第四章 分析力学基础 机械动力学课件

这样该质点在空间中的位置就由x,y这两个独立参数所确定， 它的自由度数为2。
一般来讲，一个n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束 作用，则其在空间中的3n个坐标不是彼此独立的。
由这些约束方程，可将其中s个坐标表示成其余3n-s个坐标的 函数，这样该质点系在空间中的位置，就可以用N=3n-s个独 立参数完全确定下来。
×
(F i F I) ir i 0
F i F iix F iy j F ik z r i x ii y ij z ik
F I i m ix i i m iy ij m iz ik
得到：
n [F i(x m i x i)x i (F iy m i y i)y i (F iz m i z i)z i] 0
以及重物A与水平面间的静滑动摩擦因数。
解： 系统具有两个自由度，
选取重物A向右的水平坐标 x A 和
重物B向下的铅直坐标 y B 为广义坐标，
则对应的虚位移为 x A和 y B。
此时除重力外，重物A与台面间的摩擦力FA 也应视为主动力
首先令 x A 向右， yB 0
此时重物C的虚位移 yCxA/2，方向向下。
将式（e）代入上式， 得
Q 1 ( F A F B ) a si1 n F ca o 1 s
保持 1不变，只有 2 时，
如图所示， 由式（b）的变分，
可得另一组虚位移
y A 0 ， y B b s2 i2 n ， x B b c2 o 2s
代入对应于 2 的广义力表达式，得Q2 源自W 22 FAyAF B2yBFxB
FBbsin2Fbcos2
例 3-2： 如图所示，重物A和B分别连接在细绳两端，重
B在物重动A量放滑为置轮P 在H的粗，轴糙不心的计上水动挂平滑一面轮重上H的物，重C重，量物设。B重绕物过A定重滑量轮为E铅2P直，悬重挂物，
试求：平衡时重物C的重量
PC
PC2P， FA1 2PCP 因此平衡时，要求物块与台面间静摩擦因数
f FA 0.5 2P
如果作用在质点系上的主动力都是有势力，则势能应
为各点坐标的函数，记为
V V ( x 1 ， y 1 ， z 1 ， ， x B ， y B ， z B )（3－11）
此时虚功方程（3－6）中各力的投影， 都可以写成用势能V表达的形式，即：
解： 取整个滑轮系统为研究对象，系统具有理想约束。
系统所受的主F 动 I 1 力 为 m m11 ga 和1 ， mF 2 gI 2 ， 惯 性m 力2 a 为2
给系统以虚位移 s1 和 s 2 ，由动力学普遍方程得 ( m 2 g m 2 a 2 ) s 2 ( m 1 g m 1 a 1 ) s 1 0
设有一质点系由n个质点组成，质点系中第i个质点质 量为mi，作用在该质点上的主动力的合力为Fi，约束反力 的合力为FNi .
如果假想地加上该质点的惯性力FIi=-miai，由达朗贝尔 原理，Fi 、Fni、 FIi构成平衡力系。整个质点系应组成平 衡力系，质点系具有理想约束.
应用虚位移原理，得到：
(F i F I) ir i 0
F xi x V i， F yi y V i， F zi z V i
于是有
WF (Fxixi Fyiyi Fzizi)
(xVi xi
V
yi
yi
zVi zi
)
V
这样，虚位移原理的表达式成为
V0
（3－12）
上式说明： 在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件
为质点系的势能在平衡位置处一阶变分为零。
或
ga12a1R0
考虑到运动学关系
aa1Ra2R
联立式（a）（b）（c）解出
a 4g 5
（a） （b） （c）
§ 3-4 第一类拉格朗日方程
引入符号
fk fkifk jfkk ri xi yi zi
对式（3-3）两边取变分
（3-16）
i n1 frk i ri 0 (k1， 2， 3， ， s) （3-17）
对于随遇平衡，系统在某位置附近其 势能是不变的，所以其附近任何可能 位置都是平衡位置。
对于一个自由度系统，系统具有一个广义坐标q
因此系统势能可以表示为q的一元函数，即V V(q) 当系统平衡时，根据式（3－14），在平衡位置处有
dV 0 dq
如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处。系统势能 具有极小值，即系统势能对广义坐标的二阶导数大于零。
d 2V dq 2
0
上式是一个自由度系统平衡的稳定性判据。
对于多自由度系统平衡的稳定性判据可参考其他书籍。
例 3-3：如图所示一倒置的摆，摆锤重量为P ，摆杆长度为l，在
