指数函数与对数函数

m<n
1.1m < 1.1n
m<n
指数函数的应用 求下列函数的定义域、值域： 例1. 求下列函数的定义域、值域：
⑴ y = 0 .4
1 x −1
⑵y =3
5 x −1
⑶ y = 2 +1
x
函数的定义域就是使函数表达式有意义的自变量 x的取值范围。 的取值范围。 的取值范围 （1）定义域为 ）定义域为{x|x≠1}； ；
1 ≠0 x −1
值域为{y|y>0且y≠1} 且 值域为
⑴ y = 0 .4
1 x −1
⑵y =3
5 x −1
⑶ y = 2 +1
x
1 （2） 定义域为{x| x ≥ } ） 5
值域为{y|y≥1} 值域为 y≥1
5 x − 1 ≥0
（3）所求函数定义域为 ）所求函数定义域为R 值域为{y|y>1} 值域为
指数函数
指数函数的定义 叫做指数函数， 函数 y=ax, (a>0,a≠1) 叫做指数函数， 其中x是自变量 函数定义域是R。 是自变量， 其中 是自变量，函数定义域是 。
注意 的函数， 类似与 2ax，ax+3的函数，不能叫指数函数。 的函数 不能叫指数函数。
y = a x ( a > 0且a ≠ 1) 的图象和性质。
练习 1求值： 求值： 求值
2 3
1 −3 16 8 ,100 , ( ) , ( ) 4 81
2 3 3× 2 3
2 3
−
1 2
−
3 4
解： 8 = ( 2 3 ) = 2
= 22 = 4
1 2×( − ) 2
100
−
1 2
= (10 )
2
−
1 2
= 10
1 = 10 = 10
−1
1 −3 − 2 −3 ( −2 )×( −3) 6 ( ) = (2 ) = 2 = 2 = 64 4
1 2 3
（２） log 0.4 1
0
（４） log 2.5 6.25 2 （６） log 3 243
5
对数的运算性质
复习重要公式 ⑴ 负数与零没有对数
⑵ log a 1 = 0 ， log a a = 1
⑶对数恒等式 a
log
a
N
= N
指数运算法则
a m ⋅ a n = a m + n (m, n ∈ R) (a m ) n = a mn ( m, n ∈ R ) (ab) n = a n ⋅ b n (n ∈ R)
(1)(2a b )(−6a b ) ÷ (−3a b ); (2)(m n ) .
要点： 要点：分别计算系数和指数
1 4 3 8 8
2 3
1 2
1 2
1 3
1 6
5 6
4a
2 3
mn
4. 计算下列各式： 计算下列各式：
(1)
a2 a3 a2
(a > 0);
a
5 6
(2)(3 25 − 125 ) ÷ 4 5
a>1
6
0<a<1
6
图 象
1
5
5
4
4
3
3
2
2
1
1
1
-4
-2
0
-1
2
4
6
-4
-2
0
-1
2
4
6
(1)定义域：R 性 质 （2）值域： （0，+∞） （3）过点（0，1） ，即 x=0 时，y=1 （4）在 R 上是增函数 （4）在 R 上是减函数
某种放射性物质不断变化为其他物质， 例1某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过 年剩 某种放射性物质不断变化为其他物质 每经过1年剩 留的这种物质是原来的84%，画出这种物质的剩留量随 留的这种物质是原来的 ， 时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年， 时间变化的图象，并从图象上求出经过多少年，剩量留 是原来的一半（结果保留1个有效数字 个有效数字）。 是原来的一半（结果保留 个有效数字）。 经过x年 经过 年，剩留量
16 − 4 2 4×( − 4 ) 2 −3 27 =( ) = ( ) =( ) 81 3 3 8
3 3
2. 用分数指数幂的形式表示下列各式： 用分数指数幂的形式表示下列各式： 1).
