第1讲数列的概念与简单表示法.ppt

可得分母的通项公式为 cn＝n2＋1， 因此可得数列的一个通项公式为 an＝2nn2＋＋11.
对于整数数 列，当不是 特殊数列时， 往往将其每 一项加或减 一个适当整 数后。有可 能就变成特
殊数列
由an与Sn的关系求通项an
考 点
【例 2】(2013·广东卷节选)设数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a1＝1， 2nSn＝an＋1－13n2－n－23，n∈N*. (1)求 a2 的值；(2)求数列{an}的通项公式．
审题路线
(1)变形为 an＋1－an＝ n＋1⇒用累加法，
即 an＝a1＋(a2－a1)＋ (a3－a2)＋… ＋(an－an－1) ⇒得出 an.
解（1） 由题意得，当 n≥2 时，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝2＋(2＋3＋…＋n) ＝2＋(n-1)2(2+n) ＝n(n2＋1)＋1. 又 a1＝2＝1×(12＋1)＋1，符合上式，因此 an＝n(n2＋1)＋1.
欲求的数列相 邻两项的比可 化成一个已知 数列的相邻两 项（或相距不 太远的两项） 的比时，则可 仿此方法，累 乘求通项公式。
----课堂小结----
1．求数列通项或指定项，通常用观察法(对于交错数列一 般用(－1)n 或(－1)n＋1 来区分奇偶项的符号)；已知数列中的递推 关系，一般只要求写出数列的前几项，若求通项可用归纳、猜 想和2转．化由的Sn方求法a．n 时，an＝SS1n－n＝Sn1－1，n≥2， 注意验证 a1 是否 包含在后面 an 的公式中，若不符合要单独列出，一般已知条件 含 an 与 Sn 的关系的数列题均可考虑上述公式．
其中 n∈N*
从第二项起，有些项大于
它的前一项，有些项小于
它的前一项的数列
4.an周与期Sn性的关系∀n∈N*，存在正整数常数k，an＋k＝an
s 若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝SS1，n-n＝n-11，，n≥2.
1．对数列概念的认识
(1)数列 1,2,3,4,5,6 与数列 6,5,4,3,2,1 表示同一数列．( ) (2)1,1,1,1，…不能构成一个数列．( )
由数列的前几项求数列的通项
考 点
(2)32，1，170，197，….
解析(2) 将数列统一为3，5，7 ，9 ，…， 2 5 10 17 对于分子 3,5,7,9，…，是序号的 2 倍加 1， 可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1， 对于分母 2,5,10,17，…， 联想到数列 1,4,9,16，…， 即数列{n2}，
2．数列的表示方法
(1)表示方法
列表法
列表格表达 n 与 f(n)的对应关系
图象法 把点(n，f(n))画在平面直角坐标系中
公 通项公式 把数列的通项使用通项公式表达的方法
式 递推 使用初始值 a1 和 an＋1＝f(an)或 a1，a2 和
法 公式
an＋1＝f(an，an－1)等表达数列的方法
(2)数列的函数特征：上面数列的三种表示方法也 是函数的表示方法，数列可以看作是定义域为正整数
（2） n≥2 时，Tn－1＝2Sn－1－(n－1)2， 则 Sn＝ Tn－Tn－1＝ 2Sn－n2－[2Sn－1－(n－1)2]
＝2(Sn－Sn－1)－2n＋1＝2an－2n＋1.
因为当 n＝1 时，a1＝S1＝1 也满足上式，
所以 Sn＝2an－2n＋1(n≥1)，
由an与Sn的关系求通项an
故 an＝2×3n－1－1.
法二 由aan＋n＋1＋11＝3，即 an＋1＋1＝3(an＋1)， 当 n≥2 时，an＋1＝3(an－1＋1)，∴an＋1＝3(an－1＋1)
＝32(an－2＋1)＝33(an－3＋1)＝… ＝3n－1(a1＋1) ＝2×3n－1，
∴an＝2×3n－1－1；当 n＝1 时，a1＝1＝2×31－1－1 也满足．
∴an＝2×3n－1－1.
