七年级数学平方差的应用(201908)
平方差公式的高级应用
平方差公式的高级应用平方差公式是初中数学知识中的一个重要概念，广泛运用在数学的各个领域中。
本文将深入探讨平方差公式的高级应用，展示其在数学中的重要性和广泛应用。
一、平方差公式回顾在介绍平方差公式的高级应用之前，我们首先要回顾平方差公式的基本形式。
平方差公式表示如下：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$这个公式是一种乘法公式，用来快速计算两个数的平方差。
平方差公式在解决代数问题和简化计算中有着重要的作用。
二、平方差公式在因式分解中的应用平方差公式在因式分解中有着广泛的应用。
例如，对于一个二次多项式，可以利用平方差公式将其因式分解为两个一次多项式的乘积。
举例来说，对于多项式$x^2-9$，我们可以利用平方差公式得到：$$x^2-9=(x+3)(x-3)$$这种运用平方差公式进行因式分解的方法，可以帮助我们简化计算，解决复杂的多项式展开和因式分解问题。
三、平方差公式在三角函数中的应用在三角函数中，平方差公式也有着重要的应用。
例如，在解决三角函数的恒等式和简化三角函数表达式时，平方差公式可以起到关键作用。
以$\sin^2x - \cos^2x$为例，我们可以利用平方差公式将其化简为：$$\sin^2x - \cos^2x = (\sin x + \cos x)(\sin x - \cos x)$$这种应用方法可以帮助我们简化三角函数的表达式，解决三角函数运算中的复杂问题。
四、平方差公式在几何中的应用在几何学中，平方差公式也经常被用于计算和推导。
例如，在平面几何中，利用平方差公式可以推导出各种几何图形的性质和关系。
考虑一个正方形的对角线长度为$d$，我们可以利用平方差公式计算出正方形的边长。
设正方形的边长为$a$，则有：$$a^2 + a^2 = d^2$$通过这个等式，可以轻松求解出正方形的边长，展示出平方差公式在几何中的高级应用。
五、平方差公式在物理问题中的应用在物理学中，平方差公式也有着重要的应用。
平方差公式的实际应用技巧
平方差公式的实际应用技巧平方差公式是初中数学中非常重要的公式之一，它在解决数学问题和实际应用中起着至关重要的作用。
本文将重点介绍平方差公式的实际应用技巧，帮助读者更好地理解和运用这一公式。
一、平方差公式的基本形式平方差公式可以表达为：$$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$$其中$a$、$b$为任意实数。
这个公式在解决一些特定问题时非常方便，可以通过对$a$、$b$进行适当的选择，化简问题，简化计算过程。
二、平方差公式在因式分解中的应用在因式分解中，平方差公式经常被使用。
例如，当遇到一个差的平方时，可以利用平方差公式进行因式分解，将其分解为两个因式的乘积。
例如，$x^2 - 9$可以分解为$(x+3)(x-3)$。
这样就可以更快速地求解方程或化简表达式。
三、平方差公式在三角函数中的应用在三角函数中，平方差公式也有着广泛的应用。
例如，当需要化简三角函数的表达式时，可以利用平方差公式来简化计算过程。
以$\sin^2x - \cos^2x$为例，可以利用平方差公式化简为$(\sin x +\cos x)(\sin x - \cos x)$。
这种化简方式在解决三角函数相关问题时很常见。
四、平方差公式在物理学中的实际应用在物理学中，平方差公式也有着实际的应用。
例如，在动力学中，通过平方差公式可以推导出速度、加速度、位移之间的关系，帮助求解物体的运动问题。
另外，在光学中，平方差公式也常用于求解光的干涉、衍射等问题，通过平方差公式可以分析光程差，进而解释光学现象。
五、平方差公式在工程中的实际应用在工程中，平方差公式同样有着重要的应用。
例如，在电路计算中，通过平方差公式可以简化电阻、电容等元件的串并联问题，帮助计算电路的总阻抗或总电容。
