只有逻辑斯谛方程
逻辑斯谛曲线的五个阶段
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参
考
文
献 Байду номын сангаас
ｌ 姜启源 ， 等．数学模型．第 ３版． 北京 ： 高等教育 出版社 ，０ ３ ２０． ２ 杨启帆等．数学建模．北京 ： 高等教育出版社 ，０ ５ ２０．
３ 张 顺 燕 ．数 学 的思 想 方 法 和 应用 ． ３版 ．北 京 ： 京 大 学 出版 社 ， 第 北
关于逻辑斯谛方程
关于逻辑斯谛方程关于逻辑斯谛方程000摘要：逻辑斯谛方程即微分方程：dN/dt=rN（K-N）/K。
当一个物种迁入到一个新生态系统中后，其数量会发生变化。
假设该物种的起始数量小于环境的最大容纳量，则数量会增长。
该物种在此生态系统中有天敌、食物、空间等资源也不足（非理想环境），则增长函数满足逻辑斯谛方程，图像呈S形，此方程是描述在资源有限的条件下种群增长规律的一个最佳数学模型。
在以下内容中将具体介绍逻辑斯谛方程的原理、生态学意义及其应用。
关键词：逻辑斯谛方程；原理；生态学意义；应用1 前言1938年一位比利时的数学家Verhulst首先将营养关系反映到种群数学模型方面，是它首先导出了后来被广泛称为逻辑斯谛的方程。
但在当时并没有引起大家的注意，直到1920年两位美国人口学家Pearl和Reed在研究美国人口问题时，再次提出这个方程，才开始流行，故现在文献中通常称之为Verhulst-Pearl阻碍方程。
其所以又称为逻辑斯谛方程是因为其有某种逻辑推理的含义。
按现在的用语来说，它是一个说理模型，实际上是反映营养对种群增长的一种线性限制关系的说理模型。
1963年，洛伦兹发现确定性系统的随机性为，并且发现了这种随机行为对初值的敏感性。
1975年，美籍华人学者李天岩和数学家约克发表“周期中蕴含着混沌”的著名文章，揭示从有序到混沌的演化过程。
这些内容都包含在逻辑斯谛差分方程中。
1976年R.梅在英国《自然》杂志上发表了研究逻辑斯谛方程的成果—《表现非常复杂的动力学的简单数学模型》，引起学术界极大关注，内容已远远超越了生态学领域，揭示出逻辑斯谛方程深处蕴藏的丰富内涵。
2 逻辑斯谛方程的原理在种群增长早期阶段，种群大小N很小，N/K值也很小，因此1-N/K接近于1，所以抑制效应可以忽略不计，种群增长实质上为r/N，成几何增长。
然而，当N变大时，抑制效应增加，直到当N=K时，（1-N/K）变成了（1-K/K），等于0，这时种群的增长为零，种群达到了一个稳定的大小不变的平衡状态。
逻辑斯蒂方程
在自然界来和人类社会上存在大量的S型变化的现象，逻辑斯蒂模型几乎是描述s型增长的唯一数学模型。这是一条连续的、单调递增的、但参数k为上渐近线的s型曲线，其变化速度一看是增长较慢，中间段增长速度加快，以后增长速度下降并且趋于稳定。利用它我们可以表征种群的数量动态，描述客观事物的增长过程，同时也作为其它复杂模型的理论基础如Lotka-Volterra两种群竞争模型。
二、逻辑斯蒂方程的产生和发展
在提出逻辑斯蒂模型之前，最早给出种群生态学经典数学模型是Malthus模型，由英国统计学家Malthus（1766-1834）在1798《人口原理》一书中，提出了闻名于世的Malthus人口模型。设t0时刻的人口总数为N0，t时刻人口总数为N(t)，则：
但是这个模型有很大的局限性：只考虑出生率和死亡率，而没有考虑环境因素。实际上人类所生存的环境中资源并不是无限的，因而人口的增长也不可能是无限的，实践证明Malthus人口模型只符合人口的过去而不能用来预测未来人口总数。比利时数学家P.F.Verhulst对Malthus模型中关于人口增长率为常数这一假设修改为
解得t=6，即6小时后，全市有75％的人了解这一通知。
3.商品销售预测问题
例如，某种商品的销售，开始时，知道的人很少，销售量也很小。当这种商品信息传播出去后，销售量大量增加，到接近饱和时销售量增加极为缓慢。比如，这种商品饱和量估计a=500(百万件)，大约5年可达饱和，常数b经测定为b=lnl0，B=100。下面我们来预测一下第3年末的销售量是多少。
逻辑斯蒂方程
出自MBA智库百科(/)
逻辑斯蒂方程（Logistic Equation）
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逻辑斯蒂方程的推导
