二次函数综合应用题(有答案)中考题必练经典(学有余力的看)之欧阳数创编
中考数学 二次函数 综合题含答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ,B 两点,直线y x m =+过顶点C 和点B . (1)求m 的值;(2)求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式;(3)抛物线上是否存在点M ,使得15MCB ∠=︒?若存在,求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)﹣3;(2)y 13=x 2﹣3;(3)M 的坐标为(3632). 【解析】 【分析】(1)把C (0,﹣3)代入直线y =x +m 中解答即可;(2)把y =0代入直线解析式得出点B 的坐标,再利用待定系数法确定函数关系式即可; (3)分M 在BC 上方和下方两种情况进行解答即可. 【详解】(1)将C (0,﹣3)代入y =x +m ,可得: m =﹣3;(2)将y =0代入y =x ﹣3得: x =3,所以点B 的坐标为(3,0),将(0,﹣3)、(3,0)代入y =ax 2+b 中,可得:390b a b =-⎧⎨+=⎩, 解得:133a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩,所以二次函数的解析式为:y 13=x 2﹣3; (3)存在,分以下两种情况:①若M 在B 上方,设MC 交x 轴于点D , 则∠ODC =45°+15°=60°, ∴OD =OC •tan30°3=设DC 为y =kx ﹣33,0),可得:k 3=联立两个方程可得:233133y x y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩, 解得:121203336x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩, 所以M 1(36);②若M 在B 下方,设MC 交x 轴于点E , 则∠OEC =45°-15°=30°, ∴OE =OC •tan60°=3设EC 为y =kx ﹣3,代入(30)可得:k 3=联立两个方程可得:2333133y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩, 解得:12120332x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩, 所以M 23,﹣2).综上所述M 的坐标为(3,63,﹣2). 【点睛】此题是一道二次函数综合题,熟练掌握待定系数法求函数解析式等知识是解题关键.2.如图,已知抛物线y =﹣x 2+bx+c 与一直线相交于A (1,0)、C (﹣2,3)两点,与y 轴交于点N ,其顶点为D .(1)求抛物线及直线AC 的函数关系式;(2)若P 是抛物线上位于直线AC 上方的一个动点,求△APC 的面积的最大值及此时点P 的坐标;(3)在对称轴上是否存在一点M ,使△ANM 的周长最小.若存在,请求出M 点的坐标和△ANM 周长的最小值;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y =﹣x 2﹣2x +3;y =﹣x +1;(2)当x =﹣12时,△APC 的面积取最大值,最大值为278,此时点P 的坐标为(﹣12,154);(3)在对称轴上存在一点M (﹣1,2),使△ANM 的周长最小,△ANM 周长的最小值为102 【解析】 【分析】(1)根据点A ,C 的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式;(2)过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ,交直线AC 于点F ,过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ,设点P 的坐标为(x ,﹣x 2﹣2x +3)(﹣2<x <1),则点E 的坐标为(x ,0),点F 的坐标为(x ,﹣x +1),进而可得出PF 的值,由点C 的坐标可得出点Q 的坐标,进而可得出AQ 的值,利用三角形的面积公式可得出S △APC =﹣32x 2﹣32x +3,再利用二次函数的性质,即可解决最值问题;(3)利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标,利用配方法可找出抛物线的对称轴,由点C ,N 的坐标可得出点C ,N 关于抛物线的对称轴对称,令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ,则此时△ANM 周长取最小值,再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标,以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论. 【详解】(1)将A (1,0),C (﹣2,3)代入y =﹣x 2+bx +c ,得:10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩,解得:23b c =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线的函数关系式为y =﹣x 2﹣2x +3; 设直线AC 的函数关系式为y =mx +n (m ≠0), 将A (1,0),C (﹣2,3)代入y =mx +n ,得:023m n m n +=⎧⎨-+=⎩,解得:11m n =-⎧⎨=⎩, ∴直线AC 的函数关系式为y =﹣x +1.(2)过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ,交直线AC 于点F ,过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ,如图1所示.设点P 的坐标为(x ,﹣x 2﹣2x +3)(﹣2<x <1),则点E 的坐标为(x ,0),点F 的坐标为(x ,﹣x +1),∴PE =﹣x 2﹣2x +3,EF =﹣x +1,EF =PE ﹣EF =﹣x 2﹣2x +3﹣(﹣x +1)=﹣x 2﹣x +2. ∵点C 的坐标为(﹣2,3), ∴点Q 的坐标为(﹣2,0), ∴AQ =1﹣(﹣2)=3, ∴S △APC =12AQ •PF =﹣32x 2﹣32x +3=﹣32(x +12)2+278. ∵﹣32<0, ∴当x =﹣12时,△APC 的面积取最大值,最大值为278,此时点P 的坐标为(﹣12,154). (3)当x =0时,y =﹣x 2﹣2x +3=3, ∴点N 的坐标为(0,3). ∵y =﹣x 2﹣2x +3=﹣(x +1)2+4, ∴抛物线的对称轴为直线x =﹣1. ∵点C 的坐标为(﹣2,3), ∴点C ,N 关于抛物线的对称轴对称.令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ,如图2所示. ∵点C ,N 关于抛物线的对称轴对称, ∴MN =CM ,∴AM +MN =AM +MC =AC , ∴此时△ANM 周长取最小值. 当x =﹣1时,y =﹣x +1=2, ∴此时点M 的坐标为(﹣1,2).∵点A 的坐标为(1,0),点C 的坐标为(﹣2,3),点N 的坐标为(0,3),∴AC=,AN , ∴C△ANM =AM +MN +AN =AC +AN =.∴在对称轴上存在一点M (﹣1,2),使△ANM 的周长最小,△ANM 周长的最小值为+【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出抛物线及直线AC的函数关系式;(2)利用三角形的面积公式找出S△APC=﹣32x2﹣32x+3的最值;(3)利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M的位置.3.已知,抛物线y=x2+2mx(m为常数且m≠0).(1)判断该抛物线与x轴的交点个数,并说明理由.(2)若点A(-n+5,0),B(n-1,0)在该抛物线上,点M为抛物线的顶点,求△ABM的面积.(3)若点(2,p),(3,g),(4,r)均在该抛物线上,且p<g<r,求m的取值范围.【答案】(1)抛物线与x轴有2个交点,理由见解析;(2)△ABM的面积为8;(3)m 的取值范围m>-2.5【解析】【分析】(1)首先算出根的判别式b2-4ac的值,根据偶数次幂的非负性,判断该值一定大于0,从而根据抛物线与x轴交点个数与根的判别式的关系即可得出结论;(2)根据抛物线的对称性及A,B两点的坐标特点求出抛物线的对称轴直线为x=2.从而再根据抛物线对称轴直线公式建立方程,求解算出m的值,进而求出抛物线的解析式,得出A,B,M三点的坐标,根据三角形的面积计算方法,即可算出答案;(3)方法一(图象法):根据抛物线的对称轴直线及开口方向判断出当对称轴在直线x=3的右边时,显然不符合题目条件;当对称轴在直线x=2的左边时,显然符合题目条件(如图2),从而列出不等式得出m 的取值范围;当对称轴在直线x=2和x=3之间时,满足3-(-m)>-m-2即可(如图3),再列出不等式得出m 的取值范围,综上所述,求出m 的取值范围;方法二(代数法):将三点的横坐标分贝代入抛物线的解析式,用含m 的式子表示出p,g,r ,再代入 p<g<r 即可列出关于m 的不等式组,求解即可。
中考数学二次函数综合题汇编含答案

中考数学二次函数综合题汇编含答案一、二次函数1.已知,抛物线y=ax2+ax+b(a≠0)与直线y=2x+m有一个公共点M(1,0),且a<b.(1)求b与a的关系式和抛物线的顶点D坐标(用a的代数式表示);(2)直线与抛物线的另外一个交点记为N,求△DMN的面积与a的关系式;(3)a=﹣1时,直线y=﹣2x与抛物线在第二象限交于点G,点G、H关于原点对称,现将线段GH沿y轴向上平移t个单位(t>0),若线段GH与抛物线有两个不同的公共点,试求t的取值范围.【答案】(1)b=﹣2a,顶点D的坐标为(﹣12,﹣94a);(2)2732748aa--;(3)2≤t<94.【解析】【分析】(1)把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系,可用a表示出抛物线解析式,化为顶点式可求得其顶点D的坐标;(2)把点M(1,0)代入直线解析式可先求得m的值,联立直线与抛物线解析式,消去y,可得到关于x的一元二次方程,可求得另一交点N的坐标,根据a<b,判断a<0,确定D、M、N的位置,画图1,根据面积和可得△DMN的面积即可;(3)先根据a的值确定抛物线的解析式,画出图2,先联立方程组可求得当GH与抛物线只有一个公共点时,t的值,再确定当线段一个端点在抛物线上时,t的值,可得:线段GH与抛物线有两个不同的公共点时t的取值范围.【详解】解:(1)∵抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M(1,0),∴a+a+b=0,即b=-2a,∴y=ax2+ax+b=ax2+ax-2a=a(x+12)2-94a,∴抛物线顶点D 的坐标为(-12,-94a ); (2)∵直线y=2x+m 经过点M (1,0), ∴0=2×1+m ,解得m=-2,∴y=2x-2, 则2222y x y ax ax a -⎧⎨+-⎩==, 得ax 2+(a-2)x-2a+2=0,∴(x-1)(ax+2a-2)=0,解得x=1或x=2a-2, ∴N 点坐标为(2a-2,4a -6), ∵a <b ,即a <-2a ,∴a <0, 如图1,设抛物线对称轴交直线于点E ,∵抛物线对称轴为122a x a =-=-, ∴E (-12,-3), ∵M (1,0),N (2a-2,4a -6), 设△DMN 的面积为S , ∴S=S △DEN +S △DEM =12|( 2a -2)-1|•|-94a -(-3)|=274−3a −278a , (3)当a=-1时, 抛物线的解析式为:y=-x 2-x+2=-(x+12)2+94,由222y x xy x⎧=--+⎨=-⎩,-x2-x+2=-2x,解得:x1=2,x2=-1,∴G(-1,2),∵点G、H关于原点对称,∴H(1,-2),设直线GH平移后的解析式为:y=-2x+t,-x2-x+2=-2x+t,x2-x-2+t=0,△=1-4(t-2)=0,t=94,当点H平移后落在抛物线上时,坐标为(1,0),把(1,0)代入y=-2x+t,t=2,∴当线段GH与抛物线有两个不同的公共点,t的取值范围是2≤t<94.【点睛】本题为二次函数的综合应用,涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、三角形的面积等知识.在(1)中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键,在(2)中联立两函数解析式,得到关于x的一元二次方程是解题的关键,在(3)中求得GH与抛物线一个交点和两个交点的分界点是解题的关键,本题考查知识点较多,综合性较强,难度较大.2.对于二次函数 y=ax2+(b+1)x+(b﹣1),若存在实数 x0,使得当 x=x0,函数 y=x0,则称x0为该函数的“不变值”.(1)当 a=1,b=﹣2 时,求该函数的“不变值”;(2)对任意实数 b ,函数 y 恒有两个相异的“不变值”,求 a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,若该图象上 A 、B 两点的横坐标是该函数的“不变值”,且 A 、B 两点关于直线 y=kx-2a+3 对称,求 b 的最小值.【答案】(1)-1,3;(2)0<a<1;(3)-98【解析】【分析】(1)先确定二次函数解析式为y=x 2-x-3,根据x o 是函数y 的一个不动点的定义,把(x o ,x o )代入得x 02-x 0-3=x o ,然后解此一元二次方程即可;(2)根据x o 是函数y 的一个不动点的定义得到ax o 2+(b+1)x o +(b-1)=x o ,整理得ax 02+bx o +(b-1)=0,则根据判别式的意义得到△=b 2-4a (b-1)>0,即b 2-4ab+4a>0,把b 2-4ab+4a 看作b 的二次函数,由于对任意实数b ,b 2-4ab+4a>0成立,则(4a )2-4.4a<0,然后解此不等式即可.(3)(利用两点关于直线对称的两个结论,一是中点在已知直线上,二是两点连线和已知直线垂直.找到a ,b 之间的关系式,整理后在利用基本不等式求解可得.【详解】解:(1)当a=1,b=-2时,二次函数解析式为y=x 2-x-3,把(x o ,x o )代入得x 02-x 0-3=x o ,解得x o =-1或x o =3,所以函数y 的不动点为-1和3;(2)因为y=x o ,所以ax o 2+(b+1)x o +(b-1)=x o ,即ax 02+bx o +(b-1)=0,因为函数y 恒有两个相异的不动点,所以此方程有两个不相等的实数解,所以△=b 2-4a (b-1)>0,即b 2-4ab+4a>0,而对任意实数b ,b 2-4ab+4a>0成立,所以(4a )2-4.4a<0,解得0<a<1.(3)设A (x 1,x 1),B (x 2,x 2),则x 1+x 2b a =-A ,B 的中点的坐标为(1212,22x x x x ++ ),即M (,22b b a a-- ) A 、B 两点关于直线y=kx-2a+3对称,又∵A ,B 在直线y=x 上,∴k=-1,A ,B 的中点M 在直线y=kx-2a+3上. ∴b a -=b a-2a+3 得:b=2a 2-3a 所以当且仅当a=34 时,b 有最小值-98【点睛】 本题是在新定义下对函数知识的综合考查,是一道好题.关于两点关于直线对称的问题,有两个结论同时存在,一是中点在已知直线上,二是两点连线和已知直线垂直.3.如图所示,已知平面直角坐标系xOy ,抛物线过点A(4,0)、B(1,3)(1)求该抛物线的表达式,并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标;(2)记该抛物线的对称轴为直线l ,设抛物线上的点P(m,n)在第四象限,点P 关于直线l 的对称点为E ,点E 关于y 轴的对称点为F ,若四边形OAPF 的面积为20,求m 、n 的值.【答案】(1)y=-224(2)4y x x x =-+=--+,对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4)(2)m 、n 的值分别为 5,-5【解析】(1) 将点A(4,0)、B(1,3) 的坐标分别代入y =-x 2+bx +c ,得:4b+c-16=0,b+c-1="3" ,解得:b="4" , c=0.所以抛物线的表达式为:24y x x =-+.y=-224(2)4y x x x =-+=--+,所以 抛物线的对称轴为:x=2,顶点坐标为:(2,4).(2) 由题可知,E 、F 点坐标分别为(4-m ,n ),(m-4,n ).