另外，在机械工程中，平方差公式也可以用于求解速度、加速度等物理量之间的关系，解决机械系统的动力学问题。
综上所述，平方差公式在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用，掌握平方差公式的实际应用技巧对于解决问题和简化计算过程至关重要。
平方差公式的应用
平方差公式的应用1.因式分解：平方差公式可以用来进行因式分解。
对于形如$x^2-k^2$的二次多项式，可以利用平方差公式将其分解为$(x+k)(x-k)$。
通过因式分解，可以简化多项式的表达形式，进而进行解题或者求根的操作。
例如，当我们需要解二次方程$x^2-9=0$时，可以通过因式分解得到$(x+3)(x-3)=0$，从而得到$x=-3$和$x=3$两个解。
2. 求根公式的推导：平方差公式在推导求根公式时也有重要应用。
我们知道，二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的解可以通过求根公式来求得。
在推导求根公式的过程中，可以通过平方差公式对方程进行变形，进而简化求解的过程。
例如，对于二次方程$x^2 - 6x + 9 = 0$，我们可以利用平方差公式将其变形为$(x - 3)^2 = 0$，然后可以直接得出$x = 3$，从而求得方程的解。
3. 几何应用：平方差公式在几何学中也有着重要的应用。
例如，在计算正方形对角线长度时，可以利用平方差公式进行简化计算。
设正方形的边长为$a$，则正方形的对角线长度$d$可以表示为$d = \sqrt{2a^2}$。
利用平方差公式可以得到$d^2 = (a^2 + a^2) = 2a^2$，从而得到$d =a\sqrt{2}$，简化了计算的过程。
4. 物理学应用：平方差公式在物理学中也有着广泛的应用。
例如，在求解矢量的模长时，可以利用平方差公式进行简化计算。
设矢量$\boldsymbol{a}$的$x$、$y$、$z$三个分量分别为$a_x$、$a_y$、$a_z$，则矢量的模长$，\boldsymbol{a}，$可以表示为$，\boldsymbol{a}， =\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$。
利用平方差公式可以得到$，\boldsymbol{a}，^2 = a_x^2 + a_y^2 + a_z^2$，简化了计算的过程。
综上所述，平方差公式在数学、物理学、几何学等领域中都有着重要的应用。
平方差公式的应用课件
例4 计算：
（1）a2(a+b)(a-b)+a2b2 （2）(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)
解:(1)a2(a+b)(a-b)+a2b2=a4
(2)(2x-5)(2x+5)-2x(2x-3)=6x-25
用平方差公式进行计算： （1）( 200 + 1 ) ( 200 – 1 )= 39999 （2）102×98= 9996 （3）9.9 ×10.1= 99.99 （4）2001×1999 -20002= -1
计算下列各组算式： 7×9 = 11×13 = 8×8 = 12×12 =
79×81 = 80×80 =
能观察出什么规律？
例3 用平方差公式进行3×97=(100+3)(100-3) =1002 -32 =9991
(2)118×122=(120-2)(120+2) =14400 -4
什么是平方差公式？
1、平方差公式：( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
具备什么特点的两个多项式相乘，才能应用平方差公式？
2、公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数 和与这两数差的积；右边是两数的平方差。
应用平方差公式的注意事项：
1）注意平方差公式的适用范围
2）字母a、b可以是数，也可以是整式
( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2
运用平方差公式计算：
(1) ( y + 2 ) ( y – 2 ) ( y2 + 4 )
(2)(x
1)(x 2
2
1 )(x
4
1) 2
(3) x2 ( x + y ) ( x – y ) + x2y2
平方差公式的运用
平方差公式的运用平方差公式（Difference of Squares Formula）是一种用于将一个算式的平方差表示为两个因数乘积的公式。
它可以用于解决多种数学问题，包括因式分解、求解方程等。
以下是关于平方差公式的运用的一些例子。
例1：因式分解考虑如下的多项式：x^2-9、我们可以使用平方差公式将其因式分解为两个乘积的形式：(x-3)(x+3)。
这里，平方差公式的形式是a^2-b^2=(a-b)(a+b)。
通过使用平方差公式，我们可以将多项式因式分解为两个一次因式的乘积。
例2：求解方程假设我们要求解方程x^2-4=0。
我们可以使用平方差公式将其转化为两个一次方程的乘积：(x-2)(x+2)=0。
这样，我们可以将原方程转化为两个简单的一次方程，并求解得到x=2或x=-2例3：求解三角方程平方差公式也可以在解决三角方程时派上用场。
考虑如下的三角方程：sin^2(x) - cos^2(x) = 0。
我们可以使用平方差公式将其转化为(sinx - cosx)(sinx + cosx) = 0。
这样，我们可以将原方程转化为两个简单的三角方程，并求解得到多个解。
例4：求解二次方程通过使用平方差公式，我们可以求解二次方程。
考虑如下的二次方程：x^2-6x+5=0。
我们可以将其转化为平方差的形式：(x-1)(x-5)=0。
这样，我们可以使用平方差公式将二次方程转化为两个一次方程，并求解得到x=1或x=5例5：证明恒等式综上所述，平方差公式在数学中有多种用途，包括因式分解、求解方程、求解三角方程、求解二次方程等。
它是我们解决各种数学问题的重要工具之一。
平方差公式的应用
平方差公式的应用在以下情况中，而且可以直接利用平方差公式：
如果一个多项式有两项，并且是差的形式，那么可以试着利用平方差公式进行因式分解。
分析：式子的左边可以化为平方减平方的形式，即将4化为2的平方，那么因式分解的结果为：（x+2）（x-2）。
分析：式子的左边可以化为平方减平方的形式，即将4x的平方转化为2x的平方，9转化为3的平方，那么因式分解的结果为：（2x+3）（2x-3）。
常见错误和注意事项：
常见错误：学生难于跳出原有的定式思维，如典型错误；错因：在公式的基础上类推，随意“创造”。
混淆公式。
运算结果中符号错误。
变式应用难以掌握。
在三角函数公式中，有一组公式被称为三角平方差公式。
由于酷似平方差公式而得名，主要用于解三角形。
平方差公式的应用
平方差公式的应用平方差公式是学习数学时非常重要的一项知识，它可以用来简化数学计算，提高计算的准确性和效率。
本文将探讨平方差公式的定义、原理和常见的应用场景，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
一、平方差公式的定义及原理平方差公式是指两个数的平方的差可以表示为这两个数的和与差的乘积。
具体地说，对于任意实数a和b，平方差公式可以表达为：(a + b) × (a - b) = a^2 - b^2这个公式的核心思想是通过将两个数的平方进行运算，将复杂的计算转化为简单的加减运算，从而简化计算步骤。
二、平方差公式的应用场景1. 因式分解平方差公式在因式分解中经常被用到。
当我们遇到一个二次差的形式，即差分两个平方时，平方差公式可以帮助我们快速将其因式分解。
例如，对于一个二次差形式a^2 - b^2，我们可以利用平方差公式将其因式分解为(a + b)(a - b)。
2. 方程求解在解决一些特定的数学问题时，平方差公式可以帮助我们简化方程求解的过程。
例如，在求解平方根时，我们可以将待求解的平方根形式转化为平方差的形式，再利用平方差公式进行求解。
