数学中蕴涵的美学思想 (2)
试论数学中的美学思想
１ 导 言
马克 思 主义认 为 ， 客观世 界在 本质 上是统 一 的 ， 而 这种统 一 性 首 先 “ 于 它 的 物 质 性 ” 恩 格 斯 ） 在 （ 。 这 里所说 的统 一性 ， 某 种 意义 上 说 就 是指 它 所 具 在 有 的一种 和谐性 ， 就 是 所 谓 的科 学美 。正 是 由于 这 客 观世界具 有这 种统 一性或 和谐 性使 及其 发展 变化 均具 有某 种规律 性 ， 科 学 的全 部 任 务 就在 于 去 发 而 现 这些规律 。这 里所 谓 的规 律性 就是 和谐 ， 就是美 。 因此 科学美 是 客观存 在 的 ， 是 唯物 主义 的美 学 观 。 这 由此 可观所 谓 和谐 本 质上来 源 于客观 世界 的物质 统
维普资讯
Байду номын сангаас
２０ ０ ７年 ９ 月
贵州科 技 工程 职 业学 院学报
Ｇｕｚｏ ｃ— ｃ ｎ ｉｅ ｒ ｇＶｏ ａｉｎ ｌＣ ｌ ｇ ｉｈ ｕ Ｓ ｉ ｅ ｈＥ ｇｎ ｅｉ ｃ ｔ ａ ｏｌ ｅ ｔ ｎ ｏ ｅ ・３ ・ ９
第 ２卷 第３期
２ 数 学理论 的美学原 则
与科 学 美一样 ， 数学 美具 有下 述 几个特 点 ：
２ １ 和谐 性 ．
性、 物质 世界运 动 的 固有 规律 性 与可认 识性 ， 科学 数学作 为一 门古 老 的学 科 ， 是 一 切科 学 研 究 乃
美 不过是 唯物辩证 法 在科学 中的具体 表现 。 的基 础 与方 法 。 正 如 马克 思 所 说 ： 一 门科 学 只 有 “ 成 功地运 用数学 时 ， 算达 到 了真 正完 善 的 地步 ” 才 ，
些 探讨 。
作为一 切科 学研究 的基 础 。数 学具有 下述 几个 特点 ：
数形结合方法中体现的美学思想
数形结合方法中体现的美学思想一直以来，人们在学习数学时，往往很容易进入这样一个误区，认为数学只是一门枯燥乏味的工具性学科，只注重其实用原则，却忽略了其美学原则。
通过对初中学生的数学课堂学习表现以及学习动机的调查，我们发现很多学生学习数学仅仅是为了应付考试，本身对数学并没有什么兴趣，显然这与我们所提倡的新课程教育理念相违背。
众所周知，喜欢美好的事物是人类的天性，人们在实际生活中也都倾向于追求美丽的事物，这对我们的数学教育工作者开展数学教学而言也是一种启发。
初中教师在课堂教学中，一定要注重将实用性原则与美学原则相结合，在传授学生基本的解题能力的同时，还应当引导学生去发现数学之美，培养学生对数学的学习兴趣。
数形结合的美主要体现在数与形二者的统一美与简洁美，我国著名的宋代数学家杨辉在推导三角形面积公式时，就巧妙运用了数形结合的思想，在其所著的书中，我们既能够欣赏到数学之美，也能够深刻领会到数形结合、对称思想等多种数学研究思想，以及数形之间的统一协调美。
我国著名数学家华罗庚于1964年在其科普小册子《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》一文中，在讨论蜂房结构时最早提及了“数形结合”一词。
如蜂窝的表面是有许多个正六边形组成的，形状紧凑而复杂，那么蜜蜂为何会选择使用六边形这种图案而不是正三角形、正四边形等图案来建造蜂窝，这个问题引发了人们的思考。
众所周知，在所有的正多边形中，能够进行自镶嵌的只有正三角形、正方形以及正六边形三种，从面积角度来看，如果规定一定的面积，那么正六边形的周长最小，结合蜂蜜筑巢的实际情况，即在确保同样的储存面积时，将巢穴建成六边形所需花费的材料最少，显然蜜蜂并没有学过数学，更不懂什么叫做镶嵌理论，这让人们不得不感叹于蜜蜂这种神奇的建筑能力。
