应变的计算方法
应变计算公式范文
应变计算公式范文
应变计算是用来计算物体的变形程度的公式。
应变是物体在受力作用下发生形状和尺寸的变化，它是物体单位长度的变化量。
应变的计算公式有多种，具体的公式选择依赖于物体受力的方式以及所研究的具体问题。
1.纵向应变计算公式：
纵向应变是物体在拉伸或压缩时沿着受力方向发生的变形程度。
拉伸应变计算公式如下：
ε=(L-L0)/L0
其中，ε表示应变，L表示拉伸后的长度，L0表示原始长度。
2.横向应变计算公式：
横向应变是物体在拉伸或压缩时垂直于受力方向发生的变形程度。
横向应变计算公式如下：
ε=-μ×ε0
其中，ε表示应变，μ表示泊松比，ε0表示纵向应变。
3.剪切应变计算公式：
剪切应变是物体在受扭转或剪切力作用下沿着垂直于受力方向的平面产生的变形程度。
剪切应变计算公式如下：
γ = (tanθ) / L
其中，γ表示剪切应变，θ表示应变面上的剪切角度，L表示应变面上单位长度上的位移。
4.应变能计算公式：
应变能是物体在受力作用下所存储的能量。
应变能的计算公式依赖于不同的受力情况。
例如，对于拉伸或压缩情况下的弹性体，应变能可以由胡克定律计算：
U=(1/2)×k×(ΔL)^2
其中，U表示应变能，k表示弹性系数，ΔL表示变形长度。
以上所列举的公式只是应变计算的一部分，实际应变计算需要根据具体情况来选择合适的公式。
此外，还需要注意单位的一致性，以确保计算结果的准确性。
应变的计算方法-最新文档资料
应变的计算方法本章介绍了几种网格应变的计算方法，通过分析网格变形的特点及规律，将网格的变形分解为分别沿两个主应变的方向一次变形而得，从而通过欧拉法推导了有限应变解析的方网格应变计算方法，并把三维空间网格的每个网格作为线性孔斯曲面介绍了三维空间网格的应变计算方法。
此外还介绍了工程应变、等效应变和厚度的计算。
4.2 基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算方法根据有限应变的理论，不同的应力加载可以获得相同的应变结果。
对于近似于平面应力状态的板材成形来说，每个单元体的应变主方向（除去因为位移造成的转动）在成形过程中保持不变。
这样就可以将应变分成不同的加载阶段，利用真实应变的可叠加性，就可以推导出方网格变形的应变计算方法。
连续体的有限变形有两种表述方法。
一种方法的相对位移计算是以变形前后物体内一点作为参考点，即以变形前的坐标作为自变量，这种方法称为拉格朗日法。
另一种方法的相对位移计算是以变形后物体内一点作为参考点，以及已变形后的坐标作为自变量，这种方法称为欧拉法[48]。
这里给出基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算原理。
4.2.1 方网格内部的变形设任意方向正方形网格内接于圆网格，将其变形过程分解为两个阶段，如图4-5所示。
第一个阶段沿着X方向变形，Y方向保持不变；第二个阶段沿着Y方向变形，X方向保持不变，即应变主方向与坐标轴相平行。
变形的结果使圆网格变形为椭圆，正方形网格变形为平行四边形（假设单元网格内沿主应变方向的变形是均匀的）(a)初始网格 (b)横向变形后的网格 (c)纵向变形后的网格图4-5 基于有限应变的网格分解变形过程4.2.2 应变主方向和真实应变的计算对于方网格中心的应变，假设网格内部变形是均匀的，所以变形前后四边形对角线的交点就是网格中心，对角线把方网格划分成四个三角形。
将变形后的网格中心和变形前的网格中心重合，建立直角坐标系，如图4-6所示。
