第3讲--数学模型应用题

第三讲：数学模型应用问题（讲义）

一、知识点睛

应用题的处理流程

1.理解题意，辨识类型

类型需要考虑：

①所属的数学模型（方程不等式问题、函数问题、测量问题）；

②实际生活的背景（工程问题、行程问题、经济问题）．

2.梳理信息，建立模型

围绕关键词、隐含的数学关系，通过列表或画线段图等方式，对信息分类整理，据此建立数学模型．

常见关键词：

①共需、同时、刚好、恰好、相同……，考虑方程；

②不超过、不多于、少于、至少……，考虑不等式（组）；

③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值……，考

虑函数（一次函数、二次函数），根据函数性质求取最值．隐含的数学关系：

①原材料供应型（使用量≤供应量）

②容器容量型（载重量≥货物量）

3.求解验证，回归实际

①结果是否符合题目要求；

②结果是否符合实际意义．

1. 2.

3.某地一经济适用房楼盘一楼是商铺（暂不出售），二楼至二十

三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为2 000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为80平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：

方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．

方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）．

（1）请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式．

（2）王老师已筹到60 000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？

（3）有人建议王老师使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为王老师的说法一定正确吗？请通过计算确定a的范围，并阐明你的看法．

4.某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100

万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．如果售价为每件25元，每年可卖出15万件；如果售价超过25元但不超过30元，每件商品的售价每上涨1元，则每年少卖1万件；如果售价超过30元后，若再涨价，则每涨1元每年少卖0.5万件．设每件商品的售价为x元（x是整数），该产品的年销售量为y（万件）．（1）求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围．

（2）经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间（可以取到25元、35元）较为合理．

（年获利=年销售收入-生产成本-投资成本）

①求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之

间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？

②第二年，该公司决定给希望工程捐款Z万元，该项捐款由两

部分组成：一部分为10万元的固定捐款；另一部分则为每销售一件产品，就抽出一元钱作为捐款．若除去第一年的最大利润（或最小亏损）以及第二年的捐款后，到第二年年底，两年的总盈利不低于67.5万元，请你确定此时销售单价的范围．

【参考答案】

1．（1）应安排40人生产帆布，70人生产撑杆，才能确保同时

完成各自的生产任务；

（2）这100顶帐篷最多能安置760名灾民．

2．（1）大货车8辆，小货车10辆；

（2）701155008W a a =+≤≤（）；

（3）总运费最少的货车调配方案：

最少的运费为11 900元．

3．（1）201840 28 401680 923 x x x y x x x ?+?=?+??

≤≤≤≤（，为整数）

（，为整数）

（2）他可以购买二至二十层的任何一层商品房．

（3）王老师的说法不一定正确，

当464

015a <<时，王老师的说法正确，

当464

15a ≥时，王老师的说法不正确．

4.（1）402530250.5 3050x x x y x x x -?=?-

（，且为整数）

（2）22+60925 25301

35625 30352x x x x

W x x x x ?--?=?-+-

（，且为整数）

投资的第一年，该公司亏损，最少亏损12.5万元．

（3）此时销售单价x （元）的范围是3035x ≤≤．

数学模型应用题（一）

1.“亚洲足球俱乐部冠军联赛”期间，河南球迷一行56人从旅馆乘车到天河球场为广州恒大加油．现有A，B两个车队，A队比B 队少3辆车．若全部安排乘A队的车，每辆坐5人，车不够，每辆坐6人，有的车未坐满；若全部安排乘B队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有的车未坐满．则A队有( )辆车．

A.11

B.10

C.8

D.9

2.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．考虑到自行车需求不断增加，某商城准备投入3万元购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．该商城的进货方案共有( )种．

A.8

B.6

C.4

D.3

3.某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40名学生和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30名学生和20件行李．如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，则最省钱的租车方案是( )

A.甲5辆，乙3辆

B.甲6辆，乙2辆

C.甲4辆，乙4辆

D.甲7辆，乙1辆

4.某项工程在招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元．工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：

（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；

（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；

（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做，也正好如期完成．在不耽误工期的前提下，最省钱的施工方案为( )

A.方案（1）

B.方案（2）

C.方案（3）

D.不能确定

5.某园林的门票每张10元，一次性使用．考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买个人年票”的售票方法（个人年票从购买日起，可供持票者使用一年）．年票分A，B，C三类，A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再购买门票；B类年票每张60元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元．则一年中进入该园林至少( )次时，购买A类年票最合算．

A.10

B.27

C.30

D.40

6.某中学需720套单人课桌椅，光明厂承担了这项生产任务．该厂生产桌子必须5人一组，每组每天可生产12张；生产椅子必须4人一组，每组每天可生产24把．已知学校要求光明厂6天完成这项生产任务．现学校要求至少提前1天完成这项生产任务，光明厂目前有生产课桌椅的员工84名，求分配员工生产课桌椅的方

