2018届苏锡常镇一模数学试卷
江苏常州市2018届高三数学一模试题有答案
江苏常州市2018届高三数学一模试题（有答案）2018届高三年级第一次模拟考试(二)数学(满分160分，考试时间120分钟)一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.若集合A＝{－2，0，1}，B＝{x|x21}，则集合A∩B＝________．2.命题“∃x∈[0，1]，x2－1≥0”是________命题．(选填“真”或“假”)3.若复数z满足z2i＝|z|2＋1(其中i为虚数单位)，则|z|＝________．4.若一组样本数据2015，2017，x，2018，2016的平均数为2017，则该组样本数据的方差为________．5.如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是________．(第5题)(第12题)6.函数f(x)＝1lnx的定义域记作集合D.随机地投掷一枚质地均匀的正方体骰子(骰子的每个面上分别标有点数1，2，…，6)，记骰子向上的点数为t，则事件“t∈D”的概率为________．7.已知圆锥的高为6，体积为8.用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是7，则该圆台的高为________．8.在各项均为正数的等比数列中，若a2a3a4＝a2＋a3＋a4，则a3的最小值为________．9.在平面直角坐标系xOy中，设直线l：x＋y＋1＝0与双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴左侧，则双曲线C的离心率e的取值范围是________．10.已知实数x，y满足x－y≤0，2x＋y－2≥0，x－2y＋4≥0，则x＋y的取值范围是________．11.已知函数f(x)＝bx＋lnx，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．12.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝sin(ωx＋φ)(ω0，0φπ)的图象与x轴的交点A，B，C满足OA＋OC＝2OB，则φ＝________．13.在△ABC中，AB＝5，AC＝7，BC＝3，P为△ABC内一点(含边界)，若满足BP→＝14BA→＋λBC→(λ∈R)，则BA→BP→的取值范围为________．14.已知在△ABC中，AB＝AC＝3，△ABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2＝3，则△ABC面积的最大值为________．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，3bsinC＝ccosB＋c.(1)求角B的大小；(2)若b2＝ac，求1tanA＋1tanC的值．16.(本小题满分14分)如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC⊥平面ABCD，PB＝PD，Q是棱PC上异于P，C的一点．(1)求证：BD⊥AC；(2)过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QF∥BC.17.(本小题满分14分)已知小明(如图中AB所示)身高1.8米，路灯OM高3.6米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O.点光源从点M发出，小明在地面上的影子记作AB′.(1)小明沿着圆心为O，半径为3米的圆周在地面上走一圈，求AB′扫过的图形面积；(2)若OA＝3米，小明从A出发，以1米/秒的速度沿线段AA1走到A1，∠OAA1＝π3，且AA1＝10米．t秒时，小明在地面上的影子长度记为f(t)(单位：米)，求f(t)的表达式与最小值．18.(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)的右焦点为F，A是椭圆的左顶点，过原点的直线与椭圆交于M，N两点(点M在第三象限)，与椭圆的右准线交于点P.已知AM⊥MN，垂足为M，且OA→OM→＝43b2.(1)求椭圆C的离心率e；(2)若S△AMN＋S△POF＝103a，求椭圆C的标准方程．19.(本小题满分16分)已知各项均为正数的无穷数列的前n项和为Sn，且满足a1＝a(其中a为常数)，nSn＋1＝(n＋1)Sn＋n(n＋1)(n∈N*)．数列满足bn＝a2n＋a2n＋1anan＋1(n∈N*)．(1)证明：数列是等差数列，并求出的通项公式；(2)若无穷等比数列满足：对任意的n∈N*，数列中总存在两个不同的项bs，bt(s，t∈N*)，使得bs≤cn≤bt，求的公比q.20.(本小题满分16分)已知函数f(x)＝lnx（x＋a）2，其中a为常数．(1)若a＝0，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)－2.2018届高三年级第一次模拟考试(二)数学附加题(本部分满分40分，考试时间30分钟)21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A.[选修41：几何证明选讲](本小题满分10分)在△ABC中，N是边AC上一点，且CN＝2AN，AB与△NBC 的外接圆相切，求BCBN的值．B.[选修42：矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A＝42a1不存在逆矩阵，求：(1)实数a的值；(2)矩阵A的特征向量．C.