数学建模——西南交通大学最强大脑一等奖论文

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我们以截取 40×40 像素的截图为例，在图组 1 和图组 2 重合部分使用 matlab 编程 可以找到一个包含黑色尽可能多的截图：图组一和图组二重合部分最多的位置 40 × 40，[41,80]（行）×[347,386]（列）。通过这样便可先求出最佳截图位置，而尽可能 低的不影响到模型的精确度。
基于 MATLAB 的相似截图与截图匹配问题研究
摘要
本文主要研究相似性最大截图与截图识别匹配问题，对于问题一，采取基于图 形重合率的相似度计算公式的算法，得到了问题一相似性最大的截图可以来自附件中 tuxing3、6、9...45、48 中的任一张在其矩阵位置（40×40 像素)：[41,80]（行） ×[347,386]（列）；（20×20 像素）：[40,79]×[232,271]的截图。对于问题二 ，采 取基于 matlab 穷举匹配识别算法，得到所给截图截自附件中的 tuxing56，位置为该图 形矩阵位置的[86,125]×[117,156]。 问题一中，要求在指定多个图片的有效截图区间中截取一个相似性最大的截图， 首先我们定义了相似度的计算公式 H=S×Q/(m×n×L)，相似度的大小取决于该图形矩阵 与其他图形矩阵的重合率，以及与该图形重合率超过 99%的个数，重合率是指俩个同阶 0-1 矩阵在相同位置元素相等的个数比上其中一个矩阵的总元素数目，再之，我们为提 高效率，决定先确定其最佳截图位置，依据附件图形的显著特征，采取分组得到图组 1 和 2，求组内图形重叠，组间重合部分，再从中选择重合部分最多的位置，作为最佳截 图位置，通过计算各图在该位置的截图，选取相似度最大的作为输出结果。我们发 现，不论截图大小，这些截图都将来自 tuxing3、6、9...45、48 我们对这些图形计算 其之间的重合率，结果都是 100%的重合，从而又验证了模型的合理性。 问题二中，要确定给定截图截自附件中的第几张，针对具体问题，我们依据附件 中图形数量与像素大小，采取牺牲效率而提高精度的基于 MATLAB 穷举匹配识别算法， 因观察所给截图的基本特征选取图组 1 首先实施算法，较快得到了其截图截自附件中 的 tuxing56，位置为该图形矩阵位置的[86,125]×[117,156]。 本文最大的特色在于针对具体问题具体分析，对实际问题采取简单可行的模型和 算法得到了较为满意的结果。
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3.2.2 相似度的计算输出 对于从 L 张大小为 M×N 像素图中截取 m×n 截图，输出其相似度最大的截图信息。 计算公式如下：
60 S j , k Qi, k j 1 Max{ H(i,k)}=max , ji m n L L 1
关键词： 相似度
重合率 MATLAB 穷举法
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一 问题重述
近期，江苏卫视正在热播节目“最强大脑”。曾经有这样一期节目，选手先观察近 百幅人类历史上出现过的知名建筑图片（沙画，每幅大约 1 平米），然后由考官随机 地从图片中选取一副 4cm×4cm, 2cm×2cm 等规格的截图，比如：
再让选手只观察截图（上图右）判别截图出自于哪一幅沙画。节目中选手几乎是 以不可想像的速度做出了正确的选择。 如果要显著增加题目的难度，那么应该选择这些图片中相似性最大的部分，而不 能选择那些有显著特点的截图。 解决如下问题： （1）如何选择出那些相似性比较高的截图，并对附件中的图片选择出 40×40 像 素及 20×20 像素的相似性最高的截图。 （2）建立模型确定对于给定的截图出自于第几幅图片的何处位置。
S(i,k):表示第 I 张图在第 k 个截图位置的的矩阵，对其他 L-1 张图在 k 位置截图矩阵 相同位置元素相同的个数 Q(i,k):表示第 i 张图在第 k 个截图位置的矩阵，对其他 L-1 张图的在 k 位置截图矩阵
3.3.1 算法实现
步骤一：分别求图组 1 和图组 2 中所有图片重叠后的矩阵 A1，A2 步骤二：求出 A1 对应图像和 A2 对应图像重合部分图像的矩阵 A3 步骤三：在 A3 中截像素为 m×n 的截图，并使其对应矩阵尽可能多的包含 0 元素，用 k 表示第 k 个截图位置这样的截图个数 k>=1 步骤四：令 j=1 步骤五：令 i=1 步骤六：计算附件中第 i 张图在第 k 个截图位置对其他图片在相同位置截图的相似度 H(I,k) 步骤七：令 i=i+1,若 i>L，执行步骤八，否则再次执行步骤六 步骤八：令 j=j+1,若,j>k,执行步骤九，否则跳至步骤五 步骤九：选取对应相似度最大的 Max{H(I,k)}的 I 和 k ,及其坐标位置，输出文件名
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3.3.2 模型一的算法流程图
开始
求A1,A2 求A3
在A3中截像素为m*n的截图
j=1 i=1 计算H(I,k) i=i+1 j=j+1 i>L Y j>k
N
N
Y 选取H(I,k)max的I和k,及其坐标位置
结束
四 问题一的结果与分析