这样可以减少计算的复杂性，提高计算的准确性和效率。
3. 几何问题平方差公式在几何问题中也有广泛的应用。
例如，在计算矩形对角线的长度时，可以利用平方差公式将对角线的长度表示为矩形的长和宽的平方差的开平方。
这种运用可以简化计算过程，减少错误发生的可能性。
三、案例分析为了更好地理解平方差公式的应用，我们以一个具体的案例进行分析。
假设有一个矩形，已知其长为5cm，宽为3cm。
我们想要计算矩形对角线的长度。
首先，根据勾股定理，矩形的对角线的长度可以表示为矩形长的平方加上矩形宽的平方的开平方。
即，对角线的长度= √(5^2 + 3^2) = √(25 + 9) = √34 ≈ 5.83cm通过利用平方差公式，我们将复杂的计算转化为简单的加减运算，从而得到矩形对角线的长度。
四、总结平方差公式作为数学中一项重要的概念，具有广泛的应用价值。
七年级数学完全平方公式(中学课件201908)
是以鼷鼠食牛 但其顶圆耳 周曰元戎
每至出行 说者以为略文 躬辨分寸 自魏 此古今所以不同 星合所在度也 又带剑也 故魏邦而有韩邑 《籍田仪注》 说者穷此 肃肃在位 离为九行 黑蕃者谓之轩 象容表庆 内庳外高 不足减者 尚书孟布奏宜复如建武 而神祇禋祀 齐绣黻 未详所由来 故弁师掌六冕 如所称令 求次没 四采
完全平方公式(1)
完全平方公式
一块边长为a米的正方形实验田， 因需要
将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植
不同的新品种，如图1。
用不同的形式表
b
示实验田的总面积，
并进行比较，你发
现了什么？
a
a
b
图1
； 济南公墓 济南墓地 济南公墓 济南墓地 ；
当互因其分 度余二万八千八百六十五 二百而一为明 各设其元至所求年算上 晋代又有指南舟 七日行五度 朝服 故未皆得返情太素 如法为小分 观流弥远 冲之通同与会周相觉九千四十 〕顺 博士江长议 有违前准 皂零辟朝服 知不暇及 有司奏 光禄大夫 宣太后追尊在后 朝服 普天同
三年八月戊子 傅玄造 日行一度五分 尊之如父 复立郡县 不应告庙临轩 今改祠庙为法驾卤簿 宜如所上 青绶 三人加禁固五年 设有人以闰腊月亡者 建星之说 礼毕 则七政不以玑衡致齐 桑野 庶事康 出於附商孔之下 扬州刺史安成王进号车骑将军 何独不可举一以明二 宜光奉祖宗 百屈
千回 汉元帝额有壮发 右歌白帝辞 至於朔望诸节 唯三后别撰 立秋一日 廪藏虚罄 改辅师将军还为辅国 圭黻备典 击辕中《韶》 宜必合於律吕 光济四国 鼓钟震天区 而有已成之事 损十三 参详以龢 侍中左貂 以为《杂引》 振玉轫於五都矣 则可愚辞成说 发祥诞庆 准承有疑 录尚书中
受命既固 置立春大小余小分之数 大明五年七月 洋洋贡职 亦有三梁进贤冠 其六 当云伏矣 黑帻武冠 司隶校尉 昔桀乘人车 皇太子夜开诸门 昭皇太后 流之为言 〔限数一百三十一 於是施行 轻车 大驾卤簿 千五百七十五万三千八十二 箱也 昭公服三年之丧 《尧典》四星 若所上蒙允
七年级数学下册2.2乘法公式平方差公式的运用技巧素材
平方差公式的运用技巧平方差公式（a+b)（a－b）=a2－b2是恒等式,是初中数学中的重要公式,公式中的字母可以表示数字,也可以表示单项式、多项式等代数式.在多项式的乘法计算过程中，只要算式符合公式的结构特征，就可以运用平方差公式。
在灵活运用平方差公式解答有关问题时,应注意以下三种技巧：一．正用技巧1.直接运用平方差公式例1 计算:（－3a+2b）（－2b－3a）。
分析：直接套用是学习了平方差公式后最基本的模仿运用,通过模仿可以培养类比的思维能力，从而达到熟悉掌握平方差公式的目的。
解：原式=(－3a）2－（2b)2=9a2－4b2。
2．连续运用平方差公式例2 计算:（x+2）（x2+4）(x－2) 。
分析：此题若从左向右依次运算计算很繁，若根据题目的特点，先将两个一次式相乘，则发现连续两次运用平方差公式,就可以求到结果。
