Ch3_杆件横截面上的应力应变分析B
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第三章 杆件横截面上的应力
z
计算任一点的正应力时，可不考虑M、y的正负，一律以绝
y 对值代入。M为正，梁中性轴下边纤维受拉，中性轴以下部分
均为正的正应力，而中性轴以上部分纤维受压，均为负的正应 力；M为负时，应力正负号则相反。
M
max
M z y max Mz Iz Wz
Wz I z / ymax 抗弯截面模量。
目录
例题3-4 已知E轴所传递的功率P1＝14kW, H轴、 C轴所传递的功率 P2= P3=P1/2。n1=n2=120r/min，z1=36，z3=12；d1=70mm， d 2=50mm, d3=35mm。求:各轴横截面上的最大切应力。 解：1、计算各轴的功率与转速
3
P1=14kW, P2= P3= P1/2=7 kW z1 n3＝n1 ＝360r/min z3
本章重点
杆件基本变形时横截面上应力的计算
第一节 应力、应变极其相互关系
问题的提出
一、正应力、切应力
1. 应力 内力的集度（单位面积上的内力）
F
C
2.一点处的应力 平均应力 令
F4
A
F3
一点处应力
F pm A
F dF p lim A 0 A dA
p
τ
σ
p 垂直于截面的分量σ －－正应力
16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
实心轴
d2＝0.5D2=23 mm M x 16M x max1 40MPa 3 WP1 πd1
2
d1=45 mm
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为横截面面积之比：
A1 d12 1 45 10 3 2 ＝ .28 1 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
河海大学 材料力学 杆件横截面上的应力应变分析
2
4
= 149 MPa
§3-2 直杆轴向拉压时横截面上的正应力
一、横截面上的应力公式推导 三个问题
(1)应力形式？ (2)应力分布？ (3)应力大小？ 从几何(变形)、物理、静力学三个方面分析
1 、几何(变形)关系 F
F
变形现象
F (1)杆件拉长，纵线、横线
仍为直线。
(2)横线仍垂直于轴线。
FF
s
平截面假设(plane assumption): 变形前为平面的横截面，变形后仍保持为平面且仍垂直于 轴线。
例3-1 等直杆，F1=10kN，F2=40kN，F3=50kN，
F4=20kN，截面直径d=16mm。试求杆内的最大应力。
F1
F2
F3
F4
A
B
10kN (+)
CD
20kN (+)
FN图
(–) 30kN
|FN| max=30kN
smax=
|—FN—| m—ax A
=
30×10 3
————
p —
×16
(1)所有纵向纤维伸长都相等，即e =常量。
(2)横截面上各点处只产生正应力，无切应变(切应力)
2、物理关系：s = Hale Waihona Puke e = 常量。 t = Gg= 0
横截面上各点处的正应力相等(s 沿横截面均匀分布)
3、静力学关系
F
FN =
sdA = s A
A
s
s = —F—N
A
s(x) = —FN—(x—)
A(x)
公式应用说明：
(1)适用于横截面为任意形状的直杆。
(2)正应力与轴力具有相同的正负符号。
第6章 杆件应力应变分析(建筑力学)
沿截面的法向分量，称为正应力； 沿截面的切向分量，称为剪应力
6.1.2 应力状态的描述 一、空间应力状态的描述 6个截面，每个面上3个应 力分量，共18个应力分量 根据作用力与反作用力定律， 18个应力分量可减少为9个
注意：符号的规定 截面的外法线和坐 标轴正向相同，则 这个截面的应力分 量就以坐标轴的正 方向为正，以坐标 轴的负方向为负； 剪应力互等定律—在受力构件内过一点相互垂直的两个 微面上，垂直于两微面交线的剪应力大小相等，方向相 向或相背。 空间一点应力状态：
ρθ = s
ε=
y
250 750 = ρ= = θ π /3 π
s
σ = Eε
ρ
σ =E
y
ρ
= Ey
π
750
