不等式中参数取值范围问题的求解策略

例２若不等式￡，ｌ十了Ｉ ＋ｎｌ十 忑Ｚ＋ａｎ４－ｊｊ ＋…元ｊｎ十 音ｌ
＞西ａ，对一切正整数乃都成立，求正整数口的最
大值． 解先从简单情形人手．
－当／１．＝１时，易得满足不等式的
口＜２４‘丁１＋丁１＋÷）＝２６，
则正整数。的最大值是２５； 当ｎ＝２时，同样可得满足不等式的
口＜２４‘了１＋下１＋了１＋百１＋手）＝２６ ８，
ｌ
ｌ
＋玎矿者Ｆ万＞西／－－２，即凡＝ｋ＋ｌ，结论也成立·
由（１）（２）知，对一切／７，∈Ｎ‘，
都有点＋南”·＋点＞碧．
从特殊人手，用“不完全归纳”探索规律，提出猜 想，然后再用数学归纳法加以证明，这样一种从特殊 到一般的思维方法，是数学归纳法在更高层次和境 界中的应用． ３借助直观，数形结合的策略
通过对已知不等式运用变形、代换等手段处理 后，赋予或挖掘其几何意义，运用数形结合的思想来 确定不等式中参数的取值范围，不仅能够使问题由 抽象变得直观，而且可以取得驾繁就简的效果．
·解题研究·
寸。７擞·７（２００８年第９期·高中版）
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不等式中参数取值范围问题的求解策略
２１４０２３无锡市辅仁高中韩玮
确定不等式中参数的取值范围，需要综合运用
数学的多种基本知识和基本技能，如基本不等式、一
元二次不等式的知识，合情推理论证的能力，以及数
形结合、分类讨论的数学思想等等，能够反映学生综
合的数学素质，也符合新课程对数学教学和学生能
（１）当３口＋１≥２，即口≥÷时，
得Ｂ＝｛菇１２≤石≤３口＋１），
·．诓Ｂ，．．．仨箸姜３川等·≤矧；
（２）当３ａ＋１＜２即口＜÷是时，
得Ｂ＝｛戈Ｉ ３口＋ｌ≤ｚ≤２），
·．。Ｊ４∈虬。．ｆ３口ａ：＋＋１１≤‘＜２２ａ，哥口＝－１．
综合（１）和（２）得，实数口的取值范围是 ．［口１１≤ｏ≤３或口＝一１）． ２特殊探路。合情推理的策略 先对一些参变数的特殊性进行考察，探求出不 等式成立时参数的可能取值，然后进行归纳猜想，在 此基础上对问题再作一般性的讨论，通过合情推理 得出参数的取值范围．
则正整数口的最大值是２６； 当ｔ／，＝３时，满足不等式的
口＜２４‘下１＋了１＋吉＋…＋南）＝２６盖，
则正整数ｎ的最大值是２６； 于是，可以猜想正整数口的最大值是２５．下面证 明这一猜想的正确性．
议一ｏ，ｎ ２而ｌ ＋而＋ｌ …＋五百Ｔ ， ‘·‘口ｎ＋Ｉ一口ｎ ２３—１ｎ—＋２＋；１ ｉｊｊ＋—３１ｎ—＋４一１而
。（西３ｎ百＋万）２（西３乃ｉ万＋ ３）西（３百ｎ＋万４）＞’０。，’
．‘．｛口．】．是递增数列，随着儿的增大，相应的。的
范围也逐渐增大．故当正整数口≤２５时，原不等式对
一切大于０的自然数／１，都成立，即正整数口的最大
值是２５．
．
本题的猜想证明也可用数学归纳法：
下面用数学归纳法证明：
ｉ万１ ＋；ｌ而＂“＋丽１＞瓦’２５
Ｉ＾２一
一＇
７‘’
然而我们若从数人手，直接作差
ｉｆ．ｒ２）一八工１）＝ａ（ｘ２一茗１）（』２＋工Ｉ＋２）