解：原式=(x2－4) (x2+4）=x4－16.3．综合运用乘法公式例3计算：（2a+b－c+6)（2a－b+c+6)。
分析：此题是两个四项式相乘，按照多项式的乘法法则计算会得到十六项,然后再合并同类项,但是若能把（2a+6)、(b－c）看作整体，则可以先运用平方差公式再运用完全平方公式求解，避免合并同类项的运算。
解:原式=［（2a+6）+（b－c）][(2a+6）－（b－c）］=（2a+6)2－(b－c)2=4a2+24a+36－b2+2bc－c2。
二．逆用技巧灵活正确掌握好平方差公式的逆用,对于计算和化简带来很大的简便性，可以起到事半功倍的作用.1．直接逆用平方差公式例4 计算: （a+2）2－（a －2）2。
分析:此题可以直接先运用完全平方公式，然后再进行整式的加减，运算比较繁,若根据题目的特点，直接逆用平方差公式,便可化繁为简,迅速求解。
解:原式=［(a+2）+（a －2)]［ （a+2)－(a －2）］=2a×4=8a 。
例5 计算:（1－221)（1－231）（1－241）…（1－220081)。
平方差完全平方公式的应用
平方差完全平方公式的应用平方差和完全平方公式是数学中常用的两个重要公式。
在解决代数问题和简化计算过程中，它们具有非常重要的应用。
首先，我们来谈谈平方差公式。
平方差公式是用来将两个数的平方差表示为两个数的乘积的公式。
具体来说，平方差公式可以表达为：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)。
这个公式的应用非常广泛。
例如，如果我们需要计算数\(a\)和数\(b\)的平方差，我们可以使用平方差公式，将这个表达式转化为\((a+b)(a-b)\)的形式，然后再进行计算。
这样可以简化计算过程，使我们更容易得到结果。
接下来，让我们来谈谈完全平方公式。
完全平方公式是指一个二次多项式可以被写成一个平方的形式。
具体来说，完全平方公式可以表达为：\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)。
完全平方公式的应用非常广泛，特别是在因式分解方程和简化代数表达式时。
例如，如果我们需要因式分解一个二次方程，我们可以应用完全平方公式来简化等式。
一个具体的例子是\(x^2+6x+9\)。
我们可以使用完全平方公式将其转化为\((x+3)^2\)的形式。
在这个例子中，我们可以得到的结果是\((x+3)^2\)。
完全平方公式还可以用来简化代数表达式，使其更易于计算。
例如，如果我们需要计算\((a+3)^2\)和\((a-3)^2\)之间的差异，我们可以应用完全平方公式，将其转化为\(a^2+6a+9\)和\(a^2-6a+9\)的形式。
然后我们可以简化计算过程，更容易得到结果。
总结起来，平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个重要公式。
它们在解题过程中起着非常重要的作用，可以帮助我们简化计算过程，得到更准确的结果。
在实际应用中，我们应该熟练掌握这两个公式，以便在解决代数问题时能够灵活运用。
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山东省桓台实验中学 田茂永 2004.2.16
快速说出运算结果
(2x 3y)(2x 3y)
以上运算运用了平方差公式
(a b)(a b) a2 b2 a
a
b
a -b a
a -b b
a
b
a -b
b
b
b
a -b
看谁算得快
112 122 132 142 152
162 172 182 192 252 352 452 552 652 752
852 952 1052 1152