当一种新产品刚面世时，厂家和商家总是采取各种措施促进销售。他们都希望对这种产品的推销速度做到心中有数，这样厂家便于组织生产，商家便于安排进货。怎样建立数学模型描述新产品推销速度呢？
逻辑斯谛(Logistic)映射
§4 从倍周期分定走向混沌4-1 逻辑斯谛（Logistic ）映射我们将以一个非常简单的数学模型来加以说明从倍周期分定走向混沌现象。
该模型称为有限环境中无世代交替昆虫生息繁衍模型。
若昆虫不加以条件控制，每年增加λ倍，我们将一年作为一代，把第几代的虫日记为，则有：i N o i i i N N N 11++==λλ (4-1)i N ,1>λ增长很快，发生“虫口爆炸”，但虫口太多则会由于争夺有限食物和生存空间，以及由于接触传染导致疾病曼延，使虫口数目减少，它正比于，假定虫口环境允许的最大虫口为，并令2i N o N oii N N x =，则该模型由一个迭代方程表示： 21i i i N N N λλ−=+即为：)1(1i i i x x x −=+λ （4-2）其中：]4,0[],1,0[∈∈λi x 。
（4-2）式就是有名的逻辑斯谛映射。
4-2 倍周期分歧走向混沌借助于对这一非线性迭代方程进行迭代计算，我们可以清楚地看到非线性系统通过倍周期分岔进入混沌状态的途径。
（一）迭代过程迭代过程可以用图解来表示。
图4-1中的水平轴表示，竖直轴表示，抛物线表示（4-2）式右端的迭代函数。
45º线表示n x 1+n x n n x x =+1的关系。
由水平轴上的初始点作竖直线，找到与抛物线的交点，A 的纵坐标就是。
由点)0,(0x R ),(10x x A 1x),(10x x A 作水平直线，求它与45º线的交点，经B 点再作竖直线，求得与抛物线的交点，这样就得到了。
仿此做法可得到所迭代点。
),(11x x B ),(21x x 2x 从任何初始值出发迭代时，一般有个暂态过程。
但我们关心的不是暂态过程，而是这所趋向的终态集。
终态集的情况与控制参数λ有很大关系。
增加λ值就意味着增加系统的非线性的程度。
改变λ值，不仅仅改变了终态的量，而且也改变了终态的质。
它所影响的不仅仅是终态所包含的定态的个数和大小，而且也影响到终态究竟会不会达到稳定。
逻辑斯蒂回归基本原理
逻辑斯蒂回归基本原理最近在研究逻辑斯蒂回归，发现了一些有趣的原理，今天来和大家聊聊。
你知道吗？生活中有很多情况就像是逻辑斯蒂回归的实例呢。
就像我们预测一个人会不会买某件商品。
假设我们考虑两个因素，一个是这个人的收入，另一个是这个商品是不是很流行。
一般来说，收入高的人可能更有能力买东西，流行的东西也更容易被购买。
但这个关系又不是绝对的，不是说收入高就肯定会买，流行就所有人都会买。
逻辑斯蒂回归的基本原理其实就是想找到一种数学上的关系，来描述这种可能性。
从专业角度来说，逻辑斯蒂回归是一种广义的线性回归模型，它的响应变量（我们要预测的结果，例如会不会买东西，1代表会，0代表不会）是一种分类变量。
我们把输入的各种特征（像前面说的收入和商品流行程度等）通过特定的函数计算，这个函数就像是一个魔法变换器。
打个比方吧，这个过程就好比是把各种乱七八糟的食材（输入特征）放进一个神奇的搅拌机（逻辑斯蒂函数），最后得出一个蛋糕（预测的结果：买或者不买）。
这个搅拌机的运作原理是特殊的，它要保证最后产出的结果在0到1之间，这个数值就表示会买这个商品的概率。
有意思的是，这个模型是怎么达到对结果良好预测的呢？这就要说到模型中的系数了。
就像刚刚那个例子里，收入和商品流行程度对购买结果的影响程度是不一样的，这个影响程度就是通过系数来体现的。
不一样的系数就像是烹饪里不同食材放的量不一样，某个食材（特征）多放点（系数大），可能对最后的蛋糕（结果）影响就大一些。
老实说，我一开始也不明白为什么不直接用线性回归就好了。
后来才知道，线性回归得到的结果可能是任意实数，但我们这里预测的是某个事件发生的概率，概率只能在0到1之间，所以这就是逻辑斯蒂回归存在的意义之一。
实际应用案例超级多，就比如说银行会根据客户的收入、信用记录这些资料（特征），采用逻辑斯蒂回归来预测这个客户会不会违约（一种分类结果）。
这样银行就可以提前做好应对措施，降低风险。
在应用逻辑斯蒂回归的时候也有一些注意事项。
逻辑斯谛方程怎么求
逻辑斯谛方程是一个一阶非线性常微分方程，可分离变量求通解。
具体求解步骤如下：
1. 确定方程的形式：逻辑斯谛方程即微分方程dN/dt=rN(K-N)/K，其中N为种群个体总数，t为时间，r为种群增长潜力指数，K为环境最大容纳量。