又法：由此已看出{an+1}是等比数列。则an +1=2·3n-1即an =2·3n-1-1此法是不是更为简捷。
数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值 和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数 列的通项公式，常用的方法有：
①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；
数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第 1
项，通常也叫做___首__项__．____
(2)数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项与__序__号___n__之间的关系可以用一个
式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． (3)数列的前 n 项和
在数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an 叫做数列的前 n 项和．
规律方法
②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列， 或用累加法、累乘法、迭代法求通项．
由递推公式求数列的通项公式
考 点
an＋1·a【n＝训0练(n＝3】1设,2,{3a，n}是…首)，项则为它1的的通正项项公数式列a，n＝且_(_n_＋n1__1_)a_2n_＋.1－na2n＋
解析 ∵(n＋1)a2n＋1＋an＋1·an－na2n＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 又 an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 即aan＋n 1＝n＋n 1， ∴aa12·aa32·aa43·aa45·…·aan－n 1 ＝12×23×34×45×…×n－n 1， ∴an＝n1.
如(5).
由数列的前几项求数列的通项
考 点
【例 1】根据下面各数列前几项的值，写出数列的一个通项公式：
(1)－1,7，－13,19，…； (2)23，145，365，683，1909，…； (3)、 (4)见下一页
解(1)偶数项为正，奇数项为负，故通项公式必含有因式(－1)n，
观察各项的绝对值，后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大 6，
2．对数列的性质及表示法的理解
(3)(教材改编)数列 1,0,1,0,1,0，…的通项公式，只能是
an＝1＋
－1 2
n ＋1
.
(
)
(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(5)(2013·开封模拟改编)已知 Sn＝3n＋1，则 an＝2·3n－1.( )
一 个
数列与数集都是具有某种属性的数的全体，数 列中的数是有序的，而数集中的元素是无序的，同
(1)解 依题意，2S1＝a2－13－1－23， 又 S1＝a1＝1，所以 a2＝4；
(2)解 由题意 2Sn＝nan＋1－13n3－n2－23n，所以当 n≥2 时， 2Sn－1＝(n－1)an－13(n－1)3－(n－1)2－23(n－1) 两式相减得 2an＝nan＋1－(n－1)an－13(3n2－3n＋1)－(2n－1)－23，
由递推公式求数列的通项公式
【例 3】在数列{an}中， (2)若 a1＝1，an＋1＝3an＋2，则通项
an＝_2_×_3_n_－_1_－__1_._____.
审题路线
(2)变 形 为 an＋ 1＋ 1＝ 3(⇒an再＋变1)形为aan＋n＋1＋11＝31 ⇒用累乘法可求 an.
解法（一2）aa将因21a＋ ＋这为n＋11些1＝a＝1等＝33，a式1n，＋aa两32＋ ＋所2边，11以即分＝a别3na1＋，n＋1相＋＋1aa1＋乘431＋ ＋＝1得＝113＝an3an，＋(31a＋1，＋ 即n＋1…1a1＝，n)＋，31a＝nan.即＋n2＋1a＋×an13＋n1n＋1－＝＋1131(.＝n≥31，)， 所以 an＝2×3n－1－1(n≥2)，又 a1＝1 也满足上式，
根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住 其几方面的特征： 分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征； 拆项后的各部分特征；符号特征． 应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．
规律方法
考
由数列的前几项求数列的通项
点
【训练 1】 根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式： (1)12，14，－58，1136，－2392，6614，…； (2)见下一页
考 点
【训练 2】设数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{Sn}的前 n 项和为 Tn，满足 Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求 a1 的值；(2)求数列{an}的通项公式．
当 n≥2 时，Sn－1＝2an－1－2(n－1)＋1， 两式相减得 an＝2an－2an－1－2，所以 an＝2an－1＋2(n≥2)，
规律方法
由an与Sn的关系求通项an
考 点
【训练 2】设数列{an}的前 n 项和为 Sn，数列{Sn}的前 n 项和为 Tn，满足 Tn＝2Sn－n2，n∈N*. (1)求 a1 的值；(2)求数列{an}的通项公式．
解（1）令 n＝1 时，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1， ∴a1＝2a1－1， ∴a1＝1.
解(1)
各项的分母分别为 21,22,23,24，…，
易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 因此把第 1 项变为－2－2 3，
3.
1
1
将 2 转化为- 2 ，
那么所有项将会有
统一规律，是关键
原数列可化为－212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…，
因此可得数列的一个通项公式为 an＝(－1)n·2n2－n 3.
集(或它的有限子集{1,2，…，n}的函数 an＝f(n))当自 变量由小到大依次取值时所对应的一列函数值．
3.数列的分类
分类原则 类型
满足条件
有穷数列 项数分类
无穷数列
项数__有_限____ 项数_无__限____
单调性
递增数列 递减数列
常数列