三角形POF 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,三角形AOP 的面积为:1/2×4×|n|= 2|n|,四边形OAPF 的面积= 三角形POF 的面积+三角形AOP 的面积=20,所以 4|n|=20, n=-5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以n<0)又n=-2m +4m ,所以2m -4m-5=0,m=5.(因为点P(m,n)在第四象限,所以m>0)故所求m 、n 的值分别为 5,-5.4.如图,抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过A (﹣1,0),B (3,0)两点,且与y 轴交于点C ,点D 是抛物线的顶点,抛物线对称轴DE 交x 轴于点E ,连接BD .(1)求经过A ,B ,C 三点的抛物线的函数表达式;(2)点P 是线段BD 上一点,当PE =PC 时,求点P 的坐标.【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)点P的坐标为(2,2).【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出过A,B,C三点的抛物线的函数表达式;(2)连接PC、PE,利用公式求出顶点D的坐标,利用待定系数法求出直线BD的解析式,设出点P的坐标为(x,﹣2x+6),利用勾股定理表示出PC2和PE2,根据题意列出方程,解方程求出x的值,计算求出点P的坐标.【详解】解:(1)∵抛物线y=﹣x2+bx+c经过A(﹣1,0),B(3,0)两点,∴10930b cb c--+=⎧⎨-++=⎩,解得23bc=⎧⎨=⎩,∴所求的抛物线的函数表达式为y=﹣x2+2x+3;(2)如图,连接PC,PE.抛物线的对称轴为x=222(1)ba-=-⨯-=1.当x=1时,y=4,∴点D的坐标为(1,4).设直线BD的解析式为y=kx+b,则430 k bk b+=⎧⎨+=⎩,解得26kb=-⎧⎨=⎩.∴直线BD的解析式为:y=2x+6,设点P的坐标为(x,﹣2x+6),又C(0,3),E(1,0),则PC2=x2+(3+2x﹣6)2,PE2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,∵PC=PE,∴x2+(3+2x﹣6)2=(x﹣1)2+(﹣2x+6)2,解得,x=2,则y=﹣2×2+6=2,∴点P的坐标为(2,2).【点睛】本题考查的是二次函数的图象和性质、待定系数法求函数解析式,掌握二次函数的图象和性质、灵活运用待定系数法是解题的关键.5.在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点坐标为(2,0),且经过点(4,1),如图,直线y=14x与抛物线交于A、B两点,直线l为y=﹣1.(1)求抛物线的解析式;(2)在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)知F(x0,y0)为平面内一定点,M(m,n)为抛物线上一动点,且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,求定点F的坐标.【答案】(1)抛物线的解析式为y=14x2﹣x+1.(2)点P的坐标为(2813,﹣1).(3)定点F的坐标为(2,1).【解析】分析:(1)由抛物线的顶点坐标为(2,0),可设抛物线的解析式为y=a(x-2)2,由抛物线过点(4,1),利用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,通过解方程组可求出点A、B的坐标,作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值,根据点B的坐标可得出点B′的坐标,根据点A、B′的坐标利用待定系数法可求出直线AB′的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标;(3)由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征,即可得出(1-12-12y0)m2+(2-2x0+2y0)m+x02+y02-2y0-3=0,由m的任意性可得出关于x0、y0的方程组,解之即可求出顶点F的坐标.详解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0),设抛物线的解析式为y=a(x-2)2.∵该抛物线经过点(4,1),∴1=4a,解得:a=14,∴抛物线的解析式为y=14(x-2)2=14x2-x+1.(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组,得:214114y xy x x⎧⎪⎪⎨⎪-+⎪⎩==,解得:11114xy⎧⎪⎨⎪⎩==,2241xy⎧⎨⎩==,∴点A的坐标为(1,14),点B的坐标为(4,1).作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值(如图1所示).∵点B(4,1),直线l为y=-1,∴点B′的坐标为(4,-3).设直线AB′的解析式为y=kx+b(k≠0),将A(1,14)、B′(4,-3)代入y=kx+b,得:1443k bk b⎧+⎪⎨⎪+-⎩==,解得:131243kb⎧-⎪⎪⎨⎪⎪⎩==,∴直线AB′的解析式为y=-1312x+43, 当y=-1时,有-1312x+43=-1, 解得:x=2813, ∴点P 的坐标为(2813,-1). (3)∵点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等,∴(m-x 0)2+(n-y 0)2=(n+1)2,∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0n+y 02=2n+1.∵M (m ,n )为抛物线上一动点,∴n=14m 2-m+1, ∴m 2-2x 0m+x 02-2y 0(14m 2-m+1)+y 02=2(14m 2-m+1)+1, 整理得:(1-12-12y 0)m 2+(2-2x 0+2y 0)m+x 02+y 02-2y 0-3=0. ∵m 为任意值, ∴000220001110222220230y x y x y y ⎧--⎪⎪-+⎨⎪+--⎪⎩===,∴0021x y ⎧⎨⎩==, ∴定点F 的坐标为(2,1).点睛:本题考查了待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象上点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及解方程组,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用两点之间线段最短找出点P 的位置;(3)根据点M 到直线l 的距离与点M 到点F 的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标特征,找出关于x 0、y 0的方程组.6.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+2ax ﹣3a (a <0)与x 轴相交于A ,B 两点,与y 轴相交于点C ,顶点为D ,直线DC 与x 轴相交于点E .(1)当a=﹣1时,求抛物线顶点D 的坐标,OE 等于多少;(2)OE 的长是否与a 值有关,说明你的理由;(3)设∠DEO=β,45°≤β≤60°,求a 的取值范围;(4)以DE 为斜边,在直线DE 的左下方作等腰直角三角形PDE .设P (m ,n ),直接写出n关于m的函数解析式及自变量m的取值范围.【答案】(1)(﹣1,4),3;(2)结论:OE的长与a值无关.理由见解析;(3)﹣3≤a≤﹣1;(4)n=﹣m﹣1(m<1).【解析】【分析】(1)求出直线CD的解析式即可解决问题;(2)利用参数a,求出直线CD的解析式求出点E坐标即可判断;(3)求出落在特殊情形下的a的值即可判断;(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.两条全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)当a=﹣1时,抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3,∴顶点D(﹣1,4),C(0,3),∴直线CD的解析式为y=﹣x+3,∴E(3,0),∴OE=3,(2)结论:OE的长与a值无关.理由:∵y=ax2+2ax﹣3a,∴C(0,﹣3a),D(﹣1,﹣4a),∴直线CD的解析式为y=ax﹣3a,当y=0时,x=3,∴E(3,0),∴OE=3,∴OE的长与a值无关.(3)当β=45°时,OC=OE=3,∴﹣3a=3,∴a=﹣1,当β=60°时,在Rt△OCE中,33∴﹣3∴a=3,∴45°≤β≤60°,a3≤a≤﹣1.(4)如图,作PM⊥对称轴于M,PN⊥AB于N.∵PD=PE,∠PMD=∠PNE=90°,∠DPE=∠MPN=90°,∴∠DPM=∠EPN,∴△DPM≌△EPN,∴PM=PN,PM=EN,∵D(﹣1,﹣4a),E(3,0),∴EN=4+n=3﹣m,∴n=﹣m﹣1,当顶点D在x轴上时,P(1,﹣2),此时m的值1,∵抛物线的顶点在第二象限,∴m<1.∴n=﹣m﹣1(m<1).故答案为:(1)(﹣1,4),3;(2)OE的长与a值无关;(3)﹣3≤a≤﹣1;(4)n=﹣m﹣1(m<1).【点睛】本题是二次函数综合题,考查了二次函数的图象与性质。
二次函数综合应用题(有答案)

函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式:要求能够根据题意建立相应坐标系,将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是:(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值:实际生活中的最值能够指导人们进行决策,这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方,利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
(一般式化为定点式)最值的求法:(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后,结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围,要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题,主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路:画出不等式左右两边的图象,结合函数图象求出x 的取值范围。
备选思路一:先将不等号看做等号,求出x 的取值,再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围;备选思路二:通过分类讨论或者其它方法,直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意:最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ,直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;(2) 设宾馆一天的利润为w 元,求w 与x 的函数关系式;(3) 一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?解:(1) y=50-101x (0≤x ≤160,且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000; (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890, 当x<170时,W 随x 增大而增大,但0≤x ≤160,∴当x=160时,W 最大=10880,当x=160时,y=50-101x=34。
二次函数综合应用题(有答案)中考题必练经典(学有余力的看)

函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1. 求解析式:要求能够根据题意建立相应坐标系,将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是:(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值:实际生活中的最值能够指导人们进行决策,这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方,利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
(一般式化为定点式)最值的求法:(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后,结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围,要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题,主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路:画出不等式左右两边的图象,结合函数图象求出x 的取值范围。
备选思路一:先将不等号看做等号,求出x 的取值,再结合图象考虑将等号还原为不等号后x 的取值范围;备选思路二:通过分类讨论或者其它方法,直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意:最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值1. (本题满分10分) 某宾馆有50个房间供游客住宿,当每个房间的房价为每天180元时,房间会全部住满。
当每个房间每天的房价每增加10元时,就会有一个房间空闲。
宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用。
根据规定,每个房间每天的房价不得高于340元。
设每个房间的房价每天增加x 元(x 为10的正整数倍)。
(1) 设一天订住的房间数为y ,直接写出y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围;(2) 设宾馆一天的利润为w 元,求w 与x 的函数关系式;(3) 一天订住多少个房间时,宾馆的利润最大?最大利润是多少元?解:(1) y=50-101x (0≤x ≤160,且x 是10的整数倍)。
(2) W=(50-101x)(180+x -20)= -101x 2+34x +8000; (3) W= -101x 2+34x +8000= -101(x -170)2+10890, 当x<170时,W 随x 增大而增大,但0≤x ≤160,∴当x=160时,W 最大=10880,当x=160时,y=50-101x=34。
二次函数经典中考试题(含答案)

