第1章极限与连续

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微积分知识点总结(期末考研笔记)

微积分知识点总结（期末考研笔记）一、第一章：极限与连续第一节：函数1.什么是函数？未知变量x通过某种固定的对应关系确定唯一变量y，称y是x的函数2.什么是复合函数？内层变量导出中间函数的值域，中间函数的值域满足外层函数的定义域，则外层变量是内层变量的复合函数。

3.什么是反函数？能“反”的函数，正函数能由x确定唯一的y与之对应，反函数则要求由y能确定唯一的x与之对应！4.什么是基本初等函数？幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数通过四则运算把基本初等函数组合构成初等函数5.特殊函数特殊定义的函数：高斯函数，符号函数，狄利克雷函数第二节：极限1.极限定义是什么？●数列极限定义(ε--N)，函数极限定义(ε--δ)、(ε--X)\large \epsilon：任意小的正数，可以是是函数值与极限值之差；也可以是数列项与极限值之差。

\large δ：是邻域半径。

2.极限的性质是什么？●唯一性极限存在必唯一。

从左从右逼近相同值。

●保号性极限两侧正负相同●有界性数列极限收敛，必有界，反之不成立；连续函数闭区间有界。

●列与子列同极限数列有极限，子列也存在相同极限；反之不成立。

●极限运算性质1、满足四则运算。

2、满足复合函数嵌套极限。

3、极限存在则左右极限相等。

●极限存在性质迫(夹)敛(逼)定理。

●两个重要极限x\to0 时，\frac{sinx}{x}=1；(1+x)^{1/x} 的1/x次方极限为e●几个特殊关系式●[0,\frac {\pi}{2} ] 时，sinx <x <tanx●x>0 时，\frac{x}{(x+1)} <ln(1+x) <x3.无穷小●什么是无穷小1、定义：自变量趋向某个边界时，f(x)\to 02、无穷小是函数变化极限值，而非确定具体值，即要多小，有多小，但不是0! 3、高阶、同阶、等价无穷小●常用的等价无穷小第三节：连续与间隔1.连续的定义1、该点有定义，且该点极限值等于函数值，则该处连续2、闭区间连续，左边界函数值等于右极限，区间内各点连续，右边界函数值等于左极限2.间断定义第一类间断点：可去间断点，跳跃间断点。

第一章函数的极限与连续小结

(2) 单调的函数必有反函数。 4. 分段函数函数关系由不同的式子分段表示的函数称为分段函数。 5. 基本初等函数 (1) 常数函数： y = C ( C 是常数) (2) 幂函数： y = x u ( u 是常数) (3) 指数函数： y = a x ( a > 0, a ≠ 1 ) (4) 对数函数： y = log a x ( a > 0, a ≠ 1 ) (5) 三角函数： = y sin = x, y cos = x, y tan = x, y cot x (6) 反三角函数： = y arcsin = x, y arccos = x, y arctan = x, y arc cot x 6. 复合函数设函数 y = f (u ) 的定义域 D f ，而函数 u = ϕ ( x) 的值域为 Zϕ ，若 D f Zϕ ≠ Φ ，则称函数 y = f [ϕ ( x)] 为 x 的复合函数。 x 为自变量， u 为中间变量， y 为因变量。 7. 初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数。
∆x →0
lim ∆y = 0 或 lim[ f ( x0 + ∆x) − f ( x0 )] = 0 ,
∆x → 0
则称函数 f ( x) 在点 x 0 连续， x 0 称为 f ( x) 的连续点。或设函数 f ( x) 在点 x 0 的某个邻域内有定义，若
x → x0
lim f ( x) = f ( x0 ) ，
六个常见的有界函数：
sin x ≤ 1, arcsin x ≤ arctan x <
cos x ≤ 1, (−∞, +∞); 0 ≤ arccos x ≤ π ,

专升本高数第一轮--第一章--极限与连续.

