【解析】宁夏银川市第二中学2020届高三一模数学(文)试题

2020届宁夏银川市第二中学高三一模数学（文）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|(1)9,M x x x R =-<∈，{}2,0,1,2,4N =-，则M N =I （ ）A. {}0,1,2B. {}1,0,1,2-C. {}1,0,2,3-D.{}0,1,2,3【答案】A(){}{}2|19,|24,M x x x R x x x R =-<∈=-<<∈Q{}{}{}|24,?2,0,1,2,40,1,2M N x x x R ∴⋂=-<<∈⋂-=选A2.若复数()()1a i i ++在复平面上所对应的点在实轴上，则实数a =（ ） A 2- B. 1-C. 1D. 2【答案】B 【分析】由题意可知，复数()()1a i i ++是实数，可得a 值.【详解】Q 复数()()()111a i i a a i ++=-++在复平面上所对应的点在实轴上，10,1a a ∴+=∴=-.故选：B .【点睛】本题考查复数的分类，属于基础题.3.已知双曲线2221x y a-=（a ＞0则a =A.B. 4C. 2D.12【答案】D【分析】本题根据根据双曲线的离心率的定义，列关于a 的方程求解. 【详解】 ∵双曲线的离心率5ce a== ，21c a =+ ， ∴215a += ，解得12a = ， 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的定义，双曲线中a,b,c 的关系，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝1，BC ＝2.在BC 边上任取一点M ，则∠AMB ≥90°的概率为（ ） A.14B.13C.24D.23【答案】A 【分析】作AD BC ⊥，垂足为D .由几何概型可知，∠AMB ≥90°的概率等于BDBC. 【详解】作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示由几何概型可知，∠AMB ≥90°的概率等于BDBC. 90,1,2,60BAC AB BC B ∠===∴∠=o o Q ，11cos60122BD AB ∴==⨯=o .90AMB ∴∠≥o 的概率为11224BD BC ==.故选：A .【点睛】本题考查几何概型，属于基础题.5.已知函数()44cos sin x x f x =-,下列结论中错误的是( )A. ()cos2f x x =B. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称C. ()f x 的最小正周期为πD. ()f x的值域为⎡⎣【答案】D 【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解+析式可得()cos 2f x x =，利用余弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解．【详解】解：由442222()cos sin (cos sin )(cos sin )cos2f x x x x x x x x =-=+-=，故A 正确； 由定义可知()cos 2f x x =为偶函数，故B 正确； 由周期公式可得()f x 的最小正周期为：22T ππ==，故C 正确； 由余弦函数的性质可得()cos 2f x x =的值域为[1-，1]，故D 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式，考查了余弦函数的图象和性质，属于基础题．6.标准对数远视力表（如图）采用的“五分记录法”是我国独创的视力记录方式，标准对数远视力表各行为正方形“E ”形视标，且从视力5.2的视标所在行开始往上，每一行“E ”的边长都是下方一行“E ”边长的 4.1的视标边长为a ，则视力4.9的视标边长为（ ）A. 4510a B.91010a C.4510a- D. 91010a-【答案】C 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】设第n行视标边长为n a，第1n-行视标边长为1n a-由题意可得：10110111100n n n n a a a a---=⇔=则数列{}n a为首项为a，公比为11010-的等比数列即911410591010a a a---⎛⎫== ⎪⎝⎭则视力4.9的视标边长为4510a-故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题. 7.函数ln cos22y x xππ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象是（）A. B.C. D.【答案】A 【分析】令cos t x =，则1t ≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，从而ln 0y t =≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，即得答案.【详解】令cos t x =，则1t ≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，ln 0y t ∴=≤在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，结合图象，可知答案为A .故选：A .【点睛】本题考查对数函数和三角函数，属于基础题.8.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b r的始点和终点，则a b ⋅r r的最大值为（ ）A. 1B.5 C. 3D. 10【答案】C 【分析】根据向量数量积的几何意义可知，向量b r 在向量a r方向上的投影最大时，a b ⋅r r 取最大值.【详解】由题意知1a =r，cos ,cos ,a b a b a b b a b ∴⋅=〈〉=〈〉r r r r r r r r r ，a b ∴⋅r r取最大值时，向量b r 在向量a r 方向上的投影cos ,b a b 〈〉r r r 最大.