最新 数学试题库
数学类试题及答案
数学类试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个选项是圆的周长公式？A. C = 2πrB. C = πr^2C. C = 4πrD. C = πd答案：A2. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A3. 计算 (3x - 2) + (x + 1) 的结果是：A. 4x - 1B. 4x + 1C. 3x + 1D. 2x - 1答案：A4. 下列哪个选项是二次方程的解？A. x^2 - 4x + 4 = 0B. x^2 - 2x + 1 = 0C. x^2 + 4x + 4 = 0D. x^2 - 6x + 9 = 0答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，其斜边长为____。
答案：52. 函数y = 2x + 3的图象与x轴的交点坐标为(-3/2, 0)，那么与y轴的交点坐标为____。
答案：(0, 3)3. 一个数的相反数是-5，那么这个数是____。
答案：54. 一个数的绝对值是10，那么这个数可以是____或-10。
答案：10三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第10项。
答案：第10项 = 2 + (10 - 1) * (8 - 2) / (3 - 1) = 2 + 9 * 3 = 292. 计算不等式 2x - 3 > 5 的解集。
答案：解得 x > 4四、证明题（每题10分，共20分）1. 证明：如果a > b > 0，那么a^2 > b^2。
答案：证明如下：因为a > b > 0，所以a - b > 0。
那么 (a - b)(a + b) > 0。
展开得 a^2 - b^2 > 0，所以 a^2 > b^2。
2. 证明：如果一个三角形的两边之和大于第三边，那么这个三角形是存在的。
2024义务教育数学课程标准(2022版)考试题库(附含答案)
2024义务教育数学课程标准(2022版)考试题库(附含答案)1.数与代数是义务教育阶段学生数学学习的重要领域，在小学阶段包括()两个主题。
A.“四则运算”和“数量关系”B.“数与运算”和“数量关系”(正确答案)C.“数与运算”和“符号意识”D.“算理算法”和“数量关系”2.平均数教学要引导学生在熟悉的情境中理解平均数所具有的( )，通过刻画一组数据的集中程度表达总体的() 。
A.特征.部分情况B.代表性.部分情况C.特征.集中状况D.代表性.集中状况(正确答案)3.小学数学课程要培养的学生核心素养，主要包括三个方面，会用数学的眼光观察现实世界.会用数学的思维思考现实世界() 。
A.会用数学的语言表达现实世界(正确答案)B.会用数学的语言描述现实世界C.会用数学的语言阐述现实世界4.主题活动的设计提倡多学时的长程学习，可以根据实际情况灵活设计活动内容和形式，有助于学生加深对知识的理解，积累基本计算经验( )。
A.正确B.错误(正确答案)5.教学评价的方式多样，包括书面测验.活动报告.课堂观察.课内外作业等，只能采取线下评价的方式( )。
A . 对B.错(正确答案)6.课标对教学要求有所提升的内容有:估算.算法多样化.各类知识的应用等( )。
A.对(正确答案)B.错7.在第三学段中，下列哪个关于数量关系内容要求不恰当( )。
A.根据具体情境理解等式的基本以性质。
B.在解决实际问题的过程，会选择合适的方法进行估算。
C.熟练地用字母表示事物关系，性质的规律。
(正确答案)D.在实际情境中理解比和比例及按比例分配的含义，能解决简单问题。
8.符号意识主要是指能够感悟符号的()。
知道符号表达的现实意义；能够初步运用符号表示数量.关系和一般规律。
A.意义B.数学价值C.数学意义D.数学功能(正确答案)9.综合与实践领域的教学活动，要以解决实际问题为重点，以跨学科主题学习为主，以真实问题为载体，着力培养学生的创新意识.实践能力.社会担当等综合品质()。
大学数学试题题库及答案
大学数学试题题库及答案# 大学数学试题题库及答案一、选择题1. 极限的定义中，\( \lim_{x \to c} f(x) = L \) 表示：A. 当 \( x \) 无限接近 \( c \) 时，\( f(x) \) 无限接近\( L \)B. \( f(c) = L \)C. \( x = c \) 时，\( f(x) = L \)D. 以上都不是答案：A2. 以下哪个函数是周期函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = e^x \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \ln x \)答案：C3. 微分方程 \( y'' - y' - 6y = 0 \) 的特征方程为：A. \( r^2 - r - 6 = 0 \)B. \( r^2 + r + 6 = 0 \)C. \( r^2 - r + 6 = 0 \)D. \( r^2 + r - 6 = 0 \)答案：A二、填空题1. 若 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = a \)，则 \( a \) 的值为 __________。
答案：82. 函数 \( f(x) = \ln(x + 1) \) 的导数是 __________。
答案：\( \frac{1}{x + 1} \)3. 曲线 \( y = x^3 - 6x^2 + 9x \) 在 \( x = 3 \) 处的切线斜率为 __________。
答案：0三、简答题1. 请解释什么是连续函数，并给出一个例子。
答案：连续函数是指在其定义域内，函数值无限接近于极限值的函数。
例如，函数 \( f(x) = x^2 \) 是一个连续函数，因为它在任意点 \( x \) 处的极限值都等于其函数值。
2. 解释什么是泰勒级数，并给出 \( e^x \) 的泰勒级数展开。
2023年新高考1卷数学真题试卷附详解
2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2,1,0,1,2M =--,{}260N x x x =--≥,则M N ⋂=（ ）A. {}2,1,0,1--B. {}0,1,2C. {}2-D. 22. 已知1i22iz -=+,则z z -=（ ） A.i -B. iC. 0D. 13. 已知向量()()1,1,1,1a b ==-,若()()a b a b λμ+⊥+,则（ ） A. 1λμ+= B. 1λμ+=- C. 1λμ= D. 1λμ=-4. 设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则a 的取值范围是（ ）A. (],2-∞-B. [)2,0-C. (]0,2D. [)2,+∞5. 设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>+=的离心率分别为12,e e ．若21e =,则=a （ ）A.B.C.D.6. 过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α,则sin α=（ ）A. 1B.C.D.7. 