解： lim f ( x) lim ( x 1) 1，
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim ( x 1) 1，
x 0
x 0
lim f ( x) 存在。
x 0
极限运算法则
n n n
推论1. 若 lim xn A，c 为常数，则 lim cxn cA
n n
推论2. 若 lim xn A，则 lim a n An
n
xn A 法则3. 若 lim xn A，lim yn B，且 B 0，则 lim n n n y B n
第一章极限和连续
§1.1 极限
（一）数列的极限 1. 数列
数列常表示为 xn : x1 , x2 , , xn , 其中 xn 称为数列的通项。例如： 1 2 3 n 2， 4， 6，， 2n，；，，，，， 2 3 4 n 1
若 n , xn xn1 则称 xn 为单调增数列，单调数列：
x x0 lim f ( x) A 或 f ( x) A ( x x0 )
定理2. lim f ( x)存在 lim f ( x) ， lim f ( x)
x x0 x x0 x x0
均存在且相等。
x 1，x 0 例4. 讨论函数 f ( x) 0 ，x 0 在 x 0 处是否有极限。 x 1，x 0
x
如果 lim f ( x) 0 ，则称函数 f ( x) 为 x x0 时的无穷小。
xx0
为了讨论方便，记无穷小为 lim 0 。
定理1 (极限与无穷小的关系) lim u A 的充要条件是 u A ，其中lim 0。

经济数学第一章极限与连续

3x 1,
例
2 设函数
f
(x)
1,
2 x ,
x0 x 0 ，求定义域和函数值 f (1) 、 f (0) 、 f (4) ， x0
并作出此函数的图像．
解函数的定义域 D ,， f (1) 3 1 1 2 ， f (0) 1，
f (4) 24 16 ．图像如图 1.2 所示．
关系相同，那么它们就是相同的函数，与自变量和因变量用什么字母表示无关．
2.分段函数
有些函数对于定义域内的自变量 x 的不同的值，不能用一个统一的解析式表示出来，而
要用两个或两个以上的解析式来表示，这种在自变量的不同取值范围内用不同的解析式表示
的函数，称为分段函数．
例 1 我国寄到国内（外埠）信函的邮资标准是：首重 100 克内，每重 20 克（不足 20
y 按照某种对应关系，都有唯一确定的值与之对应，则称变量 y 是变量 x 的函数，记作
y f (x), x D,
其中 x 叫做自变量， y 叫做因变量． x 的取值范围 D 称为函数的定义域，而数集
f (D) y | y f (x), x D
称为函数 y f (x) 的值域．当 x x0 时，与 x0 相对应的 y 值称为函数值，记作 y xx0 或 f (x0 ) ．
第一章极限与连续
函数是现代数学最基本的概念之一．它不仅是初等数学的主要内容，也是高等数学研究的主要对象．微积分学是研究函数关系的一门数学学科．极限方法是微积分学的基本方法，微积分学中的许多概念都是在极限概念的基础上建立的．连续性是函数的重要性态，微积分学是以连续函数作为主要研究对象的．
本章在中学的基础上，进一步学习函数的有关内容和经济问题中的常见函数，学习函数极限的概念及其运算，讨论函数的连续性，为学习微积分打下基础.

经典-高数第1章：函数、极限与连续

重要结论：
基本初等函数在其定义域上都是连续的
函数的复合
复合函数的定义 y f x
y f u
是由u x
和 x
注意：域内
复合而成的函数
的值域应落在f(x)的定义
理解：可以理解为换元法的过程
反三角函数 f(x)=arcsinx
初等函数
注意：高中阶段对反三角函数介绍较少，
等价无穷小（注意：不是等阶）
等价无穷小的转移定理
注意：表达方法
无穷小量
等价无穷小转移定理的应用
经典题型
比较无穷小量的高低阶证明无穷小(大) 求特殊的极限计算极限中的系数值
应用
函数的连续
函数连续的定义
函数在x0连续的三个条件
函数在x0及其左右有定义函数在x0的极限存在函数在x0的极限值等于该点的函数值，即
经典题型：怎么判断一个表达式是不是函数？
最主要的判断方法：一个x是对应了几个y值
定义域
自变量x的取值范围经典题型：求定义域关注哪些要点？
①分母不能为零； ②偶次根号下非负； ③对数的真数大于零； ④正切符号下的式子不等于kπ +π /2；
值域
因变量y的值的集合
经典题型
与定义域或∞有关的极限计算
0/0型
解法：通常分子分母可以化简、消项
∞/ ∞型解法：分子、分母同时除以最高项
极限
带有开方型解法：有理化分子（注意：是有理化分子）
换元法
无穷小量
无穷小量定义
注意：一定要讲函数是在趋于某个值x0时的无穷小，否则，趋于另外一个值时，有可能就不是无穷小了

