2017四川公务员笔试行测：容斥极值问题解法和公式
【公务员】行测75分必备_数学运算经典题型总结
公务员考试必备之数学运算经典题型分析目录一、容斥原理 (2)二、作对或做错题问题 (2)三、植树问题 (3)四、和差倍问题 (3)五．浓度问题 (4)六．行程问题 (5)七．抽屉问题 (7)八．“牛吃草”问题 (11)九．利润问题 (13)十．平均数问题 (14)十一.方阵问题 (15)十二.年龄问题 (16)十三. 比例问题 (18)十四.尾数计算问题 (21)十五.最小公倍数和最小公约数问题 (23)一、容斥原理容斥原理关键就两个公式：1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C请看例题：【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )A.22B.18C.28D.26【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50；A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人？【解析】设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96；A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B= A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
二、作对或做错题问题【例题】某次考试由30到判断题，每作对一道题得4分，做错一题倒扣2分，小周共得96分，问他做错了多少道题？A.12B.4C.2D.5【解析】方法一假设某人在做题时前面24道题都做对了,这时他应该得到96分,后面还有6道题,如果让这最后6道题的得分为0,即可满足题意.这6道题的得分怎么才能为0分呢?根据规则,只要作对2道题,做错4道题即可,据此我们可知做错的题为4道,作对的题为26道.方法二作对一道可得4分,如果每作对反而扣2分,这一正一负差距就变成了6分.30道题全做对可得120分,而现在只得到96分,意味着差距为24分,用24÷6=4即可得到做错的题,所以可知选择B三、植树问题核心要点提示：①总路线长②间距(棵距)长③棵数。
公务员笔试之行测：巧解三集合容斥原理问题
2014年公务员行测：巧解三集合容斥原理问题华图教育三集合容斥原理此类题型主要出现在近年来各省的省考中，主要是有三个独立的个体，此类题型主要的做题方法是公式法和作图法。
近年来直接套用三集合公式的题目有所减少，开始出现条件变形的题目，不管容斥原理的题目怎么变化，但我们只要掌握住核心思想——剔除重复，那么做任何一个容斥原理题目都能够得心应手。
根据上图，可得三集合容斥原理核心公式：=A +B +C -A B -B C -A C +A B C =-x A B C 总数一、直接利用公式型【例1】（2012年4月联考）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A. 7人B. 8人C. 5人D. 6人【答案】A 【解析】设同时报乙、丙职位的人数为x ，则根据三集合容斥原理公式有：22+16+25-8-6-x+0=42-0，解得x=7。
因此，本题答案为A 选项。
二、三集合容斥原理作图型若在题目中任何一个位置看到“只满足”或“仅满足”，则公式法不能够再用，采用作图法来解题，注意，在作图的时候不管三七二十一，先画三个两两相交的圈，再往里填数字即可，填的时候注意从中间往外一层一层填。
【例2】（2007年江苏）一次运动会上，17名游泳运动员中，有8名参加了仰泳，有10 Cx B A名参加蛙泳，有12名参加了自由泳，有4名既参加仰泳又参加蛙泳，有6名既参加蛙泳又参加自由泳，有5名既参加仰泳又参加自由泳，有2名这3个项目都参加，这17名游泳运动员中，只参加1个项目的人有多少？（）A.5名B.6名C.7名D.4名【答案】B【解析】本题问题中出现了“只”，故只能采用作图法。
于是有仰12 2 2 34 3蛙自由只参加1个项目的人数为1+2+3=6。
因此，本题答案为B选项。
2017国考笔试资料数量关系之容斥问题
行测高频考点技巧荟萃第6期：数量关系之容斥问题在公务员、政法干警、选调生等行测考试中会经常考察到容斥问题，所以考生一定要给予重视。
通常情况下容斥问题的解题思路都是比较清晰且简单的，只要经过一段时间的复习，解容斥问题的正确率一定会有所提高哦数量关系容斥问题知识点储备一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年国家公务员中都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。
难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。
在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。
因此，这一题型还是需要重点关注。
二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。
三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C(二)文氏图法解两个集合容斥问题四、例题精讲例题1：某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，两组都参加的有多少人?A.10B.18C.24D.30解析：集合A={参加生物组的人｝、集合B={参加科技组的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知两组都参加的有A∩B=46+28-56=18人。