记n S 为数列{}n a 的前n 项和,设甲:{}n a 为等差数列；乙:{}nS n为等差数列,则（ ） A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 8. 已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==,则()cos 22αβ+=（ ）． A.79 B.19C. 19-D. 79-二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求．全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9. 有一组样本数据126,,,x x x ⋅⋅⋅,其中1x 是最小值,6x 是最大值,则（ ） A. 2345,,,x x x x 的平均数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数 B. 2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数 C. 2345,,,x x x x 的标准差不小于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差 D. 2345,,,x x x x 的极差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的极差10. 噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱,定义声压级20lgp pL p =⨯,其中常数()000p p >是听觉下限阈值,p 是实际声压．下表为不同声源的声压级:已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m 处测得实际声压分别为123,,p p p ,则（ ）． A. 12p p ≥ B. 2310p p > C. 30100p p =D. 12100p p ≤11. 已知函数()f x 的定义域为R ,()()()22f xy y f x x f y =+,则（ ）．A. ()00f =B. ()10f =C. ()f x 是偶函数D. 0x =为()f x 的极小值点12. 下列物体中,能够被整体放入棱长为1（单位:m ）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）A. 直径为0.99m 的球体B. 所有棱长均为1.4m 的四面体C. 底面直径为0.01m ,高为1.8m 的圆柱体D. 底面直径为1.2m ,高为0.01m 的圆柱体三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分．13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课,学生需从这8门课中选修2门或3门课,并且每类选修课至少选修1门,则不同的选课方案共有________种（用数字作答）．14. 在正四棱台1111ABCD A B C D -中,1112,1,AB A B AA ===,则该棱台的体积为________．15. 已知函数()cos 1(0)f x x ωω=->在区间[]0,2π有且仅有3个零点,则ω的取值范围是________．16. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ．点A 在C 上,点B 在y 轴上,11222,3F A F B F A F B ⊥=-,则C 的离心率为________． 四、解答题:本题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知在ABC 中,()3,2sin sin A B C A C B +=-=． （1）求sin A ；（2）设5AB =,求AB 边上的高．18. 如图,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上,22221,2,3AA BB DD CC ====．（1）证明:2222B C A D ∥；（2）点P 在棱1BB 上,当二面角222P A C D --为150︒时,求2B P ． 19. 已知函数()()e xf x a a x =+-．（1）讨论()f x 的单调性；（2）证明:当0a >时,()32ln 2f x a >+． 20. 设等差数列{}n a 的公差为d ,且1d >．令2n nn nb a +=,记,n n S T 分别为数列{}{},n n a b 的前n 项和．（1）若2133333,21a a a S T =++=,求{}n a 的通项公式； （2）若{}n b 为等差数列,且999999S T -=,求d ．21. 甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投籃,若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5． （1）求第2次投篮的人是乙的概率； （2）求第i 次投篮的人是甲的概率；（3）已知:若随机变量i X 服从两点分布,且()()110,1,2,,i i i P X P X q i n ==-===⋅⋅⋅,则11n ni i i i E X q ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑．记前n 次（即从第1次到第n 次投篮）中甲投篮的次数为Y ,求()E Y ．22. 在直角坐标系xOy 中,点P 到x 轴的距离等于点P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭的距离,记动点P 的轨迹为W ．（1）求W 的方程；（2）已知矩形ABCD 有三个顶点在W 上,证明:矩形ABCD 的周长大于2023年高考数学试卷新课标Ⅰ卷答案一、选择题.1. C解:因为{}(][)260,23,N x x x ∞∞=--≥=--⋃+,而{}2,1,0,1,2M =--,所以M N ⋂={}2-．故选:C ． 2. A解:因为()()()()1i 1i 1i 2i 1i 22i 21i 1i 42z ----====-++-,所以1i 2z =,即i z z -=-． 故选:A ． 3. D解:因为()()1,1,1,1a b ==-,所以()1,1a b λλλ+=+-,()1,1a b μμμ+=+- 由()()a b a b λμ+⊥+可得,()()0a b a b λμ+⋅+= 即()()()()11110λμλμ+++--=,整理得:1λμ=-． 故选:D ． 4. D解:函数2xy =在R 上单调递增,而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减,则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减,因此12a ≥,解得2a ≥.所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选:D. 5. A解:由21e ,得22213e e =,因此2241134a a --=⨯,而1a >,所以a =故选:A. 6. B解:因为22410x y x +--=,即()2225x y -+=,可得圆心()2,0C ,半径r =过点()0,2P -作圆C 的切线,切点为,A B因为PC ==,则PA ==可得sin APC APC ∠==∠==则sin sin 22sin cos 2APB APC APC APC ∠=∠=∠∠==22221cos cos 2cos sin 04APB APC APC APC ∠=∠=∠-∠=-=-<⎝⎭⎝⎭即APB ∠为钝角.