[选修44：坐标系与参数方程](本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．曲线C的参数方程为x＝2cosα＋1，y＝2sinα(α为参数)，直线l的极坐标方程为ρsinθ＋π4＝2，直线l与曲线C交于M，N两点，求MN的长．D.[选修45：不等式选讲](本小题满分10分)已知a0，b0，求证：a3＋b3a2＋b2≥ab.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22.(本小题满分10分)已知正四棱锥PABCD的侧棱和底面边长相等，在这个正四棱锥的8条棱中任取两条，按下列方式定义随机变量ξ的值：若这两条棱所在的直线相交，则ξ的值是这两条棱所在直线的夹角大小(弧度制)；若这两条棱所在的直线平行，则ξ＝0；若这两条棱所在的直线异面，则ξ的值是这两条棱所在直线所成角的大小(弧度制)．(1)求P(ξ＝0)的值；(2)求随机变量ξ的分布列及数学期望E(ξ)．23.(本小题满分10分)记(x＋1)×x＋12×…×x＋1n(n≥2且n∈N)的展开式中含x项的系数为Sn，含x2项的系数为Tn.(1)求Sn；(2)若TnSn＝an2＋bn＋c，对n＝2，3，4成立，求实数a，b，c的值；(3)对(2)中的实数a，b，c，用数学归纳法证明：对任意n≥2且n∈N*，TnSn＝an2＋bn＋c都成立．2018届常州高三年级第一次模拟考试数学参考答案1.{－2}2.真3.14.25.76.567.38.39.(1，2)10.[2，8]11.1e12.3π413.58，25414.5231615.解析：(1)由正弦定理得3sinBsinC＝cosBsinC＋sinC，在△ABC中，因为sinC0，所以3sinB－cosB＝1，所以sinB－π6＝12.因为0Bπ，所以－π6B－π65π6，所以B－π6＝π6，所以B＝π3.(2)因为b2＝ac，所以由正弦定理可得sin2B＝sinAsinC，1tanA＋1tanC＝cosAsinA＋cosCsinC＝cosAsinC＋sinAcosCsinAsinC＝sin（A＋C）sinAsinC＝sinBsinAsinC，所以1tanA＋1tanC＝sinBsin2B＝1sinB＝132＝233. 16.解析：(1)因为PC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥PC.连结AC，交BD于点O.由平行四边形对角线互相平分，得O为BD的中点，在△PBD中，PB＝PD，所以BD⊥OP.因为PC∩OP＝P，PC，OP⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.因为AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.(2)因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC.因为AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，所以AD∥平面PBC.因为AD⊂平面ADQF，平面ADQF∩平面PBC＝QF，所以AD∥QF.因为AD∥BC，所以QF∥BC.17.解析：(1)由题意得AB∥OM，则AB′OB′＝ABOM＝1.83.6＝12，OA＝3，所以OB′＝6，小明在地面上的影子AB′扫过的图形是圆环，其面积为π×62－π×32＝27π(平方米)．(2)经过t秒，小明走到了A0处，身影为A0B′0.由(1)知A0B′0OB0＝ABOM＝12，即A0B′0＝12OB0＝OA，所以f(t)＝A0B′0＝OA0＝OA2＋AA20－2OAAA0cos∠OAA0.因为OA＝3，AA1＝10，∠OAA0＝∠OAA1＝π3，所以f(t)＝t2－3t＋9，0t≤10，即f(t)＝t－322＋274，所以当t＝32时，f(t)取得最小值为332.18.解析：(1)由题意得x2a2＋y2b2＝1，x＋a22＋y2＝a22，消去y并整理得c2a2x2＋ax＋b2＝0，解得x1＝－a，x2＝－ab2c2，所以xM＝－ab2c2∈(－a，0)，OA→OM→＝xMxA＝ab2c2a＝43b2，c2a2＝34，所以e＝32.(2)由(1)得M－23b，－223b，右准线方程为x＝433b，直线MN的方程为y＝2x，所以P433b，463b，S△POF＝12OFyP＝32b463b＝22b2，S△AMN＝2S△AOM＝OA×|yM|＝2b×223b＝423b2，所以22b2＋423b2＝103a，1023b2＝203b，所以b＝2，a＝22，椭圆C的标准方程为x28＋y22＝1.19.解析：(1)方法一：因为nSn＋1＝(n＋1)Sn＋n(n＋1)，①所以(n＋1)Sn＋2＝(n＋2)Sn＋1＋(n＋1)(n＋2)，②由②－①得，(n＋1)Sn＋2－nSn＋1＝(n＋2)Sn＋1－(n ＋1)Sn＋2(n＋1)，即(n＋1)Sn＋2＝(2n＋2)Sn＋1－(n＋1)Sn＋2(n＋1)．又n＋10，则Sn＋2＝2Sn＋1－Sn＋2，即an＋2＝an＋1＋2.在nSn＋1＝(n＋1)Sn＋n(n＋1)中令n＝1，得a1＋a2＝2a1＋2，即a2＝a1＋2.综上，对任意n∈N*，都有an＋1－an＝2，故数列是以a为首项，2为公差的等差数列．又a1＝a，所以an＝2n－2＋a.方法二：因为nSn＋1＝(n＋1)Sn＋n(n＋1)，所以Sn＋1n＋1＝Snn＋1.又S1＝a1＝a，所以数列Snn是以a为首项，1为公差的等差数列，因此Snn＝n－1＋a，即Sn＝n2＋(a－1)n.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2＋a.