行测数量关系技巧：容斥问题求极值
行测数量关系技巧：容斥问题求极值在考场上人与人拉开差距的除了平常的知识点的积累，还有面对考试题型能够有一个更好的解答思路，下面为你精心准备了“行测数量关系技巧：容斥问题求极值”，持续关注本站将可以持续获取的考试资讯！行测数量关系技巧：容斥问题求极值对于绝大部分考生而言，行测数量关系一直是比较难的专项，但是要想真正在笔试中遥遥领先数量部分还是要去攻破的。
因此，针对数量所考察的所有题型我们也要由易到难的逐步攻破，在考场考试时学会挑出自己平时擅长的题型先入手。
所以，今天就给大家分享下容斥这一考点。
容斥问题常规的考点有二者容斥和三者容斥问题，利用一些公式以及文氏图能够轻松地解决。
今天我们就把这个题型深入挖掘探讨。
容斥问题也会涉及到求极值的问题，接下来我们就以题目为例讲解下容斥中求极值问题怎么处理。
例题1、某一学校有500人，其中选修数学的有359人，选修文学的有408人，那么两种课程都选的学生至少有多少人?A.165B.203C.267D.199【答案】C。
读完题目我们就能判断出考察容斥问题中的二者容斥问题，但是有涉及到求极值问题。
解极值问题我们可以通过逆向思维来求解，题目要求两种课程都选的至少，即求没选课程的人数最多。
通过这个表格我们可以得出要想不选课程的人数最多，即未选数学的141人和未选文学的92人不重复，因此不选课程的人数最多为141+92，因此题目所求的两种都选的最少=500-(141+92)=267人，故选C。
例题2、阅览室有100本杂志。
小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有()本。
A.5B.10C.15D.30【答案】A。
读完题目我们也可以判断出事考察三者容斥中的极值问题，那么我们也可以利用逆向思维来求解，所以我们也能知道未借阅的杂志最多=25+30+40，那么题目所求=100-(25+30+40)=5，因此选A。
通过这2道例题的讲解我们了解到容斥问题的极值问题其实也可以很简单，求N部分都包含的至少=(A+B+C+D+...+N)-(N-1)×I，后期我们碰到这样的问题直接带入公式求解就可以啦。
2017国家公务员考试行测高频考点学习：容斥问题
2017国家公务员考试行测高频考点学习：容斥问题一、容斥问题的核心本质在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。
为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
二、容斥问题的几种题型1、两者容斥问题如上图所示，一个班级的总人数为I人，其中喜欢语文的有A人，喜欢数学的有B人，两者都不喜欢的有Y人，问两者都喜欢的至少有多少人?对于这道题，显然题目让求得量是X，那么根据图可得I = A + B - X + Y，在这里要减去X就是因为，A和B里边都含有X，相加完之后X重复了一次，所以要把多余的这一次减掉。
[强化练习]电视台向100个人调查昨天收看电视情况，有62人看过一频道，有34人看过六频道，有11个人两个频道都看过，问：两个频道都没有看过的有多少人?A.4B.15C.17D.25[中公解析]这道题和上面讲述的模型一样，所以直接套公式I = A + B - X + Y，I、A、B、X分别对应100、62、34、11，代入就能求出Y为15，所以答案选B。
2、三者容斥问题如上图所示，这个模型表示的含义是：一个班一共有学生I人，喜欢语文的有A人，喜欢数学的有B人，喜欢英语的有C人，只喜欢语文和数学的有e人，只喜欢语文和英语的有f人，只喜欢数学和英语的有g人，三科都喜欢的有X人，三科都不喜欢的有Y人，根据容斥原理，这个模型可以表示为I = A + B + C - ( e + f + g ) -2X + Y。
[强化练习]某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，其中有89人看过甲片，47人看过乙片，63人看过丙片，24人三部电影全看过，20人一部也没看过，则只看过其中两部电影的人数是( )A.69人B.65人C.57人D.46人[中公解析]这道题的问法跟模型有一点点出入，但变化不大，在公式I = A + B + C - ( e + f + g ) -2X + Y中， e + f + g作为一个整体来看，表示的量就是只看过两部电影的人数，也就是要求的量，所以直接把题目所给出的量代入即可，所求答案为46人，选D。
2017国家公务员考试行测备考：容斥问题
2017国家公务员考试行测备考：容斥问题通过最新贵州公务员考试资讯、大纲可以了解到，《行政职业能力测验》主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
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行测考试中要求考生能够快速，准确的把题能够做出，这就要求我们在做题时要注重一些技巧，我们不仅要会做题，还要在很短的时间内能够选出正确的答案，今天中公教育专家就和大家一起来分享在我们行测考试中非常重要的一个题型—容斥问题。
容斥问题是包含与排斥问题，它是一种计数问题。
在计数时，几个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重复部分，采用这种计数方法的题型我们称为容斥问题。