图4-6 以欧拉法建立的变形前后网格中心重合的坐标系统根据欧拉方法，以变形之后的网格坐标来分析，将主应变方向定为坐标方向，设X方向为主应变的方向，Y方向为主应变的方向，两个方向分别有拉形比：(4-20) 则两个方向的真实应变等于两次分别变形的叠加：(4-21)设变形前方网格边长为，为所取初始三角形的直角边长，则有：取其中初始三角形，其变形后为，根据变形后的网格点坐标、、，得到变形后三角形边长为：(4-22)沿两个主应变方向的拉形比为：(4-23)已知：(4-24)得：(4-25)由此得到根据三角形计算出来的主应变的方向，进而可以求出主应变：(4-26)根据四边形网格划分的三角形分别求出来的主应变的方向和大小，就得到了方网格中心O点的真实应变值。
平均应变的公式
平均应变的公式平均应变相关公式1. 什么是平均应变？平均应变是指在材料受到外力作用下，单位长度的材料发生的相对伸长或压缩的量。
在材料力学中，平均应变是一个重要的参数，可以用来描述材料的变形能力和性能。
2. 平均应变的计算方法平均应变可以通过以下公式进行计算：ϵ=ΔL L0其中，ΔL是材料在受力作用下发生的长度变化，L0是未受力时的初始长度。
3. 平均应变的例子拉伸应变当一个材料受到拉伸力作用时，材料会发生伸长，此时可以计算材料的拉伸应变。
例如，一段长度为10厘米的金属杆在受力作用下伸长了厘米，则可以计算金属杆的拉伸应变：ϵ=10=压缩应变当一个材料受到压缩力作用时，材料会发生压缩，此时可以计算材料的压缩应变。
例如，一块长度为20厘米的橡胶板在受力作用下压缩了厘米，则可以计算橡胶板的压缩应变：ϵ=−20=−4. 总结平均应变是一个用来描述材料变形程度的重要参数。
通过计算材料的长度变化与初始长度的比值，可以得到材料的平均应变值。
在拉伸或压缩过程中，可以分别计算材料的拉伸应变和压缩应变。
理解和计算平均应变可以帮助我们更好地理解材料的性能和变形特点。
平均应变相关公式1. 什么是平均应变？平均应变是指在材料受到外力作用下，单位长度的材料发生的相对伸长或压缩的量。
在材料力学中，平均应变是一个重要的参数，可以用来描述材料的变形能力和性能。
2. 平均应变的计算方法平均应变可以通过以下公式进行计算：ε = ΔL / L0其中，ΔL 是材料在受力作用下发生的长度变化，L0 是未受力时的初始长度。
3. 平均应变的例子拉伸应变当一个材料受到拉伸力作用时，材料会发生伸长，此时可以计算材料的拉伸应变。
例如，一段长度为10厘米的金属杆在受力作用下伸长了1厘米，则可以计算金属杆的拉伸应变：ε = ΔL / L0 = 1 / 10 =压缩应变当一个材料受到压缩力作用时，材料会发生压缩，此时可以计算材料的压缩应变。
例如，一块长度为20厘米的橡胶板在受力作用下压缩了2厘米，则可以计算橡胶板的压缩应变：ε = ΔL / L0 = -2 / 20 = -4. 总结平均应变是一个用来描述材料变形程度的重要参数。
工程力学中的应力和应变分布的计算方法
工程力学中的应力和应变分布的计算方法工程力学是工程领域中研究物体在作用力下产生的应力和应变的学科。
在工程设计和结构分析中，准确计算应力和应变分布是至关重要的，它们对于评估结构的安全性和可靠性具有重要意义。
本文将介绍工程力学中常用的应力和应变分布的计算方法。
一、应力的计算方法1. 线性结构的应力计算方法在线性结构中，应力可以通过应力=力/截面积的公式进行计算。
对于受压或受拉的杆件，应力等于施加在杆件上的力除以杆件的截面积。
对于弯曲杆件，应力的计算需要考虑弯矩和截面惯性矩的影响。
根据梁的弯矩公式，弯曲杆件上的应力等于弯矩乘以截面离轴距离除以截面惯性矩。