又a1＝a也符合上式，故an＝2n－2＋a(n∈N*)，故对任意n∈N*，都有an＋1－an＝2，即数列是以a为首项，2为公差的等差数列．(2)令en＝an＋1an＝1＋22n－2＋a，则数列是递减数列，所以1en≤1＋2a.考察函数y＝x＋1x(x1)，因为y′＝1－1x2＝x2－1x20，所以y＝x＋1x在(1，＋∞)上单调递增，因此2en＋1en≤2＋4a（a＋2），从而bn＝en＋1en∈2，2＋4a（a＋2）.因为对任意的n∈N*，总存在数列中的两个不同项bs，bt，使得bs≤cn≤bt，所以对任意的n∈N*都有cn∈2，2＋4a（a＋2），明显q0.若q1，当n≥1＋logq1＋2a（a＋2）时，有cn＝c1qn－12qn－1≥2＋4a（a＋2），不符合题意，舍去；若0q1，当n≥1＋logqa2＋2aa2＋2a＋2时，有cn＝c1qn －1≤2＋4a（a＋2）qn－1≤2，不符合题意，舍去；故q＝1.20.解析：(1)当a＝0时，f(x)＝lnxx2，定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝1－2lnxx3，令f′(x)＝0，得x＝e.x(0，e)e(e，＋∞)f′(x)＋0－f(x)↗极大值12e↘所以当x＝e时，f(x)的极大值为12e，无极小值．(2)f′(x)＝1＋ax－2lnx（x＋a）3，由题意得f′(x)≥0对x∈(0，－a)恒成立．因为x∈(0，－a)，所以(x＋a)30，所以1＋ax－2lnx≤0对x∈(0，－a)恒成立．所以a≤2xlnx－x对x∈(0，－a)恒成立．令g(x)＝2xlnx－x，x∈(0，－a)，则g′(x)＝2lnx＋1.①若0－a≤e－12，即0a≥－e－12，则g′(x)＝2lnx＋10对x∈(0，－a)恒成立，所以g(x)＝2xlnx－x在(0，－a)上单调递减，则a≤2(－a)ln(－a)－(－a)，所以0≤ln(－a)，所以a≤－1，这与a≥－e－12矛盾，舍去；②若－ae－12，即a－e－12，令g′(x)＝2lnx＋1＝0，得x＝e－12，当0xe－12时，g′(x)＝2lnx＋10，所以g(x)＝2xlnx－x单调递减；当e－12x－a时，g′(x)＝2lnx＋10，所以g(x)＝2xlnx－x单调递增，所以当x＝e－12时，g(x)min＝g(e－12)＝2e－12ln(e －12)－e－12＝－2e－12，所以a≤－2e－12.综上，a≤－2e－12.(3)当a＝－1时，f(x)＝lnx（x－1）2，f′(x)＝x－1－2xlnxx（x－1）3.令h(x)＝x－1－2xlnx，x∈(0，1)，则h′(x)＝1－2(lnx＋1)＝－2lnx－1，令h′(x)＝0，得x＝e－12.①当e－12≤x1时，h′(x)≤0，所以h(x)＝x－1－2xlnx单调递减，h(x)∈(0，2e－12－1]，所以f′(x)＝x－1－2xlnxx（x－1）30恒成立，所以f(x)＝lnx（x－1）2单调递减，且f(x)≤f(e－12)，②当0x≤e－12时，h′(x)≥0，所以h(x)＝x－1－2xlnx单调递增，所以h(e－12)＝e－12－1－2e－12ln(e－12)＝2e－12－10.又h(e－2)＝e－2－1－2e－2ln(e－2)＝5e2－10，所以存在唯一x0∈e－2，e－12，使得h(x0)＝0，所以f′(x0)＝0.当0xx0时，f′(x)0，所以f(x)＝lnx（x－1）2单调递增；当x0x≤e－12时，f′(x)0，所以f(x)＝lnx（x－1）2单调递减，且f(x)≥f(e－12)，由①②可知，f(x)＝lnx（x－1）2在(0，x0)单调递增，在(x0，1)上单调递减，所以当x＝x0时，f(x)＝lnx（x－1）2取极大值．因为h(x0)＝x0－1－2x0lnx0＝0，所以lnx0＝x0－12x0，所以f(x0)＝lnx0（x0－1）2＝12x0（x0－1）＝12x0－122－12.又x0∈0，12，所以2x0－122－12∈－12，0，所以f(x0)＝12x0－122－12－2.21.A.解析：记△NBC外接圆为圆O，AB，AC分别是圆O 的切线和割线，所以AB2＝ANAC.又∠A＝∠A，所以△ABN∽△ACB，所以BCNB＝ABAN＝ACAB，所以BCBN2＝ABANACAB＝ACAN＝3，所以BCBN＝3.B.解析：(1)由题意得42a1＝0，即4－2a＝0，解得a＝2.(2)由题意得λ－4－2－2λ－1＝0，即(λ－4)(λ－1)－4＝0，所以λ2－5λ＝0，解得λ1＝0，λ2＝5.当λ1＝0时，－4x－2y＝0，－2x－y＝0，即y＝－2x，故属于λ1＝0的一个特征向量为1－2；当λ2＝5时，x－2y＝0，－2x＋4y＝0，即x＝2y，故属于λ1＝5的一个特征向量为21.C.解析：曲线C：(x－1)2＋y2＝4，直线l：x＋y－2＝0，圆心C(1，0)到直线l的距离为d＝|1＋0－2|12＋12＝22，所以弦长MN＝2r2－d2＝24－12＝14.D.解析：已知a0，b0，不妨设a≥b0，则a52≥b52，a12≥b12，由排序不等式得a52a12＋b52b12≥a52b12＋b52a12，所以a52a12＋b52b12a2＋b2≥a52b12＋b52a12a2＋b2＝ab.22.解析：根据题意，该四棱锥的四个侧面均为等边三角形，底面为正方形，容易得到△PAC，△PBD为等腰直角三角形．ξ的可能取值为：0，π3，π2，共C28＝28(种)情况，其中：当ξ＝0时，有2种；当ξ＝π3时，有3×4＋2×4＝20(种)；当ξ＝π2时，有2＋4＝6(种)．(1)P(ξ＝0)＝228＝114.(2)Pξ＝π3＝2028＝57，Pξ＝π2＝628＝314.