4.1 将 问 题 一 代 入 我 们 的 模 型 ， 我 们 实 现 了 算 法 ， 发 现 其 输 出 结 果 有 16 个 ， tuxing3,tuxing6,tuxing9,tuxing12,tuxing15,tuxing18,tuxing21,tuxing24,tuxing 27,tuxing30,tuxingtuxing33,tuxing36,tuxing39,tuxing42,tuxing45,tuxing48 共 16 张,也即这 16 张图片在同一位置的截图相似度都是最大的，我们计算其两两之间的 重合率，都接近 1 也即这些图片很可能是同一张图形，我们将 16 张图片重叠显示如 下：
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三 问题一的分析与建模
3.1 问题一的分析 3.1.1 相似度的定义 附件中有 60 张图片，每张图片大小为 420×560 像素。我们用 matlab 软件将每张 图片转换为 420×560 大小的矩阵。矩阵中只包含 0 和 255 元素，对应位置数值为 0 的 为黑，为 255 的为白，我们把位置为白的 255 记为 1，为 0 的仍为 0，这样附件中每张 图片可以得到一个 420×560 的 0-1 矩阵， 称为该图的像素矩阵。其问题转化为，如× 何从所有的图形矩阵中提取一个 m×n 的小矩阵使得该矩阵与所有其他的小矩阵的相似 性尽可能的高。对于俩个大小为都为 M×N 像素矩阵，其重合率(P)的定义为：(记两个 矩阵在相同位置元素相等的总数为 S） P=S/(M×N) (1) 在一 L 个同阶 0-1 矩阵中，对其中的某一矩阵，其他矩阵与该矩阵的重合率 P>0.99 的个数加上 1 记为该矩阵的相似数 Q，则相似度(H)： H=P×Q/L 结合式(1)，即有 H=S×Q/(M×N×L)
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4.2.2 当截取 20×20 像素时 当截取 20×20 像素的截图时,得到截图的标识位置为（40,232），随机截自 files 中 16 张图的 tuxing12 ，对其他 59 张图的相似度为 0.2019，（其他图形数据见附 录），运行结果截图如下：
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4.3 分析 从以上结果中可以看出，无论是截取 40×40 像素还是截取 20×20 像素，当要从附 件 60 张图片中截取一个相似性最高的截图时，若这组图片中有较多重合率较大的图 形，也 即有 较多 彼此 相似性 很高 的图 形 时 ，根据 相似 度的 计算 公式： H=S×Q/(M× N×L)，相似数将较大程度影响到截图取自附件中的哪一张图。而在后续的验证中我们 也发现，从附件 60 张图形中无论截取 100×100 像素还是 10×10 像素相似度最高的截 图 ， 这 些 截 图 都 将 来 自 这 16 张 几 乎 相 同 的 图 形 ， 即 tuxing312,tuxing15,tuxing18,tuxing21,tuxing24,tuxing 27,tuxing30,tuxingtuxing33,tuxing36,tuxing39,tuxing42,tuxing45,tuxing48
3.1.3 相似度的计算 计算出每张图在 k 位置的截图对图组其他图片在相同位置截图的重合率的均值， 选择其中最大的输出，并计算其相似度，输出相似度最大的截图的像素矩阵的三要 素：大小位置，原图文件名。根据定义，可得到第 i 张图形在第 k 个截图位置对其他 图形在同一位置截图相似度的计算公式如下 60 S j, k j 1 Qi, k H(i,k) = L 1 m n L
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显然这些图形几乎重合，同时也验证了我们重合率的计算方法较为合理，我们从 这 16 张图形中随机选取选取一张作为截取相似性最高的截图的原图 4.2.1 当截图 40×40 像素时 当截取 40×40 像素的截图时得到截图的标识位置为（41,347），对其他 59 张图的 相似度为 0.2151 （其他图形的相似度矩阵数据见附录），随机截自 16 张图中的 tuxing6，运行结果截图如下：
3.1.2 截图位置的确定 问题一是要求建立模型从一组图中选择出那些相似性比较高的截图，对于该截图 我们给出两个要素：位置及相似性。附件中有 60 张图片，每张图片大小为 420×560 像 素。我们用 matlab 软件将每张图片转换为 420×560 大小的矩阵。首先我们采取对 60 个图形截下所可能的 40×40 的截图，计算所有截图的相似度，输出最大值的截图，于 是我们首先把截图矩阵第一列第一行的元素位于大矩阵的位置（i，j）作为小矩阵的 位置标识，于是在一个 M×N 像素图片的截图区间里，截取像素为 m×n 的截图的个数： S=(M-m+1)×(N-n+1) 因为我们要对每个截图矩阵与所有其截图矩阵进行相似度分析，这样的运算十分庞 大，不可实施，最终我们转而先求出要截图的位置，再求出 60 张图形在该位置相似度 最高的截图及其原图。对此，综合考虑所有图片，将矩阵做点乘运算，将所有图片重 叠显示，再从中选择重叠最多的小截图，我们认为这样的位置截图将促进截图的相似 性，然而对于该题（M=420,N=460;m=40，n=40）可截出近 6000 个全黑的截图，显然这 无法确定该截图的位置，于是我们分析图片发现，附件中 60 张图片按其显著特征可大 致分为两类（图组 1，图组 2，见下图）。