固体物理学：4-3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似
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《固体物理》课程教学大纲
《固体物理》课程教学大纲课程名称：固体物理课程类别：专业必修课适用专业：物理学考核方式：考试总学时、学分：56 学时 3.5 学分其中实验学时：0 学时一、课程性质、教学目标固体物理学是应用物理和物理类专业的一门基础课程，是继四大力学之后的一门基础且关键的课程。
主要内容是固体的结构及组成粒子（原子、离子、电子等）之间的相互作用与运动规律，阐明固体的性能、用途以及其与微观图像的联系，以晶格振动、固态电子论和固体的能带理论为主要内容。
课程教学目标为：课程教学目标1：通过固体物理学的整个教学过程，使学生理解晶体微观结构和宏观性质的联系。
课程教学目标2：熟悉固体无论晶格结构，基本键和作用，晶格振动的物理图像，固体电子论和能带理论等基本概念和物理图像。
课程教学目标3：了解固体物理领域的一些新进展，为以后的专业课和研究生阶段学习打好基础。
课程教学目标与毕业要求对应的矩阵关系注：以关联度标识，课程与某个毕业要求的关联度可根据该课程对相应毕业要求的支撑强度来定性估计，H表示关联度高；M表示关联度中；L表示关联度低。
二、课程教学要求本课程教学的基本结构要求：本课程以晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带理论、金属和半导体电子理论、外场中晶体电子的运动规律为基本结构，内容有晶格周期性、晶格的对称性、晶体四种结合方式、简谐振动、声子、晶格振动的热容理论、晶格振动模式密度、布洛赫定理、弱周期场近似、紧束缚近似、能态密度、准经典运动、回旋共振、德哈斯-范阿尔芬效应、电子热容等。
执行本大纲应注意的问题：1.注意本课程与量子力学和热统的紧密联系，尤其是注意量子力学课程进度；2．注意讲清本课程中的基本概念和基本理论，在保持课程的科学性及系统性的基础上，应突出重点、难点，并努力反映本学科的新成就，新动向；3．因学时有限，而内容较多，因此有一部分内容要求学生自学。
学生自学部位不占总学时，但仍然是大纲要求掌握内容。
学生自学部分，采用由教师提示，学生课后自学并提出问题，老师课后解答的方式；4．注重学生思考问题，培养学生思维和研究精神。
固体物理(第15课)近自由电子
0
0 A k
0 B k
A L
e
ikx
B L
eik x
将此波函数代入薛定鄂方程
2 2 [ V ( x)] 0 E 0 2m 以ψ0 *和ψ0*分别乘以方程两边,并在整个晶体内积分, k k 整理后得到下列线性方程组 : ( E E ) A Vn B 0
2 2 2 2
ˆ 就是H , E 就是E 0 , 就是 0 , ˆ 如果没有微扰 ,则H 0 k k k k
0 微扰的引入使得体系的 能级由 Ek变成Ek ,波函数 0 由 k变成 k . ˆ H k ( x ) Eˆ k (0 ()x (Eˆ 0 H ) k ( x ) Ek k ( x ) x ) H 0 0ˆ( x ) k 零级近似：H 0 k k k 2 2 2 2 0 d ikx V ( x ) d V V ˆ 1 H 0 2 )m 2 L Na（晶体长度） 自由电子 k ( x2＝ dxe 2m dx L 2 2 2 d 2 ˆ0 k 令H 0 0， ˆ l lVZ V 2H Ek 2m dx 2 k Na Na 2m k 0 k 0dx kk 正交归一化, 近自由电子近似 0
V ( x ) V ( x na ) n Z，a：原胞长度
2 n i nx a V ( x ) Vn e n V0为周期性势场的平均值 2 V 1 V ( x )e i a nx dx n a a
V ( x ) V0 Vn e
受微扰后
ˆ H
V e
n n 0
i
2 nx a
固体物理总复习
gap
2 )q 一维双原子链的长声学波 ( a mM B 长声学波中相邻原子的振动 ( A ) 1
光学波 长波极限
2
mM B m , ( ) － mM A M
§3.4
1. 三维复式格子
三维晶格的振动
l i [ t R l k q ] 格波的一般形式 A e k k
ab c
§5 晶体的宏观对称性
点对称操作 1. 绕轴旋转 2.旋转-反演(反演，镜面) 对称操作
1. 绕轴旋转
2.旋转-反演 3.空间平移
晶体的宏观对称性只有8种独立的对称操作： 1，2，3，4，6， 1 ( i ),
2 (m)