二次函数经典中考试题(含答案)一、解答题(共30小题)1.(2013?武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):温度x/℃…﹣4 ﹣2 0 2 4 4.5 …植物每天高度增长量y/mm …41 49 49 41 25 19.75 …由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.2.(2013?莆田)如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形ABCD的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0<x<4),矩形EFGH的面积为S米2.(1)求S与x的函数关系式;(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/米2,黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?3.(2013?资阳)在关于x,y的二元一次方程组中.(1)若a=3.求方程组的解;(2)若S=a(3x+y),当a为何值时,S有最值.4.(2013?南宁)如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.(1)求此抛物线的解析式;(2)求证:AO=AM;(3)探究:①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值;②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数.5.(2013?铜仁地区)铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备(安装时间不计),这样既改善了环境,又降低了原料成本,根据统计,在使用回收净化设备后的1至x 月的利润的月平均值w(万元)满足w=10x+90.(1)设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y,请写出y与x的函数关系式.(2)请问前多少个月的利润和等于1620万元?6.(2013?宁夏)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=(1)求抛物线的解析式;(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求M点的坐标.7.(2013?宁德)如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2﹣3x与经过点B(0,6)的直线相交于x轴上点A(3,0),P为线段AB上一动点(P点横坐标为t,且与点A、B不重合),过P作x轴垂线,交抛物线于Q点,连接OP,OQ,QA.(1)写出直线AB表达式;(2)求t为何值时,△POQ为等腰直角三角形;(3)设四边形APOQ面积为S.求S与t的函数关系式,并求S的整数值的个数.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是(﹣,),对称轴是直线x=﹣.8.(2013?绥化)如图,已知抛物线y=(x﹣2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线过点M(﹣2,﹣2),求实数a的值;(2)在(1)的条件下,解答下列问题;①求出△BCE的面积;②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.9.(2013?温州)如图,抛物线y=a(x﹣1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(﹣1,0)(1)求该抛物线的解析式;(2)求梯形COBD的面积.10.(2013?南通)某公司营销A、B两种产品,根据市场调研,发现如下信息:信息1:销售A种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在二次函数关系y=ax2+bx.在x=1时,y=1.4;当x=3时,y=3.6.信息2:销售B种产品所获利润y(万元)与销售产品x(吨)之间存在正比例函数关系y=0.3x.根据以上信息,解答下列问题;(1)求二次函数解析式;(2)该公司准备购进A、B两种产品共10吨,请设计一个营销方案,使销售A、B两种产品获得的利润之和最大,最大利润是多少?11.(2013?枣庄)如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点,A点在原点的左侧,B点的坐标为(3,0),与y轴交于C(0,﹣3)点,点P是直线BC下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连接PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四边形POP′C,那么是否存在点P,使四边形POP′C为菱形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时,四边形ABPC的面积最大?求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积.12.(2013?舟山)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(x﹣m)2﹣m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,AC⊥AB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD.作AE∥x轴,DE∥y轴.(1)当m=2时,求点B的坐标;(2)求DE的长?(3)①设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式?②过点D作AB的平行线,与第(3)①题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时,以,A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形?13.(2013?泰州)已知:关于x的二次函数y=﹣x2+ax(a>0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数.(1)y1=y2,请说明a必为奇数;(2)设a=11,求使y1≤y2≤y3成立的所有n的值;(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使△ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由.14.(2013?铜仁地区)如图,已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c 经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).(1)求抛物线的解析式;(2)求△ABC的面积;(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使△ABM为等腰三角形?若不存在,请说明理由;若存在,求出点M的坐标.15.(2013?孝感)如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若∠AEF=90°,且EF交正方形外角的平分线CF于点F.(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合).①AE=EF是否总成立?请给出证明;②在如图2的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在抛物线y=﹣x2+x+1上,求此时点F的坐标.16.(2013?徐州)如图,二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,以AB为边在x轴上方作正方形ABCD,点P是x轴上一动点,连接DP,过点P作DP的垂线与y轴交于点E.(1)请直接写出点D的坐标:_________;(2)当点P在线段AO(点P不与A、O重合)上运动至何处时,线段OE的长有最大值,求出这个最大值;(3)是否存在这样的点P,使△PED是等腰三角形?若存在,请求出点P的坐标及此时△PED 与正方形ABCD重叠部分的面积;若不存在,请说明理由.17.(2013?雅安)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过A(﹣3,0),B(1,0),C(0,3)三点,其顶点为D,对称轴是直线l,l与x轴交于点H.(1)求该抛物线的解析式;(2)若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点,求△PBC周长的最小值;(3)如图(2),若E是线段AD上的一个动点(E与A、D不重合),过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F,交x轴于点G,设点E的横坐标为m,△ADF的面积为S.①求S与m的函数关系式;②S是否存在最大值?若存在,求出最大值及此时点E的坐标;若不存在,请说明理由.18.(2013?宜宾)如图,抛物线y1=x2﹣1交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C.(1)请直接写出抛物线y2的解析式;(2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标;(3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由.19.(2013?威海)如图,已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,AB=2,与y轴交于点C,对称轴为直线x=2.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P为对称轴上一动点,求△APC周长的最小值;(3)设D为抛物线上一点,E为对称轴上一点,若以点A,B,D,E为顶点的四边形是菱形,则点D的坐标为_________.20.(2013?宜昌)如图1,平面之间坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线y1=ax(x﹣t)(a为常数,a>0),该抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k>0)(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A_________,k=_________;(2)随着三角板的滑动,当a=时:①请你验证:抛物线y1=ax(x﹣t)的顶点在函数y=的图象上;②当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当t≤x≤t+4,|y2﹣y1|的值随x的增大而减小,当x≥t+4时,|y2﹣y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围.21.(2013?钦州)如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA.(1)求点A的坐标和∠AOB的度数;(2)若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C.连接OC和AC,把△AOC沿OA翻折得到四边形ACOC′.试判断其形状,并说明理由;(3)在(2)的情况下,判断点C′是否在抛物线y=x2+2x上,请说明理由;(4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.22.(2013?临沂)如图,抛物线经过A(﹣1,0),B(5,0),C(0,)三点.(1)求抛物线的解析式;(2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小,求点P的坐标;(3)点M为x轴上一动点,在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形?若存在,求点N的坐标;若不存在,请说明理由.23.(2013?烟台)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(﹣,0),以0C为直径作半圆,圆心为D.(1)求二次函数的解析式;(2)求证:直线BE是⊙D的切线;(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C 不重合),过点M作MN∥BE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,△PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围.S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由.24.(2013?宿迁)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx﹣3(a,b是常数)的图象与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.动直线y=t(t为常数)与抛物线交于不同的两点P、Q.(1)求a和b的值;(2)求t的取值范围;(3)若∠PCQ=90°,求t的值.25.(2013?随州)某公司投资700万元购甲、乙两种产品的生产技术和设备后,进行这两种产品加工.已知生产甲种产品每件还需成本费30元,生产乙种产品每件还需成本费20元.经市场调研发现:甲种产品的销售单价为x(元),年销售量为y(万件),当35≤x<50时,y 与x之间的函数关系式为y=20﹣0.2x;当50≤x≤70时,y与x的函数关系式如图所示,乙种产品的销售单价,在25元(含)到45元(含)之间,且年销售量稳定在10万件.物价部门规定这两种产品的销售单价之和为90元.(1)当50≤x≤70时,求出甲种产品的年销售量y(万元)与x(元)之间的函数关系式.(2)若公司第一年的年销售量利润(年销售利润=年销售收入﹣生产成本)为W(万元),那么怎样定价,可使第一年的年销售利润最大?最大年销售利润是多少?(3)第二年公司可重新对产品进行定价,在(2)的条件下,并要求甲种产品的销售单价x (元)在50≤x≤70范围内,该公司希望到第二年年底,两年的总盈利(总盈利=两年的年销售利润之和﹣投资成本)不低于85万元.请直接写出第二年乙种产品的销售单价m(元)的范围.26.(2013?株洲)已知抛物线C1的顶点为P(1,0),且过点(0,).将抛物线C1向下平移h个单位(h>0)得到抛物线C2.一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点(如图),且点A、C关于y轴对称,直线AB与x轴的距离是m2(m>0).(1)求抛物线C1的解析式的一般形式;(2)当m=2时,求h的值;(3)若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E,与抛物线C2交于点F.求证:tan∠EDF﹣tan∠ECP=.27.(2013?遵义)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标为(4,﹣),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边).(1)求抛物线的解析式及A,B两点的坐标;(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP 的最小值,若不存在,请说明理由;(3)以AB为直径的⊙M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式.28.(2013?黔西南州)如图,已知抛物线经过A(﹣2,0),B(﹣3,3)及原点O,顶点为C(1)求抛物线的函数解析式.(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D的坐标.(3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.29.(2013?新疆)如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标是(1,0),C点坐标是(4,3).(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使△BCD的周长最小?若存在,求出点D 的坐标,若不存在,请说明理由;(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求△ACE的最大面积及E点的坐标.30.(2013?天津)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l,顶点为点M.若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示:(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式;(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y轴的直线l′,A为直线l′上的动点,线段AM的垂直平分线交直线l于点B,点B关于直线AM的对称点为P,记P(x,y2).(1)求y2与x之间的函数关系式;(2)当x取任意实数时,若对于同一个x,有y1<y2恒成立,求t的取值范围.x …﹣1 0 3 …y1=ax2+bx+c …0 0 …【章节训练】第2章二次函数-5参考答案与试题解析一、解答题(共30小题)(选答题,不自动判卷)1.(2013?武汉)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节:科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):温度x/℃…﹣4 ﹣2 0 2 4 4.5 …植物每天高度增长量y/mm …41 49 49 41 25 19.75 …由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.