高数函数,极限和连续总结

第一章函数.极限和连续第一节函数1. 决定函数的要素：对应法则和定义域2. 基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。

注:分段函数不是初等函数。

特例：y =√x 2是初等函数3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。

4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。

5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。

第二节极限1.分析定义∀&>0(任意小) ∃∂>0当|x |>ð（或0<|x −x 0|<ð ）时总有 |f (x )−A |<&称 lim x→∞f (x )=0 (或lim x→x0f (x )=A)2.极限存在的充要条件lim x→x0f (x )=A ↔lim x→x 0+f (x )=lim x→x 0−f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理f 1（x ）≤f(x)≪f 2(x) ,且 lim x→x0f 1(x )=A = lim x→x0f 2(x ) 所以lim x→x0f (x )=A（2）单调有界准则单调有界数列一定有极限。

4.无穷小量与无穷大量，则称时，f （x ）为无穷小量，则称时，f （x ）为无穷大量注：零是唯一的可作为无穷小的常数。

性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。

注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。

5. 定义设是同一极限过程中的无穷小，则若则称 α 是β比高阶的无穷小,记作若则称α是比β 低阶的无穷小∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0)(,)(x x ββαα==,0)(≠x β且,0lim =βα);(βαo =,lim ∞=βα,0lim ≠=C βα若则称 α 是β的同阶无穷小;特别地，当c=1 时，则称α 是β的等价无穷小,记作若则称α是关于β 的 k 阶无穷小。

第一章函数极限与连续

解填1. 设xn =
4 x3 + x2 + 1 x3 + x2 + 1 = 0 , 所以 lim (sin x + cos x) = 0. x 3 x→∞ x→∞ 2 +x 2x + x3 lim
不定式的极限 arctan x − sin x (14) lim = . x→0 x3 x ln(1 + x) = (15) lim ． x→0 1 − cos x 1 解填2. 因为当x → 0时， ln(1 + x) ∼ x, 1 − cos x ∼ x2 . 于是 2

n→∞

lim
n − 2na + 1 n(1 − 2a)
n
n

= lim
n→∞
1 1+ n(1 − 2a)
n(1−2a)· 1 1−2a
= e 1−2a .
1
于是 lim ln
n→∞
n − 2na + 1 n(1 − 2a)
x→∞
=
1 . 1 − 2a .
(11) 极限 lim x sin
2x = x2 + 1
x→0
=
1 1 x2 · lim = · lim 4 x→0 ln(1 + x) − x 4 x→0 3 sin x + x2 cos
1 1+x
1 2x 1 = · lim (1 + x) = . 2 x→0 2 −1
1 x (18) lim = x→0 (1 + cos x) m zn = a, 则必有 lim yn = a.
n→∞ n→∞ n→∞
上述准则对于函数的情形也成立。

