第三章 理想光学模型
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第三章理想光学模型(2)
N U
F
N
H M M
n
h H
F
U x
A
x
l
f
f
y B
l
拉赫推导公式
h (l )tg (U ) l tgU yftgU yf U tg
在近轴区时，tgU u, tgU u
yfu yf u (1)
任何球面系统近轴区都适用的拉赫公式
（2）物空间中每一条直线对应于像空间中唯一一条相应直 线，这两条直线称为共轭线。 （3）如果物空间的任意一点位于直线上，那么在像空间的 共轭点也必须在该直线的共轭线上。
高斯定义推广：
• 物空间中任意平面对应于像空间中惟一的共轭平 面； • 任一垂直于光轴的平面，其共轭平面仍于光轴垂 直； • 物空间中任意同心光束对应于像空间中有一共轭 的同心光束。
J nuy nuy
f n f n
(2)
理想光学模型的物像方焦距之间关系的重要公式
f n f n
注意：当系统中存在k个反射镜时：
f k 1 n (1) f n
理想光学模型的拉赫公式
n f 在公式yftgU yf U 中用 代替 可得 tg n f
第四节理想光学模型两焦距之间的关系及拉赫不变量理想光学模型的拉赫公式可得代替中用在公式这就是理想光学模型中的拉赫公式它是对于任意大小物体任意宽光束成像的普遍公式
第三章 理想光学系统(2)
复习
高斯成像定义
（1）物空间一个物点对应像空间中唯一的像点，这种一一 对应关系称为共轭，这两个对应点称为共轭点。
nytgU nytgU
这就是理想光学模型中的拉赫公式，它是对 于任意大小物体，任意宽光束成像的普遍公式。
几何光学-第三章-光学系统成像
请注意，这只是一种规定，不同需要可有不同的规定。
14
（2）计算光路 现定义两个平面，包含物点和光轴的平面叫做子午平面，包含主光线且与子午平面垂 直的平面是弧矢平面。
下面讨论子午平面内的成像问题。如图 3-3 所示的三角形 APC 和 A’PC，利用正弦定律 和折射定律，有 sin(I)=(S－R)sin(U)／R sin(I’)＝n sin(I)／n’ U’＝U＋I－I’ S’＝R＋R sin(I’)／sin(U’) (3-1) (3-2) (3-3) (3-4)
这四个公式被用来计算子午平面里实际光线的光路。若是已知 S 和 U 可求 S’和 U’。若 是 S 为固定值，S’将是 U 的函数，轴上一点以有限孔径角发出的光线，经光学系统成像时， 可能会存在像差（球差） 。 （3）近轴光路 如果 U 角很小，其对应的 I，I’和 U’也非常小，φ角也很小，它们的余弦值近似为 1。 这些角的正弦值可用弧度代替，可用小写字母表达它们：u，i，i’和 u’，满足这样条件的光 线都在离光轴很近的区域内，叫做近轴光线，讨论它们行为的光学就叫做近轴光学，也叫 做高斯光学。将上面四个公式内的角符号用小写字母代替，对应的物距，像距和曲率半径 以及垂直线段也用小写字母代替，有 i＝(s－r) u／r i’＝n i／n’ u’＝u＋i－i’ s’＝r＋r i’／u’ 三角公式求得：s u＝s’ u’, 则有 (3-5) (3-6) (3-7) (3-8)
它表明，经曲面折射，该平行光线通过第二主焦点 F’传播。 ★ 物方焦点。 即 根据物像共轭性，光轴上无穷远处一个像点的共轭点叫做物方
焦点 F，也叫做第一主焦点 F，顶点到该焦点的距离 OF=－f 表示第一焦距，或物方焦距。 s’＝∞，有(－n／s)＝(n’－n)／r，则 f＝s＝-nr／(n’－n)＝－n／φ 或 或 f＝-nr／(n’－n) φ＝－n／f （3－16a） （3－16b） （3－17）
《应用光学》第3章 理想像和理想光学系统
n' n n'n
l' l
上式两边同乘以l l'，得
