2014年考研数学二真题与解析
【定位】此题考查曲线的凹凸性的定义及判断方法． 【详解 1】如果对曲线在区间 [ a, b] 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断。如果对区间上任意两 点 x1 , x 2 及常数 0 1 ，恒有 f (1 ) x1 x 2 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ，则曲线是凹的． （点评： 很多同学对上述结论感觉陌生，事实上就是同济版课后习题 P183 的 19 题。 ） 显然此题中 x1 0, x 2 1, x ，则 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) f (0)(1 x) f (1) x g ( x) ，而
3．设函数 f ( x ) 具有二阶导数， g ( x ) f ( 0)(1 x ) f (1) x ，则在 [0,1] 上（ （A）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （C）当 f ( x) 0 时， f ( x ) g ( x )
）
（B）当 f ' ( x ) 0 时， f ( x ) g ( x ) （D）当 f ( x) 0 时， f ( x) g ( x)
．
【详解】设 F ( x, y, z ) e 当x y
2 yz
x y2 z
1 z 时， z 0 ， 2 x
1 1 ( , ) 2 2
7 2 yz 2 y, F ' z 2 ye 2 yz 1 。 ， F ' x 1, F ' y 2 ze 4 F'y F' 1 z 1 x ， ， F 'z ( 1,1 ) 2 y ( 1 , 1 ) F 'z ( 1,1 ) 2
u x
( x0 , y 0 )
u y
0，
( x0 , y 0 )
记A
2u x 2
,C
( x0 , y 0 )
2u y 2
,B
( x0 , y 0 )
2u xy
( x0 , y 0 )
2u yx
，由已知条件可知 AC B 0 ，
2 ( x0 , y 0 )
2014 年考研数学二真题与解析
一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分．
1
１．当 x 0 时，若 ln (1 2 x ) ， (1 cos x ) 均是比 x 高阶的无穷小，则 的可能取值范围是（
）
（A） ( 2, )
（B） (1,2)
（C） ( ,1)
1 2
2 2 2 2 2 2
所以 dz | 1
1 , 2 2
1 1 dx dy ． 2 2 , 处的切线的直角坐标方程为 2 2
，曲率半径 R
对应于 t 1 的点处 y' 3, y" 1 ，所以 K 应该选（C）
1 10 10 ． K
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5．设函数 f ( x) arctan x ，若 f ( x ) xf ' ( ) ，则 lim
x 0
2
x2
（
1 3
）
（Ａ） 1
f (1 ) x1 x 2 f ( x) ，故当 f ( x) 0 时，曲线是凹的，即 f (1 ) x1 x 2 (1 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ，也就是 f ( x) g ( x) ，应该选（D）
【详解 2】如果对曲线在区间 [ a, b] 上凹凸的定义不熟悉的话，可令
（Ｂ）
2 3
（Ｃ）
1 2
（Ｄ）
【详解】由于 f ( x) xf ' ( ) ，所以 f '( ) 而 f ' ( x)
f ( x) 。 x
1 1 f ( x) arctan x x arctan x 2 ，所以可知 f ' ( ) ，解得 ， 2 2 x x arctan x 1 x 1 1 x ( x x 3 ) o( x 3 ) 1 3 （点评：读者也可以用洛必达求此极限） ． 3 3 x 2u 0及 xy
x arctan x Taylor ~ lim 2 lim 2 lim x 0 x x 0 x arctan x x 0
点评：此题思路上要先考虑求出 的表达式
2
2
6．设 u( x , y ) 在平面有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足
2u 2u 0 ，则（ x 2 y 2
应该选（B） ．
a b a b bc c d c d
ad (ad bc) bc(ad bc) (ad bc) 2
8．设 1 , 2 , 3 是三维向量，则对任意的常数 k , l ，向量 1 k 3 ， 2 l 3 线性无关是向量 1 , 2 , 3 线性无关的 （A）必要而非充分条件 （C）充分必要条件 【定位】向量组相关无关的判定 【详解】若向量 1 , 2 , 3 线性无关，则 （B）充分而非必要条件 （D）既非充分也非必要条件
（B） ( ad bc )
2
（C） a d b c
2 2 2
2
（ D） b c a d
2 Байду номын сангаас 2
2
【定位】四阶行列式的按行（列）展开计算 【详解】
0 a 0 c
a b 0 0 c d 0 0
0 a 0 b a 0 d 0 c 0 d ad
b a 0 b 0 b0 c 0 d c 0 d
y" (1 y ' )
2 2 3
，曲率半径 R
1 ． K
本题中
dy dy / dt 2t 4 2 1 ， dx dx / dt 2t t
2 d y dy ' / dx t2 1 ， dx / dt 2t dx 2 t3 y" (1 y ' 2 ) 3 1 10 10
） ．
（A） u( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的边界上取得； （B） u( x , y ) 的最大值和最小值都在 D 的内部取得； （C） u( x , y ) 的最大值在 D 的内部取得，最小值在 D 的边界上取得； （D） u( x , y ) 的最小值在 D 的内部取得，最大值在 D 的边界上取得； 【定位】二元函数的极值与最值；有界闭区域上二元函数的最值 【详解】 u ( x, y ) 在平面有界闭区域 D 上连续，所以 u( x , y ) 在 D 上必然有最大值和最小值． 如果在内部存在驻点 P ( x 0 , y 0 ) ，则
1 0 0 而当 1 0 , 2 1 , 3 0 时，对任意的常数 k , l ，向量 1 k 3 ， 2 l 3 线性无关， 0 0 0
但 1 , 2 , 3 线性相关；故选择（A） 。
x t 2 7, 4．曲线 上对应于 t 1 的点处的曲率半径是（ 2 y t 4t 1
