高中数学复习选修2-3 2.1.1 离散型随机变量课件[ 高考]
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高中数学复习选修2-3 2.1.1 离散型随机变量课件
2.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是( ) (A)取到产品的件数 (B)取到正品的概率 (C)取到次品的件数 (D)取到次品的概率
【解析】1.选B.B中水沸腾时的温度是一个确定值． 2.选C.A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B,D也是一个定值，而C中 取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
4.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品就停止，抽取次 数为ξ，则ξ=3表示的试验结果是_______． 【解析】ξ=3表示的试验结果是共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品. 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品
1.对随机变量的两点认识 (1)随机变量是用来表示不同试验结果的量,由试验结果和实数之间的对应关 系产生了随机变量,随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果,试验 的结果对应着随机变量的值. (2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达，如投掷 一枚硬币，ξ=0表示正面向上，ξ=1表示反面向上. 2.学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散型随机变量的例子. 3.理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变量.
1.本课重点是随机变量的概念、离散型随机变量的概念. 2.本课难点是对随机变量的概念的理解.
1.随机变量 (1)定义:随着____试__验__结_变果化而变化的变量. (2)表示:随机变量常用字母___,___,X____,Y____表ξ 示. η 2.离散型随机变量 离散型随机变量X的取值特点是：所有可能的取值都能_____________.
一一列举出来
1.是否所有的随机变量的取值均可以一一列出？ 提示：不是. 2.随机变量与函数的区别与联系是什么? 提示：
区别
高中数学新课标人教A版选修2-3 2.1.1离散型随机变量课件
量的所有取值是否可以一一列出．①②④中的 X
可能取的值，可以一一列举出来，而③中的 X 可
以取某一区间内的一切值，属于连续型的故选 B.
第二十页，编辑于星期一：点 二十二分。
3．在一次考试中，某位同学需回答三个问题，考 试规则如下：每题回答正确得 100 分，回答不正确 得－100 分，则这名同学回答这三个问题的总得分 ξ 的所有可能取值是________． 解析：可能有回答全对，两对一错，两错一对，全 错四种结果，相应得分为 300 分，100 分，－100 分，－300 分． 答案：300,100，－100，－300
第三页，编辑于星期一：点 二十二分。
五、教学过程 （一）、复习引入： 1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如 果某事件一定发生，则称为必然事件，记为 U；相 反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件, 记为 φ. 随机试验：为了研究随机现象的统计规律性，我们 把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果 试验具有下述特点：（1）试验可以在相同条件下 重复进行；（2）每次试验的所有可能结果都是明 确可知的，并且不止一个；（3）每次试验之前不 能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机 试验简称试验。
第二页，编辑于星期一：点 二十二分。
二、教学重点：随机变量、离散型随机变量、连 续型随机变量的意义
教学难点：随机变量、离散型随机变量、连续 型随机变量的意义 三、教学方法：讨论交流，探析归纳 四、内容分析：
本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率” 的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习 这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际 问题
（2）令 X 表示取出的 3 件产品中的不合格品数。 则 X 所有可能的取值为 0,1,2，对应着任取 3 件产品所有可能出现的结果。即“X=0”表示 “不含不合格品”； “X=1”表示“恰有 1 件不合格品”；
《离散型随机变量》人教版高中数学选修2-3PPT课件(第2.1.1课时)
解：是离散型随机变量. 因为铁塔为有限个，其编号从1开始可一一列出.
（2）江西九江市水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ. 解：是连续型随机变量. 因为水位在（0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出..
课堂练习
2.选择 （1）抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机实验结果是____.
新知探究
思考
（2）ε，η为希腊字母，读音分别为[ksai]，[i:te].
随机变量和函数有类似的地方吗？
新知探究
知识要点 2.随机变量和函数的相同点
（1）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机实验的结果映为实数，函数把实数映 射为实数;
（2）在这两种映射之间，实验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当 于函数的值域.