r n'l nl' n'n ll' r
13
上式左边为0，对主点来说，将l'＝n'l / n代入右边得
n'n n' l 2 0 rn
由此得到l＝0，代入nl'＝n'l，又得l'＝0。所以球面
的两个主点H、H'与球面顶点重合。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、球面焦距公式 按照球面定义像方焦点为无限远
•n1'= n2= 1.5163; •求: lF, lF', lH, lH', f, f'
采用计算机编程（MATLAB 程序）
22
• 已知条件
• r1=10;r2=-50;d1=5;h1=10;n1=1; • 同理可得：
• n1'=1.5163;n2=n1';
• r2=-10;r2=50;d1=5;h1=10;n1=1;
• 焦距是以相应的主点为原点来确定正负的，如果 由主点到相应焦点的方向与规定光线的正方向相同 为正，反之为负。在图3-1中，f<0 , f '>0. 以后将会 知道 f '>0为正系统，f '<0 为负系统。在图3-1中物 像方平行于光轴的光线高度均为 h，其共轭光线与 光轴的夹角为u和u'，则有：
学系统的物方焦点。显然，根据光路可逆原理，
物方焦点 F 经系统以后必成像于像方无限远的轴 上点。或者说，物方焦点与像方无限远的轴上点 是一对共轭点。
7
过物方焦点 F 的垂轴平面称为物方焦平面。显然，
《应用光学》第3章 理想光学模型(第4节)的放大率(有程序)
第五节 理想光学模型的放大率
一、垂轴放大率
上节 已给出与牛顿公式相对应的垂轴放大率公式：
y' x' f （3-2）
y f' x 由 上节 式（3-5）及角放大率公式
u' l 有 fl' nu nl'
u l'
f 'l n'u' n'l
（3-6）
当n=n' 时有 l' u
n
当物像方介质相等时 2
上式表明，若物体在沿轴方向有一定的长度时，例如 一个正方体，则由于垂轴和沿轴方向有不等的放大率， 其像不再是一个正方体。
应指出，上述各式只对沿轴微小线段适用，若沿轴方
向为一有限线段，此时轴向放大率以下式表示：
x' x2 'x1' , l' l2 'l1'
x x2 x1
11
理想光学模型图解求像的要点：要寻求一物点经理
想光学模型所成的像点的位置，只要设法寻找由物 点发出的任意两条光线经光学以后的出射共轭光线， 这两条共轭光线的交点便是像点。而要寻找物方某 一条光线的像方共轭出射光线，只要找出它在像方 必定要通过的两点或者是它在像方必定要通过的一 点和它的出射方向。
21
• 例3.1. 用作图法求下图中各薄透镜的焦点 F,F＇位置。
22
5
• 3.节点处的放大率 根据定义，xF'节点处的角放大
率 J ＝1，则由垂轴放大率和沿轴放大率公式有：
J
x' f'
f x
f f'
n n'
J
x' x
f f'
n n'
一、垂轴放大率
上节 已给出与牛顿公式相对应的垂轴放大率公式：
y' x' f （3-2）
y f' x 由 上节 式（3-5）及角放大率公式
u' l 有 fl' nu nl'
u l'
f 'l n'u' n'l
（3-6）
当n=n' 时有 l' u
n
当物像方介质相等时 2
上式表明，若物体在沿轴方向有一定的长度时，例如 一个正方体，则由于垂轴和沿轴方向有不等的放大率， 其像不再是一个正方体。
应指出，上述各式只对沿轴微小线段适用，若沿轴方
向为一有限线段，此时轴向放大率以下式表示：
x' x2 'x1' , l' l2 'l1'
x x2 x1
11
理想光学模型图解求像的要点：要寻求一物点经理
想光学模型所成的像点的位置，只要设法寻找由物 点发出的任意两条光线经光学以后的出射共轭光线， 这两条共轭光线的交点便是像点。而要寻找物方某 一条光线的像方共轭出射光线，只要找出它在像方 必定要通过的两点或者是它在像方必定要通过的一 点和它的出射方向。