2. 非线性结构的应力计算方法对于非线性结构，如塑性材料或复合材料，应力的计算方法会更加复杂。
在这种情况下，常常需要使用数值模拟方法，如有限元分析，来计算应力分布。
有限元分析通过将结构划分为有限数量的小单元，并在每个小单元上进行应力计算，然后将结果汇总得到整个结构上的应力分布。
二、应变的计算方法1. 线性结构的应变计算方法在工程力学中，应变定义为物体长度或体积的变化与原始长度或体积之比。
对于受压或受拉的线性结构，应变计算可以通过应变=位移/原始长度的公式进行。
位移是杆件两端的距离差，原始长度是杆件未受力时的长度。
2. 非线性结构的应变计算方法对于非线性结构，应变的计算方法也会更加复杂。
类似于应力计算，可以使用有限元分析等数值模拟方法来计算非线性结构上的应变分布。
有限元分析可以考虑材料的非线性特性，如材料的应力-应变曲线，从而得到更精确的应变分布。
三、常见应力和应变分布形式1. 拉伸和压缩应力分布在拉伸和压缩加载下，线性材料的应力分布呈现均匀分布。
即在整个截面上应力大小相等。
但对于非线性材料，应力分布可能呈现不均匀分布，尤其是在接近临界点时。
2. 弯曲应力分布在弯曲结构中，线性材料的应力分布呈现最大值位于中性轴线处，随着距离中性轴线的增加而逐渐减小。
对于非线性材料，应力分布也会受到材料特性的影响，可能不呈现对称的形式。
应变计算公式范文
应变计算公式范文应变计算公式是在材料力学中常用的计算方法之一，用于计算材料在受力情况下的形变程度。
应变是材料的长度或体积变化相对于初始长度或初始体积的比例，是衡量材料形变程度的物理量。
它的计算公式根据材料的性质和受力情况有所不同。
下面将从不同角度介绍几种常见的应变计算公式。
1.线性形变的应变计算公式对于线性弹性材料而言，应变与应力之间存在线性关系。
在弹性变形情况下，应变可以根据胡克定律来计算。
胡克定律表明，应力与应变之间的关系满足线性关系。
在单轴拉伸变形情况下，应变的计算公式为：∆L/L=σ/E其中，∆L是材料的长度变化量，L是材料的初始长度，σ是材料的应力，E是弹性模量。
在体积形变情况下，应变的计算公式为：∆V/V=3α∆T其中，∆V是材料的体积变化量，V是材料的初始体积，α是线膨胀系数，∆T是温度变化量。
2.非线性形变的应变计算公式除了线性形变情况，材料在受力下还可能发生非线性形变，此时应变的计算公式会有所不同。
在剪切变形情况下，应变的计算公式为：γ = tanθ其中，γ是材料的剪切应变，θ是剪切应变角度。
在扭转变形情况下，应变的计算公式为：φ=(Lθ)/R其中，φ是材料的扭转角，L是材料的长度，θ是扭转角度，R是材料的半径。
3.应变的计算方法除了上述的计算公式，应变还可以通过测量材料的形变量来获得。
通过光学方法、电阻片法、应变计等设备可以实时测量材料的应变，从而得出应变的数值。
在实际应用中，应变计算公式是分析材料性能和设计工程结构的重要工具。
通过应变计算公式，可以确定材料在受力情况下的形变程度，为工程设计和材料选型提供科学的依据。
同时，研究应变计算公式还可以深入了解材料的力学特性，为材料科学的研究提供基础。
因此，熟悉和掌握应变计算公式是材料科学和工程领域的基本功。
综上所述，应变计算公式是衡量材料形变程度的重要工具，它可以根据材料的性质和受力情况进行选择和应用。
通过计算公式，可以准确地估计材料在受力情况下的形变程度，为工程设计和材料选型提供科学依据。
弹性体的应力与应变
弹性体的应力与应变弹性体是一种在受力作用下可以发生形变，但当受力停止时，能够恢复原来形状和大小的材料。
了解弹性体的应力与应变关系对于工程设计和材料科学具有重要意义。
