第一章函数极限与连续总结
微积分知识点总结(期末考研笔记)
微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。
3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。
\large δ：是邻域半径。
2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。
从左从右逼近相同值。
●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。
●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。
●极限运算性质1、满足四则运算。
2、满足复合函数嵌套极限。
3、极限存在则左右极限相等。
●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。
●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。
第一章 函数的极限与连续 小结
∆x →0
lim ∆y = 0 或 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 ,
∆x → 0
则称函数 f ( x) 在点 x 0 连续， x 0 称为 f ( x) 的连续点。 或 设函数 f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内有定义，若
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ) ，
六个常见的有界函数：
sin x ≤ 1, arcsin x ≤ arctan x <
cos x ≤ 1, (−∞, +∞); 0 ≤ arccos x ≤ π ,
高数第一章 知识点总结
式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）
函数,极限与连续
定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思：
它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限 值等于该点处的函数值.
例 1 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 . 证 任取 x0 (- , + )，则因
有定义， 如果
x 0
lim y 0.
则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.
若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：
x x0
lim f ( x ) f ( x 0 ) 或 lim f ( x ) f ( x 0 ) ，
x x0
则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续.
a O c b x y = f (x)
例 9 证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至 少有一个实根.
证
设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 [0, 1]
上连续且 f (0) = 1 > 0， f (1) = - 2 < 0，因此由推 论可知，至少存在一点 c (0, 1) ，使得 f (c) = 0. 这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根 .
sin(x a ) lim x a ( x a ) cos a cos x
令 x – a t ，由 x a，则 t 0.
sint 1 1 上式 lim lim . 2 t 0 t cos a cos(t a ) t 0 cos a cos(t a ) cos a
因 此 lim y 0. 这表明 y = sin x 在 x0 处连续，
高数函数,极限和连续总结
第一章 函数.极限和连续第一节 函数1. 决定函数的要素：对应法则和定义域2. 基本初等函数：（六类）（1） 常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。
注:分段函数不是初等函数。
特例：y =√x 2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。
4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。
5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。
第二节 极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x |>ð（或0<|x −x 0|<ð ）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x→∞f (x )=0 (或lim x→x0f (x )=A)2.极限存在的充要条件lim x→x0f (x )=A ↔lim x→x 0+f (x )=lim x→x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f(x)≪f 2(x) ,且 lim x→x0f 1(x )=A = lim x→x0f 2(x ) 所以lim x→x0f (x )=A（2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。
4.无穷小量与无穷大量，则称 时，f （x ）为无穷小量 ， 则称 时，f （x ）为无穷大量 注：零是唯一的可作为无穷小的常数。
性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。
注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。
5. 定义 设 是同一极限过程中的无穷小， 则若 则称 α 是β比高阶的无穷小,记作若 则称α是比β 低阶的无穷小∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim =βα);(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα若 则称 α 是β的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称α 是β的等价无穷小,记作若 则称α是关于β 的 k 阶无穷小。
函数极限连续(小结)
第一章 函数、极限、连续（小结）一、函数1. 邻域：()U a ,()U a 以a 为中心的任何开区间；2. 定义域：tan {};2y x x k ππ=≠+ cot {};y x x k π=≠arctan {,(,)}22y x x R y ππ=∈∈-；arcsin {[1,1],[,]}22y x x y ππ=∈-∈-arccos {[1,1],[0,]}y x x y π=∈-∈.二、极限1. 极限定义：（了解）lim n n x a →∞=⇔ 若对于0ε∀>，N Z +∃∈，.st 当n N >时，有||n x a ε-<；Note ：||?n x a n ε-<→>lim ()x x f x A →=⇔0ε∀>，0δ∃>，.st 当00x x δ<-<时，有()f x A ε-<；Note ：0()?f x A x x ε-<→-<左极限00()lim ()x x f x f x A --→==，右极限00()lim ()x x f x f x A ++→==。
lim ()x f x A →∞=⇔0ε∀>，0X ∃>，.st 当x X >时，有()f x A ε-<；Note ：()?f x A x ε-<→>lim (),lim ()x x f x A f x A →+∞→-∞==。
2.极限的基本性质（1） 唯一性：函数和数列的极限若存，则唯一。
（2） 有界性：收敛数列必有界。
局部有界0lim ()x x f x A →=0,0M δ⇒∃>>0,(,):x U x δ∀∈()f x M <。
（3） 保号性：lim 0n n x A →∞=>(或0<)，则存在正数N ，使得当n N >时，有0n x >(或0n x <)。
1-8函数的连续性与连续函数的运算
x 1 可去间断点 .
(2)
x , y f ( x) 1 2,
x 1 x 1
x 1
可去间断点 .
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微积分
第一章 极限与连续
x 1 , (3) y f ( x) 0 , x 1 ,
x0 x0 x0
x0
跳跃间断点 .