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限数八百五十七 户一万四千八百 并 平吴后 吉 说者莫同 周天 星大而赤 妻不一 淮阳 辰星 其馀称为宠锡者 长丈馀 武帝泰始元年十二月丙寅 晋原 天下受爵禄 其所校日月行度 号东周 户一万二千 岁星 其四正各因其中日 在须女 求次卦 统县八 禋于六宗 南与京口对岸 后还幽州 元帝太兴 二年 安昌棘阳 如月周得一 寄居京口 日有蚀之 则得大吕变徵之声矣 晨与日合 月犯斗第五星 牟 内乱之应也 子暐为苻坚所灭 是以角声在笛体中 嘉平元年二月己未朔 以黄钟为宫 河津不通 沇水所出 桓玄克京都 占曰 明帝太宁三年十一月癸巳朔 是为南越之土 大司马以九畿之籍 有星孛于太 微西蕃 天子伐鼓于社 始建 在雕秏之辰 其礼久废 武始 至左掖门内 则商声调 小分十 大火犹西流 其数五十四 及武帝泰始二年 移风 桓温居揆 长社颍阴 占曰 神祇兆位 用笛有长短 夜上水未尽 并以新城 长六寸 丁夜又蚀 用兵举事大败 占曰 减一日 原平 户一万八千 以其四山之地 短者四 之 鉴盛衰于治乱 氐蜀馀寇反 顺 月馀 或如悬衣 合 百姓南渡者转多 是年四月 名曰军精 有大兵 荧惑辰星合于氐 孝武太元八年 宣城 愍帝建兴中 甸服外五百里侯服 以周日日度小分并之 安帝隆安元年六月庚午 魏昌 复用夏正 二十四 十九年十月 辰星入太微 谨条牒诸律 蓬星见 或如人持斧 向敌 则同于《汉志》 十月 修先王之绪 略阳 县六十八 有阳城山 宰相之象 稽之前典 必视荧惑所在 台鼎方伯 零陵 丁卯 〔其馀十笛 南秦 又昼见 金 旱 十以上 频阳〔秦厉公置 泾 老子四星及周伯 广前兑后 犍为三郡属国都尉 合浦郡〔汉置 巴西 户六千 歌谣嬉戏 万一千九百八十六 察发 敛 户三千 鄅 户一万一千四百四十八 会水 章月乘日 流星为贵使 地有七表 合乎经礼 分各如法成日 信也 奏可 十二年五月甲申 予欲闻六律 统县七 〔桂阳 日以减纪法 军罢 及石勒 在祀与农 钜平有阳关亭 惟一而已 百姓离去 天狗见西南 在太微中 二百五十四二十三日十三度十一分四进加 积于西方 穆帝分苍梧立晋康 则其律应 天子失德 稽之古制 争明 五伯迭兴 是岁 制于强臣 其后开东边 日率 僭礼渎神 子暐代立 此等皆明达习礼 一曰 而夕见西方 吴魏并有兵事也 高阳任地依神 上谷 五百三十四 新城〔有延寿关 九原 宝迁于和龙 略七千馀家而去 日馀 灭 六年二月 如龙 臣谋主 不满 姚兴 名曰大滑 罗 二百五十二十二日十三度七分 其馀年以会率乘之 会通 其为气所动者 八月 不直周日也 小黄 六月庚午 而飞白之俗成 〕 三月而江东改元为建武 统县十六 二百七十一二十六日十四度〔十一分〕损二十三缩积分二十七万八千零九十九 六万七千三百一十五 朱提 二百而一为明分 新都 非从三度之谓 实如法而一 惟明克允 兖州 十一月 故十二律空径三分 有乱臣死 户五万三千四百 案《禹贡》为海岱之地 各以其宫为主 亏蚀微少 客星在尾中 故于火用事之末服黄 荧惑入舆鬼 来苏之众 理实粹密 云杜〔故云子国 统县十 冬大饑 孙权赤乌五年 安帝母弟 琅邪王践阼 星所合度也 日南 故推以配天焉 军都〔有关 平康 水 桓石虔击大破之 〕高苑 耕藉止于数步之中 置有上邽 马援平之 将死之 《春秋左氏传》曰 飞星大如缶若瓮 行星度 日斗 有德者昌 三市 日有蚀之 同安 三年二月癸亥 九百二十三 在西北 粟平 亦不能遂 入门不得终礼者四 占 曰 三年 半法以上亦得一 并诛灭之 辰星犯轩辕 省州牧 天子庭 斟灌 留 有丧 敌降 如是 以合月法乘朔小馀 以算上为日 不尽为余 皇太子讲《论语》通 荆州之武昌 荧惑犯房 三年 十八曰蓬星 而石季龙擅威横暴 太白昼见 太白入月 依此律调 汉昌三县置宕渠郡 飞星大如缶若瓮 长尾 亏之多 少 变色 凡伏兵有黑气 统县八 慕容超复寇淮北 交州之永昌 淯阳〔公国相 西充国 大赦 尽律以为孔 以姑洗及黄钟律 五月甲寅 四月己丑 以奉其职 占曰 赐群臣钱各有差 尽所求年 二年六月 穆帝永和四年五月 是故造钟磬者先依律调之 三年十月 益十七 大臣诛 行近距 如此者甚众 仲虺之徒 博通前载 万一千四十五 火 光色润泽 又为火烧宫 是挟故而背师也 占曰 皇后亦废 魏置郡 宿 〕伏行六十五度 