由图形可知，当b AC =r u u u r 时，向量b r 在向量a r方向上的投影最大.cos ,cos ,3a b a b a b b a b ∴⋅=〈〉=〈〉==r r r r r r r r r .即a b ⋅r r的最大值为3. 故选：C .【点睛】本题考查向量数量积的几何意义，属于基础题.9.若,x y 满足约束条件211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 5-B. 1C. 1-D. 2【答案】B 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可． 【详解】由2z x y =-得122z y x =-， 作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）:平移直线122zy x =-， 由图象可知当直线122z y x =-，过点C 时，直线122zy x =-的截距最小，此时z 最大，由11x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得(1,0)C ， 代入目标函数2z x y =-， 得1201z =-⨯=∴目标函数2z x y =-的最大值是1．故选：B ．【点睛】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．10.已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =（ ）62:π32π C. 6:4:π D. 3:2:π【答案】C 【分析】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，正方体的棱长为a ，由它们的表面积相等，令表面积为S ，可得222,,466S S S R r a ππ===.再由球、圆柱、正方体的体积公式求解即得. 【详解】设球的半径为R ，圆柱的底面半径为r ，正方体的棱长为a ，由它们的表面积相等可得222466R r a ππ==，令表面积为S ， 则222,,466S S S R r a ππ===. ()()()()()22223332223232222123416:::2::4:39V V V R r r a R r a ππππ⎛⎫∴=⨯= ⎪⎝⎭3332216:4:6:4:9466S S S πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：C .【点睛】本题考查球、圆柱、正方体的表面积公式和体积公式，属于基础题.11.设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,抛物线C 与圆22:(3)3C x y +='交于M ,N两点,若||6MN =,则MNF V 的面积为( )A. 28B. 38C.328D.32【答案】B 【分析】由圆C '过原点，知,M N 中有一点M 与原点重合，作出图形，由3C M C N ''==，6MN =，得C M C N ''⊥，从而直线MN 倾斜角为4π，写出N 点坐标，代入抛物线方程求出参数p ，可得F 点坐标，从而得三角形面积．【详解】由题意圆C '过原点，所以原点是圆与抛物线的一个交点，不妨设为M ，如图， 由于3C M C N ''==，6MN =，∴C M C N ''⊥，∴4C MN π'∠=，4NOx π∠=，∴点N 坐标为(3,3)，代入抛物线方程得2(3)23p =⨯，32p =， ∴3(,0)4F ，113332248FMN N S MF y ∆=⨯=⨯⨯=． 故选：B.【点睛】本题考查抛物线与圆相交问题，解题关键是发现原点O 是其中一个交点，从而MNC '∆是等腰直角三角形，于是可得N 点坐标，问题可解，如果仅从方程组角度研究两曲线交点，恐怕难度会大大增加，甚至没法求解．12.已知实数a b c d ,,,满足111a e cb d e--==，则()()22a c b d -+-的最小值为（ ）A. eC. 221e e+D. 221e e + 【答案】D 【分析】设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点，()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，通过求函数ln y x =到直线1:1l y x e=⋅+的最小距离，即可得到本题答案. 【详解】由题，得1ln ,1a b c d e==⋅+， 设(,)b a 是曲线:ln C y x =的点，(,)d c 是直线1:1l y x e=⋅+的点， ()()22a cb d -+-可看成曲线C 上的点到直线l 上的点的距离的平方，对ln y x =求导得1y x '=，令1y e'=，得x e =， 所以曲线C 上的点(,1)e 到直线l 的距离最小，该点到直线l==， 因此22()()a c b d -+-的最小值为2221e e⎛⎫=+. 故选：D【点睛】本题主要考查导数的几何意义及导数的应用问题，其中涉及转化和化归思想的运用.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 【答案】如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m 或如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α. 【分析】将所给论断，分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断，分别作为条件、结论，得到如下三个命题： （1）如果l ⊥α，m ∥α，则l ⊥m . 正确； （2）如果l ⊥α，l ⊥m ，则m ∥α.正确；（3）如果l ⊥m ，m ∥α，则l ⊥α.不正确，有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力. 14.