新知探究
例题1 任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机实验的结果不具有数 量性质，但仍可以用数量来表示它.通常我们用ε来表示这个随机实验的结果：
ε=0，表示正面向上; ε=1，表示反面向上.
新知探究
知识要点 3.离散型随机变量 如果随机变量X的所有可能值只有有限多个或可列多个（所有值可以一一列出）则称之为离散型 随机变量. 说明：
这就是我们今天要学习的课题 ——离散型随机变量
新知探究
知识要点 1.随机变量
随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X，Y，ε，η，…表示.
新知探究
说明： （1）一般地，一个实验如果满足下列条件： ①实验可以在相同的情形下重复进行； ②实验的所有可能结果是明确可知的，并且不是一个； ③每次实验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次实验之前却不能肯定这次实验会出现 哪一个结果. 这种实验就是一个随机实验，为了方便起见，也简称实验.
（2）江西九江市水位监测站所测水位在（0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ. 解：是连续型随机变量. 因为水位在（0，29]这一范围内变化，对水位值我们不能按一定次序一一列出..
课堂练习
2.选择 （1）抛掷两颗骰子，所得点数之和为ξ，那么ξ=4表示的随机实验结果是____.
新知探究
思考
（2）ε，η为希腊字母，读音分别为[ksai]，[i:te].
随机变量和函数有类似的地方吗？
新知探究
知识要点 2.随机变量和函数的相同点
（1）随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机实验的结果映为实数，函数把实数映 射为实数;
（2）在这两种映射之间，实验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当 于函数的值域.
新知探究
例题1 任意掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上这两种结果，虽然这个随机实验的结果不具有数 量性质，但仍可以用数量来表示它.通常我们用ε来表示这个随机实验的结果：
ε=0，表示正面向上; ε=1，表示反面向上.
新知探究
知识要点 3.离散型随机变量 如果随机变量X的所有可能值只有有限多个或可列多个（所有值可以一一列出）则称之为离散型 随机变量. 说明：
这就是我们今天要学习的课题 ——离散型随机变量
新知探究
知识要点 1.随机变量
随着实验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X，Y，ε，η，…表示.
新知探究
说明： （1）一般地，一个实验如果满足下列条件： ①实验可以在相同的情形下重复进行； ②实验的所有可能结果是明确可知的，并且不是一个； ③每次实验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次实验之前却不能肯定这次实验会出现 哪一个结果. 这种实验就是一个随机实验，为了方便起见，也简称实验.
2014年人教A版选修2-3课件 2.1 离散随机变量及其分布
练习: (课本45页) 第 1、 2 题 .
练习: (课本45页)
1. 下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示? 若能, 请写出各随机变量可能的取值, 并说明这些值所表 示的随机试验的结果. (1) 抛掷两枚骰子, 所得点数之和; (2) 某足球队在 5 次点球中射进的球数; (3) 任意抽取一瓶某种标有 2500 ml 的饮料, 其实际量 与规定量之差. 解: (1) 能用离散型随机变量表示. 随机变量的可能取 值为 X{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}. {X=2} 表示两枚都出现 1 点. {X=3} 表示一枚出现 1 点, 另一枚出现 2 点. {X=4} 表示一枚出现 1 点, 另一枚出现 3 点; 或两枚 都出现 2 点.
2. 什么是离散型随机变量? 变量的取值是 否有一个确定的范围? 每一个取值表示怎样的 一个试验结果?
问题 1. 你能说出下列各试验的结果吗? 各试验 结果是否能用数量表示? (1) 掷一枚骰子; (2) 掷一枚硬币; (3) 测一病人体温.
(1) 掷一枚骰子的试验结果有: 1 点向上, 2 点向上, 3 点向上, 4 点向上, 5 点向上, 6 点向上. 可分别用
出现点数
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6
正面 向上 反面 向上
1
正常 低热 高烧
0 1 2
0
随机变量也是一种映射, 与函数比较, 函数是把 实数映射为实数, 随机变量是把试验结果映射为实数. 试验结果的范围相当于函数的定义域, 随机变量的取 值范围相当于函数的值域.