和
4
能证明为何晶体中没有5次对称性？
第二章
• 晶体结合的类型？ • 晶体结合的物理本质？ • 固体结合的类型与固体性质之间的联系？
T —— 电子对比热的贡献, 即电子热容
AT 3—— 晶格振动对比热的贡献, 即晶格热容
温度不太低时，可以忽略电子的贡献 爱因斯坦模型与德拜模型 爱因斯坦温度和德拜温度
§3.9 晶格振动模式密度
晶格振动模式密度 —— 单位频率间隔的振动模式数目
n g ( ) lim 0
在q空间，晶格振动模是均匀分布的，状态密度
本课程的主要内容
晶格动力学
原子核的运动规律 核外电子的运动规律
固体物理
固体电子论
晶格动力学
1. 晶体结构 2. 固体的结合 3. 晶格振动和热学性质
固体电子论
4. 能带理论 5. 外场中电子的运动 6. 金属电子论
第一章 摘
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 §1-5 §1-6 §1-7 §1-8 §1-9
固体物理-三维周期场中电子运动的近自由电子近似
倒格子基矢
—— 简单立方格子 —— 第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面
围成的立方体
—— 第一布里渊区
2) 体心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长 的面心立方格子 —— 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直
平分面围成的正十二面体
—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
§4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似
1. 模型和微扰计算
—— 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小, 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场
势场的平均值
V V (r)
周期性势场起伏量
—— 微扰来处理
电子的波动方程 [ 2 2 V (r)] (r) E (r)
2m
晶格周期性势场函数
体心立方格子第一布里渊区各点的标记
3) 面心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长 的体心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和8个近 邻格点连线的垂直平分面围成的正 八面体，和沿立方轴的6个次近邻 格点连线的垂直平分面割去八面体 的六个角，形成的14面体
Hale Waihona Puke —— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数
金属 ——
个原胞构成，体积
零级哈密顿量 薛定谔方程
H0
2 2m
2
V
2
2
0
(
r
)
V
0
(
r
)
E
0
0
(
r
)
2m
—— 简单立方格子 —— 第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面
围成的立方体
—— 第一布里渊区
2) 体心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长 的面心立方格子 —— 第一布里渊区为原点和12个近邻格点连线的垂直
平分面围成的正十二面体
—— 第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
§4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似
1. 模型和微扰计算
—— 电子受到粒子周期性势场的作用，势场的起伏较小, 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场
势场的平均值
V V (r)
周期性势场起伏量
—— 微扰来处理
电子的波动方程 [ 2 2 V (r)] (r) E (r)
2m
晶格周期性势场函数
体心立方格子第一布里渊区各点的标记
3) 面心立方格子 —— 正格子基矢
—— 倒格子基矢
— 边长 的体心立方格子
—— 第一布里渊区为原点和8个近 邻格点连线的垂直平分面围成的正 八面体，和沿立方轴的6个次近邻 格点连线的垂直平分面割去八面体 的六个角，形成的14面体