a2 ⋅ a, a3 ⋅ 3 a2 , a a,
a
5 2
a a
3 4
11 3
3. 计算下列各式（式中字母都是正数） 计算下列各式（式中字母都是正数）
log 2 32 = 5
1 log 2 = −1 2 1 1 log 27 = − 3 3
1 （３） 2 ＝ 2
−1
（４） 27
−
1 3
1 = 3
2. 把下列对数式写成指数式
(1) log 3 ９＝２ （２） log 5 １２５＝３
32 = 9 5 = 125
3
1 （３） log 2 ＝－２ 4 1 （４） log 3 ＝－４ 81
log 1 5.73 = m
3
例2 . 将下列对数式写成指数式
（ 1） log 1 16 = −4 ）
2
1 −4 ( ) = 16 2
27=128 10-2 =0.01 e2.303=10
（ 2） log 2 128=7； ） ； （ 3） lg0.01= -2； ） ； （ 4） ln10=2.303 ）
根式 知识点 1．整数指数幂的概念 ．
a n = a ⋅4⋅ a4 a(n ∈ N *) 1a2L 3
n个a
a 0 = 1( a ≠ 0)
a
−n
1 = n (a ≠ 0, n ∈ N *) a
2．运算性质 ．
a m ⋅ a n = a m + n ( m, n ∈ Z ) (a m ) n = a mn (m, n ∈ Z ) (ab) n = a n ⋅ b n (n ∈ Z )
（6）底数的取值范围 ）
(0,1) U (1,+∞ )
真数的取值范围范围
(0,+∞ )
对数举例 例1. 将下列指数式写成对数式
（1） 5 =625
4
log 5 625=4
1 log 2 = −6 64
log327=a
1 （2） 2 = 64
−6
（3） 3 =27
a
1 m (4)（ ） =5.73 3 Nhomakorabea12
5 5 − 54 5 .
（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。 ）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。 （2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式， ）题先把根式化成分数指数幂的最简形式， 然后计算。 然后计算。
计算下列各式（式中字母都是正数） 2. 计算下列各式（式中字母都是正数） ： ⑴ (2a b )(−6a b ) ÷ (−3a b ) ； ⑵ (m n
探究 ⑴ 负数与零没有对数 （∵在指数式中 N > 0 ） (2)
log a 1 = 0
log a a = 1
⑶对数恒等式
a
log a N
=N
常用对数： ⑷ 常用对数： 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数。 我们通常将以 为底的对数叫做常用对数。 为底的对数叫做常用对数 记作 lgN ⑸ 自然对数 在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828…… 在科学技术中常常使用以无理数 为底的对数，以e为底的对数叫自然对数 为底的对数， 为底的对数叫自然对数 记作 lnN
对数运算性质
log a (MN) = log a M + log a N (1) M log a = log a M − log a N ( 2) N log a M n = nlog a M(n ∈ R) ( 3)
关于公式的几点注意 1. 简易语言表达 积的对数 = 对数的和 log a (MN) = log a M + log a N (1) M log a = log a M − log a N (商的对数 = 对数的差 2) N 幂的对数(=)底数的对数与指数的积 log a M n = nlog a M(n ∈ R) 3 2. 有时逆向运用公式运
记作： log a N = b 记作： 对数符号 底数 为底N的对数 以a为底 的对数 为底 真数
和底数，真数有关。 对数的值 和底数，真数有关。
例如： 例如：
4 2 = 16
10 2 = 100
log 4 16 = 2
log10 100 = ?
1 2
-3 2
log 4 2 = ?
log10 0.001 = ?
n n 为任意正整数时， 当 n 为任意正整数时， ( a ) =a.
2. 当n为奇数时 为奇数时
n
an = a
a , ( a ≥ 0) a = a = − a, (a < 0)
n
当n为偶数时 为偶数时
n
3. 根式的基本性质： 根式的基本性质：
np
a mp = n a m , (a ≥ 0)
x=n a 记作： 记作：
2. 当n为偶数时， 为偶数时， 为偶数时 正数的n次方根有两个（互为相反数） 正数的 次方根有两个（互为相反数） 次方根有两个 记作： 记作：
x = ±n a
3. 负数没有偶次方根。 负数没有偶次方根。 4. 0的任何次方根为 。 的任何次方根为0。 的任何次方根为
常用公式 1.
2
−2
1 = 4
1 3 = 81
−4
3. 求下列各式的值
(1) log 5 25 （３） lg 100 （５） lg 10000