(1)请你选择一种适当的函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;(2)温度为多少时,这种植物每天高度增长量最大?(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.考点:二次函数的应用.2331208分析:(1)选择二次函数,设y=ax2+bx+c(a≠0),然后选择x=﹣2、0、2三组数据,利用待定系数法求二次函数解析式即可,再根据反比例函数的自变量x不能为0,一次函数的特点排除另两种函数;(2)把二次函数解析式整理成顶点式形式,再根据二次函数的最值问题解答;(3)求出平均每天的高度增长量为25mm,然后根据y=25求出x的值,再根据二次函数的性质写出x的取值范围.解答:解:(1)选择二次函数,设y=ax2+bx+c(a≠0),∵x=﹣2时,y=49,x=0时,y=49,x=2时,y=41,∴,解得,所以,y关于x的函数关系式为y=﹣x2﹣2x+49;不选另外两个函数的理由:∵点(0,49)不可能在反比例函数图象上,∴y不是x的反比例函数;∵点(﹣4,41),(﹣2,49),(2,41)不在同一直线上,∴y不是x的一次函数;(2)由(1)得,y=﹣x2﹣2x+49=﹣(x+1)2+50,∵a=﹣1<0,∴当x=﹣1时,y有最大值为50,即当温度为﹣1℃时,这种作物每天高度增长量最大;(3)∵10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,∴平均每天该植物高度增长量超过25mm,当y=25时,﹣x2﹣2x+49=25,整理得,x2+2x﹣24=0,解得x1=﹣6,x2=4,∴在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250mm,实验室的温度应保持在﹣6<x <4℃.点评:本题考查了二次函数的应用,主要利用了待定系数法求二次函数解析式,二次函数的最值问题,以及利用二次函数求不等式,仔细分析图表数据并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.2.(2013?莆田)如图所示,某学校拟建一个含内接矩形的菱形花坛(花坛为轴对称图形).矩形的四个顶点分别在菱形四条边上,菱形ABCD的边长AB=4米,∠ABC=60°.设AE=x米(0<x<4),矩形EFGH的面积为S米2.(1)求S与x的函数关系式;(2)学校准备在矩形内种植红色花草,四个三角形内种植黄色花草.已知红色花草的价格为20元/米2,黄色花草的价格为40元/米2.当x为何值时,购买花草所需的总费用最低,并求出最低总费用(结果保留根号)?考点:二次函数的应用;菱形的性质;矩形的性质.2331208专题:应用题.分析:(1)连接AC、BD,根据轴对称的性质,可得EH∥BD,EF∥AC,△BEF为等边三角形,从而求出EF,在Rt△AEM中求出EM,继而得出EH,这样即可得出S与x的函数关系式.(2)根据(1)的答案,可求出四个三角形的面积,设费用为W,则可得出W关于x 的二次函数关系式,利用配方法求最值即可.解答:解:(1)连接AC、BD,∵花坛为轴对称图形,∴EH∥BD,EF∥AC,∴△BEF∽△BAC,∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AC,又∵∠ABC=60°,∴△ABC是等边三角形.同理,得到△BEF是等边三角形,∴EF=BE=AB﹣AE=4﹣x,在Rt△AEM中,∠AEM=∠ABD=30°,则EM=AEcos∠AEM=x,∴EH=2EM=x,故可得S=(4﹣x)×x=﹣x2+4x.(2)易求得菱形ABCD的面积为8m2,由(1)得,矩形ABCD的面积S=﹣x2+4x.则可得四个三角形的面积为(8+x2﹣4x),设总费用为W,则W=20(﹣x2+4x)+40(8+x2﹣4x)=20x2﹣80x+320=20(x﹣2)2+240,∵0<x<4,∴当x=2时,W取得最小,W最小=240元.即当x为2时,购买花草所需的总费用最低,最低费用为240元.点评:本题考查了二次函数的应用,首先需要根据花坛为轴对称图形,得出EH∥BD,EF∥AC,重点在于分别得出EF、EH关于x的表达式,另外要掌握配方法求二次函数最值的应用.3.(2013?资阳)在关于x,y的二元一次方程组中.(1)若a=3.求方程组的解;(2)若S=a(3x+y),当a为何值时,S有最值.考点:二次函数的最值;解二元一次方程组.2331208分析:(1)用加减消元法求解即可;(2)把方程组的两个方程相加得到3x+y=a+1,然后代入整理,再利用二次函数的最值问题解答.解答:解:(1)a=3时,方程组为,②×2得,4x﹣2y=2③,①+③得,5x=5,解得x=1,把x=1代入①得,1+2y=3,解得y=1,所以,方程组的解是;(2)方程组的两个方程相加得,3x+y=a+1,所以,S=a(3x+y)=a(a+1)=a2+a,所以,当a=﹣=﹣时,S有最小值.点评:本题考查了二次函数的最值问题,解二元一次方程组,(2)根据方程组的系数的特点,把两个方程相加得到3x+y的表达式是解题的关键.4.(2013?南宁)如图,抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N.(1)求此抛物线的解析式;(2)求证:AO=AM;(3)探究:①当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值;②试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数.考点:二次函数综合题.2331208专题:代数几何综合题;压轴题.分析:(1)把点C、D的坐标代入抛物线解析式求出a、c,即可得解;(2)根据抛物线解析式设出点A的坐标,然后求出AO、AM的长,即可得证;(3)①k=0时,求出AM、BN的长,然后代入+计算即可得解;②设点A(x1,x12﹣1),B(x2,x22﹣1),然后表示出+,再联立抛物线与直线解析式,消掉未知数y得到关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系表示出x1+x2,x1?2,并求出x12+x22,x12?x22,然后代入进行计算即可得解.解答:(1)解:∵抛物线y=ax2+c(a≠0)经过C(2,0),D(0,﹣1),∴,解得,所以,抛物线的解析式为y=x2﹣1;(2)证明:设点A的坐标为(m,m2﹣1),则AO==m2+1,∵直线l过点E(0,﹣2)且平行于x轴,∴点M的纵坐标为﹣2,∴AM=m2﹣1﹣(﹣2)=m2+1,∴AO=AM;(3)解:①k=0时,直线y=kx与x轴重合,点A、B在x轴上,∴AM=BN=0﹣(﹣2)=2,∴+=+=1;②k取任何值时,设点A(x1,x12﹣1),B(x2,x22﹣1),则+=+==,联立,消掉y得,x2﹣4kx﹣4=0,由根与系数的关系得,x1+x2=4k,x1?x2=﹣4,所以,x12+x22=(x1+x2)2﹣2x1?x2=16k2+8,x12?x22=16,∴+===1,∴无论k取何值,+的值都等于同一个常数1.点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了待定系数法求二次函数解析式,勾股定理以及点到直线的距离,根与系数的关系,根据抛物线上点的坐标特征设出点A、B的坐标,然后用含有k的式子表示出+是解题的关键,也是本题的难点,计算量较大,要认真仔细.5.(2013?铜仁地区)铜仁市某电解金属锰厂从今年1月起安装使用回收净化设备(安装时间不计),这样既改善了环境,又降低了原料成本,根据统计,在使用回收净化设备后的1至x 月的利润的月平均值w(万元)满足w=10x+90.(1)设使用回收净化设备后的1至x月的利润和为y,请写出y与x的函数关系式.(2)请问前多少个月的利润和等于1620万元?考点:一元二次方程的应用;根据实际问题列二次函数关系式.2331208专题:压轴题.分析:(1)利用“总利润=月利润的平均值×月数”列出函数关系式即可;(2)根据总利润等于1620列出方程求解即可.解答:解:(1)y=w?x=(10x+90)x=10x2+90x(x为正整数),(2)设前x个月的利润和等于1620万元,10x2+90x=1620即:x2+9x﹣162=0得x=x1=9,x2=﹣18(舍去),答:前9个月的利润和等于1620万元.点评:本题考查了一元二次方程的应用及根据实际问题列出二次函数关系式的知识,解题的关键是弄清总利润与月平均利润和月数之间的关系.6.(2013?宁夏)如图,抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交C点,点A的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,3)它的对称轴是直线x=(1)求抛物线的解析式;(2)M是线段AB上的任意一点,当△MBC为等腰三角形时,求M点的坐标.考点:二次函数综合题.2331208专题:综合题.分析:(1)根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式,然后代入已知的两点理由待定系数法求解即可;(2)首先求得点B的坐标,然后分CM=BM时和BC=BM时两种情况根据等腰三角形的性质求得点M的坐标即可.解答:解:(1)设抛物线的解析式把A(2,0)C(0,3)代入得:解得:∴即(2)由y=0得∴x1=2,x2=﹣3∴B(﹣3,0)①CM=BM时∵BO=CO=3 即△BOC是等腰直角三角形∴当M点在原点O时,△MBC是等腰三角形∴M点坐标(0,0)②BC=BM时在Rt△BOC中,BO=CO=3,由勾股定理得BC=∴BC=,∴BM=∴M点坐标(点评:本题考查了二次函数的综合知识,第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式,较为简单.第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质,综合性较强.7.(2013?宁德)如图,在直角坐标系中,抛物线y=x2﹣3x与经过点B(0,6)的直线相交于x轴上点A(3,0),P为线段AB上一动点(P点横坐标为t,且与点A、B不重合),过P 作x轴垂线,交抛物线于Q点,连接OP,OQ,QA.(1)写出直线AB表达式;(2)求t为何值时,△POQ为等腰直角三角形;(3)设四边形APOQ面积为S.求S与t的函数关系式,并求S的整数值的个数.参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点是(﹣,),对称轴是直线x=﹣.考点:二次函数综合题.2331208专题:综合题.分析:(1)设直线AB解析式为y=kx+b,将A与B代入计算求出k与b的值,即可确定出直线AB解析式;(2)若三角形POQ为等腰直角三角形,根据题意得到|PQ|=2t,将x=t代入直线AB解析式求出P纵坐标,将x=t代入抛物线解析式求出Q纵坐标,两纵坐标相减的绝对值即为|PQ|,列出关于t的方程,求出方程的解即可得到t的值;(3)四边形APOQ的对角线互相垂直,由OA与PQ乘积的一半表示出S与t的关系式,求出S的整数值个数即可.解答:解:(1)设直线AB解析式为y=kx+b,将A(3,0),B(0,6)代入得:,解得:,则直线AB解析式为y=﹣2x+6;(2)将x=t代入直线AB解析式得:y=﹣2t+6;将x=t代入抛物线y=x2﹣3x解析式得:y=t2﹣3t,∴|PQ|=﹣2t+6﹣t2+3t=﹣t2+t+6,若△POQ为等腰直角三角形,则有2t=﹣t2+t+6,即t2+t﹣6=0,解得:t=2或t=﹣3(舍去),则t=2时,△POQ为等腰直角三角形;(3)∵OA⊥PQ,∴S=|OA|?|PQ|=×3×(﹣t2+t+6)=﹣t2+t+9,∵0<S<9,∴S的整数值可能为1,2,3,4,5,6,7,8,9当S=1,2,3,4,5,6,7,8,9时,求出的t值在范围0<t<3中,∴S的整数值有9个.点评:此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法求一次函数解析式,坐标与图形性质,等腰直角三角形的性质,对角线互相垂直的四边形面积求法,以及二次函数的性质,熟练掌握待定系数法是解本题第一问的关键.8.(2013?绥化)如图,已知抛物线y=(x﹣2)(x+a)(a>0)与x轴交于点B、C,与y轴交于点E,且点B在点C的左侧.(1)若抛物线过点M(﹣2,﹣2),求实数a的值;(2)在(1)的条件下,解答下列问题;①求出△BCE的面积;②在抛物线的对称轴上找一点H,使CH+EH的值最小,直接写出点H的坐标.考点:二次函数综合题.2331208专题:综合题.分析:(1)将M坐标代入抛物线解析式求出a的值即可;(2)①求出的a代入确定出抛物线解析式,令y=0求出x的值,确定出B与C坐标,令x=0求出y的值,确定出E坐标,进而得出BC与OE的长,即可求出三角形BCE 的面积;②根据抛物线解析式求出对称轴方程为直线x=﹣1,根据C与B关于对称轴对称,连接BE,与对称轴交于点H,即为所求,设直线BE解析式为y=kx+b,将B 与E坐标代入求出k与b的值,确定出直线BE解析式,将x=﹣1代入直线BE解析式求出y的值,即可确定出H的坐标.解答:解:(1)将M(﹣2,﹣2)代入抛物线解析式得:﹣2=(﹣2﹣2)(﹣2+a),解得:a=4;(2)①由(1)抛物线解析式y=(x﹣2)(x+4),当y=0时,得:0=(x﹣2)(x+4),解得:x1=2,x2=﹣4,∵点B在点C的左侧,∴B(﹣4,0),C(2,0),当x=0时,得:y=﹣2,即E(0,﹣2),∴S△BCE=×6×2=6;②由抛物线解析式y=(x﹣2)(x+4),得对称轴为直线x=﹣1,根据C与B关于抛物线对称轴直线x=﹣1对称,连接BE,与对称轴交于点H,即为所求,设直线BE解析式为y=kx+b,将B(﹣4,0)与E(0,﹣2)代入得:,解得:,∴直线BE解析式为y=﹣x﹣2,将x=﹣1代入得:y=﹣2=﹣,则H(﹣1,﹣).点评:此题属于二次函数综合题,涉及的知识有:待定系数法确定函数解析式,抛物线与坐标轴的交点,对称的性质,坐标与图形性质,熟练掌握待定系数法是解本题的关键.9.(2013?温州)如图,抛物线y=a(x﹣1)2+4与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,过点C作CD∥x轴交抛物线的对称轴于点D,连接BD,已知点A的坐标为(﹣1,0)(1)求该抛物线的解析式;(2)求梯形COBD的面积.考点:待定系数法求二次函数解析式;二次函数的性质;抛物线与x轴的交点.2331208专题:计算题.分析:(1)将A坐标代入抛物线解析式,求出a的值,即可确定出解析式;(2)抛物线解析式令x=0求出y的值,求出OC的长,根据对称轴求出CD的长,令y=0求出x的值,确定出OB的长,利用梯形面积公式即可求出梯形COBD的面积.。
中考数学专题复习二次函数的综合题含答案

