第一章小结课程教案

第一章小结 课程教案授课类型 习 题 课 授课时间 2 节教学过程第一章小结主要内容一、事件的关系与运算1、事件的包含 (Inclusion relation)若事件A 发生必然导致事件B 发生，则称事件A 包含事件B ，记为A B ⊃或者B A ⊂。

2、事件的相等 (equivalent relation)若B A ⊂且A B ⊂，即B A =，则称事件A 与事件B 相等。

3、事件的积(Product of events)事件A 与事件B 都发生的事件称为事件A 与事件B 的积事件，记为B A I ，也简记为AB 。

事件B A I （或AB ）发生意味着事件A 发生且事件B 也发生，即A 与B 都发生。

}|{}{B A B A B A ∈∈==ωωω且发生发生且I4、互不相容（互斥）事件(Incompatible events)如果A 、B 不能在同一次试验同时发生，则称A 、B 为互不相容事件(或称A 、B 互斥）。

即φ=AB 。

5、事件的并（和）(Union of events)事件A 与事件B 至少有一个发生的事件称为事件A 与事件B 的和事件，记为B A Y .事件B A Y 发生意味着：或事件A 发生，或事件B 发生，或事件A 与事件B 都发生。

}|{}{B A B A B A ∈∈==ωωω或发生发生或Y6、事件的交与并的推广},,,{211121同时发生n ni i n i i n A A A A A A A A ΛΛI ===∏==},,,,{211121同时发生ΛΛΛΛI n i i i i n A A A A A A A A ===∏∞=∞=},,,{21112121至少有一个发生n ni i n i i n n A A A A A A A A A A A ΛΛY ΛY Y Y ===+++=∑==},,,{21112121至少有一个发生ΛΛΛΛY Y Y n i i i i A A A A A A A A A ===++=∑∞=∞=7、事件的差(Difference of events)事件A 发生而事件B 不发生的事件称为事件A 与事件B 的差事件，记为B A -。

8、 对立事件(Opposite events)“A 不发生”的事件称为事件A 的对立事件，记为A .A 和A 满足：S A A =Y ，φ=A A ，A A =。

9、事件运算满足的定律 设C B A ,,为事件，则有交换律(Exchange law)：A B B A Y Y =；BA AB =。

结合律(Combination law)：)()(C B A C B A Y Y Y Y =；)()(BC A C AB =。

分配律(Distributive law)：)()()(BC AC C B A Y Y =；))(()(C B C A C AB Y Y Y =。

对偶律(Dual law)：B A B A =Y ；B A AB Y =。

二、概率的概念及性质1、概率的公理化定义设E 是随机试验，S 为它的样本空间。

对于E 的每一事件A 赋于一个实数，记为P (A )，称为事件A 的概率，如果集合函数P (A )满足下列条件：（1）非负性：对任一事件A ,有1)(0≤≤A P（2）规范性：对必然事件S ,有1)(=S P（3）可列有限可加性: 若Λ,,21A A 两两不相容，则有ΛΛ++=++)()()(2121A P A P A A P2、概率的性质（1）0)(=φP（2）有限可加性：若n A A A ,,,21Λ两两不相容，则有)()()()(2121n n A P A P A P A A A P +++=+++ΛΛ（3）若B A ⊂，则有)()()(A P B P A B P -=-，且有)()(A P B P ≥（4）减法公式：对任意两事件A ，B ，有)()()()(AB P B P A B P A B P -==-.（5）1)(0≤≤A P .（6）)(1)(A P A P -=.（7）加法公式：对任意两个事件B A ,，有)()()()(AB P B P A P B A P -+=Y .（8）加法公式的推广（三个的情形）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P -+++++=++（9）加法公式的推广（任意n 个的情形）：设n A A A ,,,21Λ是任意n 个事件，则有∑∑≤<≤=-=n j i j i n i i n A A P A P A A A P 1121)()()(Y ΛY Y1121()(1)()n i j k n i j k n P A A A P A A A +≤<<≤+++-∑L L三、古典概型与几何概型1、典概型中事件概率的计算：2、几何概型：如果一个试验具有以下两个特点：（1）样本空间Ω是一个大小可以计量的几何区域（如线段、平面、立体）；（2）向区域内任意投一点，落在区域内任意点处都是“等可能的”。