再根据(1)的结论，随机变量ξ的分布列如下表：ξ0π3π2P11457314根据上表，E(ξ)＝0×114＋π3×57＋π2×314＝29π84.23.解析：(1)Sn＝1＋2＋…＋nn！＝n＋12（n－1）！. (2)T2S2＝23，T3S3＝116，T4S4＝72，则23＝4a＋2b＋c，116＝9a＋3b＋c，72＝16a＋4b＋c，解得a＝14，b＝－112，c＝－16.(3)①当n＝2时，由(2)知等式成立；②假设当n＝k(k∈N*，且k≥2)时，等式成立，即TkSk＝14k2－112k－16；当n＝k＋1时，由f(x)＝(x＋1)×x＋12×…×x＋1k×x＋1k＋1＝[(x＋1)×x＋12×…×x＋1k]×x＋1k＋1＝1k！＋Skx＋Tkx2＋…x＋1k＋1，知Tk＋1＝Sk＋1k＋1Tk＝k＋12（k－1）！[1＋1k＋114k2－112k－16]，所以Tk＋1Sk＋1＝k＋12（k－1）！1＋1k＋114k2－112k－16k ＋1＋12k！＝kk＋2k＋1＋3k2－k－212＝k（3k＋5）12. 又14(k＋1)2－112(k＋1)－16＝k（3k＋5）12，等式也成立；综上可得，对任意n≥2且n∈N*，都有TnSn＝an2＋bn ＋c成立．。
江苏省苏锡常镇四市2018届高三模拟考试(二)数学试卷(含答案)
2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕数学I 试题考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及各题做题要求1 .本试卷共4页,包含填空题〔第 1题〜第14题〕、解做题〔第15题〜第20题〕两局部.本试 卷总分值160分,测试时间为120分钟. 2 .做题前,请您务必将自己的姓名、测试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在做题卡的指定位置.3 .做题时,必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在做题卡的指定位置,在其他位置作答一律 无效.4 .如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.5 .请保持做题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔.一. …,一 1(x n x),其中 x —(X 1 n一、填空题：本大题共 14小题,每题5分,共70分.不需要写出解答过程,请把答案直接填在 做题卡相应位置上.1 .假设复数z 满足〔1+i 〕z=2〔i 是虚数单位〕,那么z 的虚部为 ▲.2 .设集合A {2,4}, B {a ；2}(其中a 0),假设A B ,那么实数a ▲图如右图所示,那么这五人成绩的方差为 ▲ .右图是一个算法流程图,假设输入值 x [0,2],那么输出值S 的取值范围是 ▲.欧阳修在?卖油翁?中写到： “〔翁〕乃取一葫芦置于地,以 钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入, 而钱不湿〞,可见卖油翁的技艺之高超,假设 铜钱直径4厘米,中间有边长为 1厘米的方差公式： s 2 - (x 1 x)2 (x 2 x)2nX 23.4.在平面直角坐标系xOy 中,点P 〔 2,4〕到抛物线y 2 8x 的准线的距离为 ▲. 一次测试后,从高三〔1〕班抽取5人进行成绩统计,其茎叶 78 8 2 4 4 9 2(第4题图)5.6.正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),那么油恰好落入孔中的概率是▲ .7 .函数f(x) sin(灰)(0 x 2力在x 2时取得最大值,那么k8 .公差为d的等差数列｛a n｝的前n项和为S n,假设S04 ,那么4% ▲.S5 d9 .在棱长为2的正四面体P ABC中,M , N分别为PA, BC的中点,点D是线段PN上一点,且PD 2DN ,那么三棱锥D MBC的体积为▲ ._ _ _ _ 3 tan A10 .设△ ABC的内角A, B , C的对边分别是a , b , c,且满足acosB bcosA — c,那么------------5 tanB▲.2 211 .在平面直角坐标系xOy中,圆C : (x 1) y 2 ,点A(2,0),右圆C上存在点M ,酒足MA2MO210,那么点M的纵坐标的取值范围是▲.12 .如图,扇形AOB的圆心角为90.,半径为1,点P是圆弧AB上的动点,作点P关于弦AB的uuu uuir对称点Q ,那么OP OQ的取值范围为▲1八(| x 31 1), x 0,升入人^花.13.函数f (x)2 右存在头数a b c,ln x, x 0,满足f(a) f (b) f(c),那么af(a) bf(b) cf(c)的最大值是▲.2 3 1 114 .a, b为正实数,且a b 4(ab),那么一一的最小值为▲. a b二、解做题：本大题共6小题,共计90分.请在做题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证实过程或演算步骤.15 .(本小题总分值14分)如图,在四棱锥P ABCD中, ADB 900,CB CD ,点E为棱PB的中点.(1)假设PB PD ,求证：PC BD ;(2)求证：CE〃平面PAD .A(本小题总分值14分)在△ ABC 中,三个内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,设^ ABC 的面积为 S ,且4S 3(a 2 c 2 b 2).(1)求 B 的大小； (2)设向量 m (sin 2A,3cos A) , n (3, 2cos A),求 m n 的取值范围.