我们将毕达哥拉斯定理以及黄金分割定理称为几何学的两大研究瑰宝，如果说前者是金矿的话，那么后者则是钻石矿，可见其在数学几何学研究中的重要价值，黄金分割定理完美地呈现了数形结合的统一美。
数学中的美学探索
数学中的美学探索数学是一门充满美感的学科，它不仅仅是一种工具，更是一门追求真理和美的科学。
数学与其他学科一样，具有自身的美学特征和探索方法。
在本文中，将探讨数学中的美学探索，并从几个方面展开对数学美学的研究。
一、数学的逻辑美学数学是一门严谨的学科，它以逻辑为基础，通过推理和演绎来构建数学体系。
数学中的定理和证明以其精确的逻辑结构和推理过程展现出一种美感。
比如欧几里得几何学中的五大公设以及由这些公设推出的定理，其演绎过程简洁而又精确，呈现出一种纯净而和谐的美。
二、数学的对称美学数学中的对称是一种普遍存在的美学特征。
在代数学中，对称群以及对称性质是研究的重要方向之一。
在几何学中，对称性质与变换密切相关，这些变换包括平移、旋转、镜像等。
对称性在数学中产生一种整体性和和谐感，使得数学结构更具美感。
三、数学的构造美学数学中的构造是一种重要的美学特征。
数学家通过不断的构造和创新，发现新的数学对象和结构。
在代数学中，通过构造群、环、域等代数结构，揭示了数学内在的规律和美。
在几何学中，通过构造各种形状和结构，展示了几何学的多样性和美感。
数学中的构造过程蕴含了数学家的智慧和创造力。
四、数学的博弈美学博弈论作为数学的一个分支，研究了决策和策略的问题。
博弈论中的数学模型和解答，常常涉及到最优策略、均衡点等概念。
博弈论中的数学分析不仅仅满足于解决实际问题，更关注于思维和决策背后的数学美感。
数学在博弈中的应用，扩展了数学的应用领域，同时也丰富了博弈理论的内涵。
五、数学的无穷美学数学中的无穷概念，是数学美学的一个重要方面。
从实数到无理数，再到复数，数学中的无穷概念具有很强的美感。
无穷的大小和无穷的细分，展示了数学的丰富性和无限性。
数学中的无穷概念不仅仅是一个概念，更是一种思维方式和哲学观念，拓展了人们对数学美的理解。
综上所述，数学中的美学探索体现在逻辑美学、对称美学、构造美学、博弈美学和无穷美学等方面。
数学美学既是对数学本身的追求，也是对数学美的探索与赏析。
数学中的美学追求
数学中的美学追求数学作为一门科学，追求的不仅仅是解决实际问题，更是在于发现和欣赏其中的美学价值。
在数学中，美学追求贯穿于各个领域和概念之中，无论是在数学的形式、证明结构、数论的奇妙性质，还是在几何的对称性和曲线的优雅图形中，美学都扮演着重要的角色。
一、数学的形式美学数学的形式美学源于其独特的符号体系和推理规则。
数学语言的简洁性和精确性赋予了数学以独特的美感。
数学中常见的符号、公式和等式，如π、e^iπ+1=0，无论是在它们的排列还是在它们的推导过程中，都流露出一种简洁的美感。
这种形式美学也体现在数学公式的对称性和平衡性之中，比如在群论中存在的对称性、在微积分中存在的函数的平滑曲线等等。
二、数学的证明美学数学中，证明是核心的过程之一。
数学的证明是一种严谨而逻辑性很强的推理过程，而这种推理过程本身就蕴含着美学追求。
证明需要从已知的前提出发，经过一系列逻辑推理后得到结论。
在证明过程中，美学追求体现在证明的整体结构上，要求逻辑清晰、层次分明。
同时，证明中的创新性、独特性和简洁性也是数学美学追求的表现。
一种简洁而优雅的证明方式往往能够给人以美的享受。
三、数论中的奇妙性质数论作为数学的一个分支，探讨的是自然数的性质和规律，其中蕴藏着许多令人惊叹的奇妙性质。
例如，费马定理、哥德巴赫猜想、黎曼猜想等，这些数论中的难题和猜想所展示出的美感，既表现在它们的简洁性和优雅性上，也包含了对数学结构和规律的深入理解。
四、几何的对称美和图形美几何学是数学中另一个富有美感的领域。