所以()sin sin πsin 4APB APB =-∠=∠=α. 故选:B. 7. C解:甲:{}n a 为等差数列,设其首项为1a ,公差为d 则1111(1)1,,222212n n n n S S S n n n d d dS na d a d n a n n n +--=+=+=+--=+ 因此{}nS n为等差数列,则甲是乙的充分条件. 反之,乙:{}nS n为等差数列,即111(1)1(1)(1)n n n n n n S S nS n S na S n n n n n n +++-+--==+++为常数,设为t即1(1)n nna S t n n +-=+,则1(1)n n S na t n n +=-⋅+,有1(1)(1),2n n S n a t n n n -=--⋅-≥ 两式相减得:1(1)2n n n a na n a tn +=---,即12n n a a t +-=,对1n =也成立 因此{}n a 为等差数列,则甲是乙的必要条件. 所以甲是乙的充要条件,C 正确. 故选:C. 8. B解:因为1sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ-=-=,而1cos sin 6αβ=,因此1sin cos 2αβ=则2sin()sin cos cos sin 3αβαβαβ+=+=所以2221cos(22)cos 2()12sin ()12()39αβαβαβ+=+=-+=-⨯=. 故选:B.二、选择题.9. BD解:对于选项A :设2345,,,x x x x 的平均数为m ,126,,,x x x ⋅⋅⋅的平均数为n 则()()165234123456234526412x x x x x x x x x x x x x x x x n m +-+++++++++++-=-=因为没有确定()1652342,x x x x x x ++++的大小关系,所以无法判断,m n 的大小 例如:1,2,3,4,5,6,可得 3.5m n ==. 例如1,1,1,1,1,7,可得1,2m n ==. 例如1,2,2,2,2,2,可得112,6m n ==；故A 错误； 对于选项B :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤可知2345,,,x x x x 的中位数等于126,,,x x x ⋅⋅⋅的中位数均为342x x +,故B 正确； 对于选项C :因为1x 是最小值,6x 是最大值则2345,,,x x x x 的波动性不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的波动性,即2345,,,x x x x 的标准差不大于126,,,x x x ⋅⋅⋅的标准差例如:2,4,6,8,10,12,则平均数()12468101276n =+++++= 标准差1s ==4,6,8,10,则平均数()14681074m =+++= 标准差2s ==5>,即12s s >；故C 错误； 对于选项D :不妨设123456x x x x x x ≤≤≤≤≤则6152x x x x -≥-,当且仅当1256,x x x x ==时,等号成立,故D 正确； 故选:BD. 10. ACD解:由题意可知:[][]12360,90,50,60,40p p p L L L ∈∈= 对于选项A :可得1212100220lg20lg 20lg p p p p p L L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为12p p L L ≥,则121220lg0p p p L L p =-⨯≥,即12lg 0pp ≥ 所以121p p ≥且12,0p p >,可得12p p ≥,故A 正确； 对于选项B :可得2332200320lg20lg 20lg p p p p pL L p p p =-⨯=⨯-⨯ 因为2324010p p p L L L -=-≥,则2320lg10p p ⨯≥,即231lg 2p p ≥ 所以23pp ≥23,0p p >,可得23p ≥ 当且仅当250p L =时,等号成立,故B 错误； 对于选项C :因为33020lg40p p L p =⨯=,即30lg 2pp =可得3100p p =,即30100p p =,故C 正确； 对于选项D :由选项A 可知:121220lgp p p L L p =-⨯ 且12905040p p L L ≤-=-,则1220lg40p p ⨯≤ 即12lg2p p ≤,可得12100pp ≤,且12,0p p >,所以12100p p ≤,故D 正确； 故选:ACD. 11. ABC解:因为22()()()f xy y f x x f y =+对于A ,令0x y ==,(0)0(0)0(0)0f f f =+=,故A 正确. 对于B ,令1x y ==,(1)1(1)1(1)f f f =+,则(1)0f =,故B 正确. 对于C ,令1x y ==-,(1)(1)(1)2(1)f f f f =-+-=-,则(1)0f -=令21,()()(1)()y f x f x x f f x =--=+-=又函数()f x 的定义域为R ,所以()f x 为偶函数,故C 正确对于D ,不妨令()0f x =,显然符合题设条件,此时()f x 无极值,故D 错误. 12. ABD解:对于选项A :因为0.99m 1m <,即球体的直径小于正方体的棱长 所以能够被整体放入正方体内,故A 正确；对于选项B :, 1.4> 所以能够被整体放入正方体内,故B 正确；对于选项C :, 1.8< 所以不能够被整体放入正方体内,故C 正确；对于选项D :, 1.2>设正方体1111ABCD A B C D -的中心为O ,以1AC 为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心1O 到正方体的表面的最近的距离为m h如图,结合对称性可知:11111110.62OC C A C O OC OO ===-= 则1111C O h AA C A =,即0.61h -=解得10.340.012h =>> 所以能够被整体放入正方体内,故D 正确； 故选:ABD.三、填空题．13. 64解:（1（当从8门课中选修2门,则不同的选课方案共有144116C C =种；（2（当从8门课中选修3门①若体育类选修课1门,则不同的选课方案共有1244C C 24=种；②若体育类选修课2门,则不同的选课方案共有2144C C 24=种；综上所述:不同的选课方案共有16242464++=种. 故答案为:64. 14.解:如图,过1A 作1A M AC ⊥,垂足为M ,易知1A M 为四棱台1111ABCD A B C D -的高因为1112,1,AB A B AA ===则111111111122222AO AC B AO AC ======故()1112AM AC A C =-=,则1A M ===所以所求体积为1(413V =⨯++=故答案为:6. 