▲ ▲ ▲(本小题总分值14分)下列图(I)是一斜拉桥的航拍图,为了分析大桥的承重情况,研究小组将其抽象成图( II)所示的数学模型.索塔 AB , CD 与桥面AC 均垂直,通过测量知两索塔的高度均为 60m,桥面AC上一点P 到索塔AB, CD 距离之比为21:4,且P 对两塔顶白视角为135°.(1)求两索塔之间桥面 AC 的长度;(2)研究说明索塔对桥面上某处的“承重强度〞与多种因素有关,可简单抽象为：某索塔对桥 面上某处的“承重强度〞与索塔的高度成正比(比例系数为正数a),且与该处到索塔的距离的平方成反比(比例系数为正数 b).问两索塔对桥面何处的“承重强度〞之和最小？并求出最小 值.16.17.18. (本小题总分值16分)2 X如图,椭圆—a2y b 21(a b 0)的离心率为焦点到相应准线的距离为分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点,过点C的直线l交椭圆于点D ,交x轴于点M (x1,0),直线AC与直线BD交于点N(x2, y2).(1)求椭圆的标准方程；uuuu uuuu(2)假设CM 2MD ,求直线l的方程；(3)求证：x1 *2为定值. ▲▲▲19.(本小题总分值16分)函数f(x) x3ax2bx 1, a, b R.(1)假设a2b 0 ,①当a 0时,求函数f (x)的极值(用a表示)；② 假设f(x)有三个相异零点,问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列？假设存在,试求出a的值；假设不存在,请说明理由；(2)函数f(x)图象上点A处的切线1I与f(x)的图象相交于另一点B,在点B处的切线为l2,直线1I, I2的斜率分别为K, k2,且k2=4k「求a, b满足的关系式.▲ ▲ ▲20.(本小题总分值16分)等差数列斗的首项为1,公差为d ,数列b n的前n项和为S n ,且对任意的n N ,6S n 9b n a n 2 恒成立.(1)如果数列S n是等差数列,证实数列b n也是等差数列；1(2)如果数列b n1为等比数列,求d的值；2(3)如果d 3,数列c n的首项为1, c n b n b n 1(n 2),证实数列an中存在无穷多项可表示为数列 c n 中的两项之和.2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕考前须知考生在做题前请认真阅读本考前须知及各题做题要求 1 .本试卷只有解做题,供理工方向考生使用.本试卷第选做,每位考生在 4个选做题中选答 2题.假设考生选做了 3题或4题,那么按选做题中的前2题计分.第22, 23题为必做题.每题 10分,共40分.测试 试结束后,请将做题卡交回2 .做题前,请您务必将自己的姓名、测试号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答呼的规定位置.3 .做题时,必须用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在做题卡的指定位置,在其他位置彳 答一律无效.4 .如有作图需要,可用 2B 铅笔作答,并请加黑加粗,描写清楚.5 .请保持做题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、 圆珠笔. 21 .【选做题】在 A, B, C, D 四小题中只能选做两题 ,每题10分,共计20分.请在做题卡指定区域 内作答,解答时应写出文字说明、 证实过程或演算步骤. A.选修4—1:几何证实选讲如下图,AB 为.O 的直径,AE 平分 BAC 交..于E 点,过E 作.O 的切线交AC 于点D ,求证AC DE . B.选修4-2:矩阵与变换2 1矩阵 M =的一个特征值为3,求M 1 .数学n 〔附加题〕2021. 521题有A, B, C, D 4个小题供304b 钟.考4 x▲ ▲ ▲C.选修4—4:坐标系与参数方程.............................................................. x 3 2cost.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为(t为参数).y 2 2sint以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线l的极坐标方程为近 cos( -) a(a R),圆心C到直线l的距离等于后,求a的值.▲ ▲ ▲D.选修4—5:不等式选讲2 2 2 2头数a, b, c满足a 2b c 1 , a b c 1,求证：一c 1.3▲ ▲ ▲【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在做题卡指定区域内作答, 解答时应写出文字说明、证实过程或演算步骤.22.(本小题总分值10分)1 —甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题,甲做对该题的概率为一,乙、丙3 做对该题的概率分别为m, n(m n),且三位学生能否做对相互独立,设X为这三位学生中做对该题的人数,其分布列为：(1)求m, n的值;23.6.15.(2)求X的数学期望.(本小题总分值10分)函数f (x) (x(1)当n 2时,假设(2)假设f (2) m2021-2021填空题:2.7.、5)2n1(n Nf(2) f( 2)(m N ,0J5A,求实数A的值;1),求证：(m ) 1 .学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研参考答案3. 