6.5.3 横力弯曲分析 横截面上存在剪力时 的弯曲称为剪切弯曲 或横力弯曲 （1）横力弯曲时梁中各点的应力状态 （2）梁横力弯曲时横截面上的正应力计算 适用条件： l / h > 5 （3）矩形截面梁横截面上的剪应力计算
试验观察
平截面假设的两条推论： 1）梁内任意一点有， γ xy = γ xz = 0 2）梁纵向应变沿横截面高度是线性分布的 中性轴-中性层与横 截面的交线，垂直于 横截面的对称轴 若取：梁的轴线为x轴 横截面的对称轴为y轴
dx ρ= dθ
中性轴为z轴
ydθ y ΔAB B ' B εx = = = = AB O1O2 O1O2 ρ
15 × 103 × 0.2 × 0.15 × (0.1 + 0.075) = = 0.189MPa 1 0.2 × × 0.2 × 0.53 12
* FQ ( x )S z
bI z
§6.6 杆件强度验算 强度理论是关于材料失效现象主要原因的假说 材料失效破坏现象的两种类型 （1）屈服失效 材料出现不可恢复的塑性变形而失效 （2）断裂失效 材料无明显的变形而突然断裂
6.1.2 应力状态的描述 一、空间应力状态的描述 6个截面，每个面上3个应 力分量，共18个应力分量 根据作用力与反作用力定律， 18个应力分量可减少为9个
注意：符号的规定 截面的外法线和坐 标轴正向相同，则 这个截面的应力分 量就以坐标轴的正 方向为正，以坐标 轴的负方向为负； 剪应力互等定律—在受力构件内过一点相互垂直的两个 微面上，垂直于两微面交线的剪应力大小相等，方向相 向或相背。 空间一点应力状态：
ρθ = s
ε=
y
250 750 = ρ= = θ π /3 π
s
σ = Eε
ρ
σ =E
y
ρ
= Ey
π
750
6.5.3 横力弯曲分析 横截面上存在剪力时 的弯曲称为剪切弯曲 或横力弯曲 （1）横力弯曲时梁中各点的应力状态 （2）梁横力弯曲时横截面上的正应力计算 适用条件： l / h > 5 （3）矩形截面梁横截面上的剪应力计算
试验观察
平截面假设的两条推论： 1）梁内任意一点有， γ xy = γ xz = 0 2）梁纵向应变沿横截面高度是线性分布的 中性轴-中性层与横 截面的交线，垂直于 横截面的对称轴 若取：梁的轴线为x轴 横截面的对称轴为y轴
dx ρ= dθ
中性轴为z轴
ydθ y ΔAB B ' B εx = = = = AB O1O2 O1O2 ρ
15 × 103 × 0.2 × 0.15 × (0.1 + 0.075) = = 0.189MPa 1 0.2 × × 0.2 × 0.53 12
* FQ ( x )S z
bI z
§6.6 杆件强度验算 强度理论是关于材料失效现象主要原因的假说 材料失效破坏现象的两种类型 （1）屈服失效 材料出现不可恢复的塑性变形而失效 （2）断裂失效 材料无明显的变形而突然断裂
杆件横截面上的应力
* N1
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义： 式中符号意义： 截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴 处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩 以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力： 正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力： 切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ） ＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩 ．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正， 其中：拉应变为正， 为正 压应变为负 为负。 压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变： 横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变： 研究一点的线应变：