15. [2,3)解:因为02x π≤≤,所以02x πωω≤≤ 令()cos 10f x x ω=-=,则cos 1x ω=有3个根 令t x ω=,则cos 1t =有3个根,其中[0,2π]t ω∈结合余弦函数cos y t =的图像性质可得4π2π6πω≤<,故23ω≤<故答案为:[2,3).16.解:依题意,设22AF m =,则2113,22BF m BF AF a m ===+在1Rt ABF 中,2229(22)25m a m m ++=,则(3)()0a m a m +-=,故a m =或3a m=-（舍去）所以124,2AF a AF a ==,213BF BF a ==,则5AB a = 故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===所以在12AF F △中,2221216444cos 2425a a c F AF a a +-∠==⨯⨯,整理得2259c a =故5c e a ==.四、解答题．17. （1 （2）6 【小问1详解】3A B C += π3C C ∴-=,即π4C =又2sin()sin sin()A C B A C -==+2sin cos 2cos sin sin cos cos sin A C A C A C A C ∴-=+ sin cos 3cos sin A C A C ∴= sin 3cos A A ∴=即tan 3A =,所以π02A <<sin10A ∴==. 【小问2详解】由（1）知,cos10A ==由sin sin()B A C =+sin cos cos sin A C A C =+=+=由正弦定理,sin sin c bC B=,可得52b ==11sin 22AB h AB AC A ∴⋅=⋅⋅sin 6h b A ∴=⋅==. 18. （1）证明见解析 （2）1 【小问1详解】以C 为坐标原点,1,,CD CB CC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,如图则2222(0,0,0),(0,0,3),(0,2,2),(2,0,2),(2,2,1)C C B D A2222(0,2,1),(0,2,1)B C A D ∴=-=- 2222B C A D ∴∥又2222B C A D ，不在同一条直线上2222B C A D ∴∥.【小问2详解】 设(0,2,)(04)P λλ≤≤则22222(2,2,2)(0,2,3),=(2,0,1),A C PC D C λ=--=---设平面22PA C 的法向量(,,)n x y z =则22222202(3)0n A C x y z n PC y z λ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ 令 2z =,得3,1y x λλ=-=-(1,3,2)n λλ∴=--设平面222A C D 的法向量(,,)m a b c =则2222222020m A C a b c m D C a c ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 令 1a =,得1,2==b c(1,1,2)m ∴=cos ,cos1506n m n m n m⋅∴===︒=化简可得,2430λλ-+= 解得1λ=或3λ=(0,2,1)P ∴或(0,2,3)P21B P ∴=.19. （1）答案见解析 （2）证明见解析 【小问1详解】解:因为()()e x f x a a x =+-,定义域为R ,所以()e 1xf x a '=-当0a ≤时,由于e 0x >,则e 0x a ≤,故()0e 1xf x a -'=<恒成立所以()f x 在R 上单调递减；当0a >时,令()e 10xf x a '=-=,解得ln x a =-当ln x a <-时,()0f x '<,则()f x 在(),ln a -∞-上单调递减； 当ln x a >-时,0fx,则()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增；综上:当0a ≤时,()f x 在R 上单调递减；当0a >时,()f x 在(),ln a -∞-上单调递减,()f x 在()ln ,a -+∞上单调递增. 【小问2详解】由（1）得,()()()ln min 2ln ln ln e 1af a a x a f a a a --+=++=+=要证3()2ln 2f x a >+,即证2312ln 2ln a a a ++>+,即证21ln 02a a -->恒成立. 令()()21ln 02g a a a a =-->,则()21212a g a a a a-'=-=令()0g a '<,则02a <<；令()0g a '>,则2a >；所以()g a 在0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上单调递减,在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增.所以()2min 1ln 02222g a g ⎛⎛==--=>⎝⎭⎝⎭,则()0g a >恒成立. 所以当0a >时,3()2ln 2f x a >+恒成立,证毕. 20.（1）3n a n = （2）5150d =【小问1详解】21333a a a =+,132d a d ∴=+,解得1a d = 32133()6d d S a a =+==∴又31232612923T b b b d d d d=++=++= 339621S T d d∴+=+= 即22730d d -+=,解得3d =或12d =（舍去） 1(1)3n a a n d n ∴=+-⋅=.【小问2详解】{}n b 为等差数列,2132b b b ∴=+,即21312212a a a =+ 2323111616()d a a a a a ∴-==,即2211320a a d d -+=,解得1a d =或12a d = 1d >,0n a ∴>又999999S T -=,由等差数列性质知,5050999999a b -=,即50501a b -=505025501a a ∴-=,即2505025500a a --=,解得5051a =或5050a =-（舍去） 当12a d =时,501495151a a d d =+==,解得1d =,与1d >矛盾,无解； 当1a d =时,501495051a a d d =+==,解得5150d =. 综上,5150d =. 21. （1）0.6（2）1121653i -⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭（3）52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 【小问1详解】记“第i 次投篮的人是甲”为事件i A ,“第i 次投篮的人是乙”为事件i B 所以,()()()()()()()21212121121||P B P A B P B B P A P B A P B P B B =+=+()0.510.60.50.80.6=⨯-+⨯=.