（Ａ）
）
10 50
（Ｂ）
10 100
(Ｃ） 10 10
（Ｄ） 5 10
【定位】曲率公式（多次强调数二考到的可能性很大） ，参数方程求导（强调过数一，数二常考） 【详解】 曲线在点 ( x, f ( x)) 处的曲率公式 K
所以 P ( x 0 , y 0 ) 不是 u ( x, y ) 的极值点，当然也不是最值点。 所以 u ( x, y ) 的最大值和最小值都在区域 D 的边界上取得，应该选（A） ．
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0 a
7. 行列式
b
0
a 0 0 b 等于 0 c d 0 c 0 0 d
2
（A） ( ad bc )
x
k lim
x
x sin x sin x 1 lim 1 x x x
（点评：某些同学到此处就得出斜渐近线存在是错误的，必须检查 b 是否存在）
b lim( x sin x 1 x) lim sin x 不存在，故无斜渐近线；
x x
1 x 1 lim 1 sin 1 1 ， b lim( x sin 1 1 x) lim sin 1 0 ， 对于选项（C） ， k lim x x x x x x x x x 所以存在斜渐近线 y x ，应该选（C） x sin
2．下列曲线有渐近线的是 （A） y x sin x （C） y x sin （B） y x sin x
2
1 x
（D） y x sin
2
1 x
【定位】求渐近线的问题，属于课堂强调的基本题型 【详解】对于选项（A） ，任意点上均有定义，故无铅直渐近线； lim( x sin x) 不存在，故无水平渐近线；
1 0 （ 1 k 3 ， 2 l 3 ） ( 1 , 2 , 3 ) 0 1 ( 1 , 2 , 3 ) K ，对任意的常数 k , l ，矩阵 K 的秩 k l
都等于 2，即列满秩，所以向量 1 k 3 ， 2 l 3 一定线性无关．
（D） ( 0, )
1 2
【定位】无穷小比较的定义，等价无穷小代换，简单题 【详解】当 x 0 时， ln (1 2 x) ~ ( 2 x) 2 x ， (1 cos x) ~ ( x )
2
1
1 2
1
2014年考研数学二试题及答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
（1）当x →0+时，若1ln (12),(1-cos )x x αα+均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ） （A ）），（∞+2 （B ）（1，2） （C ）），（121 （D ））（210， 【答案】B【解析】当x →0+时，∵()()ln12~2x x αα+，111211(1cos )~()()22x x ααα-=·2x α ，∴由2111 2.ααα>>⇔<<且（2）下列曲线有渐近线的是（ ）（A ）.sin x x y += （B ）.sin 2x x y +=（C ）.1sin x x y += （D ）21sin .y x x=+【答案】C【解析】1sin()11lim lim lim(1sin )1x x x x f x x a x x x x→∞→∞→∞+===+= 11lim[()]lim[sin ]lim sin 0x x x b f x ax x x x x→∞→∞→∞=-=+-==∴y=x 是y=x +1sin x的斜渐近线注：渐近线有3种：水平、垂直、斜渐近线。
本题中(A)(B)(D)都没有渐近线，(C)只有一条斜渐近线。
（3）设函数()f x 具有2阶导数，()()()()011g x f x f x =-+,则在区间[0，1]上（ ）(A)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≥.(B)当0f x '≥（）时，()()f x g x ≤ (C)当0f ''≥时，()()f x g x ≥.(D)当0f ''≥时，()()f x g x ≤【答案】D【解析】方法1：（利用函数的凹凸性）当() 0f x "≥时，()f x 是凹函数，而()g x 是连接()()0,0f 与()1,1f （）的直线段，如右图 故()()f xg x ≤方法2：（利用函数的单调性）()()()h x g x f x =-令，则(0)(1)0h h ==，由洛尔定理知，(0,1)()0,h ξξ'∃∈=，使若()0f x ''≥，则()0,()h x h x '''≤单调递减， 当(0,)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≥=，()h x 单调递增，()(0)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即； 当(,1)x ξ∈时，()()0h x h ξ''≤=，()h x 单调递减，()(1)0,g(x)()h x h f x ≥=≥即；注：当0f x '≥（）时，只能说明()f x 是单调增加的，但增加的方式可能是以凸的形式，也可能是以凹的形式，若是前者，则()()f x g x ≥，此时(A)成立，如()f x x =；若是后者，则()()f x g x ≤，此时(B)成立，如2()f x x =.（4）曲线⎪⎩⎪⎨⎧++=+=，t t y ，t x 14722上对应1t =的点处的曲率半径是（ ）（A ）.5010 （B ）.10010 （C ）.1010 （D ）.105 【答案】C【解析】令()27x t t ϕ==+ ()241y t t t ψ==++则2,()2t t t ϕϕ'''=（）=; ()24t t ψ'=+ ()2t ψ"=当t =1时，(1)2,(1)2(1)6,(1)2ϕϕψψ''''''====则332222|2226|811010(26)40K ⨯-⨯===+,曲率半径11010.K ρ== （5）设函数()arctan f x x =，若)()(ξf x x f '=，则22limx xξ→=（ ）（A ）1. （B ）.32 （C ）.21（D ）.31【答案】D【解析】由()()arctan , f x x f x ==()xf ξ'得21arctan 1x x ξ=⋅+ ()3322222|||()()()()|1[()()]y t t t t K y t t ϕψϕψϕψ''''''''-=='''++2arctan arctan x x x ξ-=,222232000011arctan arctan 11lim lim lim lim arctan 33x x x x x x x xx x x x xx ξ→→→→---+∴==== （6）设函数()u x y ，在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足0022222=∂∂+∂∂≠∂∂∂yux u y x u 及，则（ ） （A ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的边界上取得. （B ）()u x y ，的最大值和最小值都在D 的内部取得.