性，与输入信号无关。
产生原因
系统内部存在储能元件（如电容、电 感），当输入信号为零时，储能元件 的能量不会立即消失，而是会以某种 形式继续存在并产生响应。
系统参数（如电阻、电感、电容等） 发生变化，导致系统内部状态发生变 化，从而产生零状态响应。
计算方法
根据系统的传递函数 和初始状态进行计算。
针对复杂系统和多尺度问题，发展基于零输入响应和零状态响应的跨学科 解决方案，促进各领域之间的交流与合作。
探索零输入响应和零状态响应在可持续发展、环境保护、公共安全等领域 的潜在应用价值，为社会发展和人类福祉做出贡献。
技术创新
开发高效、稳定的零输入响应和零状态响应算 法，提高计算效率和精度，降低计算成本。
零状态响应
零状态响应描述的是系统在外部输入作用下的输出变化。通过研究零状态响应， 可以了解系统对不同类型输入的响应特性，进而设计出更好的控制系统。
系统建模与仿真
零输入响应
在系统建模与仿真中，零输入响应用 于描述系统的内部动态特性。通过分 析零输入响应，可以深入了解系统的 内部工作原理和稳定性。
零状态响应
零状态响应用于描述系统对外部输入 的响应特性。通过研究零状态响应， 可以预测系统在不同输入条件下的行 为表现，有助于优化系统的设计和控 制。
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况
RLC串联电路的零输入响应——临界阻尼情况RLC串联电路是由电感、电阻和电容三个元件组成的电路。
在该电路中，当电源不加电时，电感和电容会有一定的电荷和电流分布，这种分布会导致零输入响应。
零输入响应是指在没有外部输入信号的情况下，电路中的元件之间会通过内部能量的转移来产生一种响应。
在RLC串联电路中的零输入响应，临界阻尼是其中一种情况。
当电路中的电阻大小等于阻尼电阻临界阻值时，电路呈现临界阻尼特性。
临界阻尼是指电路中的电荷和电流衰减的速度最快，衰减到零的时间最短。
在临界阻尼情况下，电路的阻尼电阻大小等于等效电阻R，即R=2√(L/C)，其中L表示电感的感值，C表示电容的容值。
在临界阻尼情况下，电路的特性如下：1.电路的过渡过程较快：在临界阻尼条件下，电路的过渡过程最快，电荷和电流的衰减速度较大，因此电路的过渡时间相对较短。
2.电路的振荡最小：临界阻尼条件下，电路没有振荡现象，电荷和电流没有来回变化的过程。
电路的响应呈现出衰减的趋势，最终衰减至零。
3.电路的振荡频率：在临界阻尼情况下，电路的振荡频率为共振频率，即f=1/(2π√(LC))。
在RLC串联电路临界阻尼情况下，可以通过解微分方程的方法求解零输入响应。
设电容电压为v(t)，电感电流为i(t)。
电路的微分方程为：L(di(t)/dt) + Ri(t) + (1/C)∫i(t)dt = 0对该微分方程进行求解，并考虑初始条件，可以得到电流i(t)的表达式：i(t) = I_0e^(-Rt/2L)[cos(ωt) + (R/2L)sin(ωt)] + I_1e^(-Rt/2L)[sin(ωt) - (R/2L)cos(ωt)]其中，I_0和I_1为常数，ω为角频率，ω=√(1/LC-(R/2L)^2)。
零输入响应主要体现在电感电流i(t)和电容电压v(t)的变化上。
通过解析上述表达式，可以得到i(t)和v(t)的变化规律。
在临界阻尼情况下，电路的过渡过程较快，电流和电压的大小随时间呈指数衰减的趋势，直至衰减到零。
零输入响应
=
5 24
e–
t
12 A
电路分析基础——第二部分：7-3
12/12
i2(t) =
5 6
e–
t 12
12 12+4
=
15 24
e–
t
12 A
uab(t) = －4i1(t) + 3i2(t) =
25 24
e–
t 12
V
t≥0
c
R1
+
R2
R4
ab
– 10e–t/12 V
R3
R5
R1=9, R2=4, R3=8, R4 =3, R5=1 图7-12 用电压源置换电容后所 得的电阻电路，t≥0
解得
L
diL dt
+ RiL = 0
iL(0) = I0
iL(t) = I0e – t /
t≥0 t≥0
（7-25） （7-21） （7-22）
电路分析基础——第二部分：7-3
7/12
式中
=L/R 为该电路的时间常数。电感的电压
uL = L
diL dt
= －RI0e t /
t≥0
uL 则为
（7-28）
iC 在开关接通的瞬间电流突变达到U0 /R，以后随时间变化 的曲线，即 iC 的波形如图7-5所示(注意电流方向)。
另一种典型的一阶电路是 RL 电路。我们来研究它的零输 入响应。设在在 t<0 时开关S1与 a 端相连，因而电感被充磁到 电流 I0。在t=0时刻开关S1换为 c 点而同时开关S2闭合。