【小问2详解】设()i i P A p =,依题可知,()1i i P B p =-,则()()()()()()()11111||i i i i i i i i i i i P A P A A P B A P A P A A P B P A B +++++=+=+即()()10.610.810.40.2i i i i p p p p +=+-⨯-=+ 构造等比数列{}i p λ+设()125i i p p λλ++=+,解得13λ=-,则1121353i i p p +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ 又11111,236p p =-=,所以13i p ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项为16,公比为25的等比数列,即11112121,365653i i i i p p --⎛⎫⎛⎫-=⨯=⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【小问3详解】因为1121653i i p -⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =⋅⋅⋅ 所以当*N n ∈时,()122115251263185315nn n n n E Y p p p ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭=+++=⨯+=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦- 故52()11853nnE Y ⎡⎤⎛⎫=-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 22. （1）214y x =+ （2）见解析 【小问1详解】设(,)P x y ,则y =两边同平方化简得214y x =+ 故21:4W y x =+. 【小问2详解】法一:设矩形的三个顶点222111,,,,,444A a a B b b C c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭在W 上,且a b c <<,易知矩形四条边所在直线的斜率均存在,且不为0.则1,AB BC k k a b b c =⋅-+<+,令2240114AB k b a b a b am ⎛⎫+-+ ⎪⎝=+⎭==<- 同理令0BC k b c n =+=>,且1mn =-,则1m n=-设矩形周长为C ,由对称性不妨设||||m n ≥,1BC AB k k c a n m n n-=-=-=+则11||||(((2C AB BC b a c b c a n n ⎛=+=--≥-=+ ⎝.0n >,易知10n n ⎛+> ⎝则令()222111()1,0,()22f x x x x f x x x x x x '⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++>=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 令()0f x '=,解得x =当0,2x ⎛∈ ⎝⎭时,()0f x '<,此时()f x 单调递减当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭,()0f x '>,此时()f x 单调递增则min 27()4f x f ==⎝⎭故122C ≥=,即C ≥当C =时,n m ==,且((b a b a -=-,即m n =时等号成立,矛盾,故C >得证.法二:不妨设,,A B D 在W 上,且BA DA ⊥依题意可设21,4A a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭,易知直线BA ,DA 的斜率均存在且不为0则设BA ,DA 的斜率分别为k 和1k-,由对称性,不妨设1k ≤ 直线AB 的方程为21()4y k x a a =-++则联立22141()4y x y k x a a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩得220x kx ka a -+-=()()222420k ka a k a ∆=--=->,则2k a ≠则||2|AB k a =-同理||2AD a =+||||2|2AB AD k a a ∴+=-1122k a a k k ⎫≥-++≥+=⎪⎭令2k m =,则(]0,1m ∈,设32(1)1()33m f m m m m m+==+++则2221(21)(1)()23m m f m m m m '-+=+-=,令()0'=f m ,解得12m =当10,2m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f m '<,此时()f m 单调递减 当1,2m ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭,()0f m '>,此时()f m 单调递增 则min 127()24f m f ⎛⎫==⎪⎝⎭||||AB AD ∴+≥但12|2|2|2k a a k a a k ⎫-+≥-++⎪⎭,此处取等条件为1k =,与最终取等时k =,故AB AD +>. 法三:为了计算方便,我们将抛物线向下移动14个单位得抛物线2:W y x '=,\矩形ABCD 变换为矩形A B C D '''',则问题等价于矩形A B C D ''''的周长大于设 ()()()222001122,,,,,B t t A t t C t t ''', 根据对称性不妨设 00t ≥.则 1020,A B B C k t t k t t ''''=+=+, 由于 A B B C ''''⊥, 则 ()()10201t t t t ++=-.由于 1020,A B t B C t ''''=-=-, 且 0t 介于 12,t t 之间,则 1020A B B C t t ''''+=--. 令 20tan t t θ+=10πcot ,0,2t t θθ⎛⎫+=-∈ ⎪⎝⎭,则2010tan ,cot t t t t θθ=-=--,从而))002cot tan 2A B B C t t θθ''''+=++-故330022222(cos sin )11sin cos sin cos 2sin cos cos sin sin cos sin cos t A B B C t θθθθθθθθθθθθθθ''''-+⎛⎫+=-++=+ ⎪⎝⎭①当π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时第 21 页 共 21 页332222sin cos sin cos sin cos cos sin A B B C θθθθθθθθ''''++≥=+≥=≥ ②当 ππ,42θ⎛⎫∈⎪⎝⎭ 时,由于102t t t <<,从而000cot tan t t t θθ--<<- 从而0cot tan 22t θθ-<<又00t ≥ 故0tan 02t θ≤<,由此330222(cos sin )sin cos sin cos sin cos t A B B C θθθθθθθθ''''-++=+ 3323222sin (cos sin )(sin cos )sin cos 1cos sin cos sin cos cos sin θθθθθθθθθθθθθθ-+>+=+==2≥≥=当且仅当cos 3θ=时等号成立,故A B B C ''''+>,故矩形周长大于。
数学试题库及答案