（C ）()u x y ，的最大值在D 的内部取得，最小值在D 的边界上取得. （D ）()u x y ，的最小值在D 的内部取得，最大值在D 的边界上取得. 【答案】A【解析】A=22u x ∂∂，B=2u x y∂∂∂，C=22u y ∂∂，22200 0B A C AC B A B ≠+=-=--<，，，∴D 内部无极值.（7）行列式=dc dc b a ba 00000000（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a dbc - (D)2222b c a d -【答案】B【解析】41440000004(1)00(1)00000000a ba b a ba bc bd a c d c d c dc d++-+-按第行展开 32212(1)(1)()()()()()a b a b c b d a c dc dad bc bc ad ad bc ad bc bc ad ad bc ++=-⋅-+⋅⋅-=-⋅--=--=--注：此题按其它行或列展开计算都可以。
数学二2014年考研真题及答案解析
（9）
8 （10） f ( 1) 1
（11）
（12） y 2 x 2
11
（13）
20
（14）[-2,2] 三、解答题：15— 23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. （15）【答案】
1
x [ t 2( e x 1) t ]dt
a
a
a
x
0 g( t )dt x a 。 a
2）令
F( x )
x
f ( t )g( t )dt
xaxg( t )dt f ( t )dt
a
a
F( a ) 0
F( x ) f ( x )g( x ) f [ a ax g( t )dt ] g( x ) g( x ){ f ( x ) f [ a ax g( t )dt ] }
（16（【答案】 因为
x2 y2 y 1 y ，①
得到 x2 1,x 1
2x 2 y( y )2 y2 y y ，
2 y2(1)y(1) y(1)
y(1) 2 0 2 y2( 1)y( 1) y( 1)
2
cos
d 2 d cos
0 cos sin 1
1
2 0
cos cos sin
d (
cos
2 1
1
2 cosd )
1
1
2
cos
d ( 2 1)
0 cos sin
3 1
k3 1
2k3 3k3
1 1
2014年考研数学二真题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）B（2）B（3）D（4）C（5）D（6）A（7）B（8）A二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）83π （10）11=-)(f （11）（12）22ππ+-=x y （13）1120（14）[-2,2]三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）【答案】2121111111110202211212112=-=--=--=--=--=+--++→→+∞→+∞→+∞→+∞→⎰⎰⎰u e lim u u e lim x )e (x lim ,xu x )e (x lim xtdt dt t )e (lim )x ln(x dt ]t )e (t [lim u u u u x x x xx x x x x 则令（16）【答案】因为y y y x '-='+122，①得到112±==x ,x y y y )y (y x ''-=''+'+2222，01121111222<+-=''⇒''-=''+)(y )(y )(y )(y )(y ，01121111222>+-=-''⇒-''-=-''-+-)(y )(y )(y )(y )(y 。
所以1=x 时，取极大值)(y 1。
1-=x 时，取极小值)(y 1-。
由①可知，C x x y y dx)x (dy )y (+-=+-=+33113322，因为02=)(y ，所以32=C ，323333+-=+x x y y 。
2014年考研数学二真题
12．曲线 L 的极坐标方程为 r ，则 L 在点 (r, ) , 处的切线方程为
．
2 2
【详解】先把曲线方程化为参数方程
x
y
r( )cos r( )sin
cos sin
，于是在
2
处，
x
0,
y
2
，
dy dx
（B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件
【详解】若向量1,2 ,3 线性无关，则
1 （1 k3 ，2 l3 ） (1, 2 ,3 ) 0 k
0
1 (1, 2 ,3 )K ，对任意的常数 k, l ，矩阵 K 的秩都等 l
于 2，所以向量1 k3 ，2 l3 一定线性无关．
f ( x) x2 2x ； f ( x) 为周期为 4 奇函数，故 f (7) f (1) f (1) 1．
11．设 z
z( x,
y) 是由方程 e 2 yz
x
y2
z
7 4
确定的函数，则
dz
|
1
,
1
．
2 2
【详解】设 F ( x,
y, z)
e 2 yz
4x2 x3
( x1 ax3 )2 ( x2 2x3 )2 (4 a 2 )x32
由于负惯性指数为 1，故必须要求 4 a2 0 ，所以 a 的取值范围是 2,2．
三、解答题
15．（本题满分 10 分）
1
x (t 2 (e t 1) t)dt
求极限 lim 1
2014年考研数学二真题与解析