Hale Waihona Puke —— 第一布里渊区 —— 八个面是正六边形 —— 六个面是正四边形
零级近似下电子的能量和波函数 —— 空格子中电子的能量和波函数
金属 ——
个原胞构成，体积
零级哈密顿量 薛定谔方程
H0
2 2m
2
V
2
2
0
(
r
)
V
0
(
r
)
E
0
0
(
r
)
2m
固体物理学重要知识点
（1）Hall 系数—— Hall 系数 对于自由电子：q =－e ，所以， 其中，n 为单位体积中的载流子数，即载流子浓度。
由Hall 系数的测量不仅可以判断载流子的种类（带正电还是带负电），而且还是测量载流子浓度的重要手段。
载流子浓度越低，Hall 系数就越大，Hall 效应就越明显。
（2）F-D 分布函数——Fermi －Dirac 分布函数其中 μ是电子的化学势，其物理意义是在体积不变的情况下，系统增加一个电子所需的自由能。
从分布几率看，当E ＝μ时，f(μ)＝1/2 ，代表填充几率为1/2的能态。
当E －μ >几个kBT 时，exp[(E －μ)/ kBT] >>1 ，有： 这时，Fermi －Dirac 分布过渡到经典的Boltzmann 分布。
且f(E)随E 的增大而迅速趋于零。
这表明： E －μ >几个kBT 的能态是没有电子占据的空态。
（3）Bloch 函数及其物理意义Bloch 函数 行进波因子 表明在晶体中运动的电子已不再局域于某个原子周围，而是可以在整个晶体中运动的，这种电子称为共有化电子。
它的运动具有类似行进平面波的形式。
那么，周期函数 的作用则是对这个波的振幅进行调制，使它从一个原胞到下一个原胞作周期性振荡，但这并不影响态函数具有行进波的特性。
（4）波失k 的物理意义，态空间点阵，分布密度，简约区，k 取值总数波失k 的物理意义:表示不同原胞间电子波函数的位相变化。
不同的波矢量k 表示原胞间位相差不同，即描述晶体中电子不同的运动状态。
态空间点阵:k 取值不连续，在k 空间中，k 的取值构成一个空间点阵，称为态空间点阵。
分布密度：的分布密度为 简约区：（—— 简约区） k 取值总数：在简约区中波失k （5）金属，半导体电导率随温度变化的差异金属而言：Fermi 能级位于导带内，所以温度变化激发的载流子的贡献可以基本不用考虑；那么：随温度升高，晶格的振动加剧，从而导致载流子受到晶格振动所引起的散射，也就是声子的散射加强；从而电阻率增加，电导率下降；半导体而言：Fermi 能级位于导带和价带之间，温度变化激发的载流子的贡献必须考虑；随温度升高，从价带激发到导带的载流子数目增加，即有更多的载流子参与了导电，从而电阻率降低，电导率上升。
近自由电子近似
6.2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
一. 何谓近自由电子近似
二. 定性描述
三. 微扰计算
见黄昆书 4.2节 p157
一、何谓近自由电子近似（ Nearly Free Electron ） 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较
小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子 的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是 它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。 （也称为弱周期场近似）。这个模型虽然简单，但却给出周 期场中运动电子本征态的一些最基本特点。
在一维情况下，空格子模型中的态函数和能量表达式为：
(0) k
1 L
rr
eikr , Ek(0)
h2k 2 2m
上式中的 0 表示是未受微扰的解。自由电子的能量和波矢
关系是抛物线，但考虑到平移对称性的要求，它被 Brillouin 区
边界截成多段，可以平移倒易基矢
Gh
2 a
的整数倍，以便让
任意两个等效点的能量相同。
E(1) k
1 L
L 0
eikx
n0 U n
exp
i
2 nx
a
eikxdx
0
当 k’ k 时，
a (1) k
H kk
E(0) k
E(0) k
由于一级微扰能量 Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来 求出二级微扰能量，方法同上。
令
(2) k
a(2) (0) ll
代入二级微扰方程中可求得