数学试题库及答案一、选择题1. 下列哪个选项是最小的正整数？A. 0B. 1C. 2D. 32. 若a > b > 0，下列不等式中哪个是正确的？A. a^2 > b^2B. a + b > b + aC. a/b > b/aD. a^3 > b^3二、填空题3. 若一个数的平方根等于它本身，这个数是______。
4. 一个圆的半径是5，那么它的面积是______。
三、计算题5. 计算下列表达式的值：(1) (-3)^2(2) √(16)6. 解下列方程：(1) 2x + 5 = 11(2) 3x - 7 = 2x + 87. 一个长方体的长、宽、高分别是2米、1.5米和1米，求它的体积。
8. 一个班级有40名学生，其中30名学生喜欢数学，25名学生喜欢英语。
如果一个学生至少喜欢一门学科，求同时喜欢数学和英语的学生数。
五、证明题9. 证明：对于任意实数x和y，(x + y)^2 ≤ 2(x^2 + y^2)。
六、应用题10. 一个工厂生产了1000个产品，其中有10%是次品。
如果工厂决定将所有产品都卖出去，那么至少需要卖出多少个产品才能保证至少卖出一个次品？答案：一、选择题1. B2. D二、填空题3. 0或14. 78.5三、计算题5. (1) 9(2) 46. (1) x = 3(2) x = 57. 体积 = 2 * 1.5 * 1 = 3立方米8. 同时喜欢数学和英语的学生数 = 30 + 25 - 40 = 15五、证明题9. 证明：(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 ≤ x^2 + x^2 + y^2 + y^2 = 2(x^2 + y^2)六、应用题10. 至少需要卖出1000个产品才能保证至少卖出一个次品。
新高三数学测试题及答案
新高三数学测试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 6x + 8，则f(3)的值为：A. -1B. 1C. 9D. 11答案：B2. 已知等差数列{a_n}中，a_1 = 2，公差d = 3，求a_5的值。
A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A3. 圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，圆心坐标为：A. (2, 3)B. (-2, -3)C. (0, 0)D. (3, 2)答案：A4. 函数y = sin(x) + cos(x)的值域为：A. [-1, 1]B. [-√2, √2]C. [0, 2]D. [1, 2]答案：B5. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B =：A. {1}B. {2, 3}C. {3, 4}D. {1, 2, 3}答案：B6. 已知向量a = (3, 4)，b = (-4, 3)，则向量a与向量b的夹角θ满足：A. cosθ = 1/7B. cosθ = -1/7C. cosθ = 7/√50D. cosθ = -7/√50答案：A7. 函数y = x^3 - 3x^2 + 4x的导数y'为：A. 3x^2 - 6x + 4B. x^2 - 3x + 4C. 3x^2 - 6x + 1D. x^2 - 3x + 2答案：A8. 已知复数z = 2 + 3i，求|z|的值。
A. √13B. √19C. √7D. √17答案：A9. 已知双曲线方程为x^2/9 - y^2/16 = 1，求其渐近线方程。
A. y = ±(4/3)xB. y = ±(3/4)xC. y = ±(16/9)xD. y = ±(9/16)x答案：A10. 已知等比数列{b_n}中，b_1 = 2，公比q = 2，求b_4的值。
A. 16B. 32C. 64D. 128答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。
数学试题大全及答案
数学试题大全及答案一、选择题1. 下列哪个选项是整数？A. 3.14B. 5C. -2.7D. 0.5答案：B2. 圆的面积公式是什么？A. A = πr²B. A = 2πrC. A = πrD. A = r²答案：A二、填空题1. 一个数的平方根是它本身的数是______和______。
答案：0, 12. 一个直角三角形的两个直角边分别为3和4，其斜边长度为______。
答案：5三、计算题1. 计算下列表达式的值：(1) 2 + 3 × (4 - 1)(2) (-2)³答案：(1) 2 + 3 × 3 = 2 + 9 = 11(2) (-2)³ = -82. 解下列方程：(1) 2x + 5 = 13(2) 3x - 4 = 14答案：(1) 2x = 13 - 5 = 8x = 8 / 2 = 4(2) 3x = 14 + 4 = 18x = 18 / 3 = 6四、解答题1. 一个长方体的长、宽、高分别为2米、3米和4米，求其体积。
答案：长方体的体积 V = 长× 宽× 高= 2 × 3 × 4 = 24 立方米。
2. 某工厂生产一批零件，合格率为98%，如果生产了1000个零件，求不合格的零件数。
答案：不合格的零件数= 1000 × (1 - 98%) = 1000 × 0.02 = 20 个。
五、应用题1. 某商店购进一批商品，进价为每件100元，标价为每件150元。
如果商店希望获得20%的利润率，那么应该打几折销售？答案：首先计算期望的售价：100 × (1 + 20%) = 120元。
然后计算折扣：120 / 150 = 0.8，即打八折。
2. 一个水池有一个进水管和一个出水管，单独开进水管每小时可以注满水池的1/5，单独开出水管每小时可以放空水池的1/6。
新课标数学试题题库及答案
新课标数学试题题库及答案一、选择题1. 下列哪个选项不是正整数？A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A2. 一个数的平方根是它本身，这个数是：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：B二、填空题1. 圆的周长公式是 __________，其中 \( C \) 表示周长，\( r \) 表示半径。
答案：\( C = 2\pi r \)2. 若 \( a \) 和 \( b \) 是两个连续整数，且 \( a < b \)，则\( a \) 和 \( b \) 的乘积可以表示为 __________。
答案：\( ab = a^2 + a - a \)三、简答题1. 解释什么是勾股定理，并给出一个例子。
答案：勾股定理是指在一个直角三角形中，斜边的平方等于两直角边的平方和。
例如，若一个直角三角形的两直角边分别是3和4，则斜边的长度是5，因为 \( 3^2 + 4^2 = 5^2 \)。
2. 描述如何计算一个数的立方根。
答案：一个数的立方根是指一个数 \( x \)，使得 \( x^3 = a \)。
例如，2的立方根是 \( \sqrt[3]{8} \)，因为 \( 2^3 = 8 \)。
四、计算题1. 计算 \( (-2)^3 \)。
答案：\( (-2)^3 = -8 \)2. 求解方程 \( 2x + 5 = 13 \)。
答案：首先将5移到等式右边，得到 \( 2x = 8 \)，然后除以2，得到 \( x = 4 \)。
五、证明题1. 证明：对于任意实数 \( a \) 和 \( b \)，\( (a + b)^2 = a^2+ 2ab + b^2 \)。