21
• 例3.1. 用作图法求下图中各薄透镜的焦点 F,F＇位置。
22
5
• 3.节点处的放大率 根据定义，xF'节点处的角放大
率 J ＝1，则由垂轴放大率和沿轴放大率公式有：
J
x' f'
f x
f f'
n n'
J
x' x
f f'
n n'
第三章 理想光学系统
f、f’之间的关系： 但若系统所在的物像介质空间不一致，例如：一方位 于水中，一方位于空气中，则有n≠n’， 故有：f’≠−f 。
此外，焦距不仅与介质有关也与反射面的个数有关。 若设系统中有K个反射面，则：
f' K 1 n ' 1 f n
当n n '时，有：f ' (1)
k 1
符号法则 依然适用！
3.3.2 解析法求像（重点）
如图所示：我们首先利用作 图求出像的大致形状和位置。
2）牛顿形式的放大倍率公式：
3.3.2 解析法求像（重点）
2、高斯公式
1）高斯形式的物像位置关系式：
其物像位置的确定是以主点为原点来加以描述的。 式中，l为物距；l '为像距；
3.3.2 解析法求像（重点）
若光学系统所在物像空间位于同一介质中（n=n’)，则主点与节 点重合（即：H、H’与J、J’重合）。
3.3 理想光学系统的物像关系
3.3.1 图解法求像（重点） 3.3.2 解析法求像（重点） 3.3.3 多个光组组成的理想光学系统的成像 3.3.4 光学系统的光焦度、折射度和光束的 汇聚度
3.2 理想光学系统的焦点与焦平面、主点 与主平面、焦距、节点
问题：
F与F’是不是一对共 轭点？为什么？
3.2 理想光学系统的焦点与焦平面、主 点与主平面、焦距、节点
三、 主点及主面 1、作图说明
例如有一光学系统，这是光轴，现有一 条平行于光轴的光射入，高度为h，根 据共线成像理论，它一定有一个唯一的 共轭光线，该共轭光线与光轴相交于一 点，就是F '（像方焦点）。现将这一对 共轭光线延长，交于一点Q′ ，过Q′作垂 直于光轴的平面，交光轴上于一点H '， 则称该点为像方主点，该平面为像方主 面。
第三章理想光学模型(5)
n' n n' n l' l f ' f n ' 和 n 称为光束的会聚度，以符号 和 表示。 ' l ln' n 和 称为光学系统的光焦度，以符号Φ表示。
f
f
则上面公式可写为
n' n f' f
'
上式表示一对共轭点的光束会聚度之差等于光学 系统的光焦度。
U1
U2
U1
U2
a)实像
b)虚物
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
U2
U1
U2
U1
a)实物
b)虚像
由以上讨论可以看出，对于在主面相同高度
两光束的会聚(或发散)程度，从两光束孔径
角 U 或 U 的大小来判断是直观和方便的。
ntgU ntgU h
一、光组在空气中
令光组在空气中则 n n 1 ，令此时光组在 空气中的光焦度为 。
U
0，tgU tgU 0
U U 0
U
U
此时，出射光线偏向光轴，光束经过光学系 统以后是会聚的。
若 0，则tgU tgU 0
有U U
U U 0
U
U
0，tgU tgU 0
U U 0
U
U
0 的光学系统称为正光焦度系统或会聚系统，
对光束起会聚作用。射入系统的共轭出射光线偏向光轴； 的光学系统称为负光焦度系统或发散系统， 0 对光束起发散作用。射入系统的共轭出射光线偏离光轴； 的光学系统称为无光焦度系统，无光焦度 系统对光束不起会聚作用或发散作用。射入系统的共轭 0 出射光线与其入射光线平行。 当入射光线在系统上投射点的高度 h 一定时，光 焦度 的大小完全表征了通过系统的后光线的偏折程 度。 的绝对值越大，则系统使出射光线相对于入射 光线偏折得越厉害。
第三章 理想光学系统
f = h tgU
f′=
h tgU ′