这个能量突变称为能隙，即禁 带宽度，这是周期场作用的结 果。而在离布里渊区边界较远 处，电子的能量近似等于自由 电子的能量，且是 k 的连续函 数，这时周期场对电子运动的 影响很小，电子的运动性质与 自由电子基本相同。
一. 何谓近自由电子近似
二. 定性描述
三. 微扰计算
见黄昆书 4.2节 p157
一、何谓近自由电子近似（ Nearly Free Electron ） 在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较
小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子 的运动就几乎是自由的。因此，我们可以把自由电子看成是 它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。 （也称为弱周期场近似）。这个模型虽然简单，但却给出周 期场中运动电子本征态的一些最基本特点。
在一维情况下，空格子模型中的态函数和能量表达式为：
(0) k
1 L
rr
eikr , Ek(0)
h2k 2 2m
上式中的 0 表示是未受微扰的解。自由电子的能量和波矢
关系是抛物线，但考虑到平移对称性的要求，它被 Brillouin 区
边界截成多段，可以平移倒易基矢
Gh
2 a
的整数倍，以便让
任意两个等效点的能量相同。
E(1) k
1 L
L 0
eikx
n0 U n
exp
i
2 nx
a
eikxdx
0
当 k’ k 时，
a (1) k
H kk
E(0) k
E(0) k
由于一级微扰能量 Ek(1)＝0，所以还需用二级微扰方程来 求出二级微扰能量，方法同上。
令
(2) k
a(2) (0) ll
代入二级微扰方程中可求得
这个能量突变称为能隙，即禁 带宽度，这是周期场作用的结 果。而在离布里渊区边界较远 处，电子的能量近似等于自由 电子的能量，且是 k 的连续函 数，这时周期场对电子运动的 影响很小，电子的运动性质与 自由电子基本相同。
固体物理--近自由电子近似和能带电子的经典近似
(0) (1)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
ˆ (1) k k' H
1 ikx e 1 ' 2 L m 2me
1 ikx e ' 2 L m 2me
1 e 2 2 L 2 k (k m ) a
2 im x um a e 2 2 2 k ( k m ) a
令
x na
U ( x) U ( )
N 1 1 N 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na 1 a i ( k ' k ) i ( k ' k )na e e U ( ) d e U ( ) d e 0 0 Na n 0 Na n 0
L
mx a
dx um
ˆ (1) k 0 k' H
E
(2) k
m
'
um
2
2 2 2 2 [k (k m ) ] 2me a
求和号加撇代表不包括m=0的项
非简并微扰小结
非简并微扰下一维系统的能量和波函数：
k Ek U0 ' 2 2 2 2m 2 m [k (k m ) ] 2m a 2 im x u 1 ikx m k e 1 ' 2 e a 2 2 L m 2 k ( k m ) 2 m a e
Ｌ
( 0 )* k'
dx k k
( 0) k
'
非简并微扰（波函数）-1
按非简并微扰理论，波函数计算到一级修正：
k k k
(0)
固体物理学：第四章 第三节近自由电子近似
由于En(k)是k的周期函数，有时候在每一个布里渊区 内绘出所有能带，对一些问题的处理更方便一些。这 种图示称为周期能区图示（repeated zone scheme）。
对于二维和三维情况，往往画出等能线或者等能面 是有意义的。只要等能面与布里渊区界面相交，就 会发生等能面的不连续。下图给出了自由电子球型 等能面，越过布里渊区界面O点时，分裂成双曲面 的截面图。
我们讨论了周期势场中的单电子运动规律，这里的 公式也适用于X射线衍射动力学理论。第一章中讨 论X射线运动学理论时，我们忽略了晶体中入射束 与衍射束之间的相互作用。实际上，在周期结构中 传播的X射线，不能用单一波矢k的平面波去描述。 它应该是一个布洛赫波，也就是一系列相差一个倒 格矢的平面波的叠加。
特别是满足或者接近满足布拉格条件，即入射波矢 在布里渊区界面附近时，一个能量与之相等且相差 一个倒格矢的平面波被激发。这样至少两个波的混 合必须考虑。