在本文中，我们将探讨弹性体的应力与应变之间的关系，分析材料的弹性性质以及应力与应变的计算方法。
1. 应力的概念与计算方法应力是指单位面积上作用的力，合理地计算应力是分析弹性体性质的关键。
在计算应力时，常用到两种基本的力学概念：张力和压力。
张力是指沿一维方向的受力情况，通常用F表示，单位为牛顿。
而压力是指在一个平面上均匀分布的力，用P表示，单位是帕斯卡。
应力的计算公式如下：应力 = 受力 / 横截面积2. 应变的概念与计算方法应变是指材料在受力作用下发生的形变，一般用ΔL / L表示。
其中，ΔL是材料长度的变化量，L是材料的初始长度。
应变可以分为线性弹性应变和非线性应变。
线性弹性应变是指材料在受力作用下，形变与受力成正比的状态。
计算线性弹性应变的方法如下：应变 = 形变 / 初始长度而非线性应变则需要更复杂的计算方法来进行分析，涉及到材料的本构关系等。
3. 应力与应变的关系应力与应变之间存在一定的关系，即应力-应变曲线。
弹性体的应力-应变曲线通常可以分为三个阶段：弹性阶段、屈服点和塑性阶段。
在弹性阶段，材料受力时会产生应变，但当受力停止时，材料会完全恢复到原来的状态。
这是因为材料内部的原子或分子只发生了相对位移，而没有发生永久性的结构变化。
当应力超过材料的屈服点时，就进入了屈服点阶段。
在这个阶段中，材料开始发生塑性变形，不再能够完全恢复到原来的状态，具有一定的永久性形变。
塑性阶段是材料的应力与应变不再成正比，继续增加应力会导致更大的应变。
这是由于材料的内部结构发生了永久性的改变，无法恢复原状。
4. 弹性模量和刚度弹性模量是描述材料抵抗形变的能力，可以用来评估材料的刚度。
弹性模量越大，表示材料越难发生形变，具有较高的刚度。
常用的弹性模量有三种：杨氏模量、剪切模量和体积模量。
应变的计算方法
应变的计算方法本章介绍了几种网格应变的计算方法，通过分析网格变形的特点及规律，将网格的变形分解为分别沿两个主应变的方向一次变形而得，从而通过欧拉法推导了有限应变解析的方网格应变计算方法，并把三维空间网格的每个网格作为线性孔斯曲面介绍了三维空间网格的应变计算方法。
此外还介绍了工程应变、等效应变和厚度的计算。
4.2 基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算方法根据有限应变的理论，不同的应力加载可以获得相同的应变结果。
对于近似于平面应力状态的板材成形来说，每个单元体的应变主方向（除去因为位移造成的转动）在成形过程中保持不变。
这样就可以将应变分成不同的加载阶段，利用真实应变的可叠加性，就可以推导出方网格变形的应变计算方法。
连续体的有限变形有两种表述方法。
一种方法的相对位移计算是以变形前后物体内一点作为参考点，即以变形前的坐标作为自变量，这种方法称为拉格朗日法。
另一种方法的相对位移计算是以变形后物体内一点作为参考点，以及已变形后的坐标作为自变量，这种方法称为欧拉法[48]。
这里给出基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算原理。
4.2.1 方网格内部的变形设任意方向正方形网格内接于圆网格，将其变形过程分解为两个阶段，如图4-5所示。
第一个阶段沿着X方向变形，Y方向保持不变；第二个阶段沿着Y方向变形，X方向保持不变，即应变主方向与坐标轴相平行。
变形的结果使圆网格变形为椭圆，正方形网格变形为平行四边形（假设单元网格内沿主应变方向的变形是均匀的）(a)初始网格 (b)横向变形后的网格 (c)纵向变形后的网格图4-5 基于有限应变的网格分解变形过程4.2.2 应变主方向和真实应变的计算对于方网格中心的应变，假设网格内部变形是均匀的，所以变形前后四边形对角线的交点就是网格中心，对角线把方网格划分成四个三角形。