出现点数
1 2 3 4 5 6
数字 1, 2, 3, 4, 5, 6 表示上面的六个试验结果.
数学：2.1《离散型随机变量及其分布列-离散型随机变量分布列》课件(新人教A版-选修2-3)
P 1 p， P 0 q， 0 p, q 1，
p q 1.
想一想
X 2 5 是两点分布吗? P 0.3 0.7 提示:不是．两点分布的X的取值只能是0,1. 分布列
什么是超几何分布? 先思考一个例子: 思考 1.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,求:(1)取到的次品数 X 的分布列.
例1
甲、乙两人参加一次数学知识竞赛 , 已知在备
选的 10 道试题中 , 甲能答对其中的 6 道试题 , 乙能答
对其中的8道试题．规定每次考试都从备选试题中
随机抽出3题进行测试,答对一题得5分,答错一题得 0分．求: (1)甲答对试题数X的分布列; (2)乙所得分数Y的分布列．
【解】
(1)X 的可能取值为 0,1,2,3. C3 4 1 4 P(X＝0)＝ 3 ＝ ＝ ,2 分 C10 120 30 1 C2 36 3 4C6 P(X＝1)＝ 3 ＝ ＝ 3分 C10 120 10 2 C1 60 1 4C6 P(X＝2)＝ 3 ＝ ＝ ,4 分 C10 120 2 C3 20 1 6 P(X＝3)＝ 3 ＝ ＝ .5 分 C10 120 6 所以甲答对试题数 X 的分布列为 X 0 1 1 3 P 30 10 6分
设摸出的红球的个数为 X k n k CM CN M 则 P( X k ) (k 0,1, 2 , m), m min M , n n CN
C
1分
2 1 2
3 1 6
(2)乙答对试题数可能为 1,2,3,所以乙所得分数 Y＝5,10,15. 1 C2 C 8 1 2 8 P(Y＝5)＝ 3 ＝ ＝ ,9 分 C10 120 15 2 C1 C 56 7 2 8 P(Y＝10)＝ 3 ＝ ＝ ,10 分 C10 120 15 C3 56 7 8 P(Y＝15)＝ 3 ＝ ＝ .11 分 C10 120 15 所以乙所得分数 Y 的分布列为 Y 5 10 15 1 7 7 P 15 15 15 12 分
p q 1.
想一想
X 2 5 是两点分布吗? P 0.3 0.7 提示:不是．两点分布的X的取值只能是0,1. 分布列
什么是超几何分布? 先思考一个例子: 思考 1.在含有 5 件次品的 100 件产品中,任取 3 件,求:(1)取到的次品数 X 的分布列.