＝Ⅱ（．ｒ２一工Ｉ）（３一口），
答案一目了然，为Ｂ．
例２ 函数ｆ（石）
一
●
＝÷ｒ！，若存在实数￡， ｑ
使当』∈［１，ｍ］，（ｍ＞
１）时，ｉｆ工＋ｆ）≤工恒成 立，求ｍ的取值范围．
分析由八工＋ｔ）
＼／
的实数ｋ的取值范围是ｋ＞一１．
由⑨有茗２＋２ｋｘ一２＜Ｏ，令ｈ（ｘ）－－－－Ｘ２＋２ｋｘ一２，
因为方程ｈ（ｚ）＝０的△＝４ｋ２＋８＞０恒成立，故
ｈ（ｘ）＝０必有两个不等实根茗．、石２，不妨设ｘ。＞茁：，则
１％：＿－２ｋ－ 使ｈ（ｘ）＜０在［０，１］上恒成立的充要条件是
｛ｈｌ：ｚ—Ｉ。－２——ｋ——＋丁—。，／１—磊—一—一ｒ＋８＞ｌ１，＇
例３ 已知关于茗的不等式ｌｏｇ。【｝２一÷】＞
ｌｏｇ。（ｚ一口）的解集中只有两个整数元素，求实数ａ的 取值范围．
解原不等式可化为下面的不等式组
＜１，
｛兰！三三：＞石一。，或
１
一了＜算一ｏ，
一一１＞Ｏ．
一—４—＞０‘
设以茗）＝２ｘ２—４ｘ＋４ａ一１，
因为二次函数的图象开口向上且对称轴方程为名
ｎ
＝１，由图象分析出：不等式八石）＜ｏ在茗＞半的条件
力的要求，同时这类问题往往综合性强、结构新颖，
因而也是数学教学中的一个难点内容．本文提供一
些对这类问题求解的常用策略，供大家参考．
１ 求出解集。直接处理的策略
利用不等式的同解原理，视参数为常数，从解不
等式人手，先求出不等式的解集（用参数表示），再结
合题设进行处理，确定出参数的取值范围，这是求不
等式中参数取值范围的最基本的策略．
才能使我们收到变难为易，化繁为简，左右逢源．相
得益彰的效果．
（收稿日期：２００８０５１４）
万方数据
不等式中参数取值范围问题的求解策略
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数：
韩玮 无锡市辅仁高中,214023
中学数学 MIDDLE SCHOOL MATHEMATICS 2008，""(9) 0次
㈩删，南＋南＋南＝》筹．
（２）假设／１．＝矗（后Ｅ Ｎ母）时，
１
ｌ
１
２５
云ｊ了＋ｉｊ忑＋…＋；ｉｊ了＞西
成立，．．则．．当．ｒ．ｌ．，．＝．．ｊＬ。｜．｝．＋．１．时．．，．．有．．：【＿．．．．
（后＋１）＋１。（后＋１）＋２。
＋互ｉ１ ｊ了＋；１ ｉｊ互＋；１ ｉｊｊ＋ｉ丁１ｉｊ＿丽
１
１
．
１ ．
２（ｉｊ了＋ｉｊ互＋…＋；ｉｊ了）
‘Ｕ”一．
≤ｘ得÷（』＋ｆ）２≤石，
即ｘ２＋（２ｔ一４）茗
图１
＋ｔ２≤０，膏Ｅ［１，ｍ］，（ｍ＞１）时恒成立
构造函数ｇ（ｚ）＝石２＋（２ｆ一４）戈＋一如图
则骸≥０瑟巍“姐
分析到此处，由于变量太多，大多数同学在此卡 住，仅少数同学求出一３≤ｔ≤１，再通过对称轴
解之得一１＜ｋ≤２—２以或屉≥２＋２以．
由（１）和（２）知，使不等式①在［０，１］上恒成立
１
１
ｌ
１
，
、
＋（；ｉｊ五＋３－Ｔ再＋３＋—３ｋ—＋４一ｉｊ了）
＞瓦２５＋【３ｒ－２－ｌ忑＋２＋３—１ ｋ＋—４一玎２丽Ｊ‘１
万方数据
Ｉ６
审。７擞·７（２００８年第９期·高中版）
·解题研究·