将变形后的网格中心和变形前的网格中心重合，建立直角坐标系，如图4-6所示。
图4-6 以欧拉法建立的变形前后网格中心重合的坐标系统根据欧拉方法，以变形之后的网格坐标来分析，将主应变方向定为坐标方向，设X方向为主应变的方向，Y方向为主应变的方向，两个方向分别有拉形比：(4-20) 则两个方向的真实应变等于两次分别变形的叠加：(4-21)设变形前方网格边长为，为所取初始三角形的直角边长，则有：取其中初始三角形，其变形后为，根据变形后的网格点坐标、、，得到变形后三角形边长为：(4-22)沿两个主应变方向的拉形比为：(4-23)已知：(4-24)得：(4-25)由此得到根据三角形计算出来的主应变的方向，进而可以求出主应变：(4-26)根据四边形网格划分的三角形分别求出来的主应变的方向和大小，就得到了方网格中心O点的真实应变值。
应变的计算方法
应变的计算方法本章介绍了几种网格应变的计算方法，通过分析网格变形的特点及规律，将网格的变形分解为分别沿两个主应变的方向一次变形而得，从而通过欧拉法推导了有限应变解析的方网格应变计算方法，并把三维空间网格的每个网格作为线性孔斯曲面介绍了三维空间网格的应变计算方法。
此外还介绍了工程应变、等效应变和厚度的计算。
4.2 基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算方法根据有限应变的理论，不同的应力加载可以获得相同的应变结果。
对于近似于平面应力状态的板材成形来说，每个单元体的应变主方向（除去因为位移造成的转动）在成形过程中保持不变。
这样就可以将应变分成不同的加载阶段，利用真实应变的可叠加性，就可以推导出方网格变形的应变计算方法。
连续体的有限变形有两种表述方法。
一种方法的相对位移计算是以变形前后物体内一点作为参考点，即以变形前的坐标作为自变量，这种方法称为拉格朗日法。
另一种方法的相对位移计算是以变形后物体内一点作为参考点，以及已变形后的坐标作为自变量，这种方法称为欧拉法[48]。
这里给出基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算原理。
4.2.1 方网格内部的变形设任意方向正方形网格内接于圆网格，将其变形过程分解为两个阶段，如图4-5所示。
第一个阶段沿着X方向变形，Y方向保持不变；第二个阶段沿着Y方向变形，X方向保持不变，即应变主方向与坐标轴相平行。
变形的结果使圆网格变形为椭圆，正方形网格变形为平行四边形（假设单元网格内沿主应变方向的变形是均匀的）(a)初始网格 (b)横向变形后的网格 (c)纵向变形后的网格图4-5 基于有限应变的网格分解变形过程4.2.2 应变主方向和真实应变的计算对于方网格中心的应变，假设网格内部变形是均匀的，所以变形前后四边形对角线的交点就是网格中心，对角线把方网格划分成四个三角形。
将变形后的网格中心和变形前的网格中心重合，建立直角坐标系，如图4-6所示。
图4-6 以欧拉法建立的变形前后网格中心重合的坐标系统根据欧拉方法，以变形之后的网格坐标来分析，将主应变方向定为坐标方向，设X方向为主应变的方向，Y方向为主应变的方向，两个方向分别有拉形比：(4-20)则两个方向的真实应变等于两次分别变形的叠加：(4-21)设变形前方网格边长为，为所取初始三角形的直角边长，则有：取其中初始三角形，其变形后为，根据变形后的网格点坐标、、，得到变形后三角形边长为：(4-22)沿两个主应变方向的拉形比为：(4-23)已知：(4-24)得：(4-25)由此得到根据三角形计算出来的主应变的方向，进而可以求出主应变：(4-26)根据四边形网格划分的三角形分别求出来的主应变的方向和大小，就得到了方网格中心O点的真实应变值。