摆杆上的点A连有一刚度为k的水平弹簧，摆在铅直位置
时弹簧未变形，设OA=a，摆杆重量不计。
试确定：摆杆的平衡位置及稳定平衡时所应满足的条件。
轮I可绕轴O转动，轮II绕有细绳并跨于轮I上，当细绳直线 部分为铅垂时，求轮II中心C的加速度。
解： 研究整个系统，设I,II的角加速度分别为 a1，a2 ，
轮II质心C的加速度为a，则系统的惯性力系为
F 1 m ， M aI1 1 2 m 2 a 1 R ， M I2 1 2 m 2 a 2 R
（a） （b）
故
yA 1 a si1 n ， yB 1 a si1 n ， xB 1 a co 1s
yA 20， yB 2 bsin 2， xB 2 bco 2s
代入式（a），系统平衡时应有
Q Q 1 2 (F F B A b sF i Bn )2a sF in c 1b o F 2sc a0 o 1s0
22
V1(ka2 P)l2
2
将势能V对求一阶导数 有
dV (ka2 Pl) d
由 d V 0 得到系统的平衡位置为 0 d
为判别系统是否处于稳定平衡，将势能对 求二阶导数，
得
d2V k a2 Pl
d 2
对于稳定平衡，要求
d 2V d 2
0
即
ka2Pl0 或
a Pl k
§3-3 动力学普遍方程
第三章 分析力学基础
§ 3－1 自由度和广义坐标
在完整约束的条件下，确定质点系位置的独立参数的数z目等于
系统的自由度数。
例如: 质点M被限定只能在球面
(x a )2 (y b )2 (z c )2 R 2 （3－1）
M
的上半部分运动，由此解出：
y
zcR 2 (x a )2 (y b )2 （3－2） x
此系统具有两个自由度，
M
1 I
o
取轮I、II的转角 1，2为广义坐标
令1 0， 2 0，
则点C下降 hR2 。
根据动力学普遍方程
m h g F 1h M I22 0
或
1 ga2a2R0
M I2
1
FI
2
C
mg
再令 1 0， 2 0，则 hR1，
代入动力学普遍方程
mh g F 1h M I1 1 0
如果用广义坐标q1， q2， ， qN表示质点系的位置，则质 点系的势能可以写成广义坐标的函数，即
V V (q 1 ， q 2 ， ， q N )
在势力场中可将广义力 Q k 写成用势能表达的形式 根据广义力的表达式（3－7）
Qk
(Fxi
xi qk
Fyi
yi qk
Fzi
zi qk
)
(V xi V yi V zi ) xi qk yi qk zi qk
由虚位移的r 定 i 义 k N ，1 对q r ik上q 式k进行(i变 1 分， 2 ， 运算， ，n )得到 （3－5）
其中 qk(k1 ， 2， ， N)为广义坐标q k 的变分 ，称为广义虚位移。
求广义力的方法有两种： 一种方法是直接从定义式（3－7）出发进行计算。
另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个q k 不等于零，
i 将1（3-15）式与（3-18）i 式1相减， 得
n(F im iris
i1
k1
k frk i)
ri 0
在3n个质点坐标中，独立坐标有3n-s个，对于s个不独立
的坐标变分,
可以选取适当的 k ，使得变分前的系数为零
而此时独立坐标变分前的系数也应等于零，从而有
F im i r iks 1k fr k i 0(i 1 ， 2 ， ， n ) （3-19）
而其他N-1个广义虚位移都等于零，代入
WFQkqk
从而
Qk
WF qk
（3－10）
在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便
例 3-1：杆OA和AB以铰链相连， O端悬挂于圆柱铰链上，如图
所示，杆长OA=a AB=b，杆重和铰链的摩擦都忽略不计，今在 点A和试B求分：别平作衡用时向下1，的铅2 与锤F力AF，AF和B，FF B之，间又的在关点系B作用一水平力F。
解： 系统有两个自由度， 现选择 1 和 2 为系统的两个广义坐标， 计算其对应的广义力Q 1 和 Q 2， 用第一种方法计算：
Q1 Q2
FA FA
yA
1
yA
2
FB
yB
1
FB
yB
2
F xB
1
F xB
2
由于
yA acos1 yB acos1 bcos2 xB asin1 bsin2
i 1
在理想约束的条件下，质点系的各个质点在任一瞬时所 受的主动力和惯性力在虚位移上所作的虚功和等于零。
称为动力学普遍方程。
×
例 3-4:如图所示滑轮系统中，动滑轮上悬挂着质量为m 1 的重物， 绳子绕过定滑轮后悬挂着质量为m 2 的重物，设滑轮和绳子的