f′ n′ n =n′ 2） = − ） f n
f =−f′
h = ltgU = l ′tgU ′
(x + f )tgU = (x′ + f ′)tgU ′
y y′ ′=− f′ x = − f ,x y′ y ′ yftgU = − y ′f tgU ′
yfu = − y ′f ′ ′ u nuy = n ′u ′y ′
α = β1 β 2
3.角放大率： 3.角放大率： 角放大率
tgU ′ γ = tgU
tgU ′ y f 1 f 1 n γ = =− =− = tgU y′ f ′ β f ′ β n′
f x′ β =− =− x f′
γ =
1
β
x f 1 f = = γ =− β f ′ f ′ x′
4.三者关系： 4.三者关系： 三者关系
′ x2 = x1 − ∆1
……… …
d1 = H 1′H 2
相应于牛顿公式： 相应于牛顿公式：
光学间隔） ′ x k = x k −1 − ∆ k −1 （光学间隔）
∆1 = d1 − f1′ + f 2
……… …
∆1 = F1′F2
光学间隔Δ和主面间隔d 光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为: 的关系为:
β<0， 物象虚实一致。 β<0， 物象虚实一致。 β>0， 物象虚实相反。 β>0， 物象虚实相反。
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 空气中有一薄光组，当把一高 的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方 处时， 点左方 处时 将会在光组像方焦点右方25mm处 处 成一虚像。 成一虚像。 光组的焦距； 求：1. 光组的焦距； 2. 像的大小； 像的大小； 3. 物右移 物右移200mm，像移动多大距离？ ，像移动多大距离？
f′=
h tgU ′
f′ n′ n =n′ 2） = − ） f n
f =−f′
h = ltgU = l ′tgU ′
(x + f )tgU = (x′ + f ′)tgU ′
y y′ ′=− f′ x = − f ,x y′ y ′ yftgU = − y ′f tgU ′
yfu = − y ′f ′ ′ u nuy = n ′u ′y ′
α = β1 β 2
3.角放大率： 3.角放大率： 角放大率
tgU ′ γ = tgU
tgU ′ y f 1 f 1 n γ = =− =− = tgU y′ f ′ β f ′ β n′
f x′ β =− =− x f′
γ =
1
β
x f 1 f = = γ =− β f ′ f ′ x′
4.三者关系： 4.三者关系： 三者关系
′ x2 = x1 − ∆1
……… …
d1 = H 1′H 2
相应于牛顿公式： 相应于牛顿公式：
光学间隔） ′ x k = x k −1 − ∆ k −1 （光学间隔）
∆1 = d1 − f1′ + f 2
……… …
∆1 = F1′F2
光学间隔Δ和主面间隔d 光学间隔Δ和主面间隔d 的关系为: 的关系为:
β<0， 物象虚实一致。 β<0， 物象虚实一致。 β>0， 物象虚实相反。 β>0， 物象虚实相反。
例：空气中有一薄光组，当把一高20mm的物置于物方焦 空气中有一薄光组，当把一高 的物置于物方焦 点左方400mm处时，将会在光组像方焦点右方 处时， 点左方 处时 将会在光组像方焦点右方25mm处 处 成一虚像。 成一虚像。 光组的焦距； 求：1. 光组的焦距； 2. 像的大小； 像的大小； 3. 物右移 物右移200mm，像移动多大距离？ ，像移动多大距离？
[数学]第3章 理想光学系统
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fl f l