4. 20.812.8. 9..2 1,1 13. 2e212二)5.10.14.解做题证实: (1) BD的中点O , 连结CO, PO,由于CD由于PBCB ,所以△PD ,所以△CBD为等腰三角形,所以PBD为等腰三角形,所以BDBD又POI CO O ,所以BD 平面由于PC 平面PCO ,所以PCPCO.BD .(2)由E为PB中点,连EO,那么EO // PD ,又EO 平面PAD ,所以EO //平面PAD .由ADB 90 ,以及BD CO ,所以CO // AD ,又CO 平面PAD ,所以CO //平面PAD . 11分又COI EO=O ,所以平面CEO //平面PAD ,13分 而CE 平面CEO ,所以CE // 14分16.解〔1〕由题意,有 4 1acsinB 2 .3(a 2 c 2 b 2), 2那么 sin B -.3 a c 2 b 22ac 所以 sin B 73cos B . 由于sin B 0 ,所以cosB 0, 所以tan B _ It所以B -3(2) 由向量 m (sin 2A,3cos A) , n(3, 2cos A),得m gn 2= 3sin 2A 6cos A 3sin 2A3cos2A3 3后sin(2A , 3.一兀所以2A - 4所以sin(2A 九八一,所以A C 3〔44负 所以m g n 17.解(1)设 AP tan =K 21t 由tan(化简得7t 2所以,AC 10分12分即取值范围是14分21t , BP 4t,(t 0) 〞tan7ttan 45125t 300 APB= , CPD=,那么60 4t15 tantan20 7t1 tan tan15t 300 7F0,解得t 20或tAP PC 25 20 500.答：两索塔之间的距离 AC=500米.〔2〕设AP=x,点P 处的承重强度之和为 L 〔x 〕.157〔舍去〕,c得 a2a(2)由(1)知 C(0,1),设 D(x o ,y 0),18. 贝U L(x) 60[ab —ab-^],且 x (0,500),x 2 (500 x)2r -1 1即 L(x) 60ab[-2 ——^],x (0,500) x (500 x)(注：不写定义域扣 1分)、-1 1记 l(x) — ™—77,X (0,500),那么 l'(X) x (500 x) 令 l (x) 0,解得 X 250 ,当 x (0,250), l (x) 0, l(x)单调递减； 当 x (250,500) , l (x) 0, l(x)单调递增；2 (500 x)311分所以x 250时,l(x)取到最小值,L(x)也取到最小值 坐23125答：两索塔对桥面 AC 中点处的“承重强度〞之和最小,且最小值为解(1)由椭圆的离心率为二,焦点到对应准线的距离为1.213分6ab 3125…14分所以,椭圆的标准方程为y 2 1.uuuu uuuu由于CM 2MD ,得2 y o 代入椭圆方程得x 0所以l 的方程为：y 6-—或2、6——x 2三,所以D(12,_6 2 ,(3)设D 坐标为(X 3,y 3),由C(0,1), M(x 1, 0)可得直线CM 的方程1 y — xX Iy联立椭圆方程得：2x 21—x X 1 1, 解得x 314x 1xyr y 3x 12 2 x ,212分由Bh/2,0),得直线BD 的方程：yX I 2 2「2X ； 4x 1 2 22解得acc 1,直线AC 方程为y —x 1 ,②2 2联乂①②得 x 2 一 ,.......................................... 15分 X i从而X i X 2=2为定值. .......................................... 16分解法2:设D 坐标为(X3, y3),由C,M,D 三点共线得 A —y^,所以x 1 -x^ ,①.................... 10分X 1 X 3 X 11 V3由B,D,N 三点共线得y3 L= 一左胃,将y 2 — X 2 1代入可得X 3 . 2 x 2 , 2 222得 f (x) 3x 2ax a , 令f (x) 0 ,解得X 刍或x a .3由 a 0 知,x (, a), f(x) 0, f(x)单调递增,aa x ( a,-), f (x) 0, f(x)单调递减,x (-,), f (x) 0, f(x)单调递增,33...................................................................... 3分3a5a 3因此,f(x)的极大值为f( a) 1 a , f(x)的极小值为f(a) 1 ——. 327...................................................................... 4分 ②当a 0时,b 0,此时f(x) x 3 1不存在三个相异零点；当a 0时,与①同理可得 f(x)的极小值为f( a) 1 a 3, f (x)的极大值为f(M) 15 o要使f(x)有二个不同零点,那么必须有 (1 a 3)(1 一a 3) 0 ,27即 a 31 或 a 3 ——.............................................................................. 