样本容量的确定
样本容量的确定
都在此范围内 而通过简单随机样本对总体做的估计为实际总体平均值 2 倍标准误差范围 内的概率为 95 在实际总体平均值 3 倍标准误 差范围内的概率为 99.7 5.5.3 点估计和区间估计
当利用抽样要对总体平均值进行估计时 有两种估计方法 点估计和区间估计 点估计 是指把样本平均值作为总体平均数的估计值 观察图 5.3 的平均数抽样分布可知某一特定的 抽样结果 其平均数很可能相对更接近总体平均数 但是 样本平均数分布中的任一个值都 可能是这一特定样本的平均值 有一小部分的样本平均值与实际总体平均值有相当的差距 这种差距就叫抽样误差
在任何确定样本容量的问题中 都必须认真考虑所要分析并要据此做统计推断的总体样 本的各个子群的数目的预期容量 例如 从整体上看样本容量为 400 很符合要求 但若要分 别分析男性和女性被调查者 并且要求男性与女性的样本各占一半 那么每个子群的容量仅
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为 200 这个数字是否符合要求 能使分析人员对两组的特征做出预期的统计推断呢 再如 要按年龄和性别分析调研结果 问题就变得更复杂了 假设要按以下方式将总体样本划分为 四组
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5.5.2 根据单个样本做出推断 在实际操作中 人们往往不愿从总体中抽出所有可能的随机样本 画出像表 5.3 和图 5.4
那样的频率分布表和直方图来 人们希望进行简单的随机抽样 并据此对总体进行统计推断 问题出现了 通过任一简单的随机样本对总体均数进行的估计 其估计值在总体平均值 1 个标准误差内的概率究竟为多大 根据表 5.2 可知概率为 68 因为所有样本平均数有 68
第十三章 确定样本容量
采用有限乘数来计算样本容量的公式如 下：
N −n 样 容 =样 容 公 × 本 量 本 量 式 N −1
（二）、用平均数确定样本容量 ）、用平均数确定样本容量
其公式如下：
s2 z2 n= 2 联 的标准误差来表明）；s为由估计的标准差表明的 可变性；e为样本估计值相对于总体的精确度或可 接受误差。
三、确定样本大小时实际应考虑的问题
（一）如何估计总体的差异性 一
）、置信区间法 （五）、置信区间法
运用差异性置信区间、 置信区间法：运用差异性置信区间、样本分布 以及平均数标准误差或百分率标准误差等概念来 创建一个有效的样本。 创建一个有效的样本。 1、差异性的概念 、 差异性是指受访者对某一特定问题的答案在相异 差异性是指受访者对某一特定问题的答案在相异 或相似性）方面的总括。 性（或相似性）方面的总括。 如果多数回答都接近同一个数字， 如果多数回答都接近同一个数字，而且大多数的 回答都集中在某一小范围内，则差异性小；反之， 回答都集中在某一小范围内，则差异性小；反之， 则差异性大。 则差异性大。
平均数标准误差的计算公式如下： 平均数标准误差的计算公式如下： 的计算公式如下
S Sx = n 式 ： x为 均 标 误 ； 为 本 准 ； 中 S 平 数 准 差 S 样 标 差 n为 本 量 样 容 。
百分率标准误差计算公式如下： 百分率标准误差计算公式如下： 计算公式如下
p×q Sp = n 式 ： p为 分 标 差 p为 本 的 分 ； 中 s 百 率 准 ； 样 中 百 率 q为 100 − p） n为 本 量 （ ； 样 容 。
第五章 抽样：样本容量的确定(市场调研-北京大学,胡健颖)
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第五章 抽样：样本容量的确定
3） 均值或比例的标准误差（standard error） ，或抽 样平均误差，公式为： 均值 比例
x
n
P
P(1 P) n
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第五章 抽样：样本容量的确定
