计量地理学

现以dij表示地点（或样品）i与j的距离，用G1，G2，...，表示类别，而
Gp与Gq两类间的距离用Dpq表示，则
• Dpq＝min(dij)
i∈Gp，j∈Gq
• 用最短距离法进行聚类的步骤如下：
– 1. 确定计算距离方法，计算出各地点（样品）间距离，列出初始距离矩阵 D(0)表，其中每个元素都自成一类，这时Dpq=dpq。
• 2. 极差标准化
• 例如：对我国新疆地区6个地点的数据进行处理后，可得表7－2
第七章 地理系统的聚类分析与判别分析
第七章 地理系统的聚类分析与判别分析
• 三、聚类分析的统计量 • 聚类分析统计量可分两大类，即相似系数和距离系数。 • （一）相似系数 • 相似系数是描述地理数据之间相似程度的一种指标。 • 1. 夹角余弦（cosθ）设有n个地点，每个地点有m个特征值，如把每个
第七章 地理系统的聚类分析与判别分析
• 2. 相关系数（r） 为了衡量要素（变量）或指标之间的亲疏关系， 常用相关系数（rij）作为分类统计量，计算公式可参照相关系数定义。
• 在数据标准化后，相关系数可简化成
• 式中，i和j代表两个地点，xk代表第k个指标。 • 计算出的任意两两变量（指标）间的相关系数，构成一个相关阵（R）
第七章 地理系统的聚类分析与判别分析
• 在定义类与类之间距离方面，也有许多方法。例如，最短距离法、最长 距离法、类平均法、重心法和离差平方和法等。
– 最短距离法，是两类之间的距离以两类间的最近样本的距离来表示； – 最长距离法，是两类之间的距离用两类间最远样本的距离来表示； – 类平均法，是两类之间的距离以各类元素两两之间的平均平方距离来表示； – 重心法，是两类之间的距离以重心之间的距离来表示； – 离差平方和法，是两类之间的平方距离用两类归类后所增加的离差平方和来
• 聚类分析法的基本特点是：事先无需知道分类对象的分类结构，而只需 要一批地理数据；选好分类统计量，并按步骤进行计算；最后就可以得 到完整的分类系统图。
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• 二、聚类分析的数据处理 • 聚类分析是根据各变量的观测值予以分类的，它涉及到通过各种途径和
手段所得到的有意义的地理数据。由于要素（或指标）的量纲、数量级 和数量变化幅度的差异，如用原始数据进行聚类分析，就会将不同性质、 不同量纲、不同数量变化幅度的数值都统计在一起，这样就有可能突出 某些数量级大的变量对分类的作用，降低了分类的可靠性。 • 为此，常对数据进行标准化处理，现分述如下：
表示。
• 以上方法虽然定义不同，但可用一公式把它们统一起来，如书中所示。 • 比较常用的方法是最短距离法和最长距离法。
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• （二）最短距离法
• 在系统聚类法中，应用最广泛的是最短距离法。在最短距离法中，定义
两类之间的距离，是以两类间所有样本中最近的两个样本距离来表示的。
地点的特征值看作是多维空间的一个向量，则两个地点之间的相似程度 可用两个向量间夹角的余弦来表示，即
• i和j代表两个地点，xk表示第k个特征值或指标。上式也叫相似系数。
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• 把两两地点之间的相似系数都计算出来，便可排成一个相似系数矩阵：
• 这一方阵是实对称矩阵，其主对角线元素为1，只须计算其上三角或下 三角阵即可，依此便可进行聚类。cosθij的取值范围在-1到+1之间，其 值越大，越相似，归为一类；其余可归属于另一些类别。
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• 在进行聚类分析时，首先要根据一批地理数据或指标找出能度量这些数 据或指标相似程度的统计量；然后以统计量作为划分类型的依据，把一 些相似程度较大的样品首先聚合为一类，把另一些聚合为另一类。依次 类推，关系密切的样品便聚合到一小类，而关系疏远的站点则聚合到一 大类，直到把所有的点都聚合完毕，便可逐步画成一张完整的分类系统 图，又称谱系图。
• 距离系数越小，两点间的相似程度越大，反之则小。
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• 四、地理系统的聚类方法 • （一）系统聚类法概要 • 地理分类和分区是地理学研究的中心内容之一。根据分类目的不同，聚
类分析可分两类：一类是对地点、地区或样品进行分类，称为Q型聚类 分析；另一类是对要素、指标或变量进行分类，称为R型聚类分析。 • 聚类方法有多种，如：系统聚类法、逐步聚类法、逐步分解法和最优分 割法等。其中，以系统聚类法应用最广。其基本作法是：先将n个地点 （或样品）看成各自成一类，并定义样品间、类与类之间的距离，进而 选择距离最小的一对合成一新类，以后计算新类与其他类间的距离，再 将距离最近的两类合并，这样每合并依次都减少一类，直到所有的样品 都成为一类为止。
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• （一）地理数据的对数变换 • 在对地理数据进行标准化之前，应先对数据进行对数变换，经对数变换
后，数据变幅减小且变均匀。 • （二）地理数据的标准化 • 为了消除量纲的不同，应进一步对数据进行标准化处理。 • 数据标准化方法较多，常用的方法有： • 1. 标准差标准化
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• （二）距离系数（简称距离） • 假设把我们研究的对象（地点或样品）视为m维空间的点，所谓距离，
就是用各种方法计算出各点间的相互距离，并以它来刻画各点间的相似 性或亲疏程度。距离系数有多种，现仅介绍两种如下： • 1. 绝对距离 • 绝对距离表达式为 • 2. 欧氏距离 • 欧氏距离是一种常用的分类统计量，其距离系数可按下式计算：
– 2. 在初始距离矩阵D(0)中，选出最短距离，即最小元素Dpq，将Gp类和Gq类 合并成一新类Gr，Gr＝{Gp,Gq}，再计算新类与其他类的距离Drk。
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• Drk=min dij =min {min dij, mindij}
• i∈Gr i∈Gp
i∈Gq
• j∈Gk j∈Gk
j∈Gk
– 3. 将D(0)中第p、q行和p、q列删去，加上第r行和第r列。 第r行和第r列与其他类间的距离按照上式判断后填上的， 这样就得到一个新距离矩阵D(1)表。为清楚计算，应在 表下方注明新类是由哪两类聚成的。