答案：根据平方的定义，\( (a + b)^2 = (a + b)(a + b) \)。
展开后得到 \( a^2 + ab + ab + b^2 \)，合并同类项即为 \( a^2 +2ab + b^2 \)。
六、应用题1. 一个长方体的长、宽、高分别是 \( l \)、\( w \) 和 \( h \)，求它的体积。
2023年高考数学试卷及答案(新课标全国Ⅱ卷)
2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题一、单选题1．在复平面内，对应的点位于（ ）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A解析：，所以该复数对应的点为，位于第一象限.2．设集合，，若，则（ ）．A．2B．1C．D．答案：B解析：观察发现集合A中有元素0，故只需考虑B中的哪个元素是0。
因为，，所以，故或，解得：或1，注意不能保证，故还需代回集合检验，若，则，，不满足，不合题意；若，则，，满足. 故选B.3．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．A．种B．种C．种D．种答案：D解析：应先找到两层中各抽多少人，因为是比例分配的分层抽取，故各层的抽取率都等于总体的抽取率，设初中部抽取x人，则，解得：，所以初中部抽40人，高中部抽20人，故不同的抽样结果共有种.4．若为偶函数，则（ ）．A ．B．0C．D．1答案：B解法1：偶函数可抓住定义来建立方程求参，因为为偶函数，所以，即 ①，而，代入①得：，化简得：，所以.5．已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．A．B．C．D．答案：C解析：如图，观察发现两个三角形有公共的底边AB，故只需分析高的关系，作于点G，于点I，设AB与x轴交于点K，由题意，，所以，由图可知，所以，故，又椭圆的半焦距，所以，从而，故，所以，代入可得，解得：.6．已知函数在区间上单调递增，则a的最小值为（ ）．A．B．e C．D．答案：C解析：的解析式较复杂，不易直接分析单调性，故求导，由题意，，因为在上，所以在上恒成立，即 ①，观察发现参数a容易全分离，故将其分离出来再看，不等式①等价于，令，则，所以在上，又，，所以，故，因为在上恒成立，所以，故a的最小值为.7．已知为锐角，，则（ ）．A．B．C．D．答案：D解析：，此式要开根号，不妨上下同乘以2，将分母化为，所以，故，又为锐角，所以，故.8．记为等比数列的前n项和，若，，则（ ）．A．120B．85C．D．答案：C解法1：观察发现，，，的下标都是2的整数倍，故可考虑片段和性质，先考虑q是否为，若的公比，则，与题意不符，所以，故，，，成等比数列 ①，条件中有，不妨由此设个未知数，设，则，所以，，由①可得，所以，解得：或，若，则，，，所以，故；到此结合选项已可确定选C，另一种情况我也算一下，若，则，而，所以与同号，故，与题意不符；综上所述，m只能取，此时.二、多选题9．已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，AB为底面直径，，，点C在底面圆周上，且二面角为45°，则（ ）．A．该圆锥的体积为B．该圆锥的侧面积为C．D．的面积为答案：AC解析：A项，因为，，所以，，，从而圆锥的体积，故A项正确；B项，圆锥的侧面积，故B项错误；C项，要求AC的长，条件中的二面角还没用，观察发现和都是等腰三角形，故取底边中点即可构造棱的垂线，作出二面角的平面角，取AC中点Q，连接PQ，OQ，因为，，所以，，故即为二面角的平面角，由题意，，所以，故，所以，故C项正确；D项，，所以，故D项错误.10．设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．A．B．C．以MN为直径的圆与l相切D．为等腰三角形答案：AC解析：A项，在中令可得，由题意，抛物线的焦点为，所以，从而，故A项正确；B项，此处可以由直线MN的斜率求得，再代角版焦点弦公式求，但观察发现后续选项可能需要用M，N的坐标，所以直接联立直线与抛物线，用坐标版焦点弦公式来算，设，，将代入消去y整理得：，解得：或3，对应的y分别为和，所以图中，，从而，故B项错误；C项，判断直线与圆的位置关系，只需将圆心到直线的距离d和半径比较，的中点Q到准线的距离，从而以MN为直径的圆与准线l相切，故C项正确；D项，M，N的坐标都有了，算出，即可判断，，，所以，，均不相等，故D项错误.11．若函数既有极大值也有极小值，则（ ）．A．B．C．D．答案：BCD解析：由题意，，函数既有极大值，又有极小值，所以在上有2个变号零点，故方程在上有两个不相等实根，所以，由①可得，故C项正确；由②可得，所以a，c异号，从而，故D项正确；由③可得a，b同号，所以，故B项正确；因为a，c异号，a，b同号，所以b，c异号，从而，故A项错误.12．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率答案：ABD解析：A项，由题意，若采用单次传输方案，则发送1收到1的概率为，发送0收到0的概率为，所以依次发送1，0，1，则依次收到1，0，1的概率为，故A项正确；B项，采用三次传输方案，若发送1，则需独立重复发送3次1，依次收到1，0，1的概率为，故B项正确；C项，采用三次传输方案，由B项的分析过程可知若发送1，则收到1的个数，而译码为1需收2个1，或3个1，所以译码为1的概率为，故C项错误；D项，若采用单次传输方案，则发送0译码为0的概率为；若采用三次传输方案，则发送0等同于发3个0，收到0的个数，且译码为0的概率为，要比较上述两个概率的大小，可作差来看，，因为，所以，从而，故D项正确.三、填空题13．已知向量，满足，，则______．答案：解析：条件涉及两个模的等式，想到把它们平方来看，由题意， ①，又，所以，故，整理得：，代入①可得，即，所以.14．底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为______．答案：28解析：如图，四棱锥与相似，它们的体积之比等于边长之比的立方，故只需求四棱锥的体积，，所以，故所求四棱台的体积，由题意，，所以.15．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值__ ____．答案：2（答案不唯一，也可填或或）解析：如图，设圆心到直线AB的距离为，则，注意到也可用d表示，故先由求d，再将d用m表示，建立关于m的方程，又，所以，由题意，，所以，结合解得：或，又，所以或，解得：或.16．已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则______．答案：解法1：这个条件怎么翻译？可用求A，B横坐标的通解，得到，从而建立方程求，不妨设，令可得或，其中，由图知，，两式作差得：，故，又，所以，解得：，则，再求，由图知是零点，可代入解析式，注意，是增区间上的零点，且的增区间上的零点是，故应按它来求的通解，所以，从而，故，所以.四、解答题17．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．解：（1）如图，因为，所以，（要求，可到中来分析，所给面积怎么用？