例1
甲、乙两人参加一次数学知识竞赛 , 已知在备
选的 10 道试题中 , 甲能答对其中的 6 道试题 , 乙能答
对其中的8道试题．规定每次考试都从备选试题中
随机抽出3题进行测试,答对一题得5分,答错一题得 0分．求: (1)甲答对试题数X的分布列; (2)乙所得分数Y的分布列．
【解】
(1)X 的可能取值为 0,1,2,3. C3 4 1 4 P(X＝0)＝ 3 ＝ ＝ ,2 分 C10 120 30 1 C2 36 3 4C6 P(X＝1)＝ 3 ＝ ＝ 3分 C10 120 10 2 C1 60 1 4C6 P(X＝2)＝ 3 ＝ ＝ ,4 分 C10 120 2 C3 20 1 6 P(X＝3)＝ 3 ＝ ＝ .5 分 C10 120 6 所以甲答对试题数 X 的分布列为 X 0 1 1 3 P 30 10 6分
设摸出的红球的个数为 X k n k CM CN M 则 P( X k ) (k 0,1, 2 , m), m min M , n n CN
C
1分
2 1 2
3 1 6
(2)乙答对试题数可能为 1,2,3,所以乙所得分数 Y＝5,10,15. 1 C2 C 8 1 2 8 P(Y＝5)＝ 3 ＝ ＝ ,9 分 C10 120 15 2 C1 C 56 7 2 8 P(Y＝10)＝ 3 ＝ ＝ ,10 分 C10 120 15 C3 56 7 8 P(Y＝15)＝ 3 ＝ ＝ .11 分 C10 120 15 所以乙所得分数 Y 的分布列为 Y 5 10 15 1 7 7 P 15 15 15 12 分
新人教版选修2—3第2.1.2.节 离散型随机变量的分布列课件
补充练习：
1.在掷骰子试验中，有6种可能结果，如果我们只 关心出现的点数是否小于4，问如何定义随机变量η， 才能使η满足两点分布，并求其分布列．
[解析]
1 η ＝ 0
随机变量 η 可以定义为： 掷出点数小于4 掷出点数不小于4
显然 η 只取 0,1 两个值． 3 1 且 P(η＝1)＝P(掷出点数小于 4)＝6＝2，故 η 的分布列为 η P 0 1 2 1 1 2
[例 2] 袋内有 5 个白球，6 个红球，从中摸出两球，记
0 X＝ 1
两球全红 .求 X 的分布列． 两球非全红
想一想？？
例3：在含有5件次品的100件产品中，任取3件，求： （1）取到的次品数X的分布列； （2）至少取到一件次品的概率.
2.超几何分布列 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取 n件，其中恰有X件次品数，则事件{X＝k} 发生的概率为P(X＝k)＝ ，
2.某班有学生45人，其中O型血的有10人 ， A型血的有12人，B型血的有8人，AB型血 的有15人，现抽1人，其血型是一个随机 变量X， (1)X的可能取值是什么？ (2)X的分布列是什么？
[解析] (1)将四种血型编号：O、A、B、AB 型的编号分 别为 1、2、3、4，则 X 的可能取值为 1、2、3、4.
练习：从某医院的3名医生，2名护士中随机选 派2人参加抗洪抢险救灾，设其中医生的人数 为X，求随机变量X的分布列．
[解析] 依题意可知随机变量 X 服从超几何分布，所以
k 2－k C3 C2 P(X＝k)＝ C2 (k＝0,1,2)． 5 0 2 C3 C2 1 P(X＝0)＝ C2 ＝10＝0.1， 5 1 1 C3 C2 6 P(X＝1)＝ C2 ＝10＝0.6， 5 2 0 C3 C2 3 P(X＝2)＝ C2 ＝10＝0.3(或 P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X 5
人教版高中数学选修2-3课件：2.1 离散型随机变量及其分布列(共52张PPT)
预习探究
[探究] 以下随机变量是离散型随机变
量的是
.
①某部手机一小时内收到短信的次数
ξ;
②电灯泡的寿命ξ; ③某超市一天中的顾客量ξ; ④将一颗骰子掷两次出现的点数之和
ξ.
⑤连续不断地射击,首次命中目标所需
要的射击次数ξ.
④将一颗骰子掷两次出现点数之和ξ的取
值为2,3,…,12,是离散型随机变量;
三维目标
3．情感、态度与价值观 使学生感悟数学与生活的和谐之美，学会合作探讨，体验成功，提 高学习数学的兴趣．
重点难点
[重点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)离散型随机变量的分布列的概念．
[难点] (1)随机变量、离散型随机变量的意义； (2)求简单的离散型随机变量的分布列．
教学建议
例1 指出下列变量中,哪些是随机变量, 哪些不是随机变量,并说明理由. (1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出 现正面向上的次数; (2)投一颗质地均匀的骰子出现的点数 (最上面的数字); (3)某个人的属相随年龄的变化; (4)在标准状况下,水在0℃时结冰.
