第11章 静电场中的导体和电介质 复习要点

例 11.1 两平行且面积相等的导体板的面积比两极板间的距离平方大的多，即 S >> d ，两 极板带电量分别为 q A 和 q B 。试求静电平衡时两板各表面上电荷的面密度。
2
解：若仅有 A 板存在， q A 分布在其两个表面上，静电平衡时，导体板 内电场强度处处为零。若将 B 板移近 A 板，则它们都要受到对方产生 的电场的作用，因而它们的电荷分布都要改变，最后达到新的静电平 衡状态。此时导体板内的电场强度都必须为零。电何分布在两板的四 个表面上。设它们的电荷面密度分别为 σ1 、 σ 2 、 σ 3 、 σ 4 ，如图 11.7 所示。根据电荷守恒定律
S2
2
D = σ0 ， E =
D ； ε 0ε r
（3）根据场强与电势的积分关系可得，插入介质后，极板间电压为
∆U = E0 (d − d1 ) + Ed1
（4）设插入介质后电容为 C，则根据电容的定义有
C=
σ 0S ε0S q 。 = = ∆U σ 0 d1 d − d + d1 1 d − d1 + εr ε0 εr
q2 2 ⋅ 4 π ⋅ = r dr dr 8πε 0 r 2
r
2
因而，整个电场空间中储藏的电场能量为
W = ∫ dW = ∫
R2
R1
例 11.6 圆柱形电容器长为 l ，内外半径为 R1 和 R2 ，两极板上
试求电容器电场中得能量。 (图 11-22 均匀带电为 + Q 和 − Q ， 圆柱形电容器内的电场能量) 解： 由高斯定律可得，两极间电场强度的大小为
S2
Ò ∫∫ D0 gdS = D0 ∆S1 = q = σ 0 ∆S1
S1
称性，闭合柱面上只有在极板间空间内 的底面上有通量，所以
d1
d
B
−σ 0
S
于是：
D0 = σ 0 ,
E0 =
D0 ; ε0 = q = σ 0 ∆S 2
可得
(2) 在介质中，类似的做高斯面 S 2 ，有高斯定理有
Ò ∫∫ DgdS = D∆S
解: 由于两 层电介质都为 均匀的 ,又 极板可 以认为是无限大,因此两层介质中的电场具有面 对称性，电场处处都是均匀的。
（1）设两层电介质中的电位移分别为 D1 和 D2 .通过介质 1 作柱形高斯面 S1 如图 11-19 所 示.通过极板 A 内的底面 D 的通量和柱侧面的 D 通量都为零,因此通过该高斯面的 D 通量就 等于通过位于电介质 1 中柱底面的 D1 通量.根据高斯定理有
ε0εr S d 两极板间的电势差 ∆u = Ed ， E 为极板间的电场强度，根据电容器储能公式 Q2 1 W = = CU 2 2C 2 C = ε r C0 =
可得电场的能量为
W =
1 1 ε0εr S 2 2 1 1 E d = ε 0 ε r E 2 Sd = εE 2V C∆u 2 = 2 2 d 2 2 Q = C∆u =
−Q 。
E； （3）导体板间的电压； （ 4）电容器的电容 C 。(图 11-18 电位移矢量的应用)
解： 断开电源后，电荷均匀分布在导体板上，由于是均匀介质，所以极板空间内电场具有 面对称性。极板面上自由电荷面密度为
σ0 =
q0 S
+σ 0
∆S1
∆S2
A
S1
εr
(1) 应用有介质时的高斯定理，做图示闭合 柱面 S1 ，底面积为 ∆S1 ，由于电场的对
dW = wdV =
λ2 λ2 l dr 2 π rldr = 4πε 0 r 8π 2 ε 0 r 2 W = ∫ wdV = ∫
V R2
两极间电场的能量为
R1
R R λ2 l dr λ2 l Q2 = ln 2 = ln 2 4πε 0 r 4πε 0 R1 4πε 0 l R1
与W =
2πε 0 l Q2 比较，可得圆柱电容器得电容为, C = 2C ln (R2 R1 )
Ò ∫∫ D ⋅ dS = D ∆S
1 1 S1
1
= σ 0 ∆S1
A
+σ 0
∆S1
∆S 2
所以
D1 = σ 0
有
σ D1 = 0 ε1 ε 0 ε r 1 同理,通过电介质 2 作高斯面 S2 如图 11-19 所示, B
由 D = εE
E1 =
ε r1
S1
S2
d1
d2
S
εr 2
应用高斯定理可得
−σ0
q A − qB 2S
可见相对的两面总是带等量异号电荷，而相背的两面总是带等量同号电荷。 例 11.2 带电量为 + q 的导体球和与它同心的带电量为 − Q (Q > q ) 的导体球壳组成一导 体组,如图 11-8 所示。当它们达到静电平衡时，试求各表面上电荷分布。 图 11-8 导体球壳感应电荷 解： 由于静电感应，使球壳内表面必然出现负的感应电荷。为求感应电荷的电量，在球壳内