4) 通常总体标准差 σ 是未知的，在这种情况下，可以通过 下面的公式从样本中估计总体的标准差： 均值 比例
思考题： ① 迪斯尼世界的调查表明，有 60%的老顾客喜欢玩滑行铁道。 若要求误差不超过 2%， 置信度为 90% （Z 值查参考书 552 页） ， 求所需的样本容量。 ② 客户要求置信度为 99%，允许抽样误差为 2%，按此计算出 需要样本容量为 500，调查费用是 20，000 美元，但他只有 17，000 美元的预算，问有没有其他方案可供选择？ ③ 在具有什么条件下，进行调查前就可以将样本容量确定下 来？
在确定估计比例所需的样本容量时有一个优势：如果缺乏估计 P 的依据，可以对 P 值做最糟糕的假设。给定 Z 值和 E 值，P 值 为多大时要求的样本容量最大呢？当 P=0.05 时， “P(1-P)”有极大 值 0.25 存在。
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第五章 抽样：样本容量的确定
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第五章 抽样：样本容量的确定
表 5-1 1000 个样本平均数的概率分析：最近 30 天内吃快餐的平均次数 次数分组 2.6-3.5 3.6-4.5 4.6-5.5 5.6-6.5 6.6-7.5 7.6-8.5 8.6-9.5 9.6-10.5 10.6-11.5
样本容量的确定
四、样本容量的确定
2. 估计总体比例时样本容量的确定
（1）重复抽样条件下样本容量的确定。 进行总体比例的区间估计时，总体比例p的置信区间为
（5-53） （2）不重复抽样条件下样本容量的确定。 当有限总体不重复抽样时，同理可得允许误差为
（5-57）
四、样本容量的确定
【例5-25】 某茶叶生产厂对某批10000包茶叶的每ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ包平均重量和合格率进行检验，根据以往资料，每包平均重 量的标准差为10g，茶叶合格率为92%，在概率保证程度 为95.45%、每包茶叶平均重量的抽样极限误差不过2g、 合格率的抽样极限误码差不超过5%的条件下，求应抽取多 少包茶叶进行检验。
四、样本容量的确定
或
式中，n′为重复抽样的样本容量。 抽检合格率，由p=92%，Z=2,Δp=5%,得
或
所以，在不重复抽样条件下，抽检平均每包重量时需要抽取99包茶叶，抽 检合格率时需要抽取117包茶叶。
四、样本容量的确定
3. 估计两个总体均值之差时样本容量的确定
（在估计两个总体均值之差时，样 本容量的计算与上述类似，在给定的允 许误差和置信水平条件下，估计两个总 体均值之差所需要的样本容量为
（5-59）
四、样本容量的确定
4. 估计两个总体比率之差时样本容量的确定
在给定的允许误差和置信水平为1－α的 条件下，估计两个总体比率之差时所需的样本 容量为
（5-60）
四、样本容量的确定
【例5-27】 某厂家要估计消费者对一种新产品认知的广告效果，该厂在广 告前和广告后各抽取一个消费者随机样本进行调查，若以10%的允许误差和95% 的置信水平估计广告前和广告后知道该产品消费者的比率之差，则应从两个样本 中分别抽取多少名消费者进行调查？
抽样调查的方法和样本容量的确定
抽样调查的方法和样本容量的确定抽样调查是一种常用的研究方法，用于从总体中选择一部分个体，以便获取关于总体特征的信息。
在进行抽样调查时，正确选择调查方法和确定适当的样本容量是至关重要的，本文将探讨这些问题。
一、抽样调查方法的选择根据研究目的和数据采集方式的不同，有多种抽样调查方法可以选择。
以下列举几种常见的方法：1. 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法之一，通过随机选取样本，确保每个个体都有相等的机会被选入样本。