x
x
河海大学 材料力学 第三章 杆件横截面上的应力、应变分析第一节
点K处的应力(stress) DF p=lim pm= lim —— DA→0 DA→0 DA
p 正应力s :沿截面法向 n 切应力t :沿截面切向 s p 2= s 2 + t 2
应力单位：Pa(帕斯卡、帕) MPa(兆帕)
1 Pa = 1 N/m2 1MPa =106 Pa
注意：
t
K
s
以上分析可见，应力是受力物体内某个截面上某 一点上内力分布集度。通常情况下，物体内各点 应力是不同的，对于同一点不同方位截面上应力 亦不同。这样，应力离开它的作用点是没有意义 的，同样，离开它的作用面亦是没有意义的。
(shearing strain) 单位: rad。
四、胡克定律
s
s
du e= — dx
u
u+du
如果仅在单方向正应力s 作用下，且正应力不超过某 一限值（比例极限），则正应力与正应变成正比，即
s = Ee ——胡克定律(Hooke's law)
E ——弹性模量。(elastic modulus)
如何描述一点处的应力？
二、一点的应力状态、单元体：
K K
围绕K点取一微小的六面体，称为单元体。
六个面都表示通过同一点K的面，只是方向不同而已。
如果所取的单元体在空间方位不同，则单元体上各面 的应力分量亦不相同。
sy
y
tyz
tyx txy txz sx
x
tzy
z
sz
tzx
若从一复杂受力构件内某点取一单元体，一般 情况下单元体各面上均有应力，且每一面上同时存 在三个应力分量：一个法向分量——正应力；两个 切向分量——切应力。这样,单元体上共有9个应力 分量。
第三章_杆件横截面上的应力应变分析
3）测截面扭矩
采用全桥桥路如图。
B
R1 R3 C R9 R7
A D 测扭矩
M
ds
2
ds EW M M EW 2
1
ds
4
T E dsW p 41
弯扭组合变形时的应力测量
B Ri A Rt
4、 实验步骤
C
1.打开弯扭组合实验装置。 2.打开应变仪。 R0 R0 3.主应力测定。 D (1) 用标准电阻调零，根据应变片的灵敏系数，计算出标定 值标定。按下“测量”，拆下标准电阻。 (2) 将各应变片按半桥单臂方式接入电阻应变仪各通道，各 通道共用一片温度补偿片。转换开关打到 “切换” (3)调各通道电桥平衡。 (4)采用增量法逐级加载，每次0.1kN。0.1 kN 初载荷调零 0.2 kN , 0.3 kN, 0.4 kN 读出测量值 (5)卸载。
180°III点 R7 R8 R9 B Ri A R0 D 测主应力
2
1） 测各点主应力
在mm截面上下左右四点处贴上应变片花，由电 阻应变仪测出各点三方向应变。测量桥路采用 半桥单臂，如图。由公式可计算各点ห้องสมุดไป่ตู้应力。
45°绿线 0° 白线 -45°蓝线
Rt C R0
主方向
45 45 tan 2 0 45 45 0
主应力
1.2
1 E 1 45 45 2 1 2 2
45 0
0 45
2
弯扭组合变形时的应力测量
2）测截面弯矩
采用半桥双臂桥路如图。
B R5 A R0 D 测弯矩 R0 R11 C
杆件横截面上的应力
F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面； 斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。 作出剪力图 各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析 主应力
一、公式推导：
杆件受力变形和应力分析
杆件受力变形和应力分析杆件受力变形和应力分析是工程力学中的一个重要内容，它们揭示了杆件在受到外力作用时的变形和内部应力分布情况，对结构的设计和计算具有重要意义。
本文将从杆件受力变形和应力分析的原理、常见方法和应用等方面进行详细阐述。
在进行杆件受力变形和应力分析时，通常可以采用以下方法：1.静力学方法：静力学方法是一种基于平衡方程的分析方法，通过分析杆件所受外力的平衡条件，求解杆件内部的应力分布。
其中常用的方法有力的分解、转矩平衡、杆件的变形和应力分析、杆件的受力等。
2.变形分析方法：变形分析方法是通过计算杆件在受力过程中的变形情况来求解杆件的应力分布。