那么，事件A 的概率由下式计算：的测度的测度ΩA A P =)( 中的样本点数中所含的样本点数S A n k A P ==)(试验的基本事件总数的有利场合数A =四、条件概率、乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式1、条件概率的定义 对事件B A ,,若0)(>A P ，则称 )()()|(A P AB P A B P = 为事件B 在条件A [发生]下的条件概率.相对地,有时就把概率)(),(B P A P 等称为无条件概率.2、乘法定理 若0)(>A P ，则有)|()()(A B P A P AB P =若0)(>B P ，则有)|()()(B A P B P AB P =乘法定理的推广:（1）若0)(>AB P ，则有)|()|()()(AB C P A B P A P ABC P =证明：由乘法定理，有)|()|()()|()()(AB C P A B P A P AB C P AB P ABC P ==（2）若0)(121>-n A A A P Λ，则有)|()|()|()()(12121312121-=n n n A A A A P A A A P A A P A P A A A P ΛΛ3、全概率公式设S 为E 的样本空间，A 为E 的事件，n B B B ,,,21Λ为Ｓ的一个划分，且),,2,1(0)(n i B P i Λ=>，则有)|()()|()()|()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P +++=Λ4、贝叶斯公式设S 为E 的样本空间，n B B B ,,,21Λ为E 的一组事件，若（１）φ=j i B B ， j i ≠，n j i ,,2,1,Λ=（２）S B B B n =+++Λ21且),,2,1(0)(n i B P i Λ=>，则对任意具有正概率的事件A ，有∑==n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(五、事件的独立性1、定义 对事件B A ,，若 )()()(B P A P AB P =，则称事件A 与事件B 是相互统计独立的。

简称独立的。

2、性质 事件A 与B 独立，当且仅当A 与B ，A 与B ，A 与B 之一相互独立。

设S 为E 的样本空间，n B B B ,,,21Λ为E 的一组事件，若（１）φ=j i B B ， j i ≠，n j i ,,2,1,Λ=（２）S B B B n =+++Λ21且),,2,1(0)(n i B P i Λ=>，则对任意具有正概率的事件A ，有∑==n i ii k k k B A P B P B A P B P A B P 1)|()()|()()|(3、三个事件的独立性若事件A ，B ，C 满足下面三个条件)()()(B P A P AB P = )()()(C P A P AC P = )()()(C P B P BC P =则称三个事件A ，B ，C 是两两独立的。

若A ，B ，C 还满足)()()()(C P B P A P ABC P =则称此三事件A ，B ，C 是相互独立的。

4、n 个事件的独立性若事件n A A A ,,,21Λ中任意两个事件相互独立，即对于一切1≤i< j ≤n, 有)()()(j i j i A P A P A A P =则称n A A A ,,,21Λ两两独立。

设n A A A ,,,21Λ为n 个事件，若对于任意)1(n k k ≤<，及n i i i k ≤<<<≤Λ211，都有)()()()(2121k k i i i i i i A P A P A P A A A P ΛΛ=则称n A A A ,,,21Λ相互独立。

典型例题一、课后习题选讲例1（P32，4）设C B A ,,是三事件，且4/1)()()(===C P B P A P ，0)()(==BC P AB P ，8/1)(=AC P ，求至少有一个发生的概率。

例2（P33，6）在房间里有10个人，分别佩戴从容不1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章的号码. (1)求最小号码为5的的概率.(2)求最大号码为5的概率.例3（P33，9）从5双不同的鞋子中任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少? 例4（P33，11）将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 例5（P33，13）已知3.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=B A P 。

求)|(B A B P Y 。

例6（P33，14）已知2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P ，求)(B A P +。

、例7（P34，19）（1）设甲袋中装有n 只白球、m 只红球；乙袋中装有N 只白球，M 只红球。

今从甲袋中任意取一只球放入乙袋中，再从乙袋中任意取一只球。

问取到白球的概率是多少？（2）第一只盒子装有5只红球、4只白球；第二只盒子装有4只红球，5只白球。

先从第一盒子中任取2只球放入第二只盒中去，然后从第二盒子中任取一球。

求取到白球的概率。

例8（P34，21） 已知男子有5%是色盲患者,女子有0.25%是色盲患者.今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人,恰好是色盲患者,问此人是男性的概率是多少?例9（P34，23）将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与信息B 传送的频繁程度为2:1.若接收站收到的信息是A,问原发信息是A 的概率是多少?例10（P35，28） 三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4.问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?二、补充习题例1(05) 从数1,2,3,4中任取一个数,记为X ,再从1到X 中任取一个数,记为Y ,则==}2{Y P 例2(97) 袋子中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个个取得黄球的概率为例3 设A ,B ,C 三个事件两两独立,则A ,B ,C 相互独立的充要条件为（A ）A 与BC 独立 （B ）AB 与A+B 独立 （C ）AB 与BC 独立 （D ）A+B 与A+C 独立例4 已知随机变量A ,B ,C 满足5.0)(,5.0)(,4.0)(===C P B P A P 。