这种方法适用于总体比较均匀、个体之间差异较小的情况。
2. 系统抽样系统抽样是按照一定的规则从总体中选择样本，如每隔一定间隔选择一个个体。
这种方法适用于总体有一定的有序结构的情况，能够保持总体结构的代表性。
3. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干层次，然后在每一层中进行抽样。
这种方法适用于总体有明显的层次差异，可以保证每个层次都得到充分的代表。
4. 整群抽样整群抽样是将总体划分为若干群体，然后从选定的群体中进行抽样。
这种方法适用于群体内部的变异较大，但群体间差异较小的情况。
二、样本容量的确定确定适当的样本容量是保证抽样调查结果准确性的关键。
样本容量大小的确定应该考虑以下几个因素：1. 总体大小总体越大，所需的样本容量也会相应增加。
一般来说，总体越大，样本容量就需要越大，以确保样本能够充分代表整个总体。
2. 容忍误差容忍误差是指研究者所能接受的样本估计与总体真值之间的最大差距。
容忍误差越小，需要的样本容量也会越大。
3. 抽样方法和样本分布不同的抽样方法和样本分布会影响样本容量的确定。
例如，使用分层抽样时，每个层次的样本容量应根据该层次的重要性和变异程度来确定。
4. 计算方法确定样本容量的计算方法有多种，其中最常用的是利用统计学方法进行计算。
根据总体均值、标准差、置信水平等，可以使用抽样调查中的样本容量计算公式来确定样本容量。
在确定样本容量时，需要综合考虑以上因素，并在保证调查结果准确性的前提下，尽量控制样本容量的大小，以减少调查成本和时间。
研究样本的选择与样本容量的确定
研究样本的选择与样本容量的确定研究样本的选择与样本容量的确定是科学研究中至关重要的环节。
合理的样本选择和确定适当的样本容量对于研究结果的准确性和可靠性具有重要影响。
本文将介绍研究样本的选择与样本容量的确定的原则和方法。
一、研究样本的选择研究样本的选择是指从总体中抽取出一部分个体作为研究对象，以代表总体进行研究。
样本的选择应当基于以下原则：1. 代表性原则研究样本应当能够准确反映总体的特征和特点。
为了保证样本具有代表性，研究者需要注意总体的各个特征，并从总体中随机抽取样本，确保每个个体都有被选中的机会。
例如，如果研究对象是某个城市的居民，研究者需要从不同年龄、性别、教育程度和职业等方面选取样本，以确保样本具有代表性。
2. 可获得性原则在一些情况下，某些特定群体的样本难以获得，如少数民族、患有罕见病的个体等。
为了解决这个问题，研究者可以采用方便抽样或者刻意抽样的方法，选择可获得的样本。
然而，需要注意的是，这种方法选择样本时可能产生一定的偏差，因此需要谨慎使用。
3. 样本大小原则样本的大小直接影响到研究结果的准确性和可靠性。
根据研究的目的和研究领域的特点，研究者需要确定适当的样本大小。
如果研究领域的知识较为有限，为了保证研究结果的可靠性，一般会选择较大的样本。
然而，如果研究领域已经有较多研究成果，研究者可以选择较小的样本。
二、样本容量的确定确定样本容量是指确定一项研究所需的最小样本量。
样本容量的确定需要考虑以下因素：1. 置信水平置信水平是研究结果的可靠程度的度量。
通常，研究者会选择95%或者99%的置信水平，这意味着研究者对所得到的结果有95%或者99%的信心认为其符合总体的真实情况。
2. 总体方差总体方差是一个衡量总体内个体之间差异的指标。
总体方差越大，样本容量越大；总体方差越小，样本容量越小。
研究者需要根据已知的总体方差来确定适当的样本容量。
3. 效应量效应量是指研究中所关心的变量之间的差异程度。
生物统计学8样本容量的确定
入公式求出n2，直到求出的n（i-1）= n（i）为止。
例：有个家畜饲料比较试验，它们是对一种猪在育肥期饲以两 种饲料C1和C2，经过一个月后，调查量其重量（斤数），借 以判明两种饲料的育肥效果。若 = 4斤时，试验就要有一半 的可能性辨别出来，取s2=30，（此数据）是根据以往的试验 数据得出的），则该试验每处理的样本容量应为多少？