理想光学系统的垂轴放大率与 物体所处位置和系统的焦距有关。
3.4 理想光学系统两焦距之间的关系式 及拉赫不变量
一、两焦距之间的关系 由直角三角形 AQH和AQH， 可得：
h ltgU l tgU 即( x f )tgU ( x f )tgU (1)
yfu yf u (5)
共轴球面系统近轴区适用的拉赫公式为
J nyu nyu (6)
f n (7) f n
结论：理想光学系统的像方焦距与物方焦距 之比等于相应介质折射率之比的负值。 光学系统位于同一种介质中（ n n ）： 物像方介质折射率相等，则有 f f (8) 说明：系统位于同一介质中时， 两焦距大小相等，符号相反。
l l
( 4)
二、轴向放大率 1.定义：轴上像点移动微小距离与物点移动的微小距离之 比。
dl dx 2.大小：对牛顿公式或高斯公式微分，可得 dl dx
dx x dx x
xx f f f f 1 l l
微分
(5)
dl fl 2 2 dl f l
3.1理想光学系统的基本特性
4.位于垂直于光轴同一平面内的物体，其像的几 何形状和物完全相似，也就是说，在整个物平 面上，无论什么位置，垂轴放大率为常数。
注：当光学系统物象空间满足理想成像关系时， 一般来说，物像并不相似。在共轴理想光学系统 中，只有垂直于光轴的平面才具有物像相似的性 质。
3.1理想光学系统的基本特性
高斯公式：用焦距（ f和f ）表示物像位置关系， 物象位置用（l和l ）表示。 已知 x l f , x l f 根据牛顿公式 xx ff
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dl'
dl
fl'2 f'l2
ff'2n nl'l'22
当物像方介质折射率相同时
l '2 l2
2
当 0 时，表示物体移动方向和像移动方向相
同。
三.角放大率g 角放大率是轴上一对共 轭点上，轴上物点 A 发出 的一对共轭光线孔径角U ' 和 U 的正切比。 高斯形式：
tgU ' u '
tgU u
物方焦平面——过物方焦点 F 的垂轴平面； 像方焦平面——过像方焦点F '的垂轴平面。
主平面：有相同高度 ，在光轴的同一侧，并且 垂轴 放大率+1为的共轭平面。
物方主点H——物方主面和光轴的交点；
像方主点H '——像方主面和光轴的交点。
物、像方焦点F、F ′ ，物、像方主点H、H ′称 为理想光学系统的基点，物、像方焦平面和物、 像方主平面称为它们的基面。
F
J J'
F'
F'
J J'
F
H H'
H H'
f '> 0
f '< 0
特 殊 光 线 的 共 轭 出 射 光 线
辅助线的作法
下面列举了对任意入射光线 a 借助于利用基点、基面性 质的辅助光线 b ，作出光线 a 的共轭出射光线可能的四种方 法。
f '> 0
折射后的出射光线平行于光轴； （3）过物方节点J的入射光线，经过光学
系统后的出射光线必通过像方节点J'。
• 有时为了作图方便，可根据焦平面性质 作图：
• （1）入射光线可认为是由轴外无限远物 点发出的平行光束（斜光束）中的一条。
• （2）入射光线可认为是由前焦面上一点 发出来的光束中的一条。
作图的根本问题是作出任意一条入射光线的共 轭出射光线。对于特殊光线可根据基点界面的 性质直接作出。
xH' xH
f ' f
n' n
1
H
xH f'
f xH'
f f'
n n'
H 1
则表明通过物像方主点的一对共轭光线互相平 行。
第六节 节点和节平面
在理想光学模型中存在着一对角放大率为 1 的 共轭点和共轭面，这一对共轭点记为 J 和 J' ， 分别称为物方节点和像方节点。过节点的垂轴 平面相应的称为物方节平面和像方节平面。
第一节 理想像和理想光学系统
理想光学系统：能够对足够大空间内的点以足够 宽光束成完善像的光学系统。