在发生公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.过去10日，A 、B 、C 、D 四地新增疑似病例数据信息如下：A 地：中位数为2，极差为5；B 地：总体平均数为2，众数为2；C 地：总体平均数为1，总体方差大于0；D 地：总体平均数为2，总体方差为3. 则以上四地中，一定符合没有发生大规模群体感染标志的是_______(填A 、B 、C 、D ) 【答案】AD 【分析】对选项逐个分析，即得答案.【详解】对于A 地，因为中位数为2，极差为5，所以最大值为257+=，满足每天新增疑似病例不超过7人，故A 地符合；对于B 地，若过去10日分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，满足总体平均数为2，众数为2，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故B 地不符合；对于C 地，若过去10日分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，满足总体平均数为1，总体方差大于0，但不满足每天新增疑似病例不超过7人，故C 地不符合；对于D 地，假设至少有一天疑似病例超过7人，设为8人，则方差为()()()10222111128282 3.63101010i i x =⎡⎤-=-+>⨯-=>⎣⎦∑L ，与题中条件总体方差为3矛盾，故假设不成立.故满足每天新增疑似病例不超过7人，故D 地符合. 故答案为：AD .【点睛】本题考查利用中位数、极差、平均数、众数、方差等数据，对总体数据进行估算，属于中档题.15.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家波恩哈德·黎曼发现提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：()[]1,,,0,0,10,1q qx p q p p p R x x ⎧⎛⎫=⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪=⎩当都是正整数是既约真分数当或上的无理数，若函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意x 都有()()20f x f x -+=，当[]0,1x ∈时，()()f x R x =，则()18lg 305f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________. 【答案】15- 【分析】先利用题中条件推导出函数()y f x =是以2为周期的周期函数，然后利用题中定义结合周期性和奇偶性可分别求出185f ⎛⎫ ⎪⎝⎭和()lg30f 的值，相加即可. 【详解】由于函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，()()()22f x f x f x ∴=--=-，所以，函数()y f x =是以2为周期的周期函数，则181822214=555555f f f f R ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()()()()lg30lg3lg10lg31lg311lg31lg30f f f f f R =+=+=-=--=--=，因此，()181lg 3055f f ⎛⎫+=-⎪⎝⎭.故答案为：15-.【点睛】本题考查新定义函数值的计算，推导出函数的周期是解题的关键，考查推理能力与计算能力，属于中等题.16.已知数列{}n a 满足11a =，22a =，11320(2,)n n n a a a n n N *+--+=≥∈.（1）4a =_______；（2）数列{}n a 的通项公式n a =________. 【答案】 (1). 8 (2). 12n - 【分析】（1）根据11320n n n a a a +--+=，求出3a ，再求出4a ；（2）由11320n n n a a a +--+=，得()112n n n n a a a a +--=-，则数列{}()1*n n a a n N +-∈是首项为1,公比为2的等比数列，求出1n n a a +-，累加法求n a .【详解】（1）12111,2,320(2,)n n n a a a a a n n N *+-==-+=≥∈Q ，3213232214a a a ∴=-=⨯-⨯=， 4323234228a a a ∴=-=⨯-⨯=.（2）11320(2,)n n n a a a n n N *+--+=≥∈Q ，()112n n n n a a a a +-=-∴-，又211a a -=，∴数列{}()1*n n a a n N +-∈是首项为1,公比为2的等比数列，111122n n n n a a -+-∴=⨯=-.2221324311,2,2,,2n n n a a a a a a a a --∴-=-=-=-=L ，以上各式两端分别相加，得()1221111212222112n n n n a a ---⨯--=++++==--L ，又()111,22,*n n a a n n N -=∴=≥∈Q .当1n =时，11a =符合上式，()12*n n a n N -∴=∈.故答案为：8；12n -.【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，属于中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足222a c b ac +=-．()I 求角B 的大小；()II 若BAC ∠的平分线AD 交BC 于D，1AD ==，求sin BAC ∠的值．【答案】(I )23B π= (II【分析】()I 由已知及余弦定理可求得1cosB 2=-，结合范围()B 0,π∈，可求B 的值．()II 由正弦定理可得sin BAD ∠，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos BAD ∠，根据二倍角的正弦函数公式即可求解sin BAC ∠的值． 