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应变的计算方法本章介绍了几种网格应变的计算方法，通过分析网格变形的特点及规律，将网格的变形分解为分别沿两个主应变的方向一次变形而得，从而通过欧拉法推导了有限应变解析的方网格应变计算方法，并把三维空间网格的每个网格作为线性孔斯曲面介绍了三维空间网格的应变计算方法。
此外还介绍了工程应变、等效应变和厚度的计算。
4.2 基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算方法根据有限应变的理论，不同的应力加载可以获得相同的应变结果。
对于近似于平面应力状态的板材成形来说，每个单元体的应变主方向（除去因为位移造成的转动）在成形过程中保持不变。
这样就可以将应变分成不同的加载阶段，利用真实应变的可叠加性，就可以推导出方网格变形的应变计算方法。
连续体的有限变形有两种表述方法。
一种方法的相对位移计算是以变形前后物体内一点作为参考点，即以变形前的坐标作为自变量，这种方法称为拉格朗日法。
另一种方法的相对位移计算是以变形后物体内一点作为参考点，以及已变形后的坐标作为自变量，这种方法称为欧拉法[48]。
这里给出基于欧拉法和有限应变理论解析的方网格计算原理。
4.2.1 方网格内部的变形设任意方向正方形网格内接于圆网格，将其变形过程分解为两个阶段，如图4-5所示。
第一个阶段沿着X方向变形，Y方向保持不变；第二个阶段沿着Y方向变形，X方向保持不变，即应变主方向与坐标轴相平行。
变形的结果使圆网格变形为椭圆，正方形网格变形为平行四边形（假设单元网格内沿主应变方向的变形是均匀的）(a)初始网格 (b)横向变形后的网格 (c)纵向变形后的网格图4-5 基于有限应变的网格分解变形过程4.2.2 应变主方向和真实应变的计算对于方网格中心的应变，假设网格内部变形是均匀的，所以变形前后四边形对角线的交点就是网格中心，对角线把方网格划分成四个三角形。
将变形后的网格中心和变形前的网格中心重合，建立直角坐标系，如图4-6所示。
图4-6 以欧拉法建立的变形前后网格中心重合的坐标系统根据欧拉方法，以变形之后的网格坐标来分析，将主应变方向定为坐标方向，设X方向为主应变的方向，Y方向为主应变的方向，两个方向分别有拉形比：(4-20)则两个方向的真实应变等于两次分别变形的叠加：(4-21)设变形前方网格边长为，为所取初始三角形的直角边长，则有：取其中初始三角形，其变形后为，根据变形后的网格点坐标、、，得到变形后三角形边长为：(4-22)沿两个主应变方向的拉形比为：(4-23)已知：(4-24)得：(4-25)由此得到根据三角形计算出来的主应变的方向，进而可以求出主应变：(4-26)根据四边形网格划分的三角形分别求出来的主应变的方向和大小，就得到了方网格中心O点的真实应变值。
由于进行多次计算，四边形的网格都得到了利用，平均之后，计算的精度得以提高，减小了误差。
4.2.3 网格点上的应变以上应变的计算获得的都是方网格中心的应变值，对于网格点上的应变值，则三角形的三个顶点都要取网格点才能计算出网格点上的应变值。
图4-7中所示有9个网格点1~9构成四个网格四边形，A、B、C、D分别为四个网格的中心。
通过四个网格（1、2、4、5），（2、3、5、6），（4、5、7、8）和（5、6、8、9）可以分别求出中心点A、B、C、D的应变值。