可以用它求出，从而得到BD）因为D是BC中点，所以，又，所以，由图可知，所以，故，（此时已知两边及夹角，可先用余弦定理求第三边AB，再用正弦定理求角B）在中，由余弦定理，，所以，由正弦定理，，所以，由可知B为锐角，从而，故.（2）（已有关于bc的一个方程，若再建立一个方程，就能求b和c，故把面积和中线都用b，c表示）由题意，，所以 ①，（中线AD怎样用b，c表示？可用向量处理）因为D为BC中点，所以，从而，故，所以，将代入上式化简得②，（我们希望找的是b，c的方程，故由①②消去A，平方相加即可）由①②得，所以③，由可得，所以，结合式③可得.18．已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，．(1)求的通项公式；(2)证明：当时，．解：（1）（给出了两个条件，把它们用和d翻译出来，即可建立方程组求解和d）由题意， ①，②，由①②解得：，，所以.（2）由（1）可得，（要证结论，还需求，由于按奇偶分段，故求也应分奇偶讨论，先考虑n为偶数的情形）当为偶数时，③，因为和分别也构成等差数列，所以，，代入③化简得：，（要由此证，可作差比较）所以，故；（对于n为奇数的情形，可以重复上述计算过程，但更简单的做法是补1项凑成偶数项，再减掉补的那项）当为奇数时，，所以，故；综上所述，当时，总有.19．某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为．假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．(1)当漏诊率％时，求临界值c和误诊率；(2)设函数，当时，求的解析式，并求在区间的最小值．解：（1）（给的是漏诊率，故先看患病者的图，漏诊率为0.5%即小于或等于c的频率为0.5%，可由此求c）由患病者的图可知，这组的频率为，所以c在内，且，解得：；（要求，再来看未患病者的图，是误诊率，也即未患病者判定为阳性（指标大于c）的概率）由未患病者的图可知指标大于97.5的概率为，所以.（2）（包含两个分组，故应分类讨论）当时，，，所以，故 ①；当时，，，所以，故②；所以，且由①②可得.20．如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．(1)证明：；(2)点F满足，求二面角的正弦值．解：（1）（BC和DA是异面直线，要证垂直，需找线面垂直，可用逆推法，假设，注意到条件中还有，所以，二者结合可得到面ADE，故可通过证此线面垂直来证）因为，，所以和是全等的正三角形，故，又E为BC中点，所以，，因为AE，平面ADE，，所以平面ADE，又平面ADE，所以.（2）（由图可猜想面BCD，若能证出这一结果，就能建系处理，故先尝试证明）不妨设，则，因为，所以，故，，所以，故，所以EA，EB，ED两两垂直，以E为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，由可知四边形ADEF是平行四边形，所以，设平面DAB和平面ABF的法向量分别为，，则，令，则，所以是平面DAB的一个法向量，，令，则，所以是平面ABF的一个法向量，从而，故二面角的正弦值为.21．已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为，，过点的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线与交于点P．证明:点在定直线上.解：（1）设双曲线方程为，由焦点坐标可知，则由可得，，双曲线方程为.（2）由(1)可得，设，显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且，与联立可得，且，则，直线的方程为，直线的方程为，联立直线与直线的方程可得：，由可得，即，据此可得点在定直线上运动.【点睛】关键点点睛:求双曲线方程的定直线问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据设而不求的思想，利用韦达定理得到根与系数的关系可以简化运算，是解题的关键.22．（1）证明：当时，；（2）已知函数，若是的极大值点，求a的取值范围．解：（1）构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；构建，则，构建，则对恒成立，则在上单调递增，可得，即对恒成立，则在上单调递增，可得，所以；综上所述：.（2）令，解得，即函数的定义域为，若，则，因为在定义域内单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点，不合题意，所以.当时，令因为，且，所以函数在定义域内为偶函数，由题意可得：，（i）当时，取，，则，由（1）可得，且，所以，即当时，，则在上单调递增，结合偶函数的对称性可知：在上单调递减，所以是的极小值点，不合题意；（ⅱ）当时，取，则，由（1）可得，构建，则，且，则对恒成立，可知在上单调递增，且，所以在内存在唯一的零点，当时，则，且，则，即当时，，则在上单调递减，结合偶函数的对称性可知：在上单调递增，所以是的极大值点，符合题意；综上所述：，即，解得或，故a的取值范围为.。
2024新课标数学考试题及答案
2024新课标数学考试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项是无理数？A. 2B. √2C. 0.5D. 0.33333答案：B2. 函数f(x) = 2x + 3的值域是？A. (-∞, +∞)B. [3, +∞)C. (-∞, 3]D. [0, +∞)答案：A3. 已知一个等差数列的首项为2，公差为3，那么第10项的值是多少？A. 23B. 32C. 29D. 35答案：C4. 一个圆的半径为5，那么它的面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 25答案：C5. 已知一个三角形的三个内角分别为60°、60°和60°，那么这个三角形是什么类型的三角形？A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不规则三角形答案：C6. 计算(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1)的值，当x = 2时。
A. 11B. 9C. 7D. 5答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知一个等比数列的首项为4，公比为2，那么第5项的值是______。
答案：648. 一个二次函数的图像开口向上，顶点坐标为(-1, -4)，那么它的顶点式方程是y = a(x + 1)^2 - 4，其中a的值为______。
答案：19. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，那么斜边的长度是______。
答案：510. 计算sin(45°)的值是______。
答案：√2/2三、解答题（每题10分，共50分）11. 解方程：3x - 5 = 2x + 7。
答案：x = 1212. 已知函数y = 3x^2 - 6x + 2，求它的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(1, -1)13. 计算定积分∫(0 to 1) (2x + 3)dx。
答案：x^2 + 3x | (0 to 1) = (1 + 3) - (0 + 0) = 414. 已知一个圆的直径为10，求它的周长。