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第一章极限与连续一. 选择题(A) (B) (C) (D)定义域与值域1. )lg(lg )1arcsin(x x y +-=的定义域（ D ） (A) 20≤≤x(B) 0>x(C) 1>x(D) 21≤<x2. 函数f x x x()sin=1在点x =0处（ B ）． (A) 有定义且有极限 (B) 无定义但有极限 (C) 有定义但无极限 (D) 无定义且无极限3. lg(lg )y x =的定义域是（ B ）(A) (0,)+∞(B) (1,)+∞(C) (10,)+∞(D) (100,)+∞4. 设()ln f x x =,则(12)f x -的定义域是（ C ） (A) (0,)+∞(B) 1(,)2+∞(C) 1(,)2-∞(D) (,0)-∞5. y = D ） (A) [1,1]- (B) (0,1] (C) (1,0)(0,1)-U(D) [1,0)(0,1]-U6. 下列函数定义域相同的是（ C ） (A) 2lg(4)y x =-与lg(2)lg(2)y x x =-++ (B) 1y x =+与211x y x -=-(C) lgy =与11lg 21xy x+=- (D) 11y x =+与211x y x -=-反函数四大特性7. 下列函数在定义域上是有界函数的是（ C ）(A) 2()ln(1)f x x =+ (B) 21()f x x =(C) ()sin x f x e =(D) =)(x f xx2cos8. 下列函数在[0,3]上是单调增加的是（ A ） (A) sin3x y = (B) xy e -=(C) 12log (1)y x =+(D) 222y x x =-+9. 下列函数在(0,1)上是单调增加的是（ B ） (A) 1y x =-+(B) 22y x =(C) xy e -=(D) 12log y x =10. 下列函数中=)(x f （ C ）是偶函数(A) xe x + (B) x x sin +(C) xx ee -+(D) xx2cos 11. 下列函数是偶函数的是（ D ）(A)sin(2)y x =-+(B) tan 2xy e=(C) 2(1)y x x =-(D)(1)(1)y x x =-+12. 下列函数是偶函数的是（ B ） (A) =)(x f xe x + (B)=)(xf xxee -+(C)=)(x f x x sin +(D)=)(x f xx2cos 13. 设函数f x ()的定义域是全体实数,则函数f x f x ()()--是（ C ）． (A) 单调减函数 (B) 有界函数 (C) 奇函数 (D) 周期函数14. 下列函数不是周期函数的是（ C ）(A) sin(2)y x =-+ (B) tan 2xy e =(C) sin ||y x =(D) sec(32)y x =-15. 周期函数4cos y x =的最小正周期是（ B ） (A)2π (B) π(C) 2π (D) 4π16. 周期函数4sin y x =的最小正周期是（ B ） (A)2π (B) π (C) 2π (D) 4π无穷小量与无穷大量17. 当x →-∞时,下列变量中,（ C ）是无穷小量． (A) 2-x(B) ln()-x(C) sin x x(D) x x 221+18. 下列函数不是无穷小量的是（ D ） (A) 1cos x -,当0x →时 (B)23251n n n ++-,当n →∞时(C)sin xx, 当x →∞时 (D) 221x x x --,当1x →时数列极限19. =⎪⎭⎫⎝⎛+-∞→31223lim n n n （ C ）(A) 23 (B) 81 (C) 827(D)4920. 数列极限221lim(1)n n n n→∞+-=（ A ） (A) 0 (B) 2(C) ∞ (D) 不存在且不是∞21. 数列223212n n x n n+=++的极限是（ C ） (A) 3(B) 32(C) 2 (D) 不存在两个重要极限22. 211lim()1x x x x -→∞+=-（ A ）(A) 4e (B) 2e(C) 2e -(D) ∞23. 1lim sin x x x→∞=（ B ）(A) 0(B) 1(C) ∞(D) 不存在且不是∞利用无穷小量求极限24. xx xx x sin sin lim +-∞→=（ B ）(A) 1- (B) 1(C) 0 (D) ∞25. 01lim sin x x x→=（ A ）(A) 0 (B) 1(C) ∞(D) 不存在且不是∞其他极限26. 11lim x x e-→∞=（ B ）(A) 0(B) 1(C) ∞(D) 不存在且不是∞27.lim )x x x →+∞=（ B ） (A) 0(B)12(C) 12-(D) ∞28. 下列极限不存在的是（ A ）(A) 01limsin x x →(B) 01lim cos x x x →(C) 311lim 1x x x →--(D) 21lim21x x x →∞+-29. 下列极限不存在的是（ A ）(A) 3211lim 21x x x x →--+ (B) 01lim cos x x x→(C) 201sinlimtan x x x x→ (D) 21lim21x x x →∞+-间断点与连续性判断30. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠=0,10,1sin )(x k x xx x f 在点0=x 处连续,则K=（ C ）(A) 1 (B) 0 (C) 1- (D) 不存在31. 函数21||11||1x x y x x ⎧-<=⎨+≥⎩ （ C ）(A) 在1x =±处都不连续 (B) 在1x =-处不连续,在1x =处连续 (C) 在1x =-处连续,在1x =处不连续 (D) 在1x =±处都连续32. 函数31||11||1x x y x x ⎧-<=⎨-≥⎩ （ D ）(A) 在1x =±处都不连续 (B) 在1x =-处不连续,在1x =处连续 (C) 在1x =-处连续,在1x =处不连续 (D) 在1x =±处都连续33. 下列间断点是可去间断点的是（ C ） (A) 224x y x +=-在2x =处 (B) 22010x x y x x +>⎧=⎨+≤⎩在0x =处 (C) 2200x x x y x x ⎧+>=⎨<⎩在0x =处(D) 2sin xy x =在0x =处 34. 下面的函数中有可去间断点的是（ A ）(A) 2200x x x y xx ⎧+>=⎨<⎩(B) 236x y x +=- (C) 22010x x y x x +>⎧=⎨+≤⎩(D) 2sin xy x =闭区间上连续函数的性质35. 利用介值定理判断下列方程在[0,1]内有解的是（ C ）(A) 2334x x -= (B) ln(1)1x x +=-(C) 20xe x +-= (D) sin 20x +=二. 判断题（对的打“√”,错的打“×”）三. 填空题定义域与值域36. 函数y x x x =+-+2982的定义域是 (,)(,)-∞+∞18Y .37. 函数x x y ln 11--=的定义域是 (1,)(,)e e +∞U .38. 函数ln y x=的定义域是 (1,)+∞ .39. 函数1ln arctan y x=的定义域是 (0,)+∞ .40. 函数1arcsin x y x -=的定义域是 1[,)2+∞ . 41. 若()f x 的定义域是[2,5)-,则(sin )f x 的定义域是 (,)-∞+∞ .42. 函数1arctan y x=的定义域是 (,0)(0,3]-∞U .复合函数43. 已知2()1x f x x =-，则(())f f x = 413xx - 。