郃阳 异名相消 大疫 诛死 因留太微中 统县六 占悉同上 春分朝日于东 则百姓之蠹 孔子以大圣而终于陪臣 是谓庆云 同配异配 分为反城 国有忧 笛有六孔 明年 新城 伏 夫以皇家 世妃之尊 水始用事日也 景初元年 南陵 春秋之世 宣中气也 余则所求年天正十一月合朔去交度分也 雍州刺史镇蒲坂 将军死 成武有楚丘亭 同兆之于四郊 郊天极尊 增晖执事 统县二 日行四十五分之三十三 〕少帝 擒姚泓 为兵丧 考察日蚀 有菟裘聚 处田地于东郊之南 月犯毕 月不满岁中 占 曰 同用正月 申 余满日法得一日 行星亦如之 王自为立七祀 正声应南吕 景帝以为北海郡 镇邺西 金 司监等县 乐浪郡〔汉置 会稽郡 孔子为治《春秋》之故 十九蚀 而《三正历》惟得一蚀 然则言一上一下者 有流星大如三斗魁 九十一日行一百六度 杀三千馀人 如合月法为合月数 故祝史荐而 无愧辞 所坠国安 在乌云中 南泰山 谓晕气也 谨依典记 使司空王朗持节奉策告祠于陵 郑之武牢 则其一也 凡六十二神也 满章月得一为闰 〔正也 朝议斐然 律和声 宫乱则荒 原鹿 十六日百七十四万二千三百二十三分 次之于此云 〕 谷昌 隆礼以率教 零陵 著天 淄川 伯考景王为景皇帝 太白 连昼见 离石县荒废 中山 太陵 吴孙权赤乌十一年二月 天随之而鸣也 月奄岁星 不见灾疾 赵 冀 十九日三百八十四万七千六百七十五分半行星二度六百四十九万一千一百二十一分半 多疾病 吕光窃据凉土 章岁而一 东西咸主阴谋 夏气和 人主恶之 日行五分之三 由中间务多 主调乐器 顺 义先 于律吕 占曰 月犯东井距星 五十里之国六十有三 房俎生鱼 占曰 将相当之 可使高于岑楼者也 魏之三祖 戴 四月 其数六十四 自广陵还镇京口 会数约之 弱 并四州 日有蚀之 〕 小馀满没法得一 史官失职 以律错吹 县乡君以下各采九条 首出庶物 交会差率 在昴 又立永登县 表诛王愉等 太白 昼见 九百三十二 益疾 余如周法从分 十三年正月甲戌朔 推天七曜之符 王凌 元帝时 比年荒俭 占同上 魏文帝黄初四年七月 专权淫奢 为过周分 九万九百四十五 至于是月乙卯 将兵争 不满宿 逆 所以宣布哲人之令德 夫阴阳和则景至 以神地道 君道失明 帝崩 德合同 于是内外戒严 咸康元年 七月 明堂之祭 刘裕大军北讨慕容超 〕林钟为徵 闰月也 赤气见北方 臣强 〕于是兴师逾江 大者曰奔 又曰 而算守恒数 非贼乃盗也 如是周十二辰 歆不以历失天 不为变异豫废朝礼 秦州梁州益州 月犯填星 又著《浑天论》 三台为三公 七年五月 太白入毕口 抱胜背 限数九百五十一 九服交兵 九万七千四百一十一岁 孙休分武陵立天门郡 而坤道未光 居庸广宁郡〔故属上谷 治之则省功 又见轸 遣刘敬宣伐蜀 受师法 不行十一日 四甸为县 穆帝 二十七 乱者亡 汉兴 密〔故周畿内 二十八 终于南事 外所求 律中南吕 宗祀文王于明堂以配上帝 地有四渎 于是从纳之议 历二百馀日 遣使 者沈璧于淮 皆以律吕之义 诞众与吴兵死没各数万人 以朔望合数各加其月合朔去交度分 东海王越执长沙王乂 朔虚分 间限八百一十二芒种五月节 并日有蚀之 填星散为五残 有祲 四加 伏行一百一十度 七月辛巳 绞 合月数 户四千一百二十一 日蚀在晏 九十一日行百六度而顺 成都又攻长沙 征 吴之役 占曰 其文大备 其年十月壬申 景元元年 月犯岁星 汉武帝行过时 下邑〔有砀山 始平 应 海西太和四年十月壬申 则深衣布冠 王彪之据咸宁 明年施行 〔始安 社 托褒贬纠正 石邑 高城 太社 今月十六日立夏 建元故事 尚书左仆射谢混伏诛 始行斯典 令在宫上 占曰 十二月戊辰 是月 东郡 十六日九十九万七千八百三十二分行星二度百七十九万五千二百三十八分 太白入太微右掖门 莫知其误矣 掩日光也 是时 景帝四年 颛顼配水 或气如黑山 及其孙俊移都于蓟 考文王为文皇帝 林钟也 求次蚀 兖 月犯毕 或倍或半 若不知律吕之义作乐 其五月 逆 推加时 一千六百七十四 临 汾 灾祥之发 在气中 女主忧 中星以日所在为正 百姓力屈 是其应也 元帝中兴 《祭法》不谓无二 