推荐：考研数字题库与资料 2014年考研数学二真题与解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．当+→0x 时，若)(ln x 21+α，α11)cos (x -均是比x 高阶的无穷小，则α的可能取值范围是（ ）（A ）),(+∞2 （B ）),(21 （C ）),(121 （D ）),(210【详解】αααx x 221~)(ln +，是α阶无穷小，ααα211211x x ~)cos (-是α2阶无穷小，由题意可知⎪⎩⎪⎨⎧>>121αα所以α的可能取值范围是),(21，应该选（B ）． 2．下列曲线有渐近线的是（A ）x x y sin += （B ）x x y sin +=2（C ）xx y 1sin+= （D ）x x y 12sin +=【详解】对于xx y 1sin +=，可知1=∞→x y x lim 且01==-∞→∞→x x y x x sin lim )(lim ，所以有斜渐近线x y =应该选（C ）3．设函数)(x f 具有二阶导数，x f x f x g )())(()(110+-=，则在],[10上（ ）（A ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≥ （B ）当0≥)('x f 时，)()(x g x f ≤ （C ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≥ （D ）当0≥'')(x f 时，)()(x g x f ≤ 【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．【详解1】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断． 显然x f x f x g )())(()(110+-=就是联接))(,()),(,(1100f f 两点的直线方程．故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）【详解2】如果对曲线在区间],[b a 上凹凸的定义不熟悉的话，可令x f x f x f x g x f x F )())(()()()()(110---=-=，则010==)()(F F ，且)(")("x f x F =，故当0≥'')(x f 时，曲线是凹的，从而010==≤)()()(F F x F ，即0≤-=)()()(x g x f x F ，也就是)()(x g x f ≤，应该选（D ）4．曲线⎩⎨⎧++=+=14722t t y t x ,上对应于1=t 的点处的曲率半径是（ ）（Ａ）5010（Ｂ）10010 (Ｃ）1010 （Ｄ）105 【详解】 曲线在点))(,(x f x 处的曲率公式321)'("y y K +=，曲率半径KR 1=． 本题中422+==t dt dy t dt dx ,，所以t t t dx dy 21242+=+=，3222122tt t dx y d -=-=，对应于1=t 的点处13-==",'y y ，所以10101132=+=)'("y y K ，曲率半径10101==KR ． 应该选（C ）5．设函数x x f arctan )(=，若)(')(ξxf x f =，则=→22xx ξlim（ ）（Ａ）1 （Ｂ）32 （Ｃ）21 （Ｄ）31 【详解】注意（1）211xx f +=)('，（2）)(arctan ,33310x o x x x x +-=→时． 由于)(')(ξxf x f =．所以可知x x x x f f arctan )()('==+=211ξξ，22)(arctan arctan x x x -=ξ， 313133302022=+--=-=→→→xx o x x x x x xarx x x x x x )()(lim )(arctan tan limlimξ． 6．设),(y x u 在平面有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有二阶连续偏导数，且满足02≠∂∂∂y x u及02222=∂∂+∂∂y ux u ，则（ ）． （A ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的边界上；（B ）),(y x u 的最大值点和最小值点必定都在区域D 的内部；。
2014年考研数学二真题(含解析)
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合 题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. 1、当0x +→时，若ln (12)x α+，1(1cos )x α-均是比x 高阶的无穷小，则α的取值范围是（ ）（A ）(2,)+∞ （B ）(1,2) （C ）1(,1)2 （D ）1(0,)2【答案】B【考点】等价无穷小、高阶无穷小 【详解】当0x +→时，ln (12)~(2)x x αα+，1121(1cos )~2x x αα⎛⎫-⎪⎝⎭因为它们都是比x 高阶的无穷小，故12,1>>αα，即21<<α2、下列曲线中有渐近线的是（ ）（A ）sin y x x =+ （B ）2sin y x x =+ （C ）1sin y x x =+ （D ）21sin y x x=+ 【答案】C【考点】函数的渐近线 【详解】对于选项A ， lim(sin )x x x →∞+ 不存在，因此没有水平渐近线，同理可知，选项A 没有铅直渐近线， 而sinxlimlimx x y x x x→∞→∞+=不存在，因此选项A 中的函数没有斜渐近线； 对于选项B 和D ，我们同理可知，对应的函数没有渐近线；对于C 选项，1siny x x=+.由于1sin lim lim1x x x yx x x→∞→∞+==，又()1lim 1limsin0x x y x x →∞→∞-⋅==.所以1sin y x x=+存在斜渐近线y x =.故选C.（4）设函数()f x 具有2阶导数，()(0)(1)(1)g x f x f x =-+，则在区间[0,1]内（ ） （A ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≥ （B ）当()0f x '≥时，()()f x g x ≤ （C ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≥ （D ）当()0f x ''≥时，()()f x g x ≤ 【答案】D【考点】函数单调性的判别、函数图形的凹凸性 【详解】 【解法一】令)()()(x f x g x F -=则)()1()0()(x f f f x F '-+-='由拉格朗日中值定理知，存在)1,0(∈ξ，使得)()()01()0()1(ξξf f f f '='-=- 即0)(='ξF又因为)()(x f x F ''-=''若()0f x ''≥，则()0F x ''≤，所以)(x F '单调递减， 当(0,),()0,()x F x F x ξ'∈>单调递增， 当(,1),()0,()x F x F x ξ'∈<单调递减，又0)1(.0)0(==F F ，所以()0F x ≥，即()()f x g x ≤，故选D 【解法二】令2()f x x =，则函数()f x 具有2阶导数，且()0f x ''≥所以()(0)(1)(1)g x f x f x x =-+= 当]1,0[∈x 时，()()f x g x ≤，故选D4、曲线227,41x