常用的方法有杆件的伸长、缩短、弯曲和扭转等。
3.应力分析方法：应力分析方法是通过计算杆件内部的应力分布来确定杆件的受力状态。
常用的方法有拉伸、压缩、弯曲、剪切和扭转等。
以上方法是进行杆件受力变形和应力分析的基本方法，它们可以单独应用，也可以相互配合使用。
杆件受力变形和应力分析的应用非常广泛，特别是在结构工程中。
例如，在桥梁工程中，通过对桥梁杆件的受力变形和应力分析，可以确定桥梁的结构安全性和稳定性。
在建筑工程中，通过对建筑结构杆件的受力变形和应力分析，可以确定建筑物的结构强度和刚度。
此外，在机械工程、航空航天工程、汽车工程等领域，杆件受力变形和应力分析也被广泛应用。
总之，杆件受力变形和应力分析是工程力学领域中的基础内容，对于结构的设计和计算具有重要意义。
通过正确的受力变形和应力分析，可以确定杆件的受力状态和结构性能，为工程实践提供可靠的理论依据。
第四章 杆件横截面上的应力
0
b bh y (h y ) dy h 6
例7：求半径为r的半圆对底边z轴的
静矩，并确定其形心坐标。 y
2 r y
2 2
解：取平行于z轴的狭长条作为面积元素
dy y
C
dA 2 r 2 y 2 dy
z
2
o
S z y dA y 2 r y dy
p d t
p
200 5
解：
m FN m
y
d
R
n
n FN
圆环在内压力作用下要均匀 涨大，故在包括圆环轴线的 任何径向截面上，作用有相 同的法向拉力FN
此半环上的内压力沿y方向的合力R为： b· R= л (p· d· sin = p· d 壁厚远小于内径，可 ∫ 0 b· d/2)· 近似认为m-m、n-n FN =R/2= p· d/2 b· 上各点处正应力相等。 当t d/20时，这种近 = FN /A= p· d/(2· t)= p· t) 似足够精确。 b· b· d/(2· =2 · 6 · /(2 · 10 0.2 0.005 )Pa=40MPa
起吊重物Q=15kN，求AB的最大工作应力。
B
0.8m
C
1.9m
A
Q
解：1）分析AB受力、并求其内力:
当Q移到A点时AB杆受力最大，取结点A研究 FN 0: F y
AB
N FNAB sinα Q 0 Q N FNAB sin 0.8 sin
2
B
FN
AC
A
Q
FN AB
0.8 1.9 15 103 38.7 103 ( N ) 0.388
请思考:
第五章杆件基本变形横截面上的应力剖析
沿杆长的变化率，常用' 来表
示，对于给定的横截面为常量。
可见，在横截面的同一半径 的圆周上各点处的切应变g 均相同；g 与 成正比，且发生在与半径垂直的平面内。
切应变垂直于半径。
14
2、物理关系:
g
ρ
d d
x
由上述两方程可得：
( ) G d
dx
... (1)
这表明，横截面上各点的剪应力与 该点到截面中心的距离成正比，其 方向垂直于半径。即剪应力沿截面 的半径呈线性分布。
平面假设：变形前的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴线产生了 相对平移，并与杆的轴线垂直。
3
a. 变形几何条件：任意两个横截面之间的所有纵向线段的伸长( 缩短)量相同，即变形相同。
b. 物理关系： 变形相等，各点受力相等， ( < P)，各点应力 相等。
c.静力学关系：
dA A
A
FN
FN
A
则符合实际情况。
圣维南原理
d.压缩时的压应力计算仍可用此式,所得为压应力。一般规定 拉应力为正，压应力为负。
5
常见的油孔、沟槽等均 有构件尺寸突变，突变
处将产生应力集中现象。
Kt
max m
Kt 称为理论应力集中因数
1、形状尺寸的影响：
尺寸变化越急剧、角越尖、 孔越小，应力集中的程度 越严重。
2、材料的影响：
该式为横截面上的正应力 计算公式。
正应力 和轴力FN同号。即拉应力为正，压应力为负。
4
讨论：
a. FN 使用条件：
A
b.变截面杆： x
P， FN x ( A x
FN ，与A成反比）
c. 在集中力作用点的附近区域（1~1.5倍的横向尺寸。 ），
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静矩与形心; 静矩与形心; 惯性矩与惯性积; 惯性矩与惯性积; 平行移轴公式. 平行移轴公式.