‘·’ｌ ３—ｋ—ｌ ＋２＋甄６再（后 ２茹＋Ｉ■） 丽＞玎再２可’
·‘‘西可丁万＋瓦丽＂“ ．·‘·’．瓦忑志＋＋１３－ｋ＋一４一而而百杀万＞＞ｏＵ．‘
范围．
解令厂依再题＝意），有。、，厂乏百≤＿４＋１一口
（１） （２）
ｒ＋咖‘ ，，’２，，２ ２＿４ ｒ＋１一口．
（３）
Ⅱｌｌｌ（２）可化为（工＋２）２＋Ｙ：＝４（一４≤』≤ｏ，Ｙ、≥
Hale Waihona Puke ０），它表示圆心为（一２，０）、半径为２的上半圆；（３）
表示斜率为丢的直线，
从而要（１）恒成立只需（２）表示的圆弧
／·’
１１
解之得ｋ＜÷．
ｚ
ｌ石，＝——————：————一＜０＜．．
综合（１）和（２）得 实数ｋ的取值范围是
一１＜座＜丁１．
．●
‘－
需要指出的是，以上所述，只是分别从问题的某
个侧面人手去探讨在确定不等式中参数取值范围时
所常用的策略．事实上，这些策略不是孤立的，在具
体解题中，往往需要综合考虑，穿插运用，相互补充，
当茗＞ｏ，Ｙ＞ｏ时以石，，，）＝咝 ａ≥【八石，，，）】～（石＞０，，，＞０）．
：＿』竺些≤＿垒ｏ丝ｘ七：ｙ 厄
￣／（石）２＋（扔２ ／（石＋五）２
√
２
当且仅当茗＝Ｙ时，等号成立，
得［八ｚ，Ｙ）】～＝以．
所以实数ａ的取值范围是口≥拉． ５分类讨论。各个击破的策略
根据问题的本质属性划分不同的种类。然后逐 一进行讨论分析，以求各个击破，化难为易，使问题 得到完美的解决．
本文链接：/Periodical_zxsx200809007.aspx 授权使用：华中师范大学(hzsfdx)，授权号：3759f090-3aca-438c-8ffa-9ddb00ff4e4a
下载时间：2010年8月23日
ｇ（ａ）＜以茗）或ｇ（ａ）＞八ｚ）（其中ａ为参数）的 形式，然后对函数进行研究，讨论参数的变化情况， 从而求出参数的取值范围．
例５已知不等式缸＋石≤口石＋），对一切算＞
０，Ｙ＞０恒成立，求实数口的取值范围． 解Ｏｏ．茗＞０，Ｙ＞０。
．－．原不等式等价于ｎ≥塑兰些，
构造函数以石）＝掣，￣／则ｚ＋Ｙ
√ｘ＋ｙ
Ｂ．ｉｆ工。）＜ｆＣ茗：）
Ｃ．ｉｆｚ。）＝八工：）
Ｄ．ｉｆ石。）与八石：）的大小不能确定
分析许多同学看到此题马上想到数形结合，
ｉｆｚ）的对称轴为ｚ＝一１．作出函数图象后却发
现由于ｉＴ，是变量，无法准确判断戈．、石：与一ｌ的位置
关系，迫于无奈只好选Ｄ．
例６ ｉｆ茗）是定义在Ｒ上的减函数，若不等式
贝１＋缸一戈２）＞厂（ｋ＋２），
Ｉ石一堕掣Ｉ≤掣 例１ 已知关于实数石的不等式
二
上
与名２—３（ｔ１．＋１）石＋２（３口＋１）≤０．
的解集分别为Ａ和Ｂ，若Ａ呈Ｂ，求实数口的取值
范围．
解由Ｉ石一垃掣Ｉ≤堕＃，
二
二
求出其解为Ａ＝ｔ石Ｉ ２ａ≤戈≤口２＋１），
由戈２—３（口＋１）茗＋２（３ａ＋１）≤Ｏ，
得（龙一２）【戈一（３口＋１）】≤０．
压＿时，对于茹∈［０，１】时，不等式ｇ（名）＞０总成立．
｛石。：ｋ下＋－、／ｋ２－４（ｋ＋１）＜０。 （２）方程ｇ（石）＝０有两实根石。、戈：时，设茗。≥茗：．