6 分5不妨设f(x)的二个零点为X 1, X 2 , X 3 ,且X 1 X 2 X 3 , 那么 f(X 1) f(X 2) f (X 3) 0,2x 3 2y 3 2"& X 3.2'12分①和②相乘得,X 1X 2X 3 J 2X 3 2 y 3 2 J2X 3 2X 3 y 3 2x 31V3 2V3 X 3 2、2y 32 X 3y 3 X 3219. ■■-2 X3 2X 3y 3 2 X322(1 旦)X 3y 3 X 3222解：(1)①由 f (x) 3x 2ax2.............2b 及 a b 0 ,16分35a 27同理 x ； x 3x 2 x 2 a(x 3x 2)a 2 0 ,⑤⑤-④得 x 2(x 3 x i ) (x 3 x i )(x 3 为)2& 为)0 , 由于 x 3x 1 0,所以 x 2 x 3 x 1a 0,♦…,又 x 1 x 3 2x 2 ,所以 x 2 —......................................................3所以 f( a) 0 ,即 2a 2 -a 2,即 a 3271 ,3 9a113因此,存在这样实数 a 仁满足条件.......................311(2)设 A (m, f(m)) ,B(n, f(n)),那么 ( 3m 2 2am b , k 2 3n 2 2an b ,p .f (m) f (n) (m 3 n 3) a(m 2 n 2) b(m n) 22 / x. 又 k 1 ...... - ------- --------- - --- - -------- - --- - ---- -- m 2 mn n 2 a(m n) b,m n m n ..................................................... 13分由此可得 3m 2 2am b m 2 mn n 2 a(m n) b,化简得 n a 2m,因此,k 2 3(a 2m)2 2a( a 2m)b 12m 28am a 2b,..............15 分所以a 2 3b所以｛b n ｝为等差数列.(2)由③得 6b n 9b n 9b n 1. d . 一 1所以一1 0或b n 〔 一为常数.3 n 1220.解：(1)设数列 ｛0｝的公差为d , 由 6S n 9b n a n 2,①6S n 1 9b n 1 ①-②得6(S n an 1 S n 1) 2(n >2),② 9(b n b n 1) (a n an 1),区即 6d 9(b n b n i ) d ,所以 b n b n 16d d.为常数,所以b n 2b ni 23b ni bn 1d ] 3 2 1 21 3(b ni 2) bn 1d1 31 2 q 133一是与n 无关的常数, b ni 2f (x i ) X i 3 ax i 2 a 2x i 1 0, f (x 2) x3ax 2 a 2x 2 10,f (X 3) x 3 ax 32 a 2x 3 1 0,②-①得(x 2 x 1)(x 2 x 1x 2 x 2) 由于x 2 x 1 0 ,所以x f x 1x 22,a(x 2 x i )(x 2 x i ) a (x 2 x 1) 0, x ； a(x x ) a 2 0,④ 10分12分所以,12m 28am22a 4(3m 2am b),16分d ,即 3b n 9b n 1①当d 1 0时,d 3,符合题意; 3一. 1②当b n1 5为常数时,在6S n 9b n a n 2 中令n 1 ,那么6a i9b l a1 2 ,又a1 1 ,解得b 1 ,…8分一一. 1 1 3所以b n1 1b1」32 2 2此时3 —3一r 3 b n1 2综上,d 3或d 6 . ...................................................................... 10分(3)当d 3时,a n 3n 2, ............................................................ 11 分由(2)得数列｛b n1｝是以3为首项,公比为3的等比数列,所以b n- 9 3n1」3n,即2 2 2 2 2 1b n=—(3n1) . .................................................................. 12 分2当n>2 时,c b n b n 1 1(3n 1) 1(3n 1 1) 3n 1 , 2 2当n 1时,也满足上式,所以C n 3n1(n>1). .............................................................. 13 分设a n c C j (1 < i j),那么3n 2 3i 1 3j 1,即3n 3i 1(3j i 1) 2,如果i >2 ,由于3n为3的倍数,3i 1(3j i 1)为3的倍数,所以2也为3的倍数,矛盾. ................................... 15分所以i 1,那么3n 3 3j 1,即n 1 3j 2(j 2,3,4,L).所以数列｛a n｝中存在无穷多项可表示为数列｛g｝中的两项之和. ................ 16分2021-2021学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研〔二〕附加题参考答案21.A 解连接OE,由于ED是.O切线,所以OELED. ..................由于M蜜1 ,所以6 . ...................... 10分» -1 < 11 32 221.C解消去参数t,得到圆的普通方程为(x-3) +(y+2) =4, .................. 3分由J2r cosfci - -) = a ,得r cosq + r sinq - a = 0,4所以直线I的直角坐标方程为x+y- a=0. .......................................... 