PART A 平面图形的几何性质 1,静矩与形心 遍及整个图形面积A的积分: 遍及整个图形面积A的积分:
S z = ∫ ydA
A
图形对z 图形对z轴的静矩 图形对y 图形对y轴的静矩
y
S y = ∫ zdA
主讲教师: 主讲教师:楼力律
第三章 杆件横截面上的应力应变分析(下) 杆件横截面上的应力应变分析(
2007年 2007年3月
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杆件横截面上的应力应变分析( 第三章 杆件横截面上的应力应变分析(下)
ρ =z +y
A
ρ
I p = ∫ ρ 2 dA = ∫ ( z 2 + y 2 ) dA
A
y
I p = Iy + Iz
n
平面图形由若干个简单图形组成: 平面图形由若干个简单图形组成:
I y = ∑ I yi
i =1
I z = ∑ I zi
i =1
n
惯性矩,惯性积,极惯性矩量纲: 惯性矩,惯性积,极惯性矩量纲: [L]4
y
zC1 = 60mm
矩形II 矩形II : AII = 70 × 10 = 700 mm 2 矩形II 形心C 坐标: 矩形II 形心CII坐标:
80
yC 2
70 = 10 + = 45mm 2
zC 2 = 5mm
PART A 平面图形的几何性质
z 10
计算形心的位置
AI yC1 + AII yC 2 yC = AI + AII 1200 × 5 + 700 × 45 = = 19.7 mm 1200 + 700 AI zC1 + AII zC 2 ZC = AI + AII 1200 × 60 + 700 × 5 = = 39.7 mm 1200 + 700
I z = I zC + b2 A
I yz = I yC z 平面图形的几何性质 思考: 思考:
z1 zC z2
b
a
如图所示,已知平面图形面积为 如图所示, A , 平面图形对z1 轴的惯性矩为I , 则 平面图形对z 轴的惯性矩为I 轴的惯性矩为多少? 其对 z2 轴的惯性矩为多少?
A
极惯性矩 I p = 惯性积 I yz
∫ ρ dA = ∫ zydA
2 A A
轴,则图形对包含此对称轴的任一对正 交轴的惯性积必为0 交轴的惯性积必为0 y z z
y
y O z
PART A 平面图形的几何性质 平面图形对其所在平面内任一点 2,惯性矩与惯性积 的任一对正交坐标轴的惯性矩之和为 一常量, 一常量,其值等于图形对该点的极惯 性矩. 性矩. 2 2 2
= 7.69×106 m4
同法可求
O 100
II I yC = 4.43×106 m4
46.7
a
y
I II I yC = I yC + I yC =12.12×106 m4
PART A 平面图形的几何性质 此问题的思考
20
可以使用负面积法求,本图形可以看 可以使用负面积法求, 成是一个大矩形减去两个小矩形
= 0.0467 m
zC O 100 y
PART A 平面图形的几何性质
z 20
I II I yC = ∑I yCi = I yC + I yC I I yC = I yC1 + A a2 1
0.02×0.143 I I yC = 12 +[(0.01+ 0.07) 0.047]2 ×0.14×0.02
y
πd 4 Iz = I y = 64
z
d O
πd 4 I p = I y + Iz = 32
πd 3 Wp = 16
d i= 4
PART A 平面图形的几何性质
常用截面图形的几何性质,可参考教材275页 表A-1 常用截面图形的几何性质,可参考教材275页 矩形和圆形的部分截面几何性质需要熟记于心
如图取一个微面积d 如图取一个微面积dA
dA = zdy
y2 2bh A = ∫ dA = ∫ h(1 2 )dy = A 0 b 3
b
z
y2 b2h S z = ∫ ydA = ∫ hy (1 2 )dy = A 0 b 4
b
S z b2h 3 3b yC = = = A 4 2bh 8
PART A 平面图形的几何性质
i
PART A 平面图形的几何性质 3B例3B-1
和 z轴所围成的平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩,并确定图形形心 轴的静矩, C 的坐标. 的坐标.
y2 如图所示,抛物线方程为: 计算由抛物线, 如图所示,抛物线方程为: z = h(1 2 ) 计算由抛物线,y 轴 b
PART A 平面图形的几何性质
PART B 梁平面弯曲时横截面上的正应力
PART B 梁平面弯曲时横截面上的正应力
1,纯弯曲
剪力是相切于横截面的内力系的合力;弯矩是垂直于横截面的内力系的合力. 剪力是相切于横截面的内力系的合力;弯矩是垂直于横截面的内力系的合力. 有关; 有关. 剪力只与横截面上的切应力τ 有关;弯矩只与横截面上的正应力 σ 有关.