r
q
o R
E=
q 4πε 0 r 2
场强的方向沿着径向。
对于半径为 r，厚度为 dr 的球壳，电场能量为
dW = wdV =
1 1 q ε 0 E 2 ⋅ 4πr 2 ⋅ dr = ε 0 2 2 2 4πε 0 r q2 q2 dr = 。 R 8πε r 2 8πε 0 R 0
∞
说明，通过计算电场能量，利用电容器的储能公式，也可以间接地求出电容。这是电容 器电容的另一种计算方法。 一般来说， 求解电场的能量的问题， 实质上还是电场强度的求解。 （ 2）如 电介质。当其充电后，两极板间的电势差为 ∆u 。试求（ 1）电容器中电场的能量。 果切断充电电源，把电解质从电容器中抽出来，外界必须作多少功。 解： （1）对于平行板介质电容器，其电容为 例 11-7 一平行板电容器，极板面积为 S，极板间距离为 d ,其间充满相对介电常数为 ε r 的
例 11.4 自由电荷面密度为 ± σ 0 的带电平行板电容器极板间充满两层各向同性均匀电介质, 见图 11-19.电介质的界面都平行于电容器的极板,两层电介质的相对介电常数分别为 ε r1 和
ε r 2 ,厚 度分别为 d 1 和 d 2 . 试求(1)两 种电介质层中的电场 强度.(2) 电容器两极板间的电 势 差.(3)电容器的电容.(图 11-19 充满两层各向同性均匀电介质的平行板电容器)
电容定义: C = 7、电容器的连接： 并联： N 个电容器并联后的等值电容等于各电容器电容之和,即
C = C1 + C 2 + LL + C n
串联： N 个电容器串联后的等值电容的倒数,等于各电容器电容的倒数之和,即
1 1 1 1 = + + LL + C C1 C 2 Cn
8、电介质 ： 除导体外，凡处在电场中能够与电场发生的物质都称为电介质。按照电介质分子的 电结构常分为两类，无极分子和有极分子电介质。 9、电介质的极化： 电介质受外电场的影响所发生的变化。极化后产生极化电荷。 位移极化：无极分子在外电场作用下 ，分子中的正、负电荷重心发生微小的相对位 移，从而形成电偶极子，这种极化叫做位移极化。 取向极化：有极分子在外电场作用下 ，分子中的正、负电荷重心发生微小的取向发
ห้องสมุดไป่ตู้
E PA = E PB
σ1 σ σ σ − 2 − 3 − 4 =0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 σ σ σ σ = 1 + 2 + 3 − 4 =0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 2ε 0 qA + qB 2S σ 2 = −σ 3 =
（3） （4）
联立解以上四个方程得
σ1 = σ 4 =
生转向，并取于排列一致，这种变化称为取向极化。 10、介质中的静电场：有介质时， E = E0 + E ′ 电介质内部电场并不为零。 对于各向同性的均匀电介质，充满整个电场空间时，有 E = 11、充满各向同性的均匀电介质的电容器的电容： C = ε r C 0 。 12、电位移矢量 D : 13、有介质时的高斯定理 ： 14、电容器的能量:
(3) 根据电容器电容的定义,该电容器的电容为
C=
σ 0S ε0S Q 。 = = ∆u σ 0 d1 d 2 d1 + d 2 + ε 0 ε r1 ε r 2 ε r1 ε r 2 dr
例 11.5 计算均匀带电导体球的电场能，设球的半径为 R，带 电总量为 q，球外为真空。(图 11-21 均匀带电导体球的静电 能) 解 : 在导体球 上电荷均匀分布在表面，球内无电场， 由高 斯定理可求得球外的场强分布为
D2 = σ 0 D σ0 E2 = 2 = ε2 ε0εr2
可见两层电介质中的电位移矢量相等,但电场强度不等。 （2）根据电势差得定义,可以求出电容器两极板间得电势差为
∆U = ∫ E ⋅ dl = E1d1 + E2 d 2 =
A
B
σ0 σ σ d d d1 + 0 d 2 = 0 1 + 2 ε 0ε r1 ε 0ε r 2 ε 0 ε r1 ε r 2
E0 1 ，σ ′ = 1− εr εr
σ 0 ，
D = ε 0 ε r E = εE
S i
Ò ∫∫ D ⋅ dS = ∑ q
0i
1 Q2 1 1 = CU 2 = QU 2 C 2 2 1 1 15、电介质中电场的能量密度: ωe = D ⋅ E = ε 0 ε r E 2 2 2 1 2 电场能量: W = ∫∫∫ ωe dV = ∫∫∫ ε 0ε r E dV V V 2 W =
qA
qB
σ1