【详解】解：()I Q 在ABC V 中，222a c b ac +=-．∴由余弦定理可得：2221cos 222a cb ac B ac ac +--===-，()0,B π∈Q ，23B π∴=()II Q 由正弦定理可得：sin sin AD BDB BAD =∠，1sin 1sin 4BD B BAD AD ⋅∴∠===， ()0,BAD π∠∈Q ，BAC ∠的平分线AD 交BC 于D ，215cos 1sin BAD BAD ∴∠=-∠=, ()15sin sin 22sin cos 8BAC BAD BAD BAD ∴∠=∠=∠⋅∠=【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：支付金额 支付方式 不大于2000元大于2000元仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人1人（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】（Ⅰ）400人； （Ⅱ）125； （Ⅲ）见解+析. 【分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率； (Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A 的人数有30人，仅使用B 的人数有25人， 由题意知A ,B 两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540---=， 所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400100⨯=（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为125. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为125，因为从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2BCD π∠=，PA BD ⊥，2AB =，1PA PD CD BC ====（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）求点C 到平面PBD 的距离. 【答案】（1）见证明（2）12【分析】（1）根据题中所给的条件，利用勾股定理，得到AD BD ⊥，利用已知条件PA BD ⊥，结合线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面PAD ，进而证得平面PAD ⊥平面ABCD ； （2）利用三棱锥体积转换，求得点C 到平面PBD 的距离.【详解】（1）∵AB CD P ，2BCD π∠=，1PA PD CD BC ====，∴2BD =，2ABC π∠=，4DBC π∠=，∴4ABD π∠=，∵2AB =，∴2AD =，∴222AB AD BD =+，∴AD BD ⊥，∵PA BD ⊥，PA AD A ⋂=，∴BD ⊥平面PAD ， ∵BC ⊂平面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD . （2）取AD 中点O ，连接PO ，则PO AD ⊥，且22PO =， 由平面PAD ⊥平面ABCD 知PO ⊥平面ABCD ， 由BD ⊥平面PAD 得BD PD ⊥， 又1PD =,2BD =,∴PBD ∆的面积为2， 又BCD ∆的面积为12，P BCD C PBD V V --=，设点C 到平面PBD 的距离为d ，则 12112332d ⨯=⨯⨯，∴12d =，即点C 到平面PBD 的距离为12.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，点到平面的距离，属于简单题目.20.已知椭圆2222:1()x y C a b o a b+=>>的焦距为2，过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，O 为坐标原点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设点()0,1A ，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（1）2212x y +=；（2）详见解+析.【分析】（1）由题意1c =，根据过右焦点和短轴一个端点的直线的斜率为1-，求出b ，求出2a ，即得椭圆C 的方程；（2）设1122(,),(,)P x y Q x y .把直线l 的方程代入椭圆C 的方程，韦达定理.写出直线AP 和直线AQ 的方程，求出,OM ON .根据2OM ON =，求出t 的值，即可证明直线l 经过定点. 【详解】（1）由题意，得椭圆C 的半焦距1c =，右焦点()1,0F ，上顶点()0,M b ，所以直线MF 的斜率03tan 1014b k π-===--，解得1b =，由222a b c =+，得22a =，所以椭圆C 的方程为2212x y +=.（2）设1122(,),(,)P x y Q x y .联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k-=+++=+. 直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-； 同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =，所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得只有0t =满足题意，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】本题考查椭圆的标准方程和直线过定点问题，属于较难的题目. 21.