从麦克斯韦方程出发，可以得到类似于方程4.3.16的 光子能量作为波矢函数的二次方程，产生能量的分 裂，导致X射线速度色散，得到如图的色散面
七、能带的能区图示
像近自由电子近似那样，不同的能带绘于k空间不同 的布里渊区内，称为扩展能区图式 (extended zone scheme)。根据布洛赫定理，k和k+K h是等价的，k的 取值限制在第一布里渊区内，可以将所有能带En(k)绘 于第一布里渊区内，称为简约能区图示（reduced zone scheme）。第一布里渊区也常常称为简约布里渊区。
令
得到
F(K h)就是晶体的几何结构因子，因此如果 即满足布拉格条件，能隙也为零。这种情况通常在复 式晶格中发生。
六、简约波矢和自由电子的波矢
近自由电子近似中，以自由电子作为零级近似，借用 自由电子的波矢k取标志周期势中单电子状态。 k是动量算符本征值hk对应的量子数，它可以遍及整个 空间，其波函数仍然是一个调幅平面波：
对于二维和三维情况，往往画出等能线或者等能面 是有意义的。只要等能面与布里渊区界面相交，就 会发生等能面的不连续。下图给出了自由电子球型 等能面，越过布里渊区界面O点时，分裂成双曲面 的截面图。
我们讨论了周期势场中的单电子运动规律，这里的 公式也适用于X射线衍射动力学理论。第一章中讨 论X射线运动学理论时，我们忽略了晶体中入射束 与衍射束之间的相互作用。实际上，在周期结构中 传播的X射线，不能用单一波矢k的平面波去描述。 它应该是一个布洛赫波，也就是一系列相差一个倒 格矢的平面波的叠加。
特别是满足或者接近满足布拉格条件，即入射波矢 在布里渊区界面附近时，一个能量与之相等且相差 一个倒格矢的平面波被激发。这样至少两个波的混 合必须考虑。
从麦克斯韦方程出发，可以得到类似于方程4.3.16的 光子能量作为波矢函数的二次方程，产生能量的分 裂，导致X射线速度色散，得到如图的色散面
七、能带的能区图示
像近自由电子近似那样，不同的能带绘于k空间不同 的布里渊区内，称为扩展能区图式 (extended zone scheme)。根据布洛赫定理，k和k+K h是等价的，k的 取值限制在第一布里渊区内，可以将所有能带En(k)绘 于第一布里渊区内，称为简约能区图示（reduced zone scheme）。第一布里渊区也常常称为简约布里渊区。
令
得到
F(K h)就是晶体的几何结构因子，因此如果 即满足布拉格条件，能隙也为零。这种情况通常在复 式晶格中发生。
六、简约波矢和自由电子的波矢
近自由电子近似中，以自由电子作为零级近似，借用 自由电子的波矢k取标志周期势中单电子状态。 k是动量算符本征值hk对应的量子数，它可以遍及整个 空间，其波函数仍然是一个调幅平面波：
4.3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似
Vn 表示的积分正是 V(r) 展开为傅立叶级数的系数 上述结果用于波函数的修正
V (r ) VneiGn r
n
Vn 1 ik r iG n r (r ) e ' 0 e 0 V n Ek Ek Gn
(1) k
由于 Rm G n 2 n1m1 n2 m2 n3m3 , 括号内是周期函数, 因此波函数可以写成自由粒子波函数乘上周期性函数
波函数的一级修正
(r ) '
(1) k k'
k0'
2
和本征值的二级修正
Ek(2) '
k'
k ' | V (r ) | k Ek0 Ek0'
都要求计算矩阵元 k ' | V (r ) | k k ' | V (r ) | k
1 i ( k ' k )r k ' | V (r ) | k e V (r )d r V
k ' k n1b1 n2 b2 n3 b3 Gn
Gn 为倒格子矢量
只有当 k, k΄ 相差为一倒格子矢量 Gn 时, 它们之间 的矩阵元才不为零, 在这种情况下, 矩阵元可写成
1 iG n k ' | V (r ) | k e V ( )d Vn v0 原胞
作为零级近似, 用平均场 V 代替 V(r), 则波函数 可以取波矢为 k 的平面波
1 ik r (r ) e V
0 k
相应的本征值为
假设晶体具 有体积 V
2 k Ek0 V 2m
2
根据周期性边界条件, k 的允许取值为
固体物理：4_2 一维周期场中电子运动的近自由电子近似
2 2m
d2 dx2
V x
(x)
E
( x)........2( )
2 2m
d2 dx2
V
0 k
(
x
)
Ek0
0 k
(
x
).
.
.
.
.
...3( )
2 2m
d2 dx2
V
0 k
(
x
)
Ek0
0 k
(
x
)
.
.
.
.
.
.
.