几何学中的对称性和图形美对于数学的美学追求至关重要。
对称性体现在几何形体的对称性和对称群的研究中，而图形美则展现在各种几何图形和曲线的形状和结构上。
黄金分割比例、斐波那契数列等美丽的几何特征，以及菲尔玛定理等几何性质的证明，都是几何中美学的具体表现。
总结数学中的美学追求是一种属于思维的美，它是对数学所固有的结构和规律的赞美，也是对人类智慧和创造力的体现。
数学之美探索数学中的美学元素
数学之美探索数学中的美学元素数学之美：探索数学中的美学元素数学是一门充满奇妙和美丽的学科。
它不仅是一种实用的工具，还蕴含了许多深刻的美学元素。
本文将探索数学中的美学元素，通过几个具体的例子，展示数学的魅力所在。
1. 对称美：对称是一种普遍存在于自然和艺术中的美学元素，而数学中的对称更是完美而精确的。
例如，正多边形的对称性被广泛应用于建筑和设计中。
它们具有吸引力和和谐感，让我们感受到对称美的力量。
2. 黄金分割：黄金分割是一个数学常数，它以1：1.618的比例被认为是最具魅力和美感的比例。
它在艺术、建筑和自然界中被广泛运用。
例如，著名的斐波那契数列中的每个数都是前两个数的和，它们之间的比例越往后越接近黄金分割。
3. 几何美：几何是一门探索形状、空间和结构的数学学科。
几何的美学元素体现在它的简洁性和对称性上。
例如，圆是几何中最简单的形状之一，它具有完美的对称性和平滑的曲线，让人感受到无限的美好。
4. 曲线美：曲线是数学中的重要概念，也是艺术和设计中常见的元素。
不同类型的曲线拥有各自独特的美感。
例如，抛物线给人以温柔和优雅的感觉，而双曲线则充满了复杂和神秘的魅力。
5. 色彩美：颜色在数学和艺术中都是重要的表达方式。
颜色的组合和运用可以营造出不同的情绪和氛围。
例如，色彩的对比和平衡在绘画和设计中起着关键作用，它们让作品更加生动和有趣。
6. 数列美：数列是数学中的一种序列，在自然界和艺术中同样有广泛的应用。
例如，斐波那契数列是一个以前两个数之和来构造的数列，它呈现出一种渐近趋近黄金分割的美感。
7. 对数美：对数是数学中的重要概念，它在科学和工程中非常常见。
对数的美感在于它能够将复杂的指数运算转化为简单的加法和减法运算，极大地简化了计算的过程。
8. 概率美：概率是数学中研究不确定性和随机性的分支，它在统计学和金融中有广泛的应用。
概率的美感在于它能够揭示事物背后的随机规律和趋势，让我们了解到世界的多样性和复杂性。
数学中的美学认识数学与艺术的结合之处
数学中的美学认识数学与艺术的结合之处数学中的美学：认识数学与艺术的结合之处数学是一门充满美感的学科，它与艺术有着千丝万缕的联系。
数学的美学表现在抽象的概念、精密的逻辑、优雅的证明和深刻的内涵等方面。
通过对数学中的美学认识，我们可以更好地理解数学的本质，并进一步发现数学与艺术的奇妙结合之处。
一、数学的抽象与艺术的表现力数学的抽象性是其与艺术的共同点之一。
数学家和艺术家都要将问题或观念抽象为符号、图像或形式化的表达方式。
例如，数学中的方程可以通过符号来表示，而艺术中的抽象绘画可以通过色彩和线条来表现。
无论是数学还是艺术，都追求表达出特定的意义或情感，通过抽象化的方式传达给观众。
二、数学的逻辑与艺术的创作过程数学的逻辑性与艺术的创作过程存在相似之处。
数学家在研究问题时，需要遵循一系列的逻辑规则，进行推理和论证。
而艺术家在创作时，也需要展现出一定的逻辑性，通过组合、变化和呼应等手法来达到艺术作品的内在结构和谐。
无论是数学还是艺术，逻辑的严谨性都是其美学价值的重要体现。
三、数学的证明与艺术的表达数学中的证明过程与艺术作品的表达有着相似之处。
数学家通过一系列严密的推理和推导，从基本的公理和定理出发，逐步演绎出完整的证明过程。
同样，艺术家也通过细腻的表现手法和独特的创作构思，将自己的思想和情感传达给观众。