bh3 Iz = 12
h
hb3 Iy = 12
PART A 平面图形的几何性质 3,平行移轴公式
同一平面图形对于平行的两对坐标轴的惯性矩或惯性积并不 相同.当其中一对轴是图形的形心轴 形心轴时 相同.当其中一对轴是图形的形心轴时,它们之间有比较简单 的关系: 的关系: 2
I y = I yC + a A
如图取一个另微面积d 如图取一个另微面积dA
z dA = ydz = b 1 dz h
C 2h/5 3b/8
S y = ∫ zdA = ∫
A
h
0
4bh 2 z zb 1 dz = h 15
4bh 2 3 2h ZC = = = A 15 2bh 5 Sy
PART A 平面图形的几何性质 3B例3B-2
与均质等厚薄板重心坐标相同
A A Sy Sz yC = zC = A A S y = AzC S z = A yC
由以上可知,若S z= 0和S y=0, 0和 =0, 由以上可知, 0和 =0. 则y c= 0和 z c =0.图形对某轴的静 矩等于零, 矩等于零,则该轴必通过图形的形 心.
yC
∫ =
确定图形形心 C 的坐标位置
10
80
PART A 平面图形的几何性质
z 10
如图建立坐标系: 如图建立坐标系: 把图形看成I II两个矩形组成 把图形看成I ,II两个矩形组成 矩形I 矩形I : AI = 120 × 10 = 1200 mm 2 矩形I 形心C 坐标: 矩形I 形心CI坐标:
yC1 = 5mm
A
ydA zC
∫ =
A
zdA
y yC
PART A 平面图形的几何性质 1,静矩与形心
当一个平面图形是由若干个简单图形(矩形,三角形,圆形) 当一个平面图形是由若干个简单图形(矩形,三角形,圆形) 组成时,根据静矩的定义, 组成时,根据静矩的定义,组合图形对某轴的静矩等于其各个 组成部分对该轴静矩之和. 组成部分对该轴静矩之和.
本部分主要内容
平面图形的几何性质 梁纯弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的应力 弯曲中心的概念
杆件横截面上的应力应变分析( 第三章 杆件横截面上的应力应变分析(下)
PART A 平面图形的几何性质
PART A 平面图形的几何性质 杆件的横截面是由平面几何图形组成的.杆件的强度, 杆件的横截面是由平面几何图形组成的.杆件的强度,刚 稳定性都与横截面的几何性质有关,如横截面面积, 度,稳定性都与横截面的几何性质有关,如横截面面积,形心 的位置等,本部分主要讨论: 的位置等,本部分主要讨论:
AC,DB段既有剪力又有弯矩, AC,DB段既有剪力又有弯矩 段既有剪力又有弯矩, 横截面上同时存在正应力和切 应力,这种情况称为横力弯曲 应力,这种情况称为横力弯曲 CD段只有弯矩,横截面上就只 CD段只有弯矩, 段只有弯矩 有正应力而无切应力, 有正应力而无切应力,这种情 况称为纯弯曲 纯弯曲. 况称为纯弯曲.
b
hb 3 I y = ∫ z 2 dA = ∫ z 2 hdz = A b/ 2 12
b/2
PART A 平面图形的几何性质
在工程中,为方便起见,引入惯性半径 惯性半径的概念 在工程中,为方便起见,引入惯性半径的概念 图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根,称为图形 图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根, 对该轴的惯性半径, 对该轴的惯性半径,用 i 表示
m4 mm4
PART A 平面图形的几何性质 3B例3B-3 求矩形截面图形对其形心轴 z,y 的惯性矩 Iz Iy
y dy
取与 z 轴平行的狭长条为微面积
dA = bdy
z
bh3 I z = ∫ y 2 dA = ∫ y 2bdy = A h/ 2 12
h/ 2
h
y
同理取与 y 轴平行的狭长条为微面积, 轴平行的狭长条为微面积, 可计算得: 可计算得:
Iz iz = A
y
iy =
Iy A
h 矩形的惯性半径 iz = 2 3
z
直径为D 直径为D的圆形 的惯性半径
b iy = 2 3
h
b
πd 4 64 = d iz = iy = πd 2 4 4
PART A 平面图形的几何性质
PART A 平面图形的几何性质 1,静矩与形心 遍及整个图形面积A的积分: 遍及整个图形面积A的积分:
S z = ∫ ydA
A
图形对z 图形对z轴的静矩 图形对y 图形对y轴的静矩
y
S y = ∫ zdA
主讲教师: 主讲教师:楼力律