电路分析基础——第二部分：7-3
6/12
S1
a
bc
Is = I0
零输入响应和零状态响应
齐次解
X
第 14
页
两种分解方式的区别：
1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
c c 与 i
xi 不相同
c i 由初始状态和激励共同确定
c xi 由初始状态确定
2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
t 时，响应趋于零的那部分响应分量；而稳态响应指 t
(Cte-t
)
3
d dt
(Cte-t
)
2(Cte-t
)
e-t
特解 yp (t) t et
零状态响应： yzs (t) C1et C2e2t t et
由起始状态导出初始条件
y(0 ) 0 y '(0 ) 0
y(0 ) 0 y '(0 ) 0
y(0 ) C1 y '(0 ) C1
r1(t) rzi (t) rzs (t) 2e3t sin(2t) u(t)
r2 (t) rzi (t) 2rzs (t) [e3t 2sin(2t)]u(t)
X
四.对系统线性的进一步认识
第 17
页
解得 rzi (t) 3e3tu(t) rzs (t) [e3t sin(2t)]u(t)
零输入响应： 没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系 统储能）所产生的响应。
零状态响应： 不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于 零），由系统的外加激励信号产生的响应。
X
二．起始状态与激励源的等效转换
第 4
页
在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换。 即可以将原始储能看作是激励源。
零输入响应
• 举个例子
R1=1.5Ω，R2=R3=1Ω，Uc=0.5F，已知Uc（0）=-2V
电容的电压从-2V到0V，这就是一个零输入响应
使用三要素法计算零输入响应
• • • • • 三要素分别为 y（t）代表电路中任意电压或者电流 y（0+）表示该电压或者电流的初始值 y（∞）表示该电压或电流的稳态值 τ表示电路的时间常数
零输入响应
吴江 201208080222
知识点回顾
• 零输入响应在史迹电路分析中是可以单独 存在的，不一定是全响应的一个分量。从 物理意义上看，零输入响应式依靠动态元 件的初始储能进行的，当电路中存在耗能 元件R时，有限的初始储能终将被消耗殆尽， 不管是状态变量还是飞状态变量，零输入 响应终将为零。c 1/3 Nhomakorabea9
4
a b
3
8 d
1
单位为Ω和H（p23723）
一直Ucd（0+）=18V，求Uab（t），t≥0.
• 我们已经Ucd（0+），我们只需要知道 Ucd(∞)以及时间常数就能求出Ucd（t）， 再根据简单电路关系就能求出Uab（t）。
当t为∞时，cd两端的电压为0，即Ucd（∞）=0 该电路的等效电阻为4Ω和8Ω的串联之后并联上一个3Ω和1Ω的串 联电阻，所以等效电阻为R0=9+（12*4）/（12+4）=12Ω 所以时间常数τ=(1/3)/12=1/36s 这种情况是衰减的玲稳态值的情况，所以 Ucd（t）=18e^(-36t) 可以判断a点的电压比b的电压要低，所以 Uab（t）=-1.875e^(-36t)
零状态响应与零输入响应
信号与系统第8讲零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应的定义 ⏹从引起系统响应的根源出发，将系统全响应分为零输入响应和零状态响应，即 ⏹零输入响应是指没有外加激励信号（零输入）,仅由系统内部初始储能(电容储有电场能、电感储有磁场能)引起的响应； ⏹零状态响应是指系统内部储能为零（零状态)，仅由系统的外部的激励引起的响应。