无论是数学证明还是艺术作品，都需要有清晰的逻辑和丰富的内涵，才能给人以深刻的触动和感受。
四、数学的美学与艺术的审美数学中的美学与艺术的审美息息相关。
数学家通过对数学结构和关系的研究，发现了一系列美丽而优雅的定理和规律。
同样，艺术家也通过观察和感悟生活，创造出一个个艺术品，带给人们美的享受。
数学的美学和艺术的审美都需要对形式、比例、对称等方面有敏锐的感知力和独特的创意，从而给人带来视觉和思维上的愉悦。
结语：数学与艺术的结合为人们带来了新的视角和思考方式。
通过数学中的美学认识，我们不仅能够更深入地理解数学的内涵和价值，还能够更加欣赏和理解艺术作品背后的科学和逻辑。
数学中的美学与哲学
数学中的美学与哲学数学是一门既严谨又美丽的学科，它不仅包含着无穷的推理与证明，更蕴含了一种内在的美学和哲学。
数学的美学体现在它自身的结构、方法和定律中，而数学的哲学则涉及到数学的本质、真理以及其在人类思维中的地位。
本文将探讨数学中的美学与哲学，并阐明它们在数学领域中的重要性。
一、数学中的美学数学的美学表现在它的结构、方法和定律之中。
首先，数学的结构体现了一种无比精巧的组织和秩序。
例如，欧几里得几何中的直线、点和平面的定义及它们之间的关系，展示了一种简洁而又优美的几何结构。
在代数学中，矩阵和向量的运算规则则呈现出一种精确而又协调的代数结构。
这些结构的存在使得数学具有了一种内在的美感，激发着人们对其深入研究的欲望。
其次，数学的方法也是其美学的体现。
数学家们通过推理、证明和建立数学模型等方法，探索和揭示事物之间的关系和规律。
这种求证和创造的过程，体现了人类智慧和思维的优雅。
例如，在解决数学难题的过程中，数学家们常常运用直觉、创新和严密的逻辑推理，在追求真理的道路上产生出一种美感。
最后，数学的定律展示了一种普遍而又深刻的美学。
数学定律不仅形式简洁，而且具有普遍的适用性。
例如，费马定理、勾股定理和黄金分割等定理，无一不是通过其简洁而又优雅的表达方式而著名。
这些定理不仅满足人们对美的追求，更揭示了世界的普遍规律，深化了我们对自然和宇宙的认识。
二、数学中的哲学数学的哲学讨论了数学的本质、真理以及其在人类思维中的地位。
首先，数学的本质是哲学思考的重要对象之一。
数学研究的对象是抽象的、普遍的概念和结构，它揭示了事物的本质和规律。
数学的本质问题围绕数学对象的存在性、唯一性和性质等进行探讨。
例如，数学家们思考过数字的本质，探索了数学符号的起源和含义。
其次，数学的真理是哲学思辨的焦点之一。
数学的真理并非仅仅源于人类的主观意识，而是存在于数学结构和定律之中。
数学真理的性质和来源一直是哲学界争论的重点。
哲学家们通过探讨数学的证明方法、公理系统和推理规则等，试图揭示数学真理的本质和特点。
数学美学知识点总结
数学美学知识点总结数学美学是一门关于数学和美学之间关系的学科，它研究数学的美感和审美价值。
数学美学不仅涉及数学的美感和美学，也涉及到数学在其他学科领域的美感和审美属性。
数学美学的研究对象不仅仅是数学本身，而是数学的各个分支以及数学与其他学科之间的联系。
1. 数学与美学的关系数学与美学有着密切的关系，数学本身就具有一定的美感和审美价值。
数学中的公式、图形、定理等都体现了一定的美感和优美性。
例如，黄金分割比、费马大定理等都展现了数学的美感和优美性。
而且，数学在自然界和人类社会中的广泛应用，也使得它的美学价值更为突出。
比如，黄金分割比在建筑、艺术中的应用，都展现了数学的美感和美学。
2. 数学中的美学元素数学中的美学元素主要包括对称、规律、简洁、优美等。
对称在数学中有着重要的地位，它体现了数学的美感和美学。
例如，对称图形、对称函数等都展现了数学中的美感。