44. 已知2(),()121x x f x g x x x ==--，则(())f g x = 215xx- 。

45. 若()sin f x x =,2()3g x x =+,则(())g f x = 2sin 3x + .反函数46. 函数1ln(23)y x =+-的反函数是 11(3)2x y e -=+ . 47. 函数1sin 1y x =+3()22x ππ≤<的反函数是1arcsin x y x π-=+1()2x ≥ .48. 函数1arcsin x y x -=的反函数是 1sin 1y x =+ .49. 函数221x x y =+的反函数是 2log 1xy x=- .50. 函数2xy a =的反函数是 1log 2a y x = .四大特性无穷小量与无穷大量两重要极限51. 0sin 3lim sin 5x x x →= 35 .52. 0sin 3lim tan 5x x x →= 35. 53. 0sin 2limln()x x x→= ln 2 . 54. 设3)21(lim -∞→=+e n kn n ,则=k 32- . 55.求极限10lim(1)2x x x →-= 12e - .56. 2lim(2)ln(1)x x x→∞--2=-.其他极限57. 若lim (),lim ()0f x a g x b ==≠,则()lim()f x g x = ab. 58. 2211lim 2x x x x →-=+- 23 . 59. 2349lim78n n n n →∞++=- 0 . 60. 2010301(23)(34)lim (2)x x x x →++=- 201057⋅ . 61. 201030(23)(34)lim (2)x x x x →∞++=- 201023⋅ . 62. 322lim 8x x x →-+=+ 2221lim(2)(24)12x x x x x →-+=+-+ . 63.21lim 1x x →=+ 0 . 64.21lim 1x x →=-8 .65. 0cos sin lim x x xx→-= ∞ .间断点与连续性判断66. 设函数f x x x x k x(),,=>+≤⎧⎨⎪⎩⎪e 2122,若f x ()在x ＝2处连续,则k ＝ 5ln 21 .67. 设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<--=)0()0(11)(2x x a x x xx f ，要使)(x f 在（-∞，+∞）内连续，则a =___12____。