案．若设生产桌子的员工有x人，则根据题意，下列不等式（组）正确的是( )

A. B.

C. D.

7.某通讯公司提供了两种移动电话收费方式．

方式一：收月基本费20元，再以每分钟0.1元的价格按通话时间计费；

方式二：收月基本费20元，送80分钟通话时间，超过80分钟的部分，以每分钟0.15元的价格计费．

下列结论：

①如图描述的是方式一的收费方法；

②若月通话时间少于240分钟，则选择方式二更省钱；

③若月通讯费为50元，则方式一比方式二的通话时间多．

④若方式一比方式二的通讯费多10元，则方式一比方式二的通话时间多100分钟．

其中正确的是( )

A.①②

B.③④

C.①②③

D.①②③④

数学模型应用题（二）

1.某宾馆有二人间，三人间，四人间三种客房供游客租住，一旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，若每个房间都住满，则租房方案共有( )种．

A.4

B.3

C.2

D.1

2.学生问老师：“您今年多大？”老师幽默地说：“我像你这样大时，你才3岁，你到我这么大时我已经39岁了．”则今年老师和学生的年龄各为多少？( )

A.27，15

B.25，13

C.30，12

D.28，14

3.某种产品按质量分为10个档次，生产最低档次产品，每件获利8元，每提高一个档次，每件产品利润增加2元．用同样工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将减少3件．如果获利最大的产品是第k档次（最低档次为第一档次，档次依次随质量增加），那么k的值为( )

A.5

B.7

C.9

D.10

4.某市在道路改造过程中，需要铺设一条长为1000米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队每天铺设70米，乙工程队每天铺设50米．设分配给甲工程队的工程量为x 米，如果要求完成该项工程的工期（完成工程的工期为整数）不超过10天，求为两工程队分配工程量的方案有几种．根据题意，所列不等式（组）正确的是( )（工程队分配工程量为100米的整数倍）．

A. B. C. D.

5.学校总务处计划为预定参加“教研活动”的出席者每人准备15个果子，所以购买了19箱，每箱装20个．按照这样准备的果子数，分完后余下几个，但如果每位出席者都多分1个，就不够了．后来比预定出席的多来了6人，为保证每位出席者能分到15个果子，总务处又购进了4箱果子，那么实际参加活动的有( )人．

A.31

B.24或25

C.30或31

D.30

6.在一条直线上依次有A，B，C三个港口，甲、乙两船分别从A，B港口同时出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港．设甲、乙两船行驶x（h）后，与B港的距离分别为，已知

与x之间的函数关系如图所示，若两船的距离不超过10km时能够相互望见，则甲、乙两船可以相互望见的x的取值范围是( )

A. B. C. D.

7.某企业为了适应市场经济的需要，决定进行人员结构调整，该企业现有生产性行业人员100人，平均每人全年可创造产值a元．现欲从中分流出x人去从事服务性行业，假设分流后，继续从事生产性行业的人员平均每人全年创造产值可增加20%，而分流从事服务性行业的人员平均每人全年可创造产值 3.5a 元．如果要保证分流后，该厂生产性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业的全年总产值，而服务性行业的全年总产值不少于分流前生产性行业全年总产值的一半，则分流后从事服务性行业的人数为( )

A.13或14

B.14或15

C.15或16

D.16或17

数学模型应用题（三）（辨识模型）

1.某商场计划购进冰箱、彩电进行销售，相关信息如下表：

已知商场用80 000元购进冰箱的数量与用64 000元购进彩电的数量相等．（1）表中a的值为( )

A.1600

B.2000

C.2500

D.2400

2.（上接第1题）（2）为满足市场需求，商场决定用不超过9万元采购冰箱、彩电共50台，且冰箱的数量不少于彩电数量的，则该商场有( )种进货方案．

A.2

B.3

C.4

D.5

3.（上接第1，2题）（3）在（2）的条件下，若该商场将购进的冰箱、彩电全部售出，获得的利润为W元，则W的最大值为( )

A.22300

B.22400

C.22500

D.25000

4.某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3 000元，已知绿茶每千克的成本为50元，在第一个月的试销时间内发现，月销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体变化规律如下表所示：

（1）根据上表分析，w与x之间的函数关系式为( )

A. B. C. D.

5.（上接第4题）（2）设该鸀茶的月销售利润为y（元）（销售利润=售价×销售量-成本-投资），则y与x之间的函数关系式为_______，当x=_______时，y的值最大，最大值为________．( ) A.，85，2450 B.，85，3550 C.，85，550

D.，85，-550

6.（上接第4，5题）（3）若在第一个月里，按使销售利润最大的销售单价进行销售，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元/千克，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1 700元，那么第二个月里应该确定销售单价为( )元．