)()()(t y t y t y zs zi +=零输入响应的求解设n 个特征根为 ()(1)(2)1210()()()'()()0n n n n n y t a y t a y t a y t a y t ----+++++=L 00111=++++--a a a n n n λλλΛ其特征方程为 12.nλλλL 零输入下，系统的微分方程为 系统的零输入响应与微分方程的齐次解相同 以下分三种情况讨论零输入响应的求解（2）若存在共轭复根，如 1,2j λαβ=±3123()(cos sin ),0n t t t zi n y t c t c t e c e c e t λλαββ=++++≥L (3) 若这些特征根中含有重根，设 r 12r λλλ===L 111121()[()],0n r t t t r zi r r n y t c c t c t e c e c e t λλλ+-+=++++++≥L L 1212(),0n t t t zi n y t c e c e c e t λλλ=+++≥L （1）若这些特征根都是单根，则由起始状态值确定待定系数【解】 特征方程为 其特征根为 λ1 = -1， λ 2= -3零输入响应为： (0)1,(0)2y y --'==得到：最后得到： 根据起始条件： 例1 已知系统微分方程应的齐次方程为： (0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
)(3)('4)(''=++t y t y t y 0342=++λλ312()t tzi y t c e c e --=+312'()3t tzi y t c e c e --=--121=+c c 2321=--c c 251=c 232-=c 353()(),022t t zi y t e e t --=-≥例2 已知系统微分方程相应的齐次方程为：(0)1,(0)2y y --'==，求系统零输入响应。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
当： t 时， uc U0 e1 0.368U0 t 2 时， uc 2 U0 e2 0.135U0 t 3 时， uc 3 U0 e3 0.05U0 t 4 时， uc 4 U0 e4 0.0184U0
在工程实际中，一般近似认为 t = 3 ～5τ时，电容上的电
电感视如短路
由图(c)可求出一介RL电路 零输入响应的等效放电电阻为：
R 1010// 2010
电路的时间常数为
L L R 1 10 0.1 s
10Ω i1 + i2 10Ω 1H uL(t) 20Ω
iL(t) －
(c) t≥0（换路后）
电感的电流为 iL t iL 0 et L e10t A ( t ≥0 )
s 1
L
（称为RL电路的固有频率）
则，一介RL电路零输入响应的一般表示式为
iL t iL 0 est I0 et L
（t≥0）
uL t
L diL dt
R I0 et L
uL
0
et L
（t≥0）
3、一介RL零输入响应的变化过程
iL t I0 et L
uL t R I0 et L
于是，一介RC电路零输入响应的一般表示式可写为
uc t uc 0 est uc 0 et c
（t≥0）
it C duc uc 0 et c i0et c （t≥0）
dt R
（2）一介RC零输入响应电路中τ 的意义
由一介RC零输入响应：
uc(0) uc(t)
uc t uc 0 et （t≥0）
则 K uc (0) U0
1t
uc t U0 e RC （t≥0）
电容的初始电压 u c(0)
一介RC电路中，零输入响 应的一般表示式可写成
1t
uc t uc 0 e RC （t≥0）
it
C
duc
uc
0
1
e RC
t
dt R
U0
1t
e RC
（t≥0）
R
3、一介RC电路的时间常数τc （1） 时间常数τc 的定义
uL 0 et L
（t≥0） （t≥0）
电流放电曲线
+
L uL(t) R
－
iL(t) t ≥0，i L(0) = I0
τ 电压变化曲线
响应 iL(t) 和 uL(t) 随时间按
工程技术中，常近似认为 t
指数规律衰减，理论上
经3τ～5τ后， iL(t) 和 uL(t) 按指
t 经0 到 ∞
iL(t) 由 I0→0 uL(t) 由－RI0→0
（c）t≥0(换路后）
解：（1）换路前（t<0）
电路
∵ 电路处于稳态，ic(0-)= 0，电容视如开路
∴
uc
0
2
10 4
4
4
4
（V）
（2）换路后（t≥0），电路为RC电路的零输入响应
依据换路定律 uc 0 uc 0uc 0 4 （V）
求时间常数τ，电容放电电路如图（d）所示
R R1R2 44 2（Ω）
∵
u
L
L
diL dt
图(b) t ≥0 （换路后）
∴ 电路的状态方程为
L
diL dt
RiL
0
（t≥0）
方程是以电感电流 iL(t)为状态变量的线性一介齐次微分方
程，依据微分方程理论可知
方程的特征方程为 Ls R 0
方程的特征根为
sR L
令
L
L R
τL 称为 RL 电路的时间常数，单位为秒。
于是特征根
§7-3 零输入响应
t=0
所谓零输入响应，就是外加输入（激励）为零时，由动态
元件的初始贮能所引起的电路响应。