t y t t ⎧=+⎪⎨=++⎪⎩上对应于1t =的点处的曲率半径是（ ） （A（B（C）（D）【答案】C【考点】参数方程求导、曲率及曲率半径 【详解】2223212133222233222242222(24)8(2)2(2)3,1"1(1')(13)1(13)10t t dy dy t dt dx dx tdtt t d y t dx t t dy d y dx dx y k y R k==+==⋅-+-==∴==-∴==++∴==+==Q5、设函数()arctan f x x =，若()()f x xf ξ'=，则22limx x ξ→=（ ）（A ）1 （B ）23 （C ）12（D ）13【答案】D【考点】函数求导、函数求极限 【详解】2()arctan 11f x x x x ξ==+Q.2arctan arctan x xx ξ-∴=.22230arctan arctan limlimlim rctan x x x x x x xx x a x x ξ→→→--∴==⋅22222001111limlim 33(1)3x x x x x x x →→-+===+. 6、设函数(,)u x y 在有界闭区域D 上连续，在D 的内部具有2阶连续偏导数，且满足20ux y ∂≠∂∂及22220u ux y ∂∂+=∂∂，则（ ） （A ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的边界上取得 （B ）(,)u x y 的最大值和最小值都在D 的内部取得（C ）(,)u x y 的最大值在D 的内部取得，(,)u x y 的最小值在D 的边界上取得 （D ）(,)u x y 的最小值在D 的内部取得，(,)u x y 的最大值在D 的边界上取得 【答案】A【考点】二元函数极值的充分条件 【详解】因为22220u u x y ∂∂+=∂∂，故22u A x ∂=∂与22uC y∂=∂异号.又20u B x y ∂=≠∂∂， 则20AC B -<，所以函数(,)u x y 在区域D 内没有极值.又连续函数在有界闭区域内有最大值和最小值，故最大值和最小值在D 的边界点取到.7、行列式0000000ab a bcd c d=（ ）（A ）2()ad bc - （B ）2()ad bc --（C ）2222a d b c - （D ）2222b c a d - 【答案】B【考点】分块矩阵的行列式运算、行列式的性质、行列式按行（列）展开定理 【详解】 【解法一】132320000000000000000000000()()()a b b a b a a b a b d c c c r r c dd c a b c dc dc db a a b bc ad ad bc ad bc d c c d↔-↔=⋅=--=--故选B 【解法二】2141332320a 0000000(1)0(1)00000(1)(1)()()b a b c d c d a ba ba c dc bd c d a b a ba d cbcd c da b a b adbc c d c da b bc ad c d ad bc ++++=⨯-+⨯-=-⨯⨯--⨯⨯-=-+=-=--8、设123,,ααα为3维向量，则对任意常数,k l ，向量组1323,k l αααα++线性无关是向量组123,,ααα线性无关的（ ）（A ）必要非充分条件 （B ）充分非必要条件 （C ）充分必要条件（D ）既非充分也非必要条件 【答案】A【考点】向量组的线性相关性 【详解】1231132231122123121213231323123123+k )()0++k )00+k ++k +100=0=1=0000l l k l l l αααλααλααλαλαλλαλλλλαααααααααααααα++=+=⇒==+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭已知，，无关设（即（从而，无关反之，若，无关，不一定有，，无关例如，，，二、填空题：9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. 9、12125dx x x -∞=++⎰ .【答案】π83【考点】无穷限的反常积分 【详解】()11221211125141111221()21113arctan |[()]222428dx dx x x x xd x x πππ-∞-∞-∞-∞=+++++=+++==--=⎰⎰⎰ 10、设)(x f 是周期为4的可导奇函数，且]2,0[),1(2)(∈-='x x x f ，则=)7(f【答案】1【考点】一阶微分方程、周期函数【详解】()22'2(1)[0,2]()2()(0)00()2[0,2]()4(7)(3)(1)(1)(12)1f x x x f x x x c f x f c f x x x x f x f f f f =-∈∴=-+∴=∴=∴=-∈∴==-=-=--=Q 又是奇函数的周期为11、设(,)z z x y =是由方程22274yzex y z +++=确定的函数，则11(,)22dz = . 【答案】)(21dy dx +-【考点】隐函数求偏导、全微分 【详解】221111(,)(,)222211(,)2211,022,(2)20(22)2011,221()2yzyz x y z x y z z e y x x x z z e z y y y y z z x y dz dx dy ===∂∂⎧⋅++=⎪∂∂⎪⎨∂∂⎪+++=∂∂⎪⎩∂∂=-=-∂∂=-+当时，代入方程解得方程两边对分别求偏导得，解得：故12、曲线L 的极坐标方程是r θ=，则L 在点(,)(,)22r ππθ=处的切线的直角坐标方程是 . 【答案】22ππ+-=x y【考点】参数方程求导、极坐标与直角坐标的转化、切线方程 【详解】把极坐标方程化为直角坐标方程令cos cos sin sin x r y r θθθθθθ==⎧⎨==⎩2sin cos cos sin 1022012cos 02sin 22()(0)222dy dy d dx dx d dy dxx y y x y x πθθθθθθθθθπππθθπθπθθππππ=+==-+⋅==--⋅==⎧⎪=⎨==⎪⎩-=--=-+则当时，则切线方程为:化简为: 13、一根长为1的细棒位于x 轴的区间[0,1]上，若其线密度2()21x x x ρ=-++，则该细棒的质心坐标x = . 【答案】2011 【考点】质心坐标 【详解】质心横坐标公式：⎰⎰=b aba dxx dx x x x )()(ρρ 所以：43212123201121()(21)4320111201(21)()30x x x x x x dx x x x dx x x x -++-++===-++-++⎰⎰14、设二次型22123121323(,,)24f x x x x x ax x x x =-++的负惯性指数为1，则a 的取值范围是 .