2. 对方程进行分离变量：将方程改写为dN/dt=rN(1-N/K)。
3. 对分离后的方程进行求解：通过求解这个微分方程，可以得到种群数量的变化规律。
请注意，以上步骤仅适用于一般的逻辑斯谛方程求解，具体的求解过程可能因方程的具体形式和参数而有所不同。
逻辑斯蒂增长
上渐进线（K）
1．种群密度的估算——K值 通过实验，掌握种群在有限环境中的增长方式，理解环境对种群增长的作用。
表1 草履虫在有限环境中增长实验统计分析表 （2） 种群增长率的降低随种群密度上升而成比例地增加； 1、草履虫实验时应注意培养温度不要太高。
密度 依次反复取样，观察草履虫
掌握逻辑斯谛方程参数的估计、曲线的拟合及逻辑斯谛增长曲线绘制方法。
逻辑斯蒂增长
实验目的
1.通过实验，掌握种群在有限环境中的增长方式，理 解环境对种群增长的作用。
2.掌握逻辑斯谛方程参数的估计、曲线的拟合及逻 辑斯谛增长曲线绘制方法。
实验原理
逻辑斯谛方程
dNrNKN
dt
K
dNrN1 N dt K
N为种群大小，t为时间，r为种群的瞬时增长率，K为环境容纳量可负荷量
依次反复取样，观察草履虫 原液约1 ml，累计计数
在显微镜下观察，计数
K值的计算方法：
K2N 1N 2N 3N 2 2N 1N 3
N 1N 3N 2 2
其中N1、N2、N3是等距离横坐标上所对应纵坐标的数值， 即等时间间隔的3组种群数量观察值。要求时间间隔尽量 大一些。
实验结果
1．种群密度的估算——K值
2、实验生物 草履虫
实验步骤
准备草虫原液 制备草履虫培养液
确定培养液中草履虫 最初密度
培养
将理论值与观察值进行显著性检验， 确定无显著性差异，
则逻辑斯谛增长方程拟合成立。
绘制逻辑斯谛增长曲线
种群密度的估算
观察
确定培养液中草履虫最初密度
滴1小滴砷汞饱和液于 红细胞计数板
用移液管抽取0.05 ml草 履虫原液滴在计数板上
逻辑斯谛方程
年龄和时期 结构
种群的年龄结构是每一年龄阶段个体数目的比率，通 常以年龄金字塔图来表示。既不增长也不下降的种群 有稳定的年龄分布。增长型的种群有更多的年轻个体， 而在下降型种群中年老的个体占优势。当种群经历离 散和发育时期（如昆虫的龄期）时，每一时期个体的 数目（“时期结构”）可以对种群进行有效的描述。 对于生长率无法预测的物种（如植物），根据大小分 类可能更有意义。
H1 种群和种群结构
要
种
点
群 种群是一定区域内同种生物个体的集合。种群间的边 界可以是任意的。种群可以根据组成种群的生物是单 体生物还是构件生物进行分类。在单体生物种群中， 每一受精卵发育成一单个个体。在构件生物种群中， 受精卵发育成一个结构单位，这一结构单位再形成更 多的构件和分支结构。然后这些结构可能分裂，形成 许多无性系分株。
相关主题
出生率、死亡率和种群增长（H2） 密度和密度制约（H3）
竞争的性质（I1） 捕食的性质（J1）
种群动态——波动、周期和混沌（H4）
Age and stage structure
The age structure of a population is the number of individuals in each age class expressed as a ratio, and is usually displayed nor contracting nor contracting will have a stationary age distribution. A growing population will have more young. While a declining population will be dominated by older age classes. Where organisms pass through discrete growth stages (e.g. insect larval instars), the number of individuals at each stage (the ‘stage structure’) may provide a useful description of the population. In species where growth rates are indeterminant (such ax plants), size classes may be more informative. Natality, mortality and population competition (I1) The nature of predation (J1) The nature of growth (H2) Density and density dependence (H3) Population dynamics – fluctuations, cycles and chaos (H4)