一、RC电路的零输入响应
电阻和电容组成的电路中，无 外加输入时，由电容的初始电压所 产生的电路响应，称为 RC 电路的 零输入响应。
S1 t=0 S2
t=0 i(t)
+
U0 －
+uc ( t ) R
在图（a）所示电路中，当 t = 0 时开关S由a转向了c，电 路发生了换路。 t<0（换路前），流过电感L的电流是一恒定
的电流，电感储存磁场能，换路前瞬间 iL(0-) =is=I0。
在 t≥0（换路后），由于电流源不再作用于电路，电路的 输入为零，电路中的响应是由电感上初始储能（即初始电流 I0 ）所引起的，为 RL电路的零输入响应。
t≥0(换路后）
uc (0+) = U0
2、RC电路零输入的状态方程及响应
依据 KVL ，建立图示零输入RC电 路的状态方程为
RC
duc dt
uc
0
（t≥0）
i(t )
+
C －uc ( t ) R
（t≥0）
u c(0) =U0
方程是线性一介齐次微分
方程，其解为
uc
t
Kest
1t
K e RC
设 uc (0) U0
数值上等于时间常数τ，即 BC = τ。
② 在uc ( t ) 曲线上任意一点A，如果uc ( t )以该点的斜率为 固定变化率作衰减，经过τ时间， uc ( t )衰减为零值。
（4）电容电压的放电过程与时间常数的关系
uc t U0 et （t≥0）
一介 RC 零输入响应电 路中，电容的放电过程
一介RC零输入响应电路的状态方程为
i(t )
+
C uc ( t ) R
－
RC
duc dt
uc
0
（t≥0）
特征方程为 sRC 1 0 ； 特征根为
t≥0
uc (0) = U0
s 1 RC
令 c RC （τc称作 RC 电路的时间常数，单位为秒） 则 s 1 c （S也称作 RC 电路的固有频率）
电感的电压为
uL t
L diL dt
10e10t
V
( t ≥0 )
10Ω i1 + i2 10Ω 1H uL(t) 20Ω
iL(t) －
(c) t≥0（换路后）
支路电流
i1
uL 10 10
0.5e10t
A
( t ≥0 )
支路电流
i2
uL 20
0.5 e10t
A
( t ≥0 )
Go
uc 010 V ； 2 s 10
∵ 电路为一介RC零输入响应
∴ 电容的电压为
uc
t
uc
0
e
t
t
10 e 2
V
02
ic(t) /A
t /s
（t≥0）
流过电容的电流为
0
t /s
ic t C
duc dt
t
5 e 2 A
（t ＞0）
-5
式中负号表示电容上电流和电压的方向相反
二、RL电路的零输入响应
R1 R2 4 4
1F
ic ( t ) －+uc ( t )
R = R1 // R2
RC 12 2（S）
（d）
∴ uc t uc 0 e t 4 e t 2 （V） （t≥0）
i ( t ) R1
4Ω ic ( t )
+
uc
(
t
) －
1F
4Ω
R2
（c）t≥0(换路后）
uc
0
t /s
it uc 0 et i0 et
R
i(t) i(0)
（t≥0）
可知：
0
t /s
①只要知道电容的初始电压值 uc ( 0 ) 和电路的时间常数τ， 就可以确定一介RC电路在t≥0时的零输入响应 uc ( t ) 和 i ( t )。
② 响应uc ( t ) 和 i ( t )随 t 呈指数衰减，τ越小衰减越快， 即电容放电越快；τ越大衰减越慢，即电容放电越慢。
（3） 时间常数τ的几何意义
过任意 A 点作切线 AC
BC AB tg
uc(t)
uc(0)
uc
t
uc
0
e1 t
tgduc t来自dtt t1uc(t1) A
uc( t1+τ )
uc 0
e1
t1
α
0
Bτ
Ct
∵
AB
uc t1
uc 0
1
e
t1
∴ BC AB tg
① 由图可知，切线AC在时间坐标上的次切距的长度BC在
－
t≥0 时，电路的输入为
t<0(换路前） 换路
零，由 uc ( 0 ) 的作用产生响
应，是RC零输入响应。
S1
S2
t≥0
1、含电容电路的换路定律
依据电容电压的连续 性质，电路满足
+ U0 －
i(t )
+
uc ( t ) R
－
i(t )
+
uc ( t ) R
－
uc ( 0+ ) = uc ( 0 ) = uc ( 0- ) = U0
a 10Ω
b 10V 10Ω
1A
1H 20Ω t<0
10Ω 10V
iL(0-) u－+L(0-)
(a)
t=0 时换路
(b) t<0 时 uL(0-) = 0
电感视如短路
10Ω i1 + i2 10Ω 1H uL(t)
iL(t) －
(c) t≥0（换路后）
20Ω 求τL和 iL