那么网格点5的应变值的获得有下面几种方法：一种是利用（1、3、7、9）四个点构成的四边形利用上小节所述的方法进行计算，分别求出三角形（1、5、3），（1、5、7），（3、5、9），（7、5、9）的直角顶点5的应变值，然后再求平均值，从而获得主应变和主方向。
如图4-8所示。
图4-7 网格点上应变的获得图4-8 由斜侧方向点求网格点上应变图4-9 由纵横方向点求网格点上应变另一种方法就是利用（2、4、8、6）四个点构成的四边形同样利用上小节所述的方法进行计算，分别求出三角形（2、5、4），（2、5、6），（4、5、8），（8、5、6）的直角顶点5的应变值，然后再求平均值，从而获得主应变和主方向。
如图4-9所示。
以上两种方法都仅利用了网格点5周围的4个网格点，而没有充分利用网格点5四周的8八个网格点，因此从计算精度上来说，前一种方法在45°方向上精度比较高，而后一种方法在90°方向上精度比较高。
为了进一步提高计算精度，可以将以上两种方法结合起来，再一次进行平均，由此获得由某个网格点连同周围8个点计算出来的网格点应变值。
?显然，这种方法所带来的问题就是需要的计算时间相应地要增加很多。
4.3 其它应变4.3.1 工程应变工程应变虽然不具有叠加性质，但它比较直观，在工程实际中应用广泛。
如图4-10所示，是材料的原始长度，是材料的伸长量。
则工程应变为伸长量相对于原始长度的比值：(4-27)图4-10 材料伸长变形真实应变是伸长比（拉形比）的自然对数，可以表示为：(4-28)因此可以由真实应变获得工程应变：(4-29)工程应变值如果为正，可以解释为伸长率，如果为负值，则为收缩率，而对于厚度工程应变，则可以解释为减薄率。
对于拉延成形，材料变薄情况是最需要关注的，用减薄率来反映材料的变形就非常直观。
相应地，真实应变也可以表示为：(4-30)4.3.2 等效应变等效应变也可以由真实最大主应变和最小主应变获得：(4-31)4.3.3 厚向应变由体积不变条件可以得到真实厚向应变：(4-32)材料的真实厚度可由真实应变获得：(4-33)4.3.4 增量应变对于板材成形工序次数较多的零件，工序之间的应变变化也是需要关注的。
从上一次工序到下一道工序之间的变形的增量应变的计算方法和平面应变的计算方法相似。
但在这种情况下，网格已经发生了变形，原先变形的网格和再次变形的网格如图4-11所示。
图4-11 增量变形前后三角形网格的形状文献[49]介绍一种通过坐标变换，将变形前后的三角形的某个边重合而获得的增量应变三角形节点计算方法：有四个张量[50],[51]：：变形梯度张量：的转置：柯西-格林变形张量：拉格朗日应变张量变形梯度张量F是从初始三角形的坐标到再次变形的三角形的线性变换，有：(4-34)为了简化，将初始三角形和变形后的三角形通过旋转是其中一个边和轴重合，则有，另有变形梯度张量F为：(4-35)柯西-格林变形张量可以表达为：(4-36) 代入前式，有(4-37)则拉格朗日应变就可以通过柯西-格林变形张量计算获得：其中是单位矩阵，拉格朗日应变可以以如下形式给出：(4-38)有：(4-39)真实应变则可表达为：(4-40)则主应变的方位角为：(4-41)4.3.5 厚度和曲率修正应变可以通过节点之间的距离计算出来。
初始的网格距离就是网格点之间的距离，而在两个节点之间的新的距离在以上的计算过程中都是当作直线来计算的的。
实际上工件表面是有曲率的并且是变化的，因此对于曲率形状变化剧烈的工件，采用直线距离作为曲面上的距离所带的误差就比较大了。