【答案】]2,2[-【考点】二次型的规范形、矩阵的特征值、配方法化二次型为标准形 【详解】 【解法一】二次型对应的系数矩阵为：O a a ≠⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0221001，记特征值为321,,λλλ则0011)(321=+-==++A tr λλλ，即特征值必有正有负，共3种情况； 因二次型的负惯性指数为⇔1特征值1负2正或1负1正1零；0402210012≤+-=-⇔a aa ，即]2,2[-∈a【解法二】221231213232222221133223322221323322221232(,,)2424()(2)(4)(4)140[2,2]f x x x x x ax x x x x ax x a x x x x a x x ax x x a x y y a y a a =-++=++-+-=+--+-=-+--≥∈-若负惯性指数为，则，三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、（本题满分10分）求极限1212[(1)]lim1ln(1)xtx t e t dt x x→+∞--+⎰【考点】函数求极限、变限积分函数求导、等价无穷小、洛必达法则 【详解】111221221122200((1))((1))(1)1limlimlim lim (1)111ln(1)1111lim lim 22xxttxx x x x x t t t t t e t dtt e t dtx e x x e xx x x xe t e t x t t ++→+∞→+∞→+∞→+∞→→------===--+⋅---===⎰⎰令16、（本题满分10分）已知函数()y y x =满足微分方程221x y y y ''+=-，且(2)0y =，求()y x 的极大值与极小值.【考点】微分方程、函数的极值 【详解】22222222333322'1'1'1(1)(1),(1)(1)11332(2)031123331'0,11(,1),'0,(11),'0,(1+),'0,x y y y x y y y dy x dx y dy x dx y y x x c y c y y x x x y x y x y x y x y +=--∴=+∴+=-+=-∴+=-+=∴=∴+=-+-===±+∈-∞-<∈->∈∞<⎰⎰Q 积分得又 令得时函数单调递减，时函数单调递增，时函数单调递减所以函11(1)0,(1)1()1,0x x y y y x =-=-==数在时取得极小值，在时取得极大值由函数方程解得：故：的极大值是极小值是17、（本题满分10分）设平面区域{}22(,)14,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥，计算D.【考点】二重积分的计算、轮换对称性 【详解】积分区域D 关于y x =对称，利用轮对称行，121sin(2D D D Ddxdy ==+=⎰⎰222011221111sin()d cos()2411cos()|cos()d 44113244d r r r rd r r r r r πθππππ==-=-+=--=-⎰⎰⎰⎰18、（本题满分10分）设函数()f u 具有2阶连续导数，(cos )xz f e y =满足22222(4cos )x x z z z e y e x y∂∂+=+∂∂.若(0)0f =，(0)0f '=，求()f u 的表达式.【考点】多元函数求偏导、二阶常系数非齐次线性微分方程【详解】 令y e u xcos =xx x xx x x xx x xe u uf y e u f y e u f e y e z yzx z y e u f y e u f y z y e u f y z y e u f y e u f x z y e u f x z 222222222222222222])(4[sin )(cos )()cos 4(cos )(sin )(),sin ()(cos )(cos )(,cos )(+=⋅''+⋅''∴+=∂∂+∂∂⋅'-⋅''=∂∂-⋅'=∂∂⋅'+⋅''=∂∂⋅'=∂∂∴Θ 即：u u f u f =-'')(4)(对应的齐次微分方程的特征方程为：042=-r 解得：2,221-==r r故齐次微分方程的通解为：u u e C e C u f 2221)(-+=设b au u f +=)(*，则0)(,)(**="='u f a u f ，代入微分方程解得：0,41=-=b a ，即u u f 41)(*-= 故u e C e C u f xx 41)(2221-+=-所以uu u u e C e C u f e C e C u f 2221222144)(,4122)(--+=''--='因为(0)0f =，(0)0f '=，代入解得：161,16121-==C C所以22111()16164x x f u e e u -=--19、（本题满分10分）设函数()f x ，()g x 在区间[,]a b 上连续，且()f x 单调增加，0()1g x ≤≤. 证明：（Ⅰ）（I ）a x dt t g xa-≤≤⎰)(0，],[b a x ∈；（II ）⎰⎰⎰≤+badtt g a abadx x g x f dx x f )()()()(【考点】定积分中值定理、不等式的证明 【详解】（I ）【解法一】因为函数)(x g 在区间],[b a 上连续，且1)(0≤≤x g . 所以⎰⎰⎰≤≤xax axadt dt t g dt 1)(0即a x dt t g x a-≤≤⎰)(0【解法二】由定积分中值定理知：存在),(b a ∈ξ，使得)()()(ξg a x dt t g xa-=⎰，又因为],[b a x ∈时1)(0≤≤x g ， 所以)()()(0a x g a x -≤-≤ξ 即a x dt t g xa-≤≤⎰)(0【解法三】[][]11111222222()()()0'()()0(),()0()()'()()10()1'()0()()0,()0xaxa h x g t dth a h x g x h x x a b h x h x g t dt x ah x g x g x h x h x h a x a b h x ===≥∴∴∈≥=-+=-≤≤∴≤∴=∴∈≤⎰⎰Q 单调增加当时，单调减少，又当时，（II ）令()()()()()xa xa g t dt aaF x f u g u du f u du +⎰=-⎰⎰()'()()()[()]()()[()]()I (),()()[()]'()0()0()0()()()ba xxaa x axa ba g t dt a aF x f x g x f a g t dt g x f x f a g t dt g x a g t dt a x a x f x f x f a g t dt F x F x F a F b f x g x dx f x dx+⎡⎤∴=-+⋅=-+⎢⎥⎣⎦+≤+-=∴≥+∴≥∴=∴≥⎰≥⎰⎰⎰⎰⎰⎰由（）知又单调增加单调增加又（）即20、（本题满分11分） 设函数()1xf x x=+，[0,1]x ∈.