(3)属相是出生时便确定的,不随年龄的变化 而变化,不是随机变量. (4)标准状况下,水在0℃时结冰是必然事件, 不是随机变量.
P
分别求出随机变量η1=2ξ1,η2=ξ2的分布列.
当ξ取-1与1时,η2=ξ2取相同的值,故η2的分布 列为 η2 0 1 4 9
考点类析
例2 指出下列随机变量是不是离散型 随机变量,并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片(从1号到 10号)中任取1张,被取出的卡片的号数; (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从 中任取3个,其中所含白球的个数; (3)某林场树木最高达30 m,则此林场中 树木的高度; (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与 规定的外径尺寸之差.
高中数学人教A版选修23之 211离散型随机变量
1、盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意 取出3支，其中所含白粉笔的支数ξ；
“ξ＞ 4”表示的试验结果是什么？ 答：是。
一枚骰子掷出的点数可能是1，2，3，4，5，6六 种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4” 就是“ξ=5”。所以，“ξ>4”表示第一枚骰子掷出 的点数为6点，第二枚掷出的点数为1点。
请同学们继续观察
1.此自动装置无故障运转的 时间是一个随机变量。
问题2:某次产品检查,在可能含有次品的 100 件产 品中，任意抽取 4 件，那么其中含有次品可能是: 0件，1件，2件，3件，4件.
即,可能出现的结果可以由: 0, 1, 2, 3, 4 表示.
在上面例子中，随机试验有下列特点: ①试验的所有可能结果可以用一个数来表示； ②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一 次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
下列随机变量中，不是离散型随机
变量的是
（C）
A 某景点一天的游客数 B 某寻呼台一小时内收到的呼叫数
C 水文站观测到的江水水位数 D 某收费站一天内通过的汽车数量
例2：指出下列随机变量是离散型随机变量还 是连续型随机变量：
1、郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50米有一 电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上电线 铁塔的编号ξ；
高中数学人教A版选修 23之 211离散型随机
变量
复习引入：
1、什么是随机事件？什么是基本事件？ 在一定条件下可能发生也可能不发生
的事件，叫做随机事件。试验的每一个可 能的结果称为基本事件。
2、什么是试验？ 凡是对现象或为此而进行的实验，都
称之为试验。
随机试验：
一般地，一个试验如果满足下列条件：
“ξ＞ 4”表示的试验结果是什么？ 答：是。
一枚骰子掷出的点数可能是1，2，3，4，5，6六 种结果之一，由已知得-5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4” 就是“ξ=5”。所以，“ξ>4”表示第一枚骰子掷出 的点数为6点，第二枚掷出的点数为1点。
请同学们继续观察
1.此自动装置无故障运转的 时间是一个随机变量。
问题2:某次产品检查,在可能含有次品的 100 件产 品中，任意抽取 4 件，那么其中含有次品可能是: 0件，1件，2件，3件，4件.
即,可能出现的结果可以由: 0, 1, 2, 3, 4 表示.