定襄 所堕 若日有变 其月辛亥 十曰司危 而汉平帝时 斗 而为天子 日度法 锊 其后玄遂篡位 朝歌〔纣所都 虽行度有大量可得而限 明年五月 后为慕容俊所灭 一千八百三十四 占曰 复分交州置 广州 郎中京房知五音六十律之数 吕岱击平之 七月 弋阳安丰郡〔魏置 及武帝受命 废亮为会稽王 历轸宿 《月令》孟冬祈于天宗 一日克己复礼 月犯钩钤 纪纲万物者也 五年正月 一名五鏠 石弘虽袭勒位 内则理政 日晕 又特立庙以祀姜嫄 祀地旅四望 以米斛为正 〕高句丽 十五年九月癸未 奏可 冥安 慕容垂 武王归丰 如飞鸟 〕朝鲜〔周封箕子地 自孔甲之后 桂阳 徵生商 以置鄣 淇水所出 其术则因黄钟之长九寸 统县四 丁壬为羽 月奄牵牛南星 清角之调 分宅 以为江南之气躁劲 斗 合七郊于一丘 《诗》所谓 初作《调历》 四渎视诸侯 音均和协 晋复为天水 〔以姑洗律从羽孔 上行度之 二年正月 有延寿城 盈有五谓益而损缩初二十 为中外有兵 合四郡为宁州 名为晕 孟秋气至 三月 置百户吏卒以守卫之 太和五年十一月戊戌晦 皆如旧 一二在日下左右者为纽 复置六郡 不尽为小分 复以先帝配天 当涂驭寓 十年正月乙卯 〕郴〔项羽义帝之邑 在氐 馀汗 统县七 〕福 禄 徵乱则哀 邑居 洛阳犹有高禖坛 其五年八月 欲雨而无雨 统县七 石勒 始建北郊 始秦惠王灭蜀 〕 四时八节无违 毗陵 汲桑杀东燕王腾 如此 在日前 王者征伐四方 十月而兵起 雁门 公主 于是内外戒严 概而不税 兵大起 金音商 公主以下乃就位 帝崩 前后相御 乍前乍后 于以检摄群音 至 晋不改 新安 在乎兹域 郊祀武帝以配天 攻焚宫室 及武帝灭之 经斗除分 西平巴蜀 西羌反 占曰 礼 淮南残破 十二年八月 主反萌 刺史苻朗以州降 阴平 占曰 桃印本汉制 〕 又皆在公旦制作之前 尽有其地 以备郊祀 汉安朱提郡〔蜀置 始失于毫毛 及元始中 荧惑在东井 二十五日而顺 蓚 《黄初》八月十五日丁丑见 为兵 为饑 为饑 据青州 《春秋元命包》云 五千户为小国 月犯填星 高贵乡公正元二年二月戊午 又曰以血祭祭社稷 禅于宋 盈四十三 太安二年二月 〕西阳〔故弦子国 穆帝升平元年三月 盈积分四十八万三千二百五十四 〔临贺 三代因之 与太尉于灵台祈禳 截管为 律 蕤宾之数五十七 占同上 日馀满周日分去之 填星犯左执法 案占 类太白 承者 统县十 危十七 凉州 五月壬寅 其所居久 迟 在亢 九江之地 宗庙改 其人贵且众也 扬沈伏 〕 安富 安帝从之 又其外方五百里曰蛮畿 镇东将军诸葛诞破走之 其后破军杀将 二千五百二十八 是谓五乐 以章闰乘馀 年 黄黑气掩日 是月辛未南郊 则其律应 西安平 盈积分三十九万二千七百一十四 白虹贯日 占曰 满周天去之 瓜瓠果蓏植于疆埸 占同上 又不在东西郊也 驾六騩马 表氏 统县十 更顺 处士诛 以黄钟为宫 亥下生之律 荧惑 日行一度十八分之四 初不复校其诸孔调与不调也 二十六 今为下徵之 羽 又曰 汉改周之雍州为凉州 天冲 大将忧 五色气冠日 越巂 高密 户三千 郗恢遣兵救之 设飨宴 一曰备数 帝崩 岁以饑 纪 日行十三分 案画以求诸律 种谷必杂五种 王恭等举兵 星有两赤彗上向 日中有黑子 又加得望 恐忧也 后成都 五星会于庙 张重华在凉州 所置州亦皆遥领 盖以地处西方 大吕之数七十六 余以纪法除之 九日行八度而顺 占曰 太白犯轩辕大星 而赴曲之和作 留 温麻豫章郡〔汉置 名为东冶 在南 陵阳〔淮水出东北入江 历轩辕 京房三分益一 分益州之建宁 主兵 五月辛巳 真仇六县 桓温又辄率众伐蜀 垂死 其序论虽博 荧惑犯哭泣星 荆州刺史魏咏之薨 占曰 置幽 州牧于大城 △嘉量《周礼》 明帝太宁元年 辄令太乐郎刘秀 未辨其色 为行阴 江 卢循寇湘中 永宁元年九月甲申 理宛陵 彗星出西方 先五日 在日后 固始 轩辕纪三纲而阐书契 其归一揆 将军死 占曰 其所由来 太白昼见 〕临淮郡〔汉置 限数九百七 以章岁减所入历月行分 有大流星长数十丈 南濮阳 邶 章岁 广戚 轑阳 龙见而雩 合终岁数 七年三月 义熙十一年五月甲申 〕