中考数学专题复习二次函数的综合题含答案一、二次函数1.已知,m ,n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根,且|m |<|n |,抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),如图所示. (1)求这个抛物线的解析式;(2)设(1)中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ,求出点C ,D 的坐标,并判断△BCD 的形状;(3)点P 是直线BC 上的一个动点(点P 不与点B 和点C 重合),过点P 作x 轴的垂线,交抛物线于点M ,点Q 在直线BC 上,距离点P 为2个单位长度,设点P 的横坐标为t ,△PMQ 的面积为S ,求出S 与t 之间的函数关系式.【答案】(1)223y x x =--;(2)C (3,0),D (1,﹣4),△BCD 是直角三角形;(3)2213(03)2213(03)22t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩<<<或>【解析】试题分析:(1)先解一元二次方程,然后用待定系数法求出抛物线解析式;(2)先解方程求出抛物线与x 轴的交点,再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,从而得到结论;(3)先求出QF=1,再分两种情况,当点P 在点M 上方和下方,分别计算即可. 试题解析:解(1)∵2+430x x +=,∴11x =-,23x =-,∵m ,n 是一元二次方程2+430x x +=的两个实数根,且|m|<|n|,∴m=﹣1,n=﹣3,∵抛物线223y x x =--的图象经过点A (m ,0),B (0,n ),∴10{3b c c -+==-,∴2{3b c =-=-,∴抛物线解析式为223y x x =--;(2)令y=0,则2230x x --=,∴11x =-,23x =,∴C (3,0),∵223y x x =--=2(1)4x --,∴顶点坐标D (1,﹣4),过点D 作DE ⊥y 轴,∵OB=OC=3,∴BE=DE=1,∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形,∴∠OBC=∠DBE=45°,∴∠CBD=90°,∴△BCD 是直角三角形;(3)如图,∵B (0,﹣3),C (3,0),∴直线BC 解析式为y=x ﹣3,∵点P 的横坐标为t ,PM ⊥x 轴,∴点M 的横坐标为t ,∵点P 在直线BC 上,点M 在抛物线上,∴P (t ,t ﹣3),M (t ,223t t --),过点Q 作QF ⊥PM ,∴△PQF 是等腰直角三角形,∵PQ=2,∴QF=1.①当点P 在点M 上方时,即0<t <3时,PM=t ﹣3﹣(223t t --)=23t t -+,∴S=12PM×QF=21(3)2t t -+=21322t t -+,②如图3,当点P 在点M 下方时,即t <0或t>3时,PM=223t t --﹣(t ﹣3)=23t t -,∴S=12PM×QF=12(23t t -)=21322t t -.综上所述,S=2213(03)22{13 (03)22t t t t t t t 或-+<<-.考点:二次函数综合题;分类讨论.2.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A (﹣1,0)B (3,0)两点,与y 轴交于点C ,点D 是该抛物线的顶点. (1)求抛物线的解析式和直线AC 的解析式;(2)请在y 轴上找一点M ,使△BDM 的周长最小,求出点M 的坐标;(3)试探究:在拋物线上是否存在点P ,使以点A ,P ,C 为顶点,AC 为直角边的三角形是直角三角形?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣x 2+2x+3;直线AC 的解析式为y=3x+3;(2)点M 的坐标为(0,3);(3)符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139),【解析】分析:(1)设交点式y=a(x+1)(x-3),展开得到-2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式;再确定C(0,3),然后利用待定系数法求直线AC的解析式;(2)利用二次函数的性质确定D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(-3,0),利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标;(3)过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=-13x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=-13x+3,再解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==得此时P点坐标;当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标.详解:(1)设抛物线解析式为y=a(x+1)(x﹣3),即y=ax2﹣2ax﹣3a,∴﹣2a=2,解得a=﹣1,∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3;当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3),设直线AC的解析式为y=px+q,把A(﹣1,0),C(0,3)代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩,解得33pq=⎧⎨=⎩,∴直线AC的解析式为y=3x+3;(2)∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4,∴顶点D的坐标为(1,4),作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′(﹣3,0),∵MB=MB′,∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小,而BD的值不变,∴此时△BDM的周长最小,易得直线DB′的解析式为y=x+3,当x=0时,y=x+3=3,∴点M的坐标为(0,3);(3)存在.过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,∵直线AC的解析式为y=3x+3,∴直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b,把C(0,3)代入得b=3,∴直线PC的解析式为y=﹣13x+3,解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩==,解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则此时P点坐标为(73,209);过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b,把A(﹣1,0)代入得13+b=0,解得b=﹣13,∴直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13,解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩==,解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,则此时P点坐标为(103,﹣139).综上所述,符合条件的点P的坐标为(73,209)或(103,﹣139).点睛:本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标;理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题;会运用分类讨论的思想解决数学问题.3.已知抛物线26y x x c =-++.(1)若该抛物线与x 轴有公共点,求c 的取值范围;(Ⅱ)设该抛物线与直线21y x =+交于M ,N 两点,若MN =C 的值; (Ⅲ)点P ,点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点,,PA QB 都垂直于x 轴,垂足分别为A ,B ,若OPA OQB ∆≅∆,求c 的取值范围.【答案】(I )9c -…;(Ⅱ)2c =-;(Ⅲ)c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点,则判别式为非负数,列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点,并根据勾股定理求出MN 的长度,列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知,P ,Q 两点的坐标特点,设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ,则点Q 的坐标为(,)n m ,代入二次函数,得到n,m 的关系,则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解:(I )∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点,∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
中考数学 二次函数综合试题含答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1.如图,已知抛物线经过点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)三点,点D 与点C 关于x 轴对称,点P 是线段AB 上的一个动点,设点P 的坐标为(m ,0),过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ,交直线BD 于点M .(1)求该抛物线所表示的二次函数的表达式;(2)在点P 运动过程中,是否存在点Q ,使得△BQM 是直角三角形?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;(3)连接AC ,将△AOC 绕平面内某点H 顺时针旋转90°,得到△A 1O 1C 1,点A 、O 、C 的对应点分别是点A 、O 1、C 1、若△A 1O 1C 1的两个顶点恰好落在抛物线上,那么我们就称这样的点为“和谐点”,请直接写出“和谐点”的个数和点A 1的横坐标.【答案】(1)y=-21x 2+32x+2;(2)存在,Q (3,2)或Q (-1,0);(3)两个和谐点,A 1的横坐标是1,12. 【解析】【分析】(1)把点A (1,0)、B (4,0)、C (0,3)三点的坐标代入函数解析式,利用待定系数法求解;(2)分两种情况分别讨论,当∠QBM=90°或∠MQB=90°,即可求得Q 点的坐标. (3)(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A 1(x ,y ),则C 1(x+2,y-1),O 1(x ,y-1),①当A 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是1;当O 1、C 1在抛物线上时,A 1的横坐标是2;【详解】解:(1)设抛物线解析式为y=ax 2+bx+c ,将点A (-1,0),B (4,0),C (0,2)代入解析式,∴0a b c 016a 4b c 2c =-+⎧⎪=++⎨⎪=⎩,∴1 a23 b2⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴y=-21x2+32x+2;(2)∵点C与点D关于x轴对称,∴D(0,-2).设直线BD的解析式为y=kx-2.∵将(4,0)代入得:4k-2=0,∴k=12.∴直线BD的解析式为y=12x-2.当P点与A点重合时,△BQM是直角三角形,此时Q(-1,0);当BQ⊥BD时,△BQM是直角三角形,则直线BQ的直线解析式为y=-2x+8,∴-2x+8=-21x2+32x+2,可求x=3或x=4(舍)∴x=3;∴Q(3,2)或Q(-1,0);(3)两个和谐点;AO=1,OC=2,设A1(x,y),则C1(x+2,y-1),O1(x,y-1),①当A1、C1在抛物线上时,∴()2213yx x 22213y 1(x 2)x 2222⎧=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴x 1y 3=⎧⎨=⎩, ∴A 1的横坐标是1;当O 1、C 1在抛物线上时,()2213y 1x x 22213y 1(x 2)x 2222⎧-=-++⎪⎪⎨⎪-=-++++⎪⎩, ∴1x 221y 8⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴A 1的横坐标是12;【点睛】本题是二次函数的综合题,考查了待定系数法求二次函数的解析式,轴对称-最短路线问题,等腰三角形的性质等;分类讨论思想的运用是本题的关键.2.如图,抛物线y =ax 2+bx +4与x 轴交于点A (﹣1,0)、B (3,0),与y 轴交于点C . (1)求抛物线的解析式;(2)如图1,D 为抛物线对称轴上一动点,求D 运动到什么位置时△DAC 的周长最小; (3)如图2,点E 在第一象限抛物线上,AE 与BC 交于点F ,若AF :FE =2:1,求E 点坐标;(4)点M 、N 同时从B 点出发,分别沿BA 、BC 方向运动,它们的运动速度都是1个单位/秒,当点M 运动到点A 时,点N 停止运动,则当点N 停止运动后,在x 轴上是否存在点P ,使得△PBN 是等腰三角形?若存在,直接写出点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)248433y x x =-++(2)81,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭(3)点P 的坐标P 1(﹣1,0)或P 2(7,0)或P 3(﹣95,0)或P 4(13,0). 【解析】【分析】 (1)直接待定系数法代入求解即可 (2)找到D 点在对称轴时是△DAC 周长最小的点,先求出直线BC ,然后D 点横坐标是1,直接代入直线BC 求出纵坐标即可 (3)作EH ∥AB 交BC 于H ,则∠FAB =∠FEH ,∠FBA =∠FHE ,易证△ABF ∽△EHF ,得AB AF 2EH EF ==,得EH=2,设E (x ,248x x 433-++),则H (x ﹣2,420x 33-+),y E =y H ,解出方程x =1或x =2,得到E 点坐标 (4)△PBN 是等腰三角形,分成三种情况,①BP =BC 时,利用等腰三角性质直接得到P 1(﹣1,0)或P 2(7,0),②当NB =NP 时,作NH ⊥x 轴,易得△NHB ∽△COB ,利用比例式得到NH 、 BH 从而得到 PH =BH ,BP ,进而得到OP ,即得到P 点坐标,③当PN =PB 时,取NB 中点K ,作KP ⊥BN ,交x 轴于点P ,易得△NOB ∽△PKB ,利用比例式求出PB ,进而得到OP ,即求出P 点坐标【详解】解:(1)将A (﹣1,0)、B (3,0)代入y =ax 2+bx+4,得 40930a b a b c -+=⎧⎨++=⎩解得a =43-,b =83, ∴抛物线的解析式248433y x x =-++; (2)22484164(1)3333=-++=--+y x x x ∴抛物线对称轴为直线x =1,∴D 的横坐标为1,由(1)可得C (0,4),∵B (3,0),∴直线BC :4 y 43x =-+ ∵DA =DB , △DAC 的周长=AC+CD+AD =AC+CD+BD ,连接BC ,与对称轴交于点D ,此时CD+BD 最小,∵AC 为定值,∴此时△DAC 的周长,当x =1时,y =﹣43×1+4=83, ∴D (1,83); (3)作EH ∥AB 交BC 于H ,则∠FAB =∠FEH ,∠FBA =∠FHE ,∴△ABF ∽△EHF ,∵AF :FE =2:1,∴AB AF 2EH EF==, ∵AB =4,∴EH =2,设E (x ,248x x 433-++),则H (x ﹣2,420x 33-+) ∵EH ∥AB ,∴y E =y H , ∴248x x 433-++=420x 33-+ 解得x =1或x =2, y =163或4, ∴E (1,163)或(2,4); (4)∵A (﹣1,0)、B (3,0),C (0,4)∴AB =4,OC =4,点M 运动到点A 时,BM =AB =4,∴BN =4,∵△PBN 是等腰三角形,①BP =BC 时,若P 在点B 左侧,OP =PB ﹣OB =4﹣3=1,∴P 1(﹣1,0),若P 在点B 右侧,OP =OB+BP =4+3=7,∴P 2(7,0);②当NB =NP 时,作NH ⊥x 轴,△NHB ∽△COB ,∴45NH BH BN OC OB BC === ∴NH =45OC =445⨯=165, BH =45BC =125,∴PH=BH=125,BP=245,∴OP=BP﹣OB=249355-=,∴P3(﹣95,0);③当PN=PB时,取NB中点K,作KP⊥BN,交x轴于点P,∴△NOB∽△PKB,∴PB BKBN OB=∴PB=83,∴OP=OB﹣PB=3﹣83=13P4(13,0)综上,当△PBN是等腰三角形时,点P的坐标P1(﹣1,0)或P2(7,0)或P3(﹣95,0)或P4(13,0).【点睛】本题考查二次函数、平行线性质、相似三角形、等腰三角形性质及最短距离等知识点,综合程度比较高,对综合能力要求比较高. 第一问比较简单,考查待定系数法;第二问最短距离,找到D点是解题关键;第三问证明出相似是关键;第四问能够分情况讨论是解题关键3.在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线y=﹣12x2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,52),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处.(1)求这条抛物线的表达式;(2)求线段CD的长;(3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标.【答案】(1)抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52;(2)线段CD 的长为2;(3)M 点的坐标为(0,72)或(0,﹣72). 