在理想光学系统中有如下定义： 1. 物空间内每一点对应于像空间内唯一的一像 点，这一对点称为共轭点； 2. 物空间内每一条直线对应于像空间内唯一的 一条直线，这一对线称为共轭线； 3.如果物空间的任意一点位于直线上，那么在 像空间的共轭
一.垂轴放大率β 高斯形式的垂轴放大率公式：
fl' nl' nu
f 'l n'l n'u' 当 n n ' 时有
l' u
l u'
牛顿形式的垂轴放大率公式：
f x'
x f'
二.沿轴放大率a
牛顿形式的沿轴放大率公式：
dx ' x '
dx x
高斯形式的沿轴放大率公式：
xF 0
F
f x
x' f'
F F2
xF '
ff ' xF
F
x f'
f 0 x'
由物方焦点发出的与光轴成有限大小角度U的光 线，经光学系统后对应的角度Ｕ′为零，即平行 于光轴射出。
2 .像方焦平面 它的共轭面是在物方无限远处的 垂轴平面。
xF ' 0
ff ' xF x '
F 0
F 0
F
在物方平行于光轴的光线U=0，其共轭光线 通过后焦点与光轴成有限角度U'。
3.主平面 主平面 H 1
所以有：H
xH' f'
f xH
1
这样就得到
xH f xH ' f '
说明：物方主点在物方焦点的右侧，像方主点在像 方焦点的左侧。
若理想光学系统位于同一介质或空气中
H
高斯公式的垂轴放大率公式：
fl ' f 'l
第四节 理想光学模型的拉赫公式及 二焦距之间的物像关系
拉赫公式： Jnuyn'u'y'
理想光学模型物像焦距间的关系：
f ' n'
f
n
若光学系统处于同一介质中，即 n n '
有 f 'f
Jnytgun'y'tgu
理想光学系统的拉赫公式说明：当物体一定 （高度、角度），像要较大，则光线较细。
牛顿物像位置关系公式：
xx ' ff '
垂轴放大率：
y' x' f
y f' x
2.高斯公式
物（像）距用 l （ l'）表示，它是物（像）点 A 到物（像）方主点 H （ H ′）的距离；符号规则 是以物（像）方主点为原点到A（ A′）点沿光线 正方向为正，反之为负。
高斯像物像位置公式： f ' f 1 l' l
J 和 J ′ 相对于对应焦点的位置为： xJ f ',xJ'f
根据垂轴放大率和沿轴放大率公式
J
f x
x' f'
n n'
J
x' x
f f'
n n'
第七节 理想光学模型的作图求解
图解法求像常用的有如下三条光线： （1）平行于光轴的入射光线，经光学系统
折射后的出射光线通过像方焦点F'； （2）通过物方焦点的光线，经过光学系统
推广 ：
4 .物空间中任意平面对应于像空间中唯一 的共轭平面；
5 .物空间中任意同心光束对应于像空间 中有一共轭的同心光束。
理想光学系统对物体成完善像，实际的理 想光学系统的性质只能在近轴区实现。
第二节 理想光学模型
像方焦点F'：和物方无限远处的轴上点为共轭点； 物方焦点F ：和像方无限远处的轴上点为共轭点.
• 自物方主点到物方焦点的距离称为物方焦距， 用 f 表示之；自像方主点到像方焦点的距离称 为像方焦距，以 f ′ 表示之。焦距的正、负是 以相应的主点为原点来确定的。
f h tanU
f h tanU
第三节 理想光学模型的物像关系
1.牛顿公式： 牛顿公式中物体的物（像）距是以物（像）方焦点为原点， 物（像）距x（ x ′）的正负号按以下规则判定，若由物（像） 方焦点到物（像）点的方向与光线传播方向一致，则物（像） 距为正，反之为负。
l f 1 n 1 l' f ' n'
牛顿形式： x f f ' x
角放大率与角度 U 和 U '的大小无关，仅随物 像位置而改变，在同一对共轭点上，所有共轭 光线与光轴夹角正切之比为常数。
四. 三放大率之间的关系
五. 特殊共轭面上的放大率
1.物方焦平面: 它的共轭面是在像方无限远处的垂 轴平面。