.4( )
V V ( x) V .......................................5( ) 17
东北师范大学物理学院
4 – 2一维周期场中电子运动的近自由电子近似
第四章 能带理论
近自由电子近似——非简并情况
矛盾分析
当k k n 2 时,
a
E (2) k
n
Vn2
2 2m
k 2
(k
2
a
n)2
显然k 2
k
n
2
a
2时 ， 即k
n
a
时,
Ek( 2 )
;
可见，此结果无意义，这表明 前面的理论已经不适用。
n
的k状态采取
a
简并微扰理论来求解。
明确k与k :
对于接近 与之简并的
n
a 的k状态，可写为：k
k状态可写为：k k n
2
n
a
(1 ),
n (1 )
1
aa
15
东北师范大学物理学院
4 – 2一维周期场中电子运动的近自由电子近似
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a2 a j
a
利用公式：
a2 a j
a1 ai
a
2π ( i j )
ai b j 2πij
0 (i j)
可以得到倒格 子基矢为：
因此，可以画出倒格子点排列：
b1 2π i a
b2 2π j a
j
2π
a
2π
a
1BZ
i
2BZ
3BZ
布里渊区的面积 = 倒格子原胞的面积
第一区 第二区 第三区 布里渊区的简约区图
高序号布里渊区的各个分散的碎片平 移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区， 形成布里渊区的简约区图。
二维正方晶格的十个布里渊区
第一区 第二区 第三区 第四区 第五区 第六区 第七区 第八区 第九区 第十区
关于布里渊区和能带的说明：
1）每一个布里渊区的体积相同，等于倒格子原 胞的体积
2）属于同一个布里渊区的能级构成一个能带， 不同的布里渊区对应不同的能带，每个能带的量子 态数目为2N (计入自旋)。
电子的能量
电子的波函数 波函数一级修正
电子的波函数
证明波函数是bloch 函数 波函数
波函数
—— 不变
波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积
讨论微扰后电子的能量和波函数
当和
的零级能量相等
一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大
几何意义：在k空间中从 原点所作的倒格子失量-Gn的垂直平分面的 方程，即在倒格失垂直平分面上及其附近的k,非简并微扰是不适用，应 采用简并微扰。而简并微扰的结果由于能级间的相互作用而使E(k)函数 在Gn中垂面处断开，发生突变。
晶体 结构
原胞
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
布里渊区
正格基矢
a1、a 2、a 3 ,
倒格基矢
b 1、b 2、b 3
Rm ma1 na2 pa3
Gn n1b1 n2 b2 n3b3
例1：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第 一、第二、第三布里渊区。
aa
解：
首先写出正格子 原胞基矢为：
a1 ai
注意：三维情况比一维情况相比简并态的数目有可能多于两个。
当波失k的态与k+G的态属于两个等价的态，如果这两个等价的态具 有相同的能量就会发生反射，这就是著名的布拉格发射条件。
二：布里渊区和能带
（1）布里渊区的定义
在k空间（倒格子空间）中，以任意一个倒格点为原点，做原点 和其它所有倒格点连线（倒格矢）的中垂面(或中垂线)，这些中垂 面(或中垂线)将倒格子空间分割成许多区域，每个区域内 E ~ k 是 连续变化的, 而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变, 这些区域称 为布里渊区。
体心立方格子第一布里渊区各点的标记
（3）面心立方格子
正格子基矢
倒格子基矢
第一布里渊区： 边长 的体心立方格子
第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分 面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连 线的垂直平分面割去八面体的六个角, 形成的14面体。
面心立方格子的第一布里渊区： 八个面是正六边形 ，六个面是正四边形
3 几种晶格的布里渊区 （1） 简单立方格子
正格子基矢：
倒格子基矢：
简单立方格子的第一布里渊区：原点和6个近 邻格点的垂直平分面围成的立方体。