68. 已知函数21(1)()1(1)x x f x x x a x ⎧->⎪=-⎨⎪+≤⎩在x=1处连续，则实数a 的值为 1 .69. 已知22,(2)()log ,(2)x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，若2lim ()x f x →存在，则常数a = -3 .闭区间上连续函数的性质级数70. 级数11npn =+∞∑当 p ≤1 时发散. 四. 求极限计算题无穷小量性质71. 求极限231lim (3cos )1x x x x →∞-++. 解由于231lim 01x x x →∞-=+,而23cos 4x ≤+≤,故原式0=. 无穷小量等价72. 求极限0sin 3limtan 5x x x →033lim 55x x x →==.73.求极限0limx →00lim lim x x →→===-74. 求极限3011cos lim [()1]2x x x x →+-1cos ln233001cos ln12lim [1]lim xx x x x x e x x+→→+=-= 2222000cos 11ln(1)cos 1122lim lim lim224x x x x x x x x x →→→-+--====-. 75. 求极限20(1sin )1lim x x x x →+-ln(1sin )22001ln(1sin )lim lim x x x x e x x x x +→→-+==00ln(1sin )sin lim lim 1x x x x x x→→+=== 罗必达法则76. 求极限sin 3limtan 5x xx π→;解原式2sin 33cos33lim lim tan 55sec 55x x x x x x ππ→→===-. 77. 求极限30tan lim sin x x xx→-解原式222200sec 1tan 1lim lim 3sin cos 3sin cos 3x x x x x x x x →→-===.78. 求极限30sin lim tan x x xx→-解原式32000sin 1cos sin 1limlim lim 366x x x x x x x x x x →→→--====. 79. 求极限2ln()2limtan x x x ππ→+-; 解原式222221cos limlimlim (2cos sin )0()sec 22x x x xx x x x x πππππ→+→+→+===-=--.80. 求极限1ln(1)limarccot x x x→+∞+; 解原式2211()11lim 11x x x x →+∞⋅-+=-+(3分)221lim 1x x x x →+∞+==+. (3分) 81. 求极限011lim()ln(1)x x x →-+ 解原式0ln(1)lim ln(1)x x x x x →+-=+(2分)0111lim ln(1)1x x xx x →-+=+++ (2分) 0011lim lim (1)ln(1)ln(1)112x x x x x x x →→--===-++++++.(2分) 82. 求极限011lim[]ln(1)x x x →-+; 解原式0ln(1)lim ln(1)x x x x x →-+=+(2分)00111lim lim(1)ln(1)ln(1)1x x x x x x x x x x →→-+==++++++ (2分) 011lim ln(1)112x x →==+++.(2分) 两个重要极限183. 求极限30tan sin limsin x x xx→-解原式232002sin sin (1cos )12lim lim sin cos sin cos 2x x xx x x x x x →→-===. 84. 求极限30tan sin lim tan x x xx→- 解原式232002sin tan (1cos )12lim lim tan tan 2x x x x x x x →→-===. 85. 求极限30tan sin lim tan 2x x xx→- 解原式23300tan 2sin tan (1cos )12lim lim tan 2tan 216x x xx x x x x →→⋅-===. 86. 求极限0tan sin lim sin x x xx x →-+解原式0tan sin lim 0sin 1x x xxx xx →-==+. 87. 求极限0sin lim sin x x xx x→-+解原式0sin 1lim0sin 1x x x x x →-==+. 88. 求极限201cos 2lim x xx →-解原式222001cos 22sin lim lim 2x x x xx x→→-===。

第1章 极限与连续