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KN
b
( x X )( y Y )
i 1 i i 2 ( x X ) i i 1 n
n
xi
第 个自变量 应变量 y 的均值 第 个因变量 y的样本值
i
a Y bX Y
n
yi
i
样本数
100000 80000 60000
真实值 理论值
N
40000 20000
N0
0
1
2
1
空间”只有
K
。
逻辑斯谛方程（logistic equation，或译成阻滞方程）
dN KN N rN ( ) rN (1 ) dt K K
N:种群个体数，r:种群瞬时增长率，t:时间
其积分式为， Nt
K 1 e a rt
N ) 就接近1，种群增 K
1.如果种群数量N接近0，那么 (1
K值的计算：三点法
2 2 N1 N2 N3 N2 ( N1 N3 ) K 2 N1 N2 N2
量 r值的计算：
N1 N2 N3
：分别为时间间隔基本相等的三个种群数
KN e a rt 两边取对数 N
KN Ln( ) a rt N
) 设： y Ln( 则： y a bx b r x t N 根据一元线性回归方程统计方法得： X 自变量 x的均值
[实验目的]
（1）认识到任何种群数量的动态变化都受到环境条件的制约
（2）领会logistic model 生物学特性参数r与环境因子参数K的重要作用
（3）学会通过实验估算这两个参数和进行曲线拟合
[实验器材]
计数器 凹玻片 实体显微镜 移液器
鲁哥氏固定液
草履虫
[方法与步骤] 1.准备草履虫原液、草履虫培养液 2.确定草履虫最初密度 用移液器取50μ l原液于凹玻片上,在实体显微镜下 看到有游动的草履虫时，滴一滴鲁哥氏固定液，观察 计数（重复4次）。 3.取培养液50mL,置于锥形瓶中，经计算加入适量原 液，使N0=250-300个.(20℃和30℃各两瓶) 4.封口、做标记、放入培养箱中 5.对草履虫种群数量观察记录（每天定时，2次/瓶） 6.根据实验数据估计Logistic方程参数（a、r、K）, 描绘Logistic增长曲线（理论和实际）。
3
4 d
5
6
7
[作业]
实验报告 观测的草履虫增长是否是logistic growth？ 环境温度T是否对r、K有影响？ Logistic model 中r、K的生物学意义？
周一组（16号）26号做完，报告29号晚8-10 点交 周二组（17号）27号做完，报告29号晚8-10 点交 周四组（19号）29号做完，报告5月7号晚10 点之前交
每天下午4点30到6点来实验室计数
长就接近指数增长。 N (1 ) 就接近0，表示空 2.如果种群数量N接近K，那么 K 间几乎全部被利用，种群增长的最大潜在能力不能实现。
“S”型曲线有两个特点： ①曲线渐近于K值，即平衡密度；②曲线上升是平滑的。
①开始期，也可称潜伏期，种 群个体数很少，密度增长缓慢； ②加速期，随着个体数增加， 密度增长逐渐加快； ③转折期，当个体数达到饱和 密度一半（即K／2）时，密度 增长最快； ④减速期，个体数超过 K／2 以后，密度增长逐渐变慢； ⑤饱和期，种群个体数达到K 值而饱和。
实验五
种群在资源有限环境中的 逻辑斯谛增长
KN K
指数增长
Logistic增长
[实验原理]
种群在资源有限环境中的增长，同样可以分为离散种群增长 和连续增长两类。种群在有限环境下的连续增长的一种最简单 的形式就是逻辑斯谛增长。 逻辑斯谛增长模型是建立在以下两个假设基础上的： ①有一个环境容纳量（carrying capacity）（通常以K表示）， dN 当 时，种群为零增长，即 ； 0 Nt K dt ②增长率随密度上升而降低的变化是按比例的。最简单的是每 增加一个个体，就产生1／K的抑制影响。例如K=100，每增加 一个体，产生0.01影响，或者说，每一个体利用了1／K的“空 间”，N个体利用了N／K的“空间”，而可供种群继续增长的 “剩余 N