规律也是数学美学的重要元素，数学中的各种规律和定律都体现了数学的美学。
简洁和优美也是数学中的美学元素，数学中的一些定理和公式因其简洁和优美而被人们所喜爱。
3. 数学与自然之美数学与自然之间也存在着密切的关系，数学可以描述自然界中的各种现象和规律。
自然界中的各种美丽景观和规律也都可以用数学来解释和描述。
例如，菲波那契数列描述了许多植物的生长规律，黄金分割比在自然界中也有着广泛的应用。
数学可以帮助人们更好地理解自然界中的美丽规律，同时也能够帮助人们更好地欣赏自然之美。
4. 数学的应用美学数学在各个领域的应用中也展现了其美学价值。
数学在建筑、艺术、音乐等领域中的应用，都突显了数学的美感和审美价值。
建筑中的对称美、黄金分割比等都体现了数学的美学价值。
音乐中的和谐音程、音乐结构等也体现了数学的美学价值。
数学在艺术中的应用更是发挥了其美学价值，数学家们通过数学的手段创作出了许多美妙的作品。
5. 数学与教育美学数学在教育中也有着重要的美学价值。
数学教育不仅仅是为了传授数学知识，更重要的是培养学生的数学美感和审美能力。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美 二、数学美的涵义
第二节 数学美的特征
一、简单美 二、 对称美 三、和谐美 四、奇异美
教学ppt
退出
1
第三节 感受数学美
一、美观---外在的美 二、美好---内在的美 三、美妙---快乐的美 四、完美--- 至善至美
第四节 数学美在中国的源头
这个演变过程就是对简单美的追求过程。
教学ppt
返回 12
有些数及其运算只有用符号表示，才能更精确、更完美。 例如，圆周率是一个常数，1737年欧拉首先倡导用希腊
字母π来表示它，且通用全世界； 也是欧拉用e表示特殊的无 理常数─欧拉常数
elim (11)n2.7182851980 24854 n n
秩序 审美度= 复杂性
即人们对数学的审美感受程度，与数学表现出的秩序成正 比，与数学表现出的复杂性成反比。 因此，按审美度要求，数 学的表现形式越简单就越美。
教学ppt
返回 14
格林公式
cPdxQdyx ydxdy
DP Q
斯托克斯公式
sin sin sin
cPdxQdyRdzSx y
PQ
dS z R
教学ppt
返回
3
庞加莱：“数学家们十分重视他们的方法和理论是否 十分优美，这并非华而不实的作风，那么到底是什么使我 们感到一个解答、一个证明优美呢？那就是各个部分之间 的和谐、对称、恰到好处的平稳。”
克莱因：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类 灵魂最独特的创造。音乐能激发或挠慰情怀，绘画能使人 赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可 改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”
高斯：“去寻求一种最美和最简洁的证明，乃是吸引 我研究的主要动力。”
教学ppt
返回
4
二、数学美的涵义
教学ppt
返回 5
教学ppt
返回
6
教学ppt
返回
7
第二节 数学美的特征
一、 简单美
简单性，在数学中普遍存在。数学中的每个概念，都是 经过人们精心“雕琢”得到的，是人类智慧的结晶，数学就 是以它的这种独特的“简”来展示它的美的。
简洁的阿拉伯数字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0这 一组数字是人们对物质世界存在性最直接最原始的表达。 历史上,各国各民族都有自己的数字,但只有阿拉伯数字保 留并广为流传,究其原因,简洁流畅的书写,干脆上口的发音, 运算中进位快捷方便,是其胜出的法宝。