u
n
若：
u
x 0 1
n
µ0
µ1
x0
接受H0。
1 - 0 u u
n
接受HA。
二、平均数差异显著性测验中的样本容量问题
（一）单个样本平均数的差异显著性测验中的样本容量问题
1、已知时
n
u2 0.05 / 2
2
L2
其中 ：2 =总体的方差
这个数据一般是依靠前人或本人对同类数据的试验来约略估计 的
L = 要求该调查或试验有一半的可能达到的对平均数估计的精 确范围。
L即距平均数上下的95%的置信区间（即置信半径）
该样本容量估算中，β的概率为50%（Ⅱ型错误的概率）。
2、 未知时：
样本容量：
n
t2 0.05 / 2
L2
s2
s2为对总体方差2 的估计值
（这个数据一般是依靠前人或本人对同类数据的试验来约略
则样本容量 n 为：
L u / 2
pˆ 1 pˆ
n
n
u2
/2
pˆ (1 L2
pˆ )
当显著水平为0.05时（置信度为0.95），上述公式的经验公
式为：
n
4
pˆ (1 L2
《统计学》样本容量的确定
样本容量确定的两难
样本容量取得较大，收集的信息 就相对多，从而估计精度较高，但 进行观测所投入的费用、人力及时 间就比较多； 样本容量取得较小，则投入的费 用、人力及时间就相对节约，但收 集的信息也较少，从而估计精度较 低； 所以，精度和费用对样本量的影 响和要求是矛盾的，不存在既使精 度最高又使费用最省的样本量 。
估计总体均值时样本容量的确定 (例题分析)
解: 已知=2000，d=400, 1-=95%， z/2=1.96 置信度为95%的置信区间为：
n ( z 2 )2 2 (1.96 )2 20002
d2
4002
96.04 97
即应抽取97人作为样本。
估计总体比例时样本容量的确定
估计总体比例时ห้องสมุดไป่ตู้本容量的确定
1. 根据比例区间估计公式可得样本容量n为：
• •
重复抽样n
(
z
2
)2
d2
(1
)
•
2.
不重复抽n样
(
N
N( z 2 )2 (1 ) 1)d2 ( z 2 )2 (1
)
d的取值一般小于0.1
其中： d z 2
p(1 p ) n
3. π未知，以样本比例p替代
4. π或p都未知时，可取0.5，这是一种谨慎估计
1. 估计总体均值时样本容量n为：
• •
重复抽样 n
(
z
2
d
)2
2
2
•
不重复抽样
n
(N
N( z 2 )2 2 1)d2 ( z 2 )2 2
其中：d
Z
2
•
n
2. 样本容量n与总体方差成正比，与绝对误差成
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样本容量的确定分类：
在参数区间估计的讨论中，估计值和总体的参数之间存在着一定的差异，这种差异是由样本的随机性产生的。
在样本容量不变的情况下，若要增加估计的可靠度，置信区间就会扩大，估计的精度就降低了。
若要在不降低可靠性的前提下，增加估计的精确度，就只有扩大样本容量。
当然，增大样本容量要受到人力、物力和时间等条件的限制，所以需要在满足一定精确度的条件下，尽可能恰当地确定样本容量。
一、影响样本容量的因素
（一）总体的变异程度(总体方差)
在其它条件相同的情况下，有较大方差的总体，样本的容量应该大一些，反之则应
该小一些。
例如：在正态总体均值的估计中，抽样平均误差为它反映了样本均值相对于总体均值的离散程度。
所以，当总体方差较大时，样本的容量也相应要
大，这样才会使较小，以保证估计的精确度。
（二）允许误差的大小
允许误差指允许的抽样误差，记为，例如，样本均值与总体均值之间的
允许误差可以表示为，允许误差以绝对值的形式表现了抽样误差的可能范围，所以又称为误差。
允许误差说明了估计的精度，所以，在其他条件不变的情况下，如果要求估计的精度高，允许误差就小，那么样本容量就要大一些；如要求的精确度不高，允许误差可以大些，则样本容量可以小一些。