【解析】 【分析】(1)利用待定系数法求抛物线解析式;(2)利用配方法得到y=﹣12(x ﹣2)2+92,则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物线的对称轴为直线x=2,如图,设CD=t ,则D (2,92﹣t ),根据旋转性质得∠PDC=90°,DP=DC=t ,则P (2+t ,92﹣t ),然后把P (2+t ,92﹣t )代入y=﹣12x 2+2x+52得到关于t 的方程,从而解方程可得到CD 的长; (3)P 点坐标为(4,92),D 点坐标为(2,52),利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为(2,﹣2),设M (0,m ),当m >0时,利用梯形面积公式得到12•(m+52+2)•2=8当m <0时,利用梯形面积公式得到12•(﹣m+52+2)•2=8,然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标.【详解】(1)把A (﹣1,0)和点B (0,52)代入y=﹣12x 2+bx+c 得 10252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得252b c =⎧⎪⎨=⎪⎩, ∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+52; (2)∵y=﹣12(x ﹣2)2+92, ∴C (2,92),抛物线的对称轴为直线x=2, 如图,设CD=t ,则D (2,92﹣t ),∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°,点C 落在抛物线上的点P 处,∴∠PDC=90°,DP=DC=t ,∴P (2+t ,92﹣t ), 把P (2+t ,92﹣t )代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12(2+t )2+2(2+t )+52=92﹣t , 整理得t 2﹣2t=0,解得t 1=0(舍去),t 2=2,∴线段CD 的长为2; (3)P 点坐标为(4,92),D 点坐标为(2,52), ∵抛物线平移,使其顶点C (2,92)移到原点O 的位置, ∴抛物线向左平移2个单位,向下平移92个单位, 而P 点(4,92)向左平移2个单位,向下平移92个单位得到点E , ∴E 点坐标为(2,﹣2),设M (0,m ), 当m >0时,12•(m+52+2)•2=8,解得m=72,此时M 点坐标为(0,72); 当m <0时,12•(﹣m+52+2)•2=8,解得m=﹣72,此时M 点坐标为(0,﹣72); 综上所述,M 点的坐标为(0,72)或(0,﹣72).【点睛】本题考查了二次函数的综合题,涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识,综合性较强,正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.4.如图,已知直线y kx 6=-与抛物线2y ax bx c =++相交于A ,B 两点,且点A (1,-4)为抛物线的顶点,点B 在x 轴上。
二次函数综合题经典40题(含知识点与答案解析)(可编辑修改word版)

2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷评卷人得分一.解答题(共40小题)1.已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴,且过点(1,2),(2,5).(1)求二次函数的解析式;(2)如图,过点E(0,2)的一次函数图象与二次函数的图象交于A,B两点(A点在B 点的左侧),过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D.①当CD=3时,求该一次函数的解析式;②分别用S1,S2,S3表示△ACE,△ECD,△EDB的面积,问是否存在实数t,使得S22=tS1S3都成立?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.2.如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣k(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;(2)过D点向x轴作垂线,垂足为点M,连结AD,若∠MDA=∠ABD,求点D的坐标;(3)若在第一象限的抛物线上有一点P,使得以点A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,请直接写出△ABC的面积.3.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,图象经过B(﹣3,0)、C(0,3)两点,且与x轴交于点A.(1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使△ACM周长最短,求出点M的坐标;(3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点,直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标.4.定义:在平面直角坐标系xOy中,直线y=a(x﹣m)+k称为抛物线y=a(x﹣m)2+k 的关联直线.(1)求抛物线y=x2+6x﹣1的关联直线;(2)已知抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,求这条抛物线的表达式;(3)如图,顶点在第一象限的抛物线y=﹣a(x﹣1)2+4a与它的关联直线交于点A,B(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C,连结AC、BC.当△ABC为直角三角形时,求a的值.5.已知抛物线y=﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧).(1)当m=2时,抛物线与y轴交于点C.①直接写出点A、B、C的坐标;②如图1,连接AC,在x轴上方的抛物线上有一点D,若∠ABD=∠ACO,求点D的坐标;③如图2,点P为抛物线位于第一象限图象上一动点,过P作PQ⊥CB,求PQ的最大值;(2)如图3,若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,直线MN上有一点H,满足∠HBA与∠MAB互余,试判断HN的长是否变化,若变化,请说明理由,若不变,请求出HN长.6.如图,已知抛物线经过点A(3,0),B(0,3),C(﹣1,0).(1)求抛物线的函数表达式;(2)求抛物线的顶点坐标;(3)如图1,点D是抛物线上一动点,过D作y轴的平行线DE交直线AB于点E,当线段DE=1时,请直接写出D点的横坐标;(4)如图2,当D为直线AB上方抛物线上一动点时,DF⊥AB于F,设AC的中点为M,连接BD,BM,是否存在点D,使得△BDF中有一个角与∠BMO相等?若存在,请直接写出点D的横坐标;若不存在,请说明理由.7.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点分别为A(﹣3,0)、B(1,0),与y轴交于点D(0,3),过顶点C作CH⊥x轴于点H(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;(2)连结AD、CD,若点E为抛物线上一动点(点E与顶点C不重合),当△ADE与△ACD面积相等时,求点E的坐标;(3)若点P为抛物线上一动点(点P与顶点C不重合),过点P向CD所在的直线作垂线,垂足为点Q,以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时,求点P的坐标.8.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(﹣1,0),与y轴交于点C(0,2),直线CD:y=﹣x+2与x轴交于点D.动点M在抛物线上运动,过点M作MP⊥x轴,垂足为P,交直线CD于点N.(1)求抛物线的解析式;(2)当点P在线段OD上时,△CDM的面积是否存在最大值,若存在,请求出最大值;若不存在,请说明理由;(3)点E是抛物线对称轴与x轴的交点,点F是x轴上一动点,点M在运动过程中,若以C、E、F、M为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出点F的坐标.9.如图,在直角坐标平面内,抛物线经过原点O、点B(1,3),又与x轴正半轴相交于点A,∠BAO=45°,点P是线段AB上的一点,过点P作PM∥OB,与抛物线交于点M,且点M在第一象限内.(1)求抛物线的表达式;(2)若∠BMP=∠AOB,求点P的坐标;(3)过点M作MC⊥x轴,分别交直线AB、x轴于点N、C,若△ANC的面积等于△PMN 的面积的2倍,求的值.10.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,顶点为D,且过点(2,﹣3a).(1)求抛物线的解析式;(2)抛物线上是否存在一点P,过点P作PM⊥BD,垂足为点M,PM=2DM?若存在,求点P的坐标;若不存在,说明理由.(3)在(2)的条件下,求△PMD的面积.11.如图,直线y=x+c与x轴交于点A(﹣4,0),与y轴交于点C,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A,C.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点P是抛物线上的一个动点,并且点P在第二象限内,过动点P作PE⊥x轴于点E,交线段AC于点D.①如图1,过D作DF⊥y轴于点F,交抛物线于M,N两点(点M位于点N的左侧),连接EF,当线段EF的长度最短时,求点P,M,N的坐标;②如图2,连接CD,若以C,P,D为顶点的三角形与△ADE相似,求△CPD的面积.12.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C(0,3),其对称轴l为x=﹣1.(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标;(2)若动点P在第二象限内的抛物线上,动点N在对称轴l上.①当PA⊥NA,且PA=NA时,求此时点P的坐标;②当四边形PABC的面积最大时,求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标.13.如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+3与直线y=x﹣3交于点A(3,0)和点B(﹣2,n),与y轴交于点C.(1)求出抛物线的函数表达式;(2)在图1中,平移线段AC,点A、C的对应点分别为M、N,当N点落在线段AB上时,M点也恰好在抛物线上,求此时点M的坐标;(3)如图2,在(2)的条件下,在抛物线上是否存在点P(不与点A重合),使△PMC 的面积与△AMC的面积相等?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.14.已知抛物线l1与l2形状相同,开口方向不同,其中抛物线l1:y=ax2﹣6ax﹣10交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),且AB=4,抛物线l2与l1交于点A与C(4,m).(1)求抛物线l1,l2的函数表达式;(2)当x的取值范围是 时,抛物线l1与l2上的点的纵坐标同时随横坐标的增大而增大;(3)直线PQ∥y轴,分别交x轴,l1,l2于点D(n,0),P,Q,当≤n≤5时,求线段PQ的最大值.15.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx﹣3交x轴于点A(﹣3,0)、B(1,0),在y轴上有一点E(0,1),连接AE.(1)求二次函数的表达式;(2)若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点,求△ADE面积的最大值;(3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标;若不存在,请说明理由.16.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B、C,已知A(﹣1,0),C(0,3).(1)求抛物线的表达式;(2)如图1,P为线段BC上一点,过点P作y轴平行线,交抛物线于点D,当△BCD的面积最大时,求点P的坐标;(3)如图2,抛物线顶点为E,EF⊥x轴于F点,N是线段EF上一动点,M(m,0)是x轴上一动点,若∠MNC=90°,直接写出实数m的取值范围.17.已知直线y=x+4分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+mx﹣4经过点A,和x轴的另一个交点为C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图1,点D是抛物线上的动点,且在第三象限,求△ABD面积的最大值;(3)如图2,经过点M(﹣4,1)的直线交抛物线于点P、Q,连接CP、CQ分别交y轴于点E、F,求OE•OF的值.18.如图,在平面直角坐标系中,直线y=+2分别交x轴、y轴于点A、B,抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A、B.点P是x轴上一个动点,过点P作垂直于x轴的直线分别交抛物线和直线AB于点E和点F.设点P的横坐标为m.(1)点A的坐标为 .(2)求这条抛物线所对应的函数表达式.(3)点P在线段OA上时,若以B、E、F为顶点的三角形与△FPA相似,求m的值.(4)若E、F、P三个点中恰有一点是其它两点所连线段的中点(三点重合除外),称E、F、P三点为“共谐点”.直接写出E、F、P三点成为“共谐点”时m的值.19.如图1,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,OB=OC.点D在函数图象上,CD∥x轴,且CD=4,直线1是抛物线的对称轴,E是抛物线的顶点.(1)求b、c的值;(2)如图1,连接BE,线段OC上的点F关于直线l的对称点F'恰好在线段BE上,求点F的坐标;(3)如图2,动点P在线段OB上,过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M,与抛物线交于点N.抛物线上有一点Q,使得△PQN与△APM的面积相等,请求出点Q到直线PN的距离.20.如图抛物线y=ax2+2交x轴于点A(﹣2,0)、B,交y轴于点C;(1)求抛物线的解析式;(2)点P从点A出发,以1个单位/秒的速度向终点B运动,同时点Q从点C出发,以相同的速度沿y轴正方向向上运动,运动的时间为t秒,当点P到达点B时,点Q也停止运动,设△PQC的面积为S,求S与t间的函数关系式并直接写出t的取值范围;(3)在(2)的条件下,当点P在线段OB上时,设PQ交直线AC于点G,过P作PE⊥AC于点E,求EG的长.21.如图,在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+3与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点,点A在x轴上,点B的横坐标为﹣1.动点P在抛物线上运动(不与点A、B重合),过点P作y轴的平行线,交直线AB于点Q,当PQ不与y轴重合时,以PQ为边作正方形PQMN,使MN与y轴在PQ的同侧,连结PM.设点P的横坐标为m.(1)求b、c的值.(2)当点N落在直线AB上时,直接写出m的取值范围.(3)当点P在A、B两点之间的抛物线上运动时,设正方形PQMN周长为c,求c与m之间的函数关系式,并写出c随m增大而增大时m的取值范围.(4)当△PQM与y轴只有1个公共点时,直接写出m的值.22.如图,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A(1,0)、C(﹣2,3)两点,与y 轴交于点N,其顶点为D.(1)求抛物线及直线AC的函数关系式;(2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点,求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标;(3)在对称轴上是否存在一点M,使△ANM的周长最小.若存在,请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值;若不存在,请说明理由.23.已知:如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴、y轴分别相交于点A(﹣1,0)、B(0,3)两点,其顶点为D.(1)求这条抛物线的解析式;(2)若抛物线与x轴的另一个交点为E.求△ODE的面积;抛物线的对称轴上是否存在点P使得△PAB的周长最短.若存在请求出P点的坐标,若不存在说明理由.24.如图,抛物线y=﹣x2﹣2x+3的图象与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.