第三章 杆件横截面上的应力应变分析(下) 杆件横截面上的应力应变分析(
2007年 2007年3月
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杆件横截面上的应力应变分析( 第三章 杆件横截面上的应力应变分析(下)
ρ =z +y
A
ρ
I p = ∫ ρ 2 dA = ∫ ( z 2 + y 2 ) dA
A
y
I p = Iy + Iz
n
平面图形由若干个简单图形组成: 平面图形由若干个简单图形组成:
I y = ∑ I yi
i =1
I z = ∑ I zi
i =1
n
惯性矩,惯性积,极惯性矩量纲: 惯性矩,惯性积,极惯性矩量纲: [L]4
y
zC1 = 60mm
矩形II 矩形II : AII = 70 × 10 = 700 mm 2 矩形II 形心C 坐标: 矩形II 形心CII坐标:
80
yC 2
70 = 10 + = 45mm 2
zC 2 = 5mm
PART A 平面图形的几何性质
z 10
计算形心的位置
AI yC1 + AII yC 2 yC = AI + AII 1200 × 5 + 700 × 45 = = 19.7 mm 1200 + 700 AI zC1 + AII zC 2 ZC = AI + AII 1200 × 60 + 700 × 5 = = 39.7 mm 1200 + 700
I z = I zC + b2 A
I yz = I yC z 平面图形的几何性质 思考: 思考:
z1 zC z2
b
a
如图所示,已知平面图形面积为 如图所示, A , 平面图形对z1 轴的惯性矩为I , 则 平面图形对z 轴的惯性矩为I 轴的惯性矩为多少? 其对 z2 轴的惯性矩为多少?
A
极惯性矩 I p = 惯性积 I yz
∫ ρ dA = ∫ zydA
2 A A
轴,则图形对包含此对称轴的任一对正 交轴的惯性积必为0 交轴的惯性积必为0 y z z
y
y O z
PART A 平面图形的几何性质 平面图形对其所在平面内任一点 2,惯性矩与惯性积 的任一对正交坐标轴的惯性矩之和为 一常量, 一常量,其值等于图形对该点的极惯 性矩. 性矩. 2 2 2
= 7.69×106 m4
同法可求
O 100
II I yC = 4.43×106 m4
46.7
a
y
I II I yC = I yC + I yC =12.12×106 m4
PART A 平面图形的几何性质 此问题的思考
20
可以使用负面积法求,本图形可以看 可以使用负面积法求, 成是一个大矩形减去两个小矩形
= 0.0467 m
zC O 100 y
PART A 平面图形的几何性质
z 20
I II I yC = ∑I yCi = I yC + I yC I I yC = I yC1 + A a2 1
0.02×0.143 I I yC = 12 +[(0.01+ 0.07) 0.047]2 ×0.14×0.02
y
πd 4 Iz = I y = 64
z
d O
πd 4 I p = I y + Iz = 32
πd 3 Wp = 16
d i= 4
PART A 平面图形的几何性质
常用截面图形的几何性质,可参考教材275页 表A-1 常用截面图形的几何性质,可参考教材275页 矩形和圆形的部分截面几何性质需要熟记于心
如图取一个微面积d 如图取一个微面积dA
dA = zdy
y2 2bh A = ∫ dA = ∫ h(1 2 )dy = A 0 b 3
b
z
y2 b2h S z = ∫ ydA = ∫ hy (1 2 )dy = A 0 b 4
b
S z b2h 3 3b yC = = = A 4 2bh 8
PART A 平面图形的几何性质
i
PART A 平面图形的几何性质 3B例3B-1
和 z轴所围成的平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩,并确定图形形心 轴的静矩, C 的坐标. 的坐标.
y2 如图所示,抛物线方程为: 计算由抛物线, 如图所示,抛物线方程为: z = h(1 2 ) 计算由抛物线,y 轴 b
PART A 平面图形的几何性质
PART B 梁平面弯曲时横截面上的正应力
PART B 梁平面弯曲时横截面上的正应力
1,纯弯曲
剪力是相切于横截面的内力系的合力;弯矩是垂直于横截面的内力系的合力. 剪力是相切于横截面的内力系的合力;弯矩是垂直于横截面的内力系的合力. 有关; 有关. 剪力只与横截面上的切应力τ 有关;弯矩只与横截面上的正应力 σ 有关.