教学ppt
返回 9
1. 符号简单
412x2－x +136
其中x系数旁边注以“元”字，常数项注以“太”字，筹 上画斜线表示“负数”。
教学ppt
返回 11
16世纪，数学家卡当、韦达等人对方程符号有了改进，直 到笛卡尔才第一个倡用x, y, z表示未知数。 他曾用
xxx－9xx +26－24∝0
表示方程
x3－9x2 +26－24 = 0
符号是书写数学语言的文字，大数学家克莱因说：“符 号常常比发明它们的数学家更能推理”, 人们总是探索用简 单的符号去表现复杂的数学内容。
教学ppt
返回
10
在埃及出土的三千六百年前的莱因特纸草上有下面一串符号
用今天的符号表示即：
x(2111)37. 327
宋、元时期我国也开始了相当于现在“方程论” 的研究， 当时记数使用的是“算筹”，的记号来表示二次三项式
简单性是数学美的本质之一 。数学是客观的数量关系和 空间形式的高度抽象和概括，而经过不同程度的抽象后，所 得出的数学形式和结构总是在不同的范围内呈现出简单的形 态，简单性可用图表示。
教学ppt
返回
8
简约是一种美。数学便是用最简洁的语言概括了数量 关系、空间结构,也正因为简洁,数学才得以最广泛地运用, 才有极强的生命力。
一、太极八卦---中国象数学的美 二、河图洛书—数学形式美的雏形
教学ppt
2
第一节 数学美的涵义
一、数学家论数学美
古希腊的哲学家、数学家普洛克拉斯(Proelus) 断言：“哪里有数，哪里就有美。”
古希腊著名学者毕达哥拉斯(Pythagoras)对数学 有很深的造诣，其中毕氏定理(勾股定理)就是他的杰 作, 他认为“万物最基本的元素是数，数的和谐---这 就是美。”
4. 方法简单
数学中的许多简单有效的判定定理，形式优美的表达方式， 并不是原本固有的，而是经过人们长期比较、筛选的结果。
例如，对于正项级数的收敛性判别，达朗贝尔判别法(比值 法)与柯西判别法(根式法)都是十分简单有效的判别法, 然而它们
都有一个共同的不足，就是不能判别当极限值 l 1时级数的敛散
性，于是人们不断地给出了许多其他形式的判别法。
比达朗贝尔判别法更精细的是拉贝(Laber)判别法
设
ln im n(aann1
1)r
则 当 r>1时，级数 a n 收敛；
n1
当 r<1时，级数 a n 发散。
n 1
教学ppt
返回 18
又如，泰勒公式的余项，局部性的有皮亚诺(Peano)余项， 整体性的有施诺米尔奇(Schlomilch)─罗赫(Roche)余项，柯西 余项和拉格朗日余项等。
数列极限 l n i a n m a 0 , N N , n N a n a
函数极限 lf i ( x ) m A 0 , X 0 , x :x X f ( x ) A x
导数概念 f(a)lim f(ax)f(a)
x 0
x
教学ppt
返回 17
教学ppt
返回 15
空间解析几何中
球
(x a )2 (y b )2 (z c )2 1
椭球
x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
椭圆抛物面
z x2 y2 a2 b2
它们不仅便于记忆，而且具有形式美。
教学ppt
返回 16
3. 语言简单 数学的简单美表现在语言上使人回味无穷。
如 “负负得正”；“对顶角相等”；“实数集不可数”； “角、边、角”；“边、角、边” 等 。
如果要具体写出圆周率或欧拉常数根本不可能，然而用数 学符号却能精13
2. 形式简单
艺术家们追求的美中，形式美是其中特别重要的内容，他 们在渲染美时，常常运用不同形式，如泰山的雄伟，华山的险 峻，黄山的奇特，峨眉的秀丽，青海的幽深，滇池的开阔等。
数学家们也十分注重数学的形式美，美国数学家柏克提出 了一个公式