A.85

B.75

C.75或95

D.95

数学模型应用题（四）（辨识模型）

1.某校九年级举行英语演讲比赛，派了两位老师去学校附近的超市购买笔记本作为奖品．经了解得知，该超市的A，B两种笔记本的单价分别是12元和8元，他们准备购买两种笔记本共30本．（1）如果他们计划用300元购买奖品，且钱恰好花完，那么可行的购买方案是( )

A.购买A种，B种各15本

B.购买A种10本，B种20本

C.购买A种20本，B种10本

D.购买A种5本，B种25本

2.（上接第1题）（2）两位老师根据演讲比赛的设奖情况，决定所购买的A种笔记本的数量要少于B种笔记本数量的，但又不少于B种笔记本数量的．若设他们购买A种笔记本n本，购买这两种笔记本共花费W元，则W与n之间的函数关系式为( )（写出自变量的取值范围）

A.

B.

C.

D.

3.（上接第1，2题）（3）在（2）的条件下，W的最小值为( )

A.270

B.272

C.288

D.560

4.某商店决定购进A，B两种纪念品，已知购进A种纪念品10件，B种纪念品5件，需要1 200元；购进A种纪念品4件，B种纪念品3件，需要640元．

（1）购进A，B两种纪念品每件分别需要多少元？( )

A.A种160元，B种40元

B.A种80元，B种80元

C.A种100元，B种40元

D.A种40元，B种160元

5.（上接第4题）（2）若该商店决定舀出1万元全部用来购进这两种纪念品，考虑到市场需求，要求购进A种纪念品的数量多于B种纪念品数量的6倍，且不超过B种纪念品数量的8倍，则该商店共有( )种进货方案．

A.4

B.5

C.15

D.16

6.（上接第4，5题）（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，则在（2）中的各种进货方案中，获利最大的方案为_____，最大利润为____元．( ) A.购进A种21件，B种166件；3950 B.购进A种166件，B 种21件；3950 C.购进A种24件，B种154件；3800 D.购

进A种154件，B种24件；3800

数学模型应用题（五）（理解题意）

1.某市王家河流域综合治理工程已正式启动，其中某项工程，若由甲、乙两建筑队合做，6个月可以完成，若由甲、乙两队独做，甲队比乙队少用5个月的时间完成．

（1）甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多长时间？( ) A.10个月，15个月 B.2个月，7个月

C.15个月，20个月

D.5个月，10个月

2.（上接第1题）已知甲队每月的施工费用为15万元，比乙队多6万元，按要求该工程的总费用不超过141万元，且工程必须在一年内竣工（包含12个月）．为了确保经费和工期，采取甲队做a个月，乙队做b个月（a，b均为正整数）分工合作的方式施工，则完成这项工程的总费用最少为( )万元．

A.141

B.140

C.139

D.138

3.某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元；若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．（1）购进甲、乙两种钢笔每支分别需要多少元？( )

A.8，4

B.4，8

C.5，10

D.10，5

4.（上接第3题）若该文具店准备舀出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有( )种进货方案．

A.4

B.5

C.6

D.7

5.（上接第3，4题）若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，则在（2）的条件下，该文具店可获得的最大利润为( )元．

A.375

B.376

C.379

D.380

数学模型应用题（六）（理解题意）

1.在“十一”期间，某公司组织318名员工外出旅游，旅行社承诺每辆车安排有一名随团导游，并为此次旅行安排8名导游，现打算同时租用甲、乙两种客车，其中甲种客车每辆载客45人，乙种客车每辆载客30人．（1）旅行社的租车方案有( )

A.1种

B.2种

C.3种

D.4种

2.（上接第1题）（2）若甲种客车租金为800元/辆，乙种客车租金为600元/辆，则在租车方案中最少的租金为( )

A.5800元

B.6000元

C.6200元

D.3400元

3.（上接第1，2题）（3）旅行前，一名导游由于有特殊情况，旅行社只能安排7名导游随团导游，为保证所租的每辆车安排有一名导游，租车方案调整为：同时租65座、45座和30座的大小三种客车，出发时，所租的三种客车恰好坐满，则旅行社的租车方案是( )

A.65座的1辆，45座的5辆，30座的1辆

B.65座的2辆，45座的3辆，30座的2辆

C.65座的3辆，45座的1辆，30座的3辆

D.65座的1辆，45座的4辆，30座的2辆

4.学校6名教师和234名学生集体外出活动，准备租用45座大车或30座小车．若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元；若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元．

（1）大车每辆的租车费是___元，小车每辆的租车费是___元．

A.400，300

B.300，400

C.450，200

D.200，400

5.（上接第4题）（2）若每辆车上至少要有一名教师，且总的租车费用不超过2300元，则最省钱的租车方案为( )

A.租4辆大车，2辆小车

B.租5辆大车，1辆小车

C.租6辆大车，2辆小车

D.租0辆大车，6辆小车