(1)求点A、B、C的坐标;(2)点M(m,0)为线段AB上一点(点M不与点A、B重合),过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过点Q 作QN⊥x轴于点N,可得矩形PQNM.如图,点P在点Q左边,试用含m的式子表示矩形PQNM的周长;(3)当矩形PQNM的周长最大时,m的值是多少?并求出此时的△AEM的面积;(4)在(3)的条件下,当矩形PMNQ的周长最大时,连接DQ,过抛物线上一点F作y 轴的平行线,与直线AC交于点G(点G在点F的上方).若FG=2DQ,求点F的坐标.25.在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx﹣4与x轴相交于A(﹣4,0)、C(2,0)两点.与y轴相交于点B.(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线与y轴的交点B的坐标和抛物线顶点坐标;(3)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点M的横坐标为m,△AMB的面积为S.求S关于m的函数关系式,并求出S的最大值.26.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=ax2﹣2ax+3(a≠0)的顶点A在第一象限,它的对称轴与x轴交于点B,△AOB为等腰直角三角形(1)写出抛物线的对称轴为直线 ;(2)求出抛物线的解析式;(3)垂直于y轴的直线L与该抛物线交于点P(x1,y1),Q(x2,y2)其中x1<x2,直线L与函数y=(x>0)的图象交于点R(x3,y3),若,求x1+x2+x3的取值范围.27.已知抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣3(m是常数).(1)证明:无论m取什么实数,该抛物线与x轴都有两个交点;(2)设抛物线的顶点为A,与x轴两个交点分别为B,D,B在D的右侧,与y轴的交点为C.①求证:当m取不同值时,△ABD都是等边三角形;②当|m|≤,m≠0时,△ABC的面积是否有最大值,如果有,请求出最大值,如果没有,请说明理由.28.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(﹣1,0)、B(3,0),且与y轴交于点C,抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是y轴正半轴上的一个动点,连结DP,将线段DP绕着点D顺时针旋转90°得到线段DE,点P的对应点E恰好落在抛物线上,求出此时点P的坐标;(3)点M(m,n)是抛物线上的一个动点,连接MD,把MD2表示成自变量n的函数,并求出MD2取得最小值时点M的坐标.29.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+bx+c的图象与坐标轴交于A、B、C三点,其中点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(1,0).(1)求该二次函数的表达式及点C的坐标;(2)点D的坐标为(0,1),点F为该二次函数在第二象限内图象上的动点,连接CD、CF,以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF,设平行四边形CDEF的面积为S.①求S的最大值;②在点F的运动过程中,当点E落在该二次函数图象上时,求此时S的值及点E的坐标.30.如图1,抛物线y=mx2﹣4mx+3m(m>0)与x轴交于A,B两点(点B在点A右侧).与y轴交点C,与直线l:y=x+1交于D、E两点,(1)当m=1时,连接BC,求∠OBC的度数;(2)在(1)的条件下,连接DB、EB,是否存在抛物线在第四象限上一点P,使得S△DBE=S△DPE?若存在,求出此时P点坐标及PB的长度;若不存在,请说明理由;(3)若以DE为直径的圆恰好与x轴相切,求此时m的值.31.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与直线l:y=kx+m(k<0)交于A(﹣1,﹣1)、B两点,与y轴交于C(0,2).(1)求抛物线的函数表达式;(2)若y轴平分∠ACB,求k的值;(3)若在x轴上有且只有一点P,使∠APB=90°,求k的值.32.如图,已知点E在x轴上,⊙E交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧),交y轴于点C,OB=3OA=3,抛物线y=ax2+bx+c的图象过A、B、C三点,顶点为M.(1)写出A、B两点的坐标A ,B ;(2)求二次函数的关系式;(3)点P为线段BM上的一个动点,过点P作x轴的垂线PQ垂足为Q,若OQ=m,四边形ACPQ的面积为S,求S关于m的函数关系式,和四边形ACPQ的面积的最大值.33.如图,点M(4,0),以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点A、B.已知抛物线y=x2+bx+c过点A和B,与y轴交于点C.(1)求点C的坐标,并画出抛物线的大致图象(要求过点A、B、C,开口方向、顶点和对称轴相对准确)(2)点Q(8,m)在抛物线y=x2+bx+c上,点P为此抛物线对称轴上一个动点,求PQ+PB的最小值;(3)CE是过点C的⊙M的切线,点E是切点,求OE所在直线的解析式.34.如图,抛物线y=ax2+2x+c(a<0)与x轴交于点A和点B(点A在原点的左侧,点B在原点的右侧),与y轴交于点C,OB=OC=3.(1)求该抛物线的函数解析式.(2)如图1,连接BC,点D是直线BC上方抛物线上的点,连接OD,CD.OD交BC于点F,当S△COF:S△CDF=3:2时,求点D的坐标.(3)如图2,点E的坐标为(0,),点P是抛物线上第一象限上的点,连接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在点P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,请直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.35.如图,顶点为D的抛物线y=﹣x2+x+4与y轴交于点A,与x轴交于两点B、C(点B在点C的左边),点A与点E关于抛物线的对称轴对称,点B、E在直线y=kx+b(k,b为常数)上.(1)求k,b的值;(2)点P为直线AE上方抛物线上的任意一点,过点P作AE的垂线交AE于点F,点G为y轴上任意一点,当△PBE的面积最大时,求PF+FG+OG的最小值;(3)在(2)中,当PF+FG+OG取得最小值时,将△AFG绕点A按顺时方向旋转30°后得到△AF1G1,过点G1作AE的垂线与AE交于点M.点D向上平移个单位长度后能与点N重合,点Q为直线DN上任意一点,在平面直角坐标系中是否存在一点S,使以S、Q、M、N为顶点且MN为边的四边形为菱形?若存在,直接写出点S的坐标;若不存在,请说明理由.36.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(5,0)两点,直线y=﹣x+3与y轴交于点C,与x轴交于点D.点P是直线CD上方的抛物线上一动点,过点P作PF⊥x轴于点F,交直线CD于点E,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式;(2)求PE的长最大时m的值.(3)Q是平面直角坐标系内一点,在(2)的情况下,以P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形是否存在?若存在,直接写出点Q的坐标;若不存在,请说明理由.37.已知在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,线段AB的两个端点的坐标分别为A (0,2),B(﹣1,0),点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按逆时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)、经过点D.(1)如图1,若该抛物线经过原点O,且a=﹣1.①求点D的坐标及该抛物线的解析式;②连结CD,问:在抛物线上是否存在点P,使得∠POB与∠BCD互余?若存在,请求出所有满足条件的点P的坐标,若不存在,请说明理由.(2)如图2,若该抛物线y=ax2+bx+c(a<0)经过点E(﹣1,1),点Q在抛物线上,且满足∠QOB与∠BCD互余,若符合条件的Q点的个数是4个,请直接写出a的取值范围 .38.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(3,0),与y轴交于C(0,3),抛物线顶点为D点.(1)求此抛物线解析式;(2)如图1,点P为抛物线上的一个动点,且在对称轴右侧,若△ADP面积为3,求点P 的坐标;(3)在(2)的条件下,PA交对称轴于点E,如图2,过E点的任一条直线与抛物线交于M,N两点,直线MD交直线y=﹣3于点F,连结NF,求证:NF∥y轴.39.如图1,正方形ABCD的一边AB在x轴的正半轴上,⊙M是正方形ABCD的外接圆,连接OD,与⊙M相交于E点,连接BE与AD交于点F,已知AB=4,(1)求证:△ODA≌△FBA;(2)如图2,当E是OD中点时,点G是过E、A、B的抛物线的顶点,连接AG,①求点E的坐标;②求证:AG是⊙M的切线.(3)如图3,连接CE,若ED+EA=3,直接写出EC+EB的值.40.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线顶点为C(1,2),且与直线y=x交于点B(,);点P为抛物线上O,B两点之间一个动点(不与O,B两点重合),过P 作PQ∥y轴交线段OB于点Q.(1)求抛物线的解析式;(2)当PQ的长度为最大值时,求点Q的坐标;(3)点M为抛物线上O,B两点之间一个动点(不与O,B两点重合),点N为线段OB 上一个动点;当四边形PQNM为平行四边形,且PN⊥OB时,请直接写出Q点坐标.2019年03月08日〃子初ぐ的初中数学组卷参考答案与试题解析一.解答题(共40小题)1.已知二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为y轴,且过点(1,2),(2,5).(1)求二次函数的解析式;(2)如图,过点E(0,2)的一次函数图象与二次函数的图象交于A,B两点(A点在B 点的左侧),过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D.①当CD=3时,求该一次函数的解析式;②分别用S1,S2,S3表示△ACE,△ECD,△EDB的面积,问是否存在实数t,使得S22=tS1S3都成立?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)把点(1,2),(2,5)坐标和对称轴为y轴三个条件,代入二次函数的表达式即可求解;(2)①将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得:x2﹣kx﹣1=0,利用x2﹣x1===3,即可求解;②分别求出S1、S2、S3,用韦达定理化简,即可求解.【解答】解:(1)由题意得:,解得:,故:二次函数的表达式为:y=x2+1;(2)①设过点E的一次函数表达式为:y=kx+2,将一次函数表达式与二次函数表达式联立并整理得:x2﹣kx﹣1=0,设点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)(x1<x2),则:x1+x2=k,x1x2=﹣1,x2﹣x1===3,解得:k=,∴该一次函数表达式为:y=x+2或y=﹣x+2;②S1=AC•OC=﹣x1y1,S2=CD•OE=(x2﹣x1)=k2+4,S3=BD•OD=x2y2,x1+x2=k,x1x2=﹣1,则:S1•S2=﹣x1x2[k2x1x2+2k(x1+x2)+4]=(k2+4)=4S2,∴t=4.【点评】本题考查的是二次函数综合运用,主要考查利用韦达定理处理复杂的数据,难度不大.2.如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣k(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D.(1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式;(2)过D点向x轴作垂线,垂足为点M,连结AD,若∠MDA=∠ABD,求点D的坐标;(3)若在第一象限的抛物线上有一点P,使得以点A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,请直接写出△ABC的面积.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)求出A、B的坐标,把点B坐标代入直线表达式即可求解;(2)利用△AMD∽△DMB,=,即可求解;(3)分△ABC∽△APB、△ABC∽△PAB两种情况,分别求解即可.【解答】解:(1)抛物线y=x2﹣x﹣k=(x+2)(x﹣4),令y=0,则x=﹣2或4,即点A、B的坐标分别为(﹣2,0)、(4,0),把点B坐标代入直线y=﹣x+b得:﹣×4+b=0,解得:b=,∴直线BD的表达式为:y=﹣x+,当x=﹣5时,y=3,∴D(﹣5,3),把点D的坐标代入抛物线表达式得:(﹣5+2)(﹣5﹣4)=3,k=,∴抛物线的表达式为:y=x2﹣x﹣;(2)设点D的坐标为(x,﹣x+),则:DM=﹣x+,BM=4﹣x,AM=﹣2﹣x,∵∠MDA=∠ABD,∠AMD=∠DMB,∴△AMD∽△DMB,∴=,即:(﹣x+)2=(4﹣x)(﹣2﹣x),解得:x=﹣5或4(舍去x=4),∴点D的坐标为(﹣5,3);(3)由抛物线的表达式,令x=0,则y=﹣k,∴点C的坐标为(0,﹣k),OC=k,①当△ABC∽△APB时,则∠BAC=∠PAB,设点P的坐标为(x,y),过点P作PN⊥x轴交于点N,则ON=x,PN=y,tan∠BAC=tan∠PAB,即:,∴y=kx+k,把点P(x,)代入抛物线表达式并解得:x=8或﹣2(舍去﹣2),故点P的坐标为(8,5k),∵△ABC∽△APB,∴AB2=AC•AP,即:62=,解得:k=,S△ABC=AB•OC==;②△ABC∽△PAB时,同理可得:k=,S△ABC=AB•OC==3,故:△ABC的面积为=或3.【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到三角形相似、解直角三角形等,(2)(3)的关键是通过相似确定线段间的比例关系.3.如图,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,图象经过B(﹣3,0)、C(0,3)两点,且与x轴交于点A.(1)求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;(2)在抛物线的对称轴上找一点M,使△ACM周长最短,求出点M的坐标;(3)若点P为抛物线对称轴上的一个动点,直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标,由点A,B,C的坐标,利用待定系数法即可求出二次函数的表达式;(2)连接BC,交直线x=﹣1于点M,此时△ACM周长最短,由点B,C的坐标,利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标;(3)设点P的坐标为(﹣1,m),结合点B,C的坐标可得出PB2,PC2,BC2的值,分∠BCP=90°,∠CBP=90°,∠BPC=90°三种情况考虑,①当∠BCP=90°时,利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程,解之可得出m的值,进而可得出点P的坐标;②当∠CBP=90°时,利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程,解之可得出m的值,进而可得出点P的坐标;③当∠BPC=90°时,利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程,解之可得出m的值,进而可得出点P的坐标.综上,此题得解.【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=﹣1,点B的坐标为(﹣3,0),∴点A的坐标为(1,0).将A(1,0),B(﹣3,0),C(0,3)代入y=ax2+bx+c,得:,解得:,∴二次函数的表达式为y=﹣x2﹣2x+3.(2)连接BC,交直线x=﹣1于点M,如图1所示.∵点A,B关于直线x=﹣1对称,∴AM=BM.∵点B,C,M三点共线,∴此时AM+CM取最小值,最小值为BC.设直线BC的函数表达式为y=kx+d(k≠0),将B(﹣3,0),C(0,3)代入y=kx+d,得:,解得:,∴直线BC的函数表达式为y=x+3.