定义数列 1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，L ，1()(())n n f x f f x -=，L记n S 是由曲线()n y f x =，直线1x =及x 轴所围平面图形的面积，求极限lim n n nS →∞.【考点】定积分求面积、函数求极限 【详解】1213222(),()()11()(())121112()(())13112(),[0,1]111()0(1)(1)()(0)=0()0[0,1]n n n n n xf x f x f x xxxx f x f f x x x x xxx f x f f x x x x xf x x nxnx nx f x nx nx f x f f x x ==++∴===++++∴===+++=∈++-'==>++∴∴≥∈Q Q Q 由归纳法知：单调递增，，1120021111=(1)=ln(1)1111ln(1)lim lim [ln(1)]1lim ln(1)11lim 1lim 11n n n n n x x x S dx dx n nx n nx n nn nS n n n n nx xx →∞→∞→∞→∞→∞∴=--++++=-+=-+=-=-=+⎰⎰21、（本题满分11分） 已知函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂，且2(,)(1)(2)ln f y y y y y =+--.求曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转所成旋转体的体积. 【考点】偏积分、隐函数、旋转体的体积 【详解】由函数(,)f x y 满足2(1)fy y∂=+∂可知：)(2),(2x y y y x f ϕ++= 又22(,)2()(1)(2)ln f y y y y y y y y ϕ=++=+-- 所以()1(2)ln y y y ϕ=--所以x x y x x y y x y y y x f ln )2()1(ln )2(12)(2),(222--+=--++=++=ϕ 令1+=y z ，则(,)0f x y =对应的曲线方程为：x x z ln )2(2-=，定义域为]2,1[则曲线(,)0f x y =所围图形绕直线1y =-旋转，即x x z ln )2(2-=绕0=z 旋转，所成的旋转体体积πππππ)452ln 2()412(ln )212()212(ln ln )2(212221221212-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=-=-==⎰⎰⎰x x x x x x x xd xdxx dx z V x22、（本题满分11分）设E A ,302111104321⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=为3阶单位矩阵.（I ）求方程组0=Ax 的一个基础解系； （II ）求满足E AB =的所有矩阵B . 【考点】解线性方程组 【详解】1234100()011101012030011205412301021310013141100126101021310013141A E --⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪-⎝⎭--⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪--⎝⎭-⎛⎫ ⎪→--- ⎪ ⎪---⎝⎭M M M M M M M M M M （I ） 方程组0=Ax 的同解方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===-=4443424132x x x x xx x x ，即基础解系为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1321（II ）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=01312244434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011213211k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=-=+-=04332644434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-043613212k⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100Ax 的同解方程组为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=+=--=01312144434241x x x x x x x x ，即通解为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-011113213k ，123123123123261212321313431k k k k k k B k k k k k k -+-+--⎛⎫⎪--+ ⎪∴= ⎪--+ ⎪⎝⎭，321,,k k k 为任意常数23、（本题满分11分）证明：n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛111111111ΛM O M M ΛΛ与⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00200100ΛM M M ΛΛ相似. 【考点】矩阵的特征值、相似对角化 【详解】设⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L111111111A ，⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦L L L L L L L L0001000200n B 因为1)(,1)(==B r A r所以A 的特征值为：n A tr n n ======-)(,0121λλλλΛB 的特征值为：n B tr n n =='='=='='-)(,0121λλλλΛ 关于A 的特征值0，因为1)()()0(==-=-A r A r A E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即A 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O同理，关于B 的特征值0，因为1)()()0(==-=-B r B r B E r ，故有1-n 个线性无关的特征向量，即B 必可相似对角化于⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n 00O由相似矩阵的传递性可知，A 与B 相似.。