同样，通过图像处理和三维重建的网格点都位于板料的表面，计算的仅仅是板料表面的应变值，而板料是有一定的厚度的，因此有必要进行厚度和曲率修正，文献[49]介绍了一种进行曲率和半径修正的方法为：当节点处曲率半径为，初始节点之间的距离为，厚度为，则修正的公式为：(4-42)在应变分析实际应用中，为了获得比较高精度的测量结果或者为了准确地测量应变变化梯度较大的区域，如曲率半径比较小的区域，采用方法使用比较小直径的网格，能够获得更准确的结果。
4.4 三维空间网格的应变计算前面的描述都是基于平面应变的假设基础上，实际上，在冲压后，工件的形状是三维立体的，印制在平面板料上网格经过变形后变成了三维空间立体网格。
每个网格节点都具有三维坐标，网格应变的计算就必须考虑空间坐标的问题。
平面正方形网格经过变形后变成了空间网格，网格中心也从点变到了点。
如图4-12所示（斜侧图）。
图4-12 平面正方形网格变形为空间网格由于网格中心经过变形后不再是空间四边形的几何中心了，因此在计算网格应变时需要通过四个边长的变化确定网格中心点的坐标。
为了简化计算，参照线性孔斯曲面的定义我们可以获得四点构成的曲面片的方程，从而求得变形后空间网格中心点的坐标。
4.4.1 线性Coons曲面1964年S.A.Coons提出了一种曲面分片、拼合造型的思想，他用四条边界构造曲面片并通过叠加修正曲面片，产生满足用户需要的曲面[52]。
线性Coons曲面，也称之为简单曲面，是通过四条边界曲线构成的曲面。
若给定四条边界曲线，，，，且。
在向进行线性插值，得到直纹面为：(4-43)在向进行线性插值，得到直纹面为：(4-44)如图4-13所示：图4-13 线性Coons曲面的生成则用四条边界曲线构造的曲面可用矩阵形式表示为：(4-45)4.4.2 基于线性Coons曲面的四点空间网格应变的计算设：已知变形后空间网格四点的坐标为，，，，则可将变形后的空间网格看成四条边界曲线都是直线的线性Coons曲面。
如图4-14所示。
图4-14 变形后的空间网格根据线性Coons曲面的描述和网格区域内变形是均匀的假设前提，有变形后网格中心点坐标：(4-46)根据4.1.3所述的方法就可以计算出点的应变值。
以三角形为例，有应变主方向矢量落在三角形所在的平面内，如图4-15所示：图4-15 空间坐标三角形单元的计算(4-47)(4-48)有：(4-49)同样，其他三角形可以得到相类似的结果。
由于四个三角形不共面，根据每个三角形计算出来的主应变矢量方向分别落在各个三角形所在的平面内，而一点的主应变方向及大小是唯一的，因此，需要对应变主矢进行平均求取网格中心点的切向应变。
但是由于考虑到计算精度和计算效率的问题，本文在实现时只计算一个三角形内部的应变。
应力应变的切线模量和割线模量1、初始切线模量——应力值为零时的应力-应变曲线的正切.2、切线模量——某一应力级位处应力-应变曲线的斜率.3、割线模量——以某一应力值对应的曲线上的点同起始点相连的割线的斜率.4、回弹模量——应力卸除阶段应力-应变曲线的割线模量.前三种模量取值时的应变值是包含残余应变和回弹应变在内的总应变，而回弹模量取值时已扣除残余应变后的回弹就变。
因此，将前三种模量笼统地称为土的弹性模量显然是不合适的。
而回弹模量能反映土所具有的那部分弹性性质，所以，在以弹性力学为理论基础的路面设计方法中，往往将土的回弹模量视为土的弹性模量，并且作为路面设计中的一项重要计算参数。
取混凝土应力应变曲线在原点O切线的斜率，作为混凝土的初始弹性模量，简称弹性模量Ec，即:Ec = t gα0Ec——初始弹性模量；a0——原点切线的斜率夹角。
当应力较大时，混凝土已进入弹塑性阶段，弹性模量已不能正确反映此时的应力应变关系。
比较精确的方法采用切线模量Ec′，即在应力应变曲线任一点处作一切线。