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国考行测考试“难点”导读：一站全知道——容斥极值
【例】2.一个班级组织跑步比赛，共设100米、200米、400米三个项目。班级有50人，报名参加100米比赛的有27人，参加200米比赛的有25人，参加400米比赛的有21人。如果每人最多只能报名参加2项比赛，那么该班最多有多少人未报名参赛？
国考行测考试“难点”导读：一站全知道——容斥极值
同学们，当我们做到数量关系的容斥类题目时，发现掌握二者容斥和三者容斥解题原理后，相关内容还是比较容易理解的，属于手到擒来型。但是一遇到容斥的各类极值题目时，大家就会觉得很麻烦，总是想不明白，弄不清楚，感觉云里雾里，而且这类题目还有很多不同类型，让人望而生畏。下面中公教育专家就带领大家将其一一击破。
【例】4.共有100个人参加某银行的招聘考试，考试内容共有5道题，1～5题分别有80人、92人、86人、78人和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试， 则至少有（）人能通过考试。
A.70 B.74 C.55 D.30
【答案】A。解析：通过考试的人员最少，则没通过的人数最多，即100-80+100-92+100-86+100-78+100-74=90人次，根据“答对了3道和3道以上的人员能通过考试”，则让不通过的人都答错3题，即最多有90/3=30人不通过考试，因此通过的人最少有100-30=70人，选择A。
【例】1.阅览室有100本杂志。小赵借阅过其中75本，小王借阅过70本，小刘借阅过60本，则三人共同借阅过的杂志最少有（ ）本。
A.5 B.10 C.15 D.20
行测考试数学运算之容斥问题解题技法
行测考试数学运算之容斥问题解题技法容斥是一种计数方法，它是能够避免重复和遗漏计数的一种方法。
而解决容斥问题我们常借助的一种工具叫做文氏图（如下图1），方法是全集I等于每一部分的面积加和。
图1：全集I=四个部分面积的加和那么接下来我们一起学习一下如何用文氏图解容斥问题。
一、两者容斥问题例：幼儿园有100个小朋友，有50个小朋友穿的是粉上衣，有60个小朋友穿的蓝裤子，又有20个小朋友即没有穿粉上衣也没有穿蓝裤子。
那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿蓝裤子？解析：我们来画文氏图如果我们用50+60，那么我们会发现，途中空白部分就被加了两次，所以要减去一次而这一部分正是我们要求的既穿粉上衣又穿蓝裤子的小朋友数量，所以我们设这一部分为x，然后再加上外面的20就等于全集100，所以我们列式100=50+60-x+20，解得x=30即为所求。
二、三者容斥问题例：幼儿园有100个小朋友，有50个小朋友穿的是粉上衣，有60个小朋友穿的蓝裤子，40个穿红皮鞋，有30个既穿粉上衣又穿蓝裤子，有30个小朋友既穿蓝裤子又穿红皮鞋，有30个小朋友既穿粉上衣又穿红皮鞋，又有20个小朋友什么都没穿。
那么一共有多少小朋友既穿粉上衣又穿蓝裤子又穿红皮鞋？解析：我们同样先画文氏图。
我们用50+60+40，那么中间1、2、3这三个部分被加了两次，4这部分被加了3次，所以我们要把这4部分变为1层。
50+60+40-30-30-30,此时中间4这部分的3层全部被减没了，那么我们就需要补回一层，而这一部分正好是我们要求的部分，所以设为 x，50+60+40-30-30-30+x此时计算的是三个圆的覆盖面积，再加上外面的20 就等于全集100，所以列式为 100=50+60+40-30-30-30+x+20，解得x=20即为所求。
同学们理解的怎么样？还是相对比较容易的吧！那我们就趁热打铁，一起来做一道题巩固一下吧。
例题：如图所示，每个圆纸片的面积都是36，圆纸片A与B，B与C，C与A的重叠部分面积分别为7、6、9，三个圆纸片覆盖的总面积为88，则途中阴影部分的面积为（）。
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2017四川公务员笔试行测：容斥极值问题解法和公式
四川公务员考试行政职业能力测验主要测查从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力，通过测试选拔出能够胜任公共管理工作的优秀人才。
测试内容包括言语理解与表达能力、判断推理能力、数理能力、常识应用能力和综合分析能力。
一、求N个集合公共部分的最小值
这类题型是求中间最小圈的最小值问题，可以用公式：
例1.小明、小刚两人一起参加一次英语考试，已知考试共有100道题，且小明做对了68题，小刚做对了58题。
问两人都做对的题目至少有几题?
A.24
B.25
C.26
D.27
答案：C。
解析：求集合公共部分的最小值，直接用公式，两人都做对的题目至少有68+58-(2-1)×100=26(也可以用尾数法，尾数为6)，选C。
例2.某社团共有46人，其中35人爱好戏剧，30人爱好体育，38人爱好写作，40人爱好收藏，问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?
A.5
B.6
C.7
D.8
答案：A。
解析：根据容斥极值公式，35+30+38+40-(4-1)×46=5，选A。
一、求N个集合重叠两层部分的最大值
这类题型是求只两者的最大值，公式为(A1+A2+A3)÷2。
例2.一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。
问至多有几人回跳两种舞蹈?
A.12
B.14
C.15
D.16
答案：C。
解析：问的是只会跳两种舞蹈的最大值，应用公式为(12+8+10)÷2=15，选C。