2014年考研数学二真题及答案
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）B （2）B （3）D （4）C （5）D （6）A （7）B （8）A二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）83π （10）11=-)(f （11）（12）22ππ+-=x y（13）1120（14）[-2,2]三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）【答案】（16）【答案】因为y y y x '-='+122，① 得到112±==x ,xy y y )y (y x ''-=''+'+2222，1121111222<+-=''⇒''-=''+)(y )(y )(y )(y )(y ，01121111222>+-=-''⇒-''-=-''-+-)(y )(y )(y )(y )(y 。
所以1=x 时，取极大值)(y 1。
1-=x 时，取极小值)(y 1-。
由①可知，C x x y y dx )x (dy )y (+-=+-=+33113322，因为02=)(y ，所以32=C ，323333+-=+x x y y 。
所以1=x 时，取极大值11=)(y 。
1-=x 时，取极小值01=-)(y 。
（17）【答案】（18）【答案】令u y cos e x =， 则u )u (f )u (f +=''4，故)C ,C (,u e C e C )u (f u u 为任意常数2122214-+=- 由,)(f ,)(f 0000='=得（19）【答案】证明：1）因为10≤≤)x (g ，所以有定积分比较定理可知，⎰⎰⎰≤≤x a xa x a dt dt )t (g dt 10，即⎰-≤≤xa a x dt )t (g 0。
2014年考研数学(二)真题
一、选择题（1—8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求）
1
1．当 x 0 时，若 ln (1 2x) ， (1 cos x) 均是比 x 高阶的无穷小，则 的取值范围是
（ ）。
（A） (2, )
（B） (1, 2)
10 （A） 50
10 （B） 100
（C）10 10
（D） 5 10
5．设函数
f (x) arctan x ，若
f (x)
2
xf
(
)
，则
lim
x0
x2
（
）。
（A）1
2 （B） 3
1 （C） 2
1 （D） 3
6．设函数 u(x, y) 在有界闭区域 D 上连续，在 D 的内部具有 2 阶连续偏导数，且满足
(1 ,1) （C） 2
(0, 1) （D） 2
2．下列曲线有渐近线的是（ ）。
（A） y x sin x
（B） y x2 sin x
y x sin 1
（C）
x
y x2 sin 1
（D）
x
3．设函数 f (x) 具有 2 阶导数， g(x) f (0)(1 x) f (1)x ，则在区间[0,1] 上（ ）。
f (7) __________。
11．设 z
z(x, y) 是由方程 e2 yz
x
y2
z
7
dz
4 确定的函数，则
(1,1) 22
__________。
12．曲线
lim
n
nSn
的极坐标方程是
2014年考研数学二真题与解析_共11页
12．曲线
L
的极坐标方程为
r
，则
L
在点 (r,
)
,
处的切线方程为
．
2 2
x 【详解】先把曲线方程化为参数方程
y
r( )cos r( )sin
cos sin
，于是在
2
处，
x
0,
y
2
，
dy dx
|
2
sin cos cos sin
e 2 yz
x
y2
z
7 4 ， Fx
1, Fy
2ze 2 yz
2 y, Fz
2 ye 2 yz
1，当
x
y
1 时， z 0 ， z
2
x
Fx Fz
1 ， z 2 y
Fy Fz
1 2
，所以
dz
|
11 ,
2 2
1 dx 1 dy ． 22
【详解】若向量1, 2 ,3 线性无关，则
（B）充分而非必要条件 （D） 非充分非必要条件
1 （1 k3 ， 2 l3 ） (1, 2 ,3 ) 0
k
0 1 (1, 2 ,3 )K ，对任意的常数 k, l ，矩阵 K 的秩都等 l
（D） y x 2 sin 1 x
【详解】对于 y x sin 1 ，可知 lim y 1且 lim( y x) lim sin 1 0 ，所以有斜渐近线 y x
2014年考研数学二真题试卷及答案解析
2
D
x y
dxdy xy
1 2
D
sin(
x2
y )dxdy
1
2 d
2 sin( r)r d r 1
2
rd cos( r)
20
1
1
1 4
r
cos(
r)
|12
2
cos( r) d r
1
11 3 24 4
18、
解
：
z x
f ' ex
cos y ,
2z x 2
cos y
(f'' e x
22、（本题满分 11 分）
1 2 3 4 设 A 0 1 1 1 , E 为 3 阶单位矩阵.
1 2 0 3
（I）求方程组 Ax 0的一个基础解系；
（II）求满足 AB E 的所有矩阵 B .
23、（本题满分 11 分）
1 1 1 0 0 1
证明：
n
阶矩阵
1 1
1 1
1 1
（）
（A） (2, ) （B） (1, 2)
（C） (1 ,1) 2
2、下列曲线中有渐近线的是（ ）
（D） (0, 1) 2
（A） y x sin x
（B） y x2 sin x
（C） y x sin 1 x
（D） x2 sin 1 x
3、设函数 f (x) 具有 2 阶导数， g(x) f (0)(1 x) f (1)x ，则在区间[0,1] 内（ ）
棒的质心坐标 x
.
14、设二次型 f (x1, x2, x3) x1 x22 2ax1x3 4x2x3 的负惯性指数为 1，则 a 的取值范围