（三）概率保证度1－α的大小
概率保证度说明了估计的可靠程度。
所以，在其他条件不变的情况下，如果要求较高的可靠度，就要增大样本容量；反之，可以相应减少样本容量。
（四）抽样方法不同
在相同的条件下，重复抽样的抽样平均误差比不重复抽样的抽样平均误差大，所需要的样本容量也就不同。
重复抽样需要更大的样本容量，而不重复抽样的样本容量则可小一些。
此外，必要的抽样数目还要受抽样组织方式的影响，这也是因为不同的抽样组织方式有不同的抽样平均误差。
二、样本容量的确定
(一) 估计总体均值的样本容量
在总体均值的区间估计里，置信区间是由下式确定的：
例如，对于正态总体以及非正态总体大样本时，都是以它为置信区间。
从图6–1中可以看到，从估计量x的取值到点的距离实际上为置信区间长
度的。
这段距离表示在一定置信水平1－α下，用样本均值估计总体均值时所允许的最大绝对误差即允许误差Δ。
显然，若以x的取值为原点，则允许误差Δ可以表示为：
（6–15）
x=0
图6–1 允许误差示意图
公式（6–15）反映了允许误差Δ、可靠性系数、总体标准差与样本容量之间的相互制约关系。
只要这四个因素中的任意三个因素确定后，另一个因素也就确定了。
在重复抽样条件下，把允许误差Δ的计算公式变形整理，则得到样本容量的计算公式：
（6–16）
在不重复抽样的条件下，抽样允许误差为 , 因此变
形后得到不重复抽样条件下的样本容量公式为
n=（6–17）
例6–14 某食品厂要检验本月生产的10 000袋某产品的重量，根据以往的资料，这
种产品每袋重量的标准差为25克。
如果要求在95.45%的置信度下，平均每袋重量
的误差不超过5克，应抽查多少袋产品?
解由题意可知N=10 000（原作者误为20 000），=25克，=5克，根据置信度
1–α=95.45%，有=2。
在重复抽样的条件下
n=（袋）
注：Excel中的计算方法：
利用标准正态分布函数的反函数NORMSINV计算在该置信度下的标准偏差度z=2；
题中要求平均每袋重量的误差不超过5，即表明SD*z小于或者等于5；
那么倒推标准偏差应该不超过2.5；在总体标准差为25克的前提下，那么取样量应该为99.96，当然，取样量应该是整数，即100。
在不重复抽样条件下
n==99（袋）
由计算结果可知：在其它条件相同的情况下，重复抽样所需要的样本容量大于不重复抽样所需要的样本容量。
在计算样本容量时，必须知道总体的方差，而在实际抽样调查前，往往总体的方
差是未知的。
在实际操作时，可以用过去的资料，若过去曾有若干个方差，应该
选择最大的，以保证抽样估计的精确度；也可以进行一次小规模的调查，用调查所得的样本方差来替代总体的方差。
(二)估计总体成数时的样本容量
估计总体成数时样本容量的确定方法与估计总体均值是一样的，设为允许误差，在1—a的置信度下，重复抽样条件下有
解上面的方程可得重复抽样条件下样本容量的公式为
同理可得不重复抽样条件下的样本容量公式为
（6–19）
在估计成数时，计算样本容量时需要总体的成数，但是总体的成数通常是未知的，在实际的抽样调查时，可先进行小规模的试调查求得样本的成数来代替。
也可用历史的资料，如果有若干个成数可供选择，则应选择最靠近50%的成数，使样本成数的方差最大，以保证估计的精确度。
例6–15 为了检查某企业生产的10 000个显像管的合格率，需要确定样本的容量。
根据以往经验合格率为90%、91.7%。
如果要求估计的允许误差不超过0.0275，置信水平为95.45%。
求应该取多少只显像管?
解根据资料，我们应该选择P=0.9计算样本容量，根据置信水平0.9545，有
=2，
重复抽样条件下，样本容量
不重复抽样条件样本容量
从计算的结果可以看出，重复抽样应该抽477件件检验，而不重复抽样应该抽455件，可见，在相同条件下，重复抽样需要的样本容量更大。
注：Excel中的计算方法：
利用标准正态分布函数的反函数NORMSINV计算在该置信度下的标准偏差度z=2.。