1 / x , x 0 (4) y f ( x) x, x0
O
: 令 f (1 ) 2 ,
y
2
y f (x)
1
x
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微积分
第一章 极限与连续
注意：
可去间断点的特点是 或修改定义
x x0
lim f ( x ) 存在 ， 通过补充定义
x x0
, 令 f ( x 0 ) lim f ( x ), 可使 f ( x ) 在 x 0 连续 .
结论：
f ( x ) 在 x 0 连续 f ( x ) 在 x 0 既左连续又右连续 f ( x ) f ( x ) f ( x0 )
0 0
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微积分
第一章 极限与连续
x 2 1, x 0 例 3 . 已知 f ( x ) 在 x 0 处连续 , 求 b . 2 x b, x 0
x 0 x 0 .
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第一章 极限与连续
x 1 (2) f ( x ) 0
x1 x1
x 1 x 1
在 x 1 处有定义 ,
但 lim f ( x ) lim ( x 1 ) 2 f ( 1 ). 故 f ( x ) 在 x 1间断 .修改定义 则 f ( x ) 在 x 1 连续 . 称 x 1为 f ( x )的 可去间断点 .
第一章 极限与连续(汇总)
解题思路：在 x→ 0的时候，x→0，sin 接等于 0.
为有界函数，按照无穷小量性质直
解题步骤：结果直接等 0 即可/由无穷小量性质（无穷小量（0）与有界函数的 乘积仍是无穷小）可得极限值为 0. 练习（思路指引） 求
������→0 ������
2） 、f（sinx）
已知函数 f（2x+4）定义域为[0，1]，则函数 f（x）的定义域是
极限存在问题
1, ������ > 0 ������ = 0 ,研究当 x→ 0时，f(x)的极限是否存在 例题：设 f(x)={ 0, −1, ������ < 0 解题步骤 第一步：求左极限（小于������0 一侧的极限值）
������→0−
lim ������(������)= lim−(−1)=-1
������→0
第二步：求右极限（大于������0 一侧的极限值）
������→0+
lim ������(������)= lim+(1)=1
������→0
第三步：比较左右极限是否相等（相等则极限存在，不相等则极限不存在）
1 (−������) =[ lim (1 + (− ������)) ] ������→∞
(−1)
第四步：求值 =������ −1
������→∞ 3+2∗0−0
=
2 3
练习： 1、求
������→∞ ������ 2 −������+2
lim
2������ 2 −1
2、求
������→∞ ������ 2 −������+2
lim
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第一章函数极限与连续总结
函数极限与连续是高等数学中的重要概念，对于函数的性质和特征有
着深远的影响。
在第一章的学习中，我们主要学习了函数的极限以及连续
的定义与性质。
本文将对第一章的内容进行总结。
函数的极限是研究函数在其中一点或其中一区间的变化趋势的工具。
当自变量趋近于其中一点或其中一区间时，函数的值也有可能趋近于其中
一固定值，这个固定值就是函数的极限。
在函数的极限的概念中，我们主要学习了一些基本的性质和计算方法。
通过极限的四则运算法则，我们可以将复杂的函数进行简化和转化，从而
更好地研究它们的性质。
我们还学习了一些常见的函数的极限值，如指数、对数、三角函数及其反函数的极限。
通过对函数的极限的学习，我们可以了解函数在其中一点或其中一区
间的变化趋势，从而更好地理解函数的特征和性质。
极限的计算方法也有
助于我们解决实际问题，比如利用极限来计算一些数列的极限，从而得到
更加精确的近似值。
连续是函数的一个重要性质，它代表了函数图像的连贯性和平滑性。
连续函数的定义是：当自变量在其中一点或其中一区间内变化时，函数的
值也会在同一点或同一区间内变化，并且不会有跳跃或断层的现象。
我们学习了一些常见的连续函数，并掌握了判断函数连续性的方法。
其中，我们主要研究了基本初等函数、分段函数和复合函数的连续性。
通
过学习这些连续性的性质，我们可以更好地分析函数的行为和特点。
在函数极限和连续的学习中，我们还学习了一些重要的定理和概念。
例如，极限存在准则、函数极限的无穷大与无穷小、函数极限的唯一性等。
这些定理和概念帮助我们更好地理解和应用函数的极限和连续性。
总的来说，函数的极限和连续性是高等数学中重要的概念和工具。
通
过学习函数的极限，我们可以更好地了解函数的性质和特征，对于求解实
际问题和进行精确计算有着重要的作用。
而学习连续性则可以帮助我们判
断函数的连贯性和平滑性，更好地分析函数的行为和特点。
对于进一步学
习高等数学以及其他数学学科，函数的极限和连续性是必不可少的基础知识。
总之，函数的极限和连续性是高等数学中的重要概念，对于函数的性
质和特征有着深远的影响。
通过学习函数的极限和连续性，我们可以更好
地理解和应用函数的性质，拓展数学思维，提高问题解决的能力。