简单立方格子的第一布里渊区
（2）体心立方格子 正格子基矢
倒格子基矢
第一布里渊区： 边长 的面心立方格子
第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
面心立方格子第一布里渊区各点的标记 布里渊区原点 六方面的中心
四方面的中心 计为 轴 —— 计为 轴 ——
方向 方向
将零级波矢k移入简约布里渊区，能量变化的图像， 图中定性画出了沿轴的结果。
布里渊区作图方法总结：
对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画 布里渊区。
晶体 结构
原胞
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
零级哈密顿量
薛定谔方程
电子的波函数
能量本征值
周期性边界条件 电子的波矢 电子的零级本征波函数 满足正交归一化条件
(2) 微扰时电子的能量和波函数 微扰的情形
微扰后电子的能量 电子的波函数
电子的能量
电子的波函数 一级修正
矩阵元
引入积分变量
的计算
应用
当上式中 则有
任意一项不满足 则有
—— 为整数
§4-3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似
一： 模型和微扰计算
电子受到离子周期性势场的作用，势场的起伏较小， 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场。
势场的平均值
周期性势场起伏量
可作为微扰来处理
电子的s-方程为: 晶格周期性势场函数为:
(1) 零级近似下电子的能量和波函数
晶体由
个原胞构成，体积
3）三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不 同，使得不同的能带发生重叠。
4） 用简约波矢 表示能量和波函数 能量和波函数
—— 必须同时指明它们属于哪一个能带
例：二维正方格子
第一布里渊区在k方向上能量最高点A， k’方 向上能量最高点C，C点的能量比第二布里渊区B点 高。
第一布里渊区和第二布里渊 区能带的重叠。
第一布里渊区(又称为简约布里渊区)是围 绕原点的最小闭合区域；
第二布里渊区是从原点出发经过1个中垂 面(或中垂线，或布拉格反射面)才能到达的区 域；
第n+1布里渊区是从原点出发经过n个中垂 面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)。
（2）布里渊区作图法
对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画 布里渊区。
布里渊区
正格基矢
a1、a 2、a 3 ,
倒格基矢
b 1、b 2、b 3
Rm ma1 na2 pa3
Gn n1b1 n2 b2 n3b3
正格 正方形
面心立方
简约布里 渊区形状
正方形
简约布里渊 区体积(面积)
S1 S *
十四面体 (截角八面体)
V1 Ω*
体心立方
十二面体
V1 Ω*
布里渊区的形状由晶体结构的原胞决定； 布里渊区的体积(或面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。
a
利用公式：
a2 a j
a1 ai
a
2π ( i j )
ai b j 2πij
0 (i j)
可以得到倒格 子基矢为：
因此，可以画出倒格子点排列：
b1 2π i a
b2 2π j a
j
2π
a
2π
a
1BZ
i
2BZ
3BZ
布里渊区的面积 = 倒格子原胞的面积
第一区 第二区 第三区 布里渊区的简约区图
高序号布里渊区的各个分散的碎片平 移一个或几个倒格矢进入简约布里渊区， 形成布里渊区的简约区图。
二维正方晶格的十个布里渊区
第一区 第二区 第三区 第四区 第五区 第六区 第七区 第八区 第九区 第十区
关于布里渊区和能带的说明：
1）每一个布里渊区的体积相同，等于倒格子原 胞的体积
2）属于同一个布里渊区的能级构成一个能带， 不同的布里渊区对应不同的能带，每个能带的量子 态数目为2N (计入自旋)。
电子的能量
电子的波函数 波函数一级修正
电子的波函数
证明波函数是bloch 函数 波函数
波函数
—— 不变
波函数可以写成自由电子波函数和晶格周期性函数乘积
讨论微扰后电子的能量和波函数
当和
的零级能量相等
一级修正波函数和二级能量修正趋于无穷大