在上面例子中，随机试验有下列特点: ①试验的所有可能结果可以用一个数来表示； ②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一 次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
下列随机变量中，不是离散型随机
变量的是
（C）
A 某景点一天的游客数 B 某寻呼台一小时内收到的呼叫数
C 水文站观测到的江水水位数 D 某收费站一天内通过的汽车数量
例2：指出下列随机变量是离散型随机变量还 是连续型随机变量：
1、郑州至武汉的电气化铁道线上，每隔50米有一 电线铁塔，从郑州至武汉的电气化铁道线上电线 铁塔的编号ξ；
高中数学人教A版选修 23之 211离散型随机
变量
复习引入：
1、什么是随机事件？什么是基本事件？ 在一定条件下可能发生也可能不发生
的事件，叫做随机事件。试验的每一个可 能的结果称为基本事件。
2、什么是试验？ 凡是对现象或为此而进行的实验，都
称之为试验。
随机试验：
一般地，一个试验如果满足下列条件：
2.1离散型随机变量课件 (北师大版选修2-3)
[例1]
判断下列各个变量是否是随机变量，若是，
是否是离散型随机变量？ (1)天成书业公司信息台一天接到的咨询电话个数； (2)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一 张，被抽出卡片的号数； (3)某林场的树木最高达30 m，在此林场中任取一棵 树木的高度；
(4)体积为27 cm3的正方体的棱长．
1．随机变量的概念及其表示
(1)定义：随着 试验结果 的不同而变化的变量称为随 机变量． (2)表示：常用字母 X ， Y …等表示． 2．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能 一一列举 出来，
则称X为离散型随机变量．
1．对随机变量的认识 (1)随机变量是用来表示不同试验结果的量． (2)试验结果和实数之间的对应关系产生了随机变量，
否则不是．
1．如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b 是常数且a≠0，那么Y A．不一定是随机变量 ( )
B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量
C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 解析：若X是离散型随机变量，根据函数的性质，则Y 必是离散型随机变量． 答案：D
2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变 量的是 A．取到产品的件数 B．取到正品的概率 ( )
[思路点拨] 判断． 根据随机变量、离散型随机变量的定义
[精解详析]
(1)接到的ห้องสมุดไป่ตู้询电话的个数可能是
0,1,2,3，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量， 并且是离散型随机变量． (2)被抽取的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机 变量的定义，是离散型随机变量．
(3)林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0,30]
限个，或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出．
高二数学选修2-3离散型随机变量及其分布列ppt课件
答：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种
结果之一，由已知得5≤ ≤5 ，也就是说“ ＞4”就是
“ ＝5”．所以，“ ＞4”表示第一枚为6点，第二枚为1
点．
7
思维训练 2:
1.抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第 二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问: (1)“ξ>4”表示的试 验结果是什么？ (2) P (ξ>4)=? 1
①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在 一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。
思考:你能举出一个随机试验的例子吗?并说明该随机试验 的所有可能结果.
2
举例说明 ζ(截塔)
举例1：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数. 若用ξ表示命中的环数，ξ有哪些取值？ ξ可取0环、1环、2环、···、10环,共11种结果
举例2：某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品 的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数.
若用η表示所含次品数，η有哪些取值？ η可取 0件、1件、2件、3件、4件,共5种结果
思考:把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？ 能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？
ζ =0，表示正面向上； ζ =1，表示反面向上 说明：(1)任何一个随机试验的结果都可以进行数量化；
1.将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是( D )
(A)两次出现的点数之和
(B)两次掷出的最大点数
(C)第一次减去第二次的点数差 (D)抛掷的次数
2.某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要 买50只,但不得超过80只.商厦有优惠规定：一次购买小于或等 于50只的不优惠.大于50只的，超出的部分按原价格的7折优惠. 已知水杯原来的价格是每只6元.这个人一次购买水杯的只数ξ 是一个随机变量，那么他所付款η是否也为一个随机变量呢? ξ、η有什么关系呢？
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1.袋中有2个黑球6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量
的是( )
(A)取到的球的个数
(B)取到红球的个数
(C)至少取到一个红球 (D)至少取到一个红球的概率
【解析】选B.A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变
量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．
2.抛掷两颗骰子，所得点数之和记为ξ ，那么ξ =4表示的随机 试验结果是( ) (A)一颗是3点，一颗是1点 (B)两颗都是2点 (C)两颗都是4点 (D)一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点 【解析】选D.A，B中表示的是随机试验的某一种结果，随机变 量均取值4，而D是ξ=4代表的所有试验结果．掌握随机变量的 取值与它对应的随机试验的结果的对应关系是理解随机变量概 念的关键．
5.写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的所取值表 示的随机试验的结果： (1)从标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数 字之和； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数Y.