设函数2()ln f x x bx a x =+-（Ⅰ）若2x =是函数()f x 的极值点，1和0x 是()f x 的两个不同零点，且0(,1)x n n ∈+且n N ∈，求n 的值；（Ⅱ）若对任意[]2,1b ∈--, 都存在(1,)x e ∈（e 为自然对数的底数），使得()0f x <成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）3， （2）详见解+析试题分析：求导后利用2x =为极值点，满足(2)0f '=，在根据1是()f x 的零点，满足(1)0f =，列方程组解出,a b ，把,a b 的值代入求导，研究函数()f x 的另一个零点所在的区间，求出n ；由于()g b 在[2,1]--上为增函数，只需()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，对()h x 求导，再进行分类讨论. 试题详细分析： （Ⅰ）()2,2a f x x b x x =+-'=Q 是函数()f x 的极值点，∴()242af b =+-'. ∵1是函数()f x 的零点，得()110f b =+=，由40210a b b ⎧+-=⎪⎨⎪+=⎩，解得6,1a b ==-， ∴()26ln f x x x x =--,()621f x x x-'=-， 令()2626210x x f x x x x--=--=>'， 0,2x x >∴>Q ，令()0f x '<得02x <<，所以()f x 在()0,2上单调递减；在()2,+∞上单调递增 故函数()f x 至多有两个零点，其中()()010,2,2,x ∈∈+∞，因为()()210f f <<，()()361ln30f =-<,()()2462ln46ln 04e f =-=>，所以()03,4x ∈，故3n =．（Ⅱ）令()2ln g b xb x a x =+-，[]2,1b ∈--，则()g b 为关于b 的一次函数且为增函数，根据题意，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立，则 ()()2max 1ln 0g b g x x a x =-=--<在()1,x e ∈有解，令()2ln h x x x a x =--，只需存在()01,x e ∈使得()00h x <即可，由于()2221a x x ah x x x x='--=--，令()()22,1,x x x a x e ϕ=--∈，()410x x ϕ'=->，∴()x ϕ在(1，e )上单调递增，()()11x a ϕϕ>=-，①当10a -≥，即1a ≤时，()0x ϕ>，即()0h x '>，()h x 在(1，e )上单调递增，∴()()10h x h >=，不符合题意.② 当10a -<，即1a >时，()110.a ϕ=-< ()22e e e a ϕ=--若221a e e ≥->，则()0e ϕ<，所以在(1，e )上()0e ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，∴()h x 在(1，e )上单调递减,∴存在()01,x e ∈，使得()()010h x h <=，符合题意. 若221e e a ->>，则()0e ϕ>，∴在(1， e )上一定存在实数m ，使得()0m ϕ=， ∴在(1，m )上()0x ϕ<恒成立，即()0h x '<恒成立，()h x 在(1，m )上单调递减, ∴存在()01,x m ∈，使得()()010h x h <=，符合题意.综上，当1a >时，对任意[]2,1b ∈--，都存在()1,x e ∈，使得()0f x <成立（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4—4：坐标系与参数方程选讲] 已知曲线C 的极坐标方程为2229cos 9sin ρθθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系． （1）求曲线C 的普通方程；（2）A ,B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求2211||||OA OB +的值．【答案】（1）2219x y +=；（2）109．试题分析：（1）将222cos ,sin ,x y x y ρθρθρ==+=代入曲线的方程，即可求得曲线的普通方程；（2）因为题意得2221cos sin 9θθρ=+，由OA OB ⊥，设1(,)A ρα可得2(,)2B πρα±， 即可求解． 试题详细分析： (Ⅰ）由2229cos 9sin ρθθ=+得2222cos 9sin 9ρθρθ+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入得到曲线C 的普通方程是2219x y +=．（Ⅱ）因为2229cos 9sin ρθθ=+， 所以2221cos sin 9θθρ=+， 由OA OB ⊥，设()1,A ρα，则B 点的坐标可设为2,2πρα⎛⎫±⎪⎝⎭， 所以22222222121111cos sin 110sin cos 1||||9999OA OB ααααρρ+=+=+++=+=． 23.若0,0a b >>，且(1a b +. （1）求3311a b +的最小值； （2）是否存在,a b ，使得1123a b +？并说明理由. 【答案】（1） （2）不存在,a b ，使得1123a b +.- 21 - 【分析】（1）由条件利用基本不等式求得12ab ≤，再利用基本不等式求得3311a b +的最小值． （2）根据12ab ≤及基本不等式求得1123a b +≥，从而可得不存在a ，b ，使得1123a b +． 【详解】（1）(1a b +=Q ，()a b ∴+= 0,0a b >>Q ，()a b ∴+≥，，当且仅当a b =时等号，≥12ab ∴≤. 3311a b ∴+≥=≥3311a b ∴+≥a b =时取等号； （2）0,0a b >>Q，11233a b ∴+≥=≥，，Q <，∴不存在,a b ，使得1123a b +. 【点睛】本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．。