bh3 Iz = 12
h
hb3 Iy = 12
PART A 平面图形的几何性质 3,平行移轴公式
同一平面图形对于平行的两对坐标轴的惯性矩或惯性积并不 相同.当其中一对轴是图形的形心轴 形心轴时 相同.当其中一对轴是图形的形心轴时,它们之间有比较简单 的关系: 的关系: 2
I y = I yC + a A
如图取一个另微面积d 如图取一个另微面积dA
z dA = ydz = b 1 dz h
C 2h/5 3b/8
S y = ∫ zdA = ∫
A
h
0
4bh 2 z zb 1 dz = h 15
4bh 2 3 2h ZC = = = A 15 2bh 5 Sy
PART A 平面图形的几何性质 3B例3B-2
与均质等厚薄板重心坐标相同
A A Sy Sz yC = zC = A A S y = AzC S z = A yC
由以上可知,若S z= 0和S y=0, 0和 =0, 由以上可知, 0和 =0. 则y c= 0和 z c =0.图形对某轴的静 矩等于零, 矩等于零,则该轴必通过图形的形 心.
yC
∫ =
确定图形形心 C 的坐标位置
10
80
PART A 平面图形的几何性质
z 10
如图建立坐标系: 如图建立坐标系: 把图形看成I II两个矩形组成 把图形看成I ,II两个矩形组成 矩形I 矩形I : AI = 120 × 10 = 1200 mm 2 矩形I 形心C 坐标: 矩形I 形心CI坐标:
yC1 = 5mm
A
ydA zC
∫ =
A
zdA
y yC
PART A 平面图形的几何性质 1,静矩与形心
当一个平面图形是由若干个简单图形(矩形,三角形,圆形) 当一个平面图形是由若干个简单图形(矩形,三角形,圆形) 组成时,根据静矩的定义, 组成时,根据静矩的定义,组合图形对某轴的静矩等于其各个 组成部分对该轴静矩之和. 组成部分对该轴静矩之和.
本部分主要内容
平面图形的几何性质 梁纯弯曲时横截面上的正应力 梁横力弯曲时横截面上的应力 弯曲中心的概念
杆件横截面上的应力应变分析( 第三章 杆件横截面上的应力应变分析(下)
PART A 平面图形的几何性质
PART A 平面图形的几何性质 杆件的横截面是由平面几何图形组成的.杆件的强度, 杆件的横截面是由平面几何图形组成的.杆件的强度,刚 稳定性都与横截面的几何性质有关,如横截面面积, 度,稳定性都与横截面的几何性质有关,如横截面面积,形心 的位置等,本部分主要讨论: 的位置等,本部分主要讨论:
AC,DB段既有剪力又有弯矩, AC,DB段既有剪力又有弯矩 段既有剪力又有弯矩, 横截面上同时存在正应力和切 应力,这种情况称为横力弯曲 应力,这种情况称为横力弯曲 CD段只有弯矩,横截面上就只 CD段只有弯矩, 段只有弯矩 有正应力而无切应力, 有正应力而无切应力,这种情 况称为纯弯曲 纯弯曲. 况称为纯弯曲.
b
hb 3 I y = ∫ z 2 dA = ∫ z 2 hdz = A b/ 2 12
b/2
PART A 平面图形的几何性质
在工程中,为方便起见,引入惯性半径 惯性半径的概念 在工程中,为方便起见,引入惯性半径的概念 图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根,称为图形 图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根, 对该轴的惯性半径, 对该轴的惯性半径,用 i 表示
m4 mm4
PART A 平面图形的几何性质 3B例3B-3 求矩形截面图形对其形心轴 z,y 的惯性矩 Iz Iy
y dy
取与 z 轴平行的狭长条为微面积
dA = bdy
z
bh3 I z = ∫ y 2 dA = ∫ y 2bdy = A h/ 2 12
h/ 2
h
y
同理取与 y 轴平行的狭长条为微面积, 轴平行的狭长条为微面积, 可计算得: 可计算得:
Iz iz = A
y
iy =
Iy A
h 矩形的惯性半径 iz = 2 3
z
直径为D 直径为D的圆形 的惯性半径
b iy = 2 3
h
b
πd 4 64 = d iz = iy = πd 2 4 4
PART A 平面图形的几何性质