4.在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取一件，取到次品 就停止，抽取次数为ξ ，则ξ =3表示的试验结果是_______． 【解析】ξ=3表示的试验结果是共抽取3次，前2次均是正品，第3 次是次品. 答案：共抽取3次，前2次均是正品，第3次是次品
1.对随机变量的两点认识 (1)随机变量是用来表示不同试验结果的量,由试验结果和实数 之间的对应关系产生了随机变量,随机变量每取一个确定的值 对应着试验的不同结果,试验的结果对应着随机变量的值. (2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量 来表达，如投掷一枚硬币，ξ =0表示正面向上，ξ =1表示反面 向上.
3.①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X； ②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X； ③测量一批电阻，阻值在950 Ω ～1 200 Ω 之间记为X； ④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X. 其中是离散型随机变量的是( ) (A)①② (B)①③ (C)①④ (D)①②④ 【解析】选A.①②中变量X所有可能取值是可以一一列举出来的， 是离散型随机变量，而③④中的结果不能一一列出，故不是离散 型随机变量．
【典例训练】 1.袋中装有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码， 现在在有放回取出的条件下依次取出两个球，设两个球号码之 和为随机变量ξ ，则ξ 所有可能取值的个数是( ) (A)5 (B)9 (C)10 (D)25
2.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表 示的随机试验的结果． (1)一袋中装有5个同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现 从该袋内随机取出3个球，被取出的球的最大号码数为ξ ； (2)某网站在单位时间内被点击的次数η ．
2.10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是 ()
(A)取到产品的件数 (B)取到正品的概率 (C)取到次品的件数 (D)取到次品的概率
【解析】1.选B.B中水沸腾时的温度是一个确定值． 2.选C.A中取到产品的件数是一个常量不是变量，B,D也是一个 定值，而C中取到次品的件数可能是0,1,2，是随机变量．
4.一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5， 7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ 表示取出的篮球的最 大号码，则ξ =8表示的试验结果有_______种． 【解析】从8个球中选出3个球，其中一个的号码为8，另两个 球是从1，2，3，4，5，6，7中任取两个球．∴共有 C72 21 种． 答案：21
2.一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含 白球的个数为ξ . (1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ 的值． (2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不 加分，且最后结果都加上6分，求最终得分η 的可能取值，并 判定η 是否为离散型随机变量.
【解析】1.选C.从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张， 被取出的号数ξ的可能取值为1，2，3，4，5，故A是离散型随 机变量；连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η的 可能取值为1，2，3，4，5，…，故B是离散型随机变量; 某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ1，其取 值不能够一一列出，故C不是离散型随机变量;电话号码“110” 每分钟被呼叫的次数η1的可能取值为1，2，3，4，5，…，故 D是离散型随机变量，所以答案选C.
【想一想】离散型随机变量的取值是否一定有有限个？若ξ 是 随机变量，η =aξ +b,a,b是常数，则η 也是随机变量吗？ 提示：(1)不一定，如本题1中B选项中射击次数η的取值. (2)是随机变量，因为η是ξ的一次函数.
【规范解答】离散型随机变量的应用 【典例】(12分)某校为学生做校服，规定凡身高不超过160 cm 的学生交校服费80元，凡身高超过160 cm的学生，身高每超出 1 cm，多交5元钱(身高不足1 cm时按1 cm计).若学生应交的校 服费为η ，学生身高用ξ 表示，则η 和ξ 是否为离散型随机变 量？
(2)随机试验的结果的确定性，即每次试验总是恰好出现这些 结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现 哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量 即为随机变量.
【典例训练】 1.下列变量中，不是随机变量的是( ) (A)一射击手射击一次命中的环数 (B)标准状态下，水沸腾时的温度 (C)抛掷两枚骰子，所得点数之和 (D)某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数
2.1.1 离散型随机变量
1.理解随机变量的意义. 2.学会区分离散型与非离散型随机变量,并能举出离散型随机 变量的例子. 3.理解随机变量所表示试验结果的含义,并恰当地定义随机变 量.