当x=﹣1时,y=x+3=2,∴当点M的坐标为(﹣1,2)时,△ACM周长最短.(3)设点P的坐标为(﹣1,m),∵点B的坐标为(﹣3,0),点C的坐标为(0,3),∴PB2=[﹣3﹣(﹣1)]2+(0﹣m)2=m2+4,PC2=[0﹣(﹣1)]2+(3﹣m)2=m2﹣6m+10,BC2=[0﹣(﹣3)]2+(3﹣0)2=18.分三种情况考虑(如图2):①当∠BCP=90°时,BC2+PC2=PB2,∴18+m2﹣6m+10=m2+4,解得:m=4,∴点P的坐标为(﹣1,4);②当∠CBP=90°时,BC2+PB2=PC2,∴18+m2+4=m2﹣6m+10,解得:m=﹣2,∴点P的坐标为(﹣1,﹣2);③当∠BPC=90°时,PB2+PC2=BC2,∴m2+4+m2﹣6m+10=18,整理得:m2﹣3m﹣2=0,解得:m1=,m2=,∴点P的坐标为(﹣1,)或(﹣1,).综上所述:使△BPC为直角三角形时点P的坐标为(﹣1,﹣2),(﹣1,),(﹣1,)或(﹣1,4).【点评】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、三角形的三边关系、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式、勾股定理以及解一元一次(二次)方程,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数表达式;(2)利用二次函数的对称性及三角形的三边关系,找出点M所在的位置;(3)分∠BCP=90°,∠CBP=90°,∠BPC=90°三种情况,找出关于m的方程.4.定义:在平面直角坐标系xOy中,直线y=a(x﹣m)+k称为抛物线y=a(x﹣m)2+k 的关联直线.(1)求抛物线y=x2+6x﹣1的关联直线;(2)已知抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,求这条抛物线的表达式;(3)如图,顶点在第一象限的抛物线y=﹣a(x﹣1)2+4a与它的关联直线交于点A,B(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C,连结AC、BC.当△ABC为直角三角形时,求a的值.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)根据关联直线的定义可求;(2)由题意可得a=2,c=3,设抛物线的顶点式为y=2(x﹣m)2+k,可得,可求m和k的值,即可求这条抛物线的表达式;(3)由题意可得A(1,4a)B(2,3a)C(﹣1,0),可求AB2=1+a2,BC2=9+9a2,AC2=4+16a2,分BC,AC为斜边两种情况讨论,根据勾股定理可求a的值.【解答】解:(1)∵y=x2+6x﹣1=(x+3)2﹣10∴关联直线为y=x+3﹣10=x﹣7(2)∵抛物线y=ax2+bx+c与它的关联直线y=2x+3都经过y轴上同一点,∴a=2,c=3,可设抛物线的顶点式为y=2(x﹣m)2+k,则其关联直线为y=2(x﹣m)+k=2x﹣2m+k,∴解得∴抛物线y=2x2+3或y=2(x+1)2+1,(3)由题意:A(1,4a)B(2,3a)C(﹣1,0),∴AB2=1+a2,BC2=9+9a2,AC2=4+16a2,显然AB2<BC2且AB2<AC2,故AB不能成为△ABC的斜边,当AB2+BC2=AC2时:1+a2+9+9a2=4+16a2解得a=±1,当AB2+AC2=BC2时:1+a2+4+16a2=9+9a2解得,∵抛物线的顶点在第一象限∴a>0,即【点评】本题是二次函数综合题,直角三角形的性质,熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质;理解坐标与图象性质,记住两点间的距离公式,注意分情况讨论思想的应用.5.已知抛物线y=﹣x2+mx+m+1与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧).(1)当m=2时,抛物线与y轴交于点C.①直接写出点A、B、C的坐标;②如图1,连接AC,在x轴上方的抛物线上有一点D,若∠ABD=∠ACO,求点D的坐标;③如图2,点P为抛物线位于第一象限图象上一动点,过P作PQ⊥CB,求PQ的最大值;(2)如图3,若点M为抛物线位于x轴上方图象上一动点,过点M作MN⊥x轴,垂足为N,直线MN上有一点H,满足∠HBA与∠MAB互余,试判断HN的长是否变化,若变化,请说明理由,若不变,请求出HN长.【考点】HF:二次函数综合题.【分析】(1)①先解方程﹣x2+2x+3=0得A点和B点坐标;然后计算自变量为0时的函数值得到C点坐标;②OD交y轴于E,如图2,通过证明Rt△OBE∽Rt△OCA,利用相似比得到OE=OA=1,则E(0,1),再利用待定系数法求出直线BE的解析式为y=﹣x+1,然后解方程得D点坐标;③作PK⊥x轴于K,交BC于F,如图2,易得直线BC的解析式为y=﹣x+3,设P(x,﹣x2+2x+3)(0<x<3),则F(x,﹣x+3),所以PF=﹣x2+3x,再证明∠BFK=∠PFQ=45°,所以PQ=PF=﹣x2+x,然后根据二次函数的性质解决问题;(2)先解方程﹣x2+mt+m+1=0得A(﹣1,0),B(m+1,0),延长BH交AM于G,如图3,证明Rt△BNH∽△MNA,则=,设M(t,﹣t2+mt+m+1),则N(t,0),所以=,然后根据分式的运算可得到HN=1.【解答】解:(1)①当m=2时,抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3,当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得x1=﹣1,x2=3,∴A(﹣1,0),B(3,0),当y=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C(0,3);②OD交y轴于E,如图2,∵∠OBE=∠ACO,∴Rt△OBE∽Rt△OCA,∴==,∴OE=OA=1,∴E(0,1),设直线BE的解析式为y=kx+b,把B(3,0),E(0,1)代入得,解得,∴直线BE的解析式为y=﹣x+1,解方程组得或﹣,∴D点坐标为(﹣,);③作PK⊥x轴于K,交BC于F,如图2,易得直线BC的解析式为y=﹣x+3,设P(x,﹣x2+2x+3)(0<x<3),则F(x,﹣x+3),∴PF=﹣x2+2x+3﹣(﹣x+3)=﹣x2+3x,∵OB=OC=3,∴△OCB为等腰直角三角形,∴∠KBF=45°,∴∠BFK=∠PFQ=45°,∴PQ=PF=﹣x2+x=﹣(x﹣)2+,当x=时,PQ有最大值,最大值为;(2)HN的长度不变,它的长度为1.。
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函数综合应用题题目分析及题目对学生的要求1.求解析式:要求能够根据题意建立相应坐标系,将实际问题转化成数学问题。
需要注意的是:(1) 不能忘记写自变量的取值范围(需要用的前提下)(2) 在考虑自变量的取值范围时要结合它所代表的实际意义。
2. 求最值:实际生活中的最值能够指导人们进行决策,这一问要求能够熟练地对二次三项式进行配方,利用解析式探讨实际问题中的最值问题。
(一般式化为定点式)最值的求法:(1) 一次函数和反比例函数中求最值是根据函数在自变量取值范围内的增减性来确定的。
(2) 二次函数求最值是将解析式配方后,结合自变量取值范围来确定的。
3. 求范围,要求学生利用解析式求实际问题中的范围问题,主要是将函数与不等式结合起来。
推荐思路:画出不等式左右两边的图象,结合函数图象求出x的取值范围。
备选思路一:先将不等号看做等号,求出x的取值,再结合图象考虑将等号还原为不等号后x的取值范围;备选思路二:通过分类讨论或者其它方法,直接解出这个不等式。
这一问里需要注意的是在注意:最后下结论时一定要结合它的实际意义和前面所求得的自变量取值范围进行判断。
一、求利润的最值x)(180x20)= x234x8000;(3) W= x234x8000= (x170)210890,当x<170时,W随x增大而增大,但0x160,∴当x=160时,W最大=10880,当x=160时,y=50x=34。
答:一天订住34个房间时,宾馆每天利润最大,最大利润是10880元。
2.(本题满分10分)某商品的进价为每件40元,售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖10件(每件售价不能高于65元).设每件商品的售价上涨元(为正整数),每个月的销售利润为元.(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围;(2)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月的利润恰为2200元?根据以上结论,请你直接写出售价在什么范围时,每个月的利润不低于2200元?解:(1)(且为整数);(2).,当时,,且为整数,当时,,(元),当时,,(元)当售价定为每件55或56元,每个月的利润最大,最大的月利润是2400元.(3)当时,,解得:.当时,,当时,.当售价定为每件51或60元,每个月的利润为2200元.当售价不低于51或60元,每个月的利润为2200元.当售价不低于51元且不高于60元且为整数时,每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58,59,60元时,每个月的利润不低于2200元).3.(本题10分)某商品的进价为每件30元,现在的售价为每件40元,每星期可卖出150件。
市场调查反映:如果每件的售价每涨1元(售价每件不能高于45元),那么每星期少卖10件。
设每件涨价元(为非负整数),每星期的销量为件.⑴求与的函数关系式及自变量的取值范围;⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大?每星期的最大利润是多少?解:⑴且为整数;⑵当售价为42元时,每周的利润最大且销量较大,最大利润为1560元;(·四调武汉)23、杰瑞公司成立之初投资1500万元购买新生产线生产新产品,此外,生产每件该产品还需要成本60元.按规定,该产品售价不得低于100元/件且不得超过180元/件,该产品销售量y(万件)与产品售价x (元)之间的函数关系如图所示.(1)求y与x之间的函数关系式,并写出x的取值范围;(2)第一年公司是盈利还是亏损?求出当盈利最大或者亏损最小时的产品售价;(3)在(2)的前提下,即在第一年盈利最大或者亏损最小时,第二年公司重新确定产品售价,能否使两年共盈利达1340万元?若能,求出第二年产品售价;若不能,请说明理由.解:(1)设y=kx+b,则由图象知:,解得k=﹣,b=30,∴y=﹣x+30,100≤x≤180;(2)设公司第一年获利W万元,则W=(x﹣60)y﹣1500=﹣x2+36x﹣3300=﹣(x﹣180)2﹣60≤﹣60,∴第一年公司亏损了,当产品售价定为180元/件时,亏损最小,最小亏损为60万元;(3)若两年共盈利1340万元,因为第一年亏损60元,第二年盈利的为(x﹣60)y=﹣x2+36x﹣1800,则﹣x2+36x﹣1800﹣60=1340,解得x1=200,x2=160,∵100≤x≤180,∴x=160,∴每件产品的定价定为160元时,公司两年共盈利达1340万元.4. 某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为元,每个月的销售量为件.(1)求与的函数关系式并直接写出自变量的取值范围;(2)设每月的销售利润为,请直接写出与的函数关系式;(3)每件商品的售价定位多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?解:二、求面积(本题满分10分)星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园.其中一边靠墙,另外三边用长为30米的篱笆围成.已知墙长为18米(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米.(1)若平行于墙的一边的长为y米,直接写出y与x之间的函数关系式及其自变量x的取值范围;(2)垂直于墙的一边的长为多少米时,这个苗圃园的面积最大,并求出这个最大值;(3)当这个苗圃园的面积不小于88平方米时,试结合函数图像,直接写出x的取值范围.三、根据实际情况合理建立坐标系解题1.如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16米,AE=8米,抛物线的顶点C到ED的距离是11米,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.(1)求抛物线的解析式;(2)已知从某时刻开始的40小时内,水面与河底ED的距离h(单位:米)随时间t(单位:时)的变化满足函数关系h=﹣(t﹣19)2+8(0≤t≤40),且当水面到顶点C的距离不大于5米时,需禁止船只通行,请通过计算说明:在这一时段内,需多少小时禁止船只通行?2.(本题满分10分)要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根2.25m的水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m 处达到最高,高度为3m.(1)建立适当的平面直角坐标系,使水管顶端的坐标为(0,2.25),水柱的最高点的坐标为(1,3),求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式(不要求写取值范围);(2)如图,在水池底面上有一些同心圆轨道,每条轨道上安装排水地漏,相邻轨道之间的宽度为0.3m,最内轨道的半径为m,其上每0.3m的弧长上安装一个地漏,其它轨道上的个数相同,水柱落地处为最外轨道,其上不安装地漏.求当为多少时池中安装的地漏的个数最多?3.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y (m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m,高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m.(1)当h=2.6时,求y与x的关系式(不要求写出自变量x的取值范围)(2)当h=2.6时,球能否越过球网?球会不会出界?请说明理由;(3)若球一定能越过球网,又不出边界,求h的取值范围.四、方案设计类问题1、宜万铁路开通后,给恩施州带来了很大方便.恩施某工厂拟用一节容积是90立方米、最大载重量为50吨的火车皮运输购进的A、B两种材料共50箱.已知A种材料一箱的体积是1.8立方米、重量是0.4吨;B种材料一箱的体积是1立方米、重量是1.2吨;不计箱子之间的空隙,设A种材料进了x箱.(1)求厂家共有多少种进货方案(不要求列举方案)?(2)若工厂用这两种材料生产出来的产品的总利润y(万元)与x(箱)的函数关系大致如下表,请先根据下表画出简图,猜想函数类型,求出函数解析式(求函数解析式不取近似值),确定采用哪种进货方案能让厂家获得最大利润,并求出最大利润.2、某学校要在围墙旁建一个长方形的中药材种植实习苗圃,苗圃的一边靠围墙(墙的长度不限),另三边用木栏围成,建成的苗圃为如图所示的长方形ABCD.已知木栏总长为120米,设AB边的长为x米,长方形ABCD的面积为S平方米.(1)求S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).当x为何值时,S取得最值(请指出是最大值还是最小值)?并求出这个最值;(2)学校计划将苗圃内药材种植区域设计为如图所示的两个相外切的等圆,其圆心分别为O1和O2,且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等,并要求在苗圃内药材种植区域外四周至少要留够0.5米宽的平直路面,以方便同学们参观学习.当(l)中S取得最值时,请问这个设计是否可行?若可行,求出圆的半径;若不可行,请说明理由。
3、把一边长为40cm的正方形硬纸板,进行适当的剪裁,折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计).(1)如图,若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形,将剩余部分折成一个无盖的长方形盒子.①要使折成的长方形盒子的底面积为484cm2,那么剪掉的正方形的边长为多少?②折成的长方形盒子的侧面积是否有最大值?如果有,求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长;如果没有,说明理由.(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上),将剩余部分折成一个有盖的长方形盒子,若折成的一个长方形盒子的表面积为550cm2,求此时长方形盒子的长、宽、高(只需求出符合要求的一种情况).。