几何意义：在k空间中从 原点所作的倒格子失量-Gn的垂直平分面的 方程，即在倒格失垂直平分面上及其附近的k,非简并微扰是不适用，应 采用简并微扰。而简并微扰的结果由于能级间的相互作用而使E(k)函数 在Gn中垂面处断开，发生突变。
晶体 结构
原胞
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
布里渊区
正格基矢
a1、a 2、a 3 ,
倒格基矢
b 1、b 2、b 3
Rm ma1 na2 pa3
Gn n1b1 n2 b2 n3b3
例1：下图是一个二维晶体结构图，画出它的第 一、第二、第三布里渊区。
aa
解：
首先写出正格子 原胞基矢为：
a1 ai
注意：三维情况比一维情况相比简并态的数目有可能多于两个。
当波失k的态与k+G的态属于两个等价的态，如果这两个等价的态具 有相同的能量就会发生反射，这就是著名的布拉格发射条件。
二：布里渊区和能带
（1）布里渊区的定义
在k空间（倒格子空间）中，以任意一个倒格点为原点，做原点 和其它所有倒格点连线（倒格矢）的中垂面(或中垂线)，这些中垂 面(或中垂线)将倒格子空间分割成许多区域，每个区域内 E ~ k 是 连续变化的, 而在这些区域的边界上能量E(k)发生突变, 这些区域称 为布里渊区。
体心立方格子第一布里渊区各点的标记
（3）面心立方格子
正格子基矢
倒格子基矢
第一布里渊区： 边长 的体心立方格子
第一布里渊区为原点和8个近邻格点连线的垂直平分 面围成的正八面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连 线的垂直平分面割去八面体的六个角, 形成的14面体。
面心立方格子的第一布里渊区： 八个面是正六边形 ，六个面是正四边形
3 几种晶格的布里渊区 （1） 简单立方格子
正格子基矢：
倒格子基矢：
简单立方格子的第一布里渊区：原点和6个近 邻格点的垂直平分面围成的立方体。
简单立方格子的第一布里渊区
（2）体心立方格子 正格子基矢
倒格子基矢
第一布里渊区： 边长 的面心立方格子
第一布里渊区 原点和12个近邻格点连线的垂直平分面围成的正十二面体
面心立方格子第一布里渊区各点的标记 布里渊区原点 六方面的中心
四方面的中心 计为 轴 —— 计为 轴 ——
方向 方向
将零级波矢k移入简约布里渊区，能量变化的图像， 图中定性画出了沿轴的结果。
布里渊区作图方法总结：
对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画 布里渊区。
晶体 结构
原胞
倒格点 排列
中垂面 (中垂线)
零级哈密顿量
薛定谔方程
电子的波函数
能量本征值
周期性边界条件 电子的波矢 电子的零级本征波函数 满足正交归一化条件
(2) 微扰时电子的能量和波函数 微扰的情形
微扰后电子的能量 电子的波函数
电子的能量
电子的波函数 一级修正
矩阵元
引入积分变量
的计算
应用
当上式中 则有
任意一项不满足 则有
—— 为整数
§4-3 三维周期场中电子运动的近自由电子近似
一： 模型和微扰计算
电子受到离子周期性势场的作用，势场的起伏较小， 零级近似，用势场的平均值代替离子产生的势场。
势场的平均值
周期性势场起伏量
可作为微扰来处理
电子的s-方程为: 晶格周期性势场函数为:
(1) 零级近似下电子的能量和波函数
晶体由
个原胞构成，体积
3）三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不 同，使得不同的能带发生重叠。
4） 用简约波矢 表示能量和波函数 能量和波函数
—— 必须同时指明它们属于哪一个能带
例：二维正方格子
第一布里渊区在k方向上能量最高点A， k’方 向上能量最高点C，C点的能量比第二布里渊区B点 高。
第一布里渊区和第二布里渊 区能带的重叠。
第一布里渊区(又称为简约布里渊区)是围 绕原点的最小闭合区域；
第二布里渊区是从原点出发经过1个中垂 面(或中垂线，或布拉格反射面)才能到达的区 域；
第n+1布里渊区是从原点出发经过n个中垂 面(或中垂线)才能到达的区域(n为正整数)。
（2）布里渊区作图法
对于已知的晶体结构，可以按照如下方法画 布里渊区。
布里渊区
正格基矢
a1、a 2、a 3 ,
倒格基矢
b 1、b 2、b 3
Rm ma1 na2 pa3
Gn n1b1 n2 b2 n3b3
正格 正方形
面心立方
简约布里 渊区形状
正方形
简约布里渊 区体积(面积)
S1 S *
十四面体 (截角八面体)
V1 Ω*
体心立方
十二面体
V1 Ω*
布里渊区的形状由晶体结构的原胞决定； 布里渊区的体积(或面积)等于倒格原胞的体积(或面积)。