1.本课重点是随机变量的概念、离散型随机变量的概念. 2.本课难点是对随机变量的概念的理解.
1.随机变量 (1)定义:随着_试__验__结__果__变化而变化的变量. (2)表示:随机变量常用字母_X__,__Y_,_ξ___,_η___表示. 2.离散型随机变量 离散型随机变量X的取值特点是：所有可能的取值都能 _一__一__列__举__出__来__.
(1)求租车费η 关于行车路程ξ 的关系式； (2)已知某旅客实付租车费38元，而出租汽车实际行驶了15 km， 问出租车在途中因故停车累计最多几分钟？ 【解题设问】(1)租车费η是行车路程ξ的分段函数吗？__不__是__ (2)要求“因故停车累计的时间”，关键要求什么？ __行__车__路_程__ξ__的__值___.
【规范答题】(1)依题意得η=2(ξ-4)+10， 即η=2ξ+2..............................6分 (2)由38=2ξ+2，得ξ=18，................8分 所以5×(18-15)=15．.....................10分 即出租车在途中因故停车累计最多15分钟． ................. ......................12分
离散型随机变量的判断 【技法点拨】
“三步法”判定离散型随机变量 (1)依据具体情境分析变量是否为随机变量. (2)由条件求解随机变量的值域. (3)判断变量的取值能否被一一列举出来,若能，则是离散型随 机变量；否则，不是离散型随机变量.
【典例训练】 1.下列变量中，不是离散型随机变量的是( ) (A)从5张已编号的卡片(从1号到5号)中任取一张，被取出的号 数ξ (B)连续不断射击，首次命中目标所需要的射击次数η (C)某工厂加工的某种钢管内径与规定的内径尺寸之差ξ 1 (D)电话号码“110”每分钟被呼叫的次数η 1
所以η是一个离散型随机变量ห้องสมุดไป่ตู้ .............12分
【阅卷人点拨】通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解 题启示总结如下：(注：此处的①②见规范解答过程)
在求解过程中，若注意不到①处的规定，则在
失 ① 实际解答过程中可能会导致“随机变量ξ”判
断错误，进而导致“随机变量η”判断错误. 分
2.(1)
ξ
0
1
2
3
结果
取得3 个黑球
取得1个白球 取得2个白球
2个黑球
1个黑球
取得3个白球
(2)由题意可得：η=5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为 {0,1,2,3}，∴η对应的各值是：5×0＋6,5×1＋6,5×2＋ 6,5×3＋6.故η的可能取值为6,11,16,21．显然，η为离散型 随机变量．
【规范训练】(12分)(2012·天水高二检测)某城市出租汽车的起 步价为10元，行驶路程不超出4 km，则按10元的标准收租车费. 若行驶路程超出4 km，则按每超出1 km加收2元计费(超出不足 1 km的部分按1 km计)．从这个城市的民航机场到某宾馆的路程 为15 km．某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客，行车路 线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定， 每停车5分钟按1 km路程计费).这位司机一次接送旅客的行车路 程ξ 是一个随机变量，他收旅客的租车费η 也是一个随机变量．
(2)η可取0，1，2，…，n，…． η=i，表示该网站在单位时间内被点击i次，其中i=0，1， 2，…．
【思考】随机变量的一个取值只能对应一个试验结果吗？反之 呢？ 提示：(1)随机变量的一个取值不一定只对应一个试验结果， 如本题2中的“ξ=5”. (2)随机试验的一个结果只能对应随机变量的一个取值.
【解题指导】
【规范解答】由于该校的每一个学生对应唯一的身高，并且取
整数值(不足1 cm时按1 cm计①)，...........4分
因此ξ是一个离散型随机变量...............6分
由题意，得
80 160
160,
5 80
160
,
②........10分