6分依题意,圆心C到直线I的距离等于夜,即邑二夜,解得或3.42............................................................................ 10分21.D 证实：由于a+2b+c= 1, a2+b2+c2=1, 所以a+ 2b= 1 - c, a2+ b2= 1 - c2. .................... 3 分由柯西不等式：(f+22)缶2+b2)>g+2b/, .................................... 6分22.23. 5(1-c2)>(1-c)2,整理得,3c2-c-2< 0,2解得一2<c<1.32所以一2<c< 1.3解〔1〕由题意,10分由题意,E(X)解〔1〕f(x)P(X10 —3当n(113)(1 m)(1 n)1 mn31一,n31 23 30) P(X2时,(x 5)5C0 5C5 x所以f (2) f ( 2)1)1361.......................................42 13 2 2 1 43343P(X 3) 191367367361 113 -361210分C5X4有C：x3(V5)2C3x2(函3C；X(V5)4C5(行)5,........................................................................................... 1分(2 而)5+( 2 而)52[C1(通)124 C3(j5)322+C5^/5)520]=2(5 16J5+10 4 5J5+25 75)=610 V5,所以A 610.(2)由于f (x) (x ,5)2n 1 所以f(2) C21n 122n 由题意f(2) ( 5 首先证实对于固定的假设f (2) (2 5)2n 1那么m〔m2 2 1C:x2n 1C2m x2n而C4IX2n1(拘2L C弁；(右)2n 1,1C2n 122n君C；n 122n1(佝2L C"1(拘2n1,2)2n 1m1m (m N*,0N * ,满足条件的m,1 m2 2(m〞m21〕,是唯一的.N*,0 1, 2 1凡m2, 1所以满足条件的m,下面我们求m及0 ,而m1是唯一的.1 ( 1,0) U (0,1),矛盾.由于f(2) f ( 2)002 n 12[C2n 12显然f(2) f ( 2)的值：(2 , 5)2n 1(2 5)2n 1(2 .5)2n 1(2 5)2n 1C2n 122n1(陶2C24n 122n 3(遥)4 + L +C2n 121(屿2n],N* . ..................................................................又由于而2 (0,1),故(芯2)2n 1(0,1), 即f ( 2) ( 2 -5)2n 1( 5 2)2n 1(0,1).所以令m 2[C；n 122n 1C/ 22n 1诉2C4n 122n 3(T5)4+L +C；ni21(75)2n], (2 5)2n1,那么m f (2) f( 2), f ( 2),又m f(2) , ................................ 9 分所以(m ) f( 2) f (2) (2 J5)2n1( 2 J5)2n1(5 4)2n 11 , ……10分。
2018年江苏省苏州市常熟市中考数学一模试卷_0
2018年江苏省苏州市常熟市中考数学⼀模试卷_02018年江苏省苏州市常熟市中考数学⼀模试卷⼀、选择题本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上.1．（3分）﹣9×的结果是（）A．﹣3B．3C ．D ．2．（3分）据统计，2017年我市实现地区⽣产总值2279.55亿元，⽤四舍五⼊法将2279.55精确到0.1的近似值为（）A．2280.0B．2279.6C．2279.5D．22793．（3分）下列运算结果等于a5的是（）A．（a2）3B．a2+a3C．a10÷a2D．a2?a34．（3分）如图，已知，AB∥CD，点E在CD上，AE平分∠BAC，∠C＝110°，则∠AED的度数为（）A．35°B．70°C．145°D．155°5．（3分）关于x的⽅程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜2B．m≤2C．m＜2且m≠1D．m＞2且m≠1 6．（3分）若点A（a，b）在⼀次函数y＝2x﹣1的图象上，则代数式4a﹣2b+3的值为（）A．1B．2C．4D．57．（3分）某班体育委员调查了本班学⽣⼀周的体育锻炼时间，统计数据如下表所⽰：则该班学⽣⼀周的体育锻炼时间的众数和中位数分别是（）A．9，9.5B．9，9C．8，9D．8，9.5 8．（3分）已知关于x的⽅程ax2﹣2＝0的⼀个实数根是x＝2，则⼆次函数y＝a （x+1）2﹣2与x轴的交点坐标是（）A．（﹣3，0）、（1，0）B．（﹣2，0）、（2，0）C．（﹣1，0）、（1，0）D．（﹣1，0）、（3，0）9．（3分）⼀艘渔船从港⼝A沿北偏东60°⽅向航⾏⾄C处时突然发⽣故障，在C处等待救援．有⼀救援艇位于港⼝A正东⽅向20（﹣1）海⾥的B处，接到求救信号后，⽴即沿北偏东45°⽅向以30海⾥/⼩时的速度前往C处救援．则救援艇到达C处所⽤的时间为（）A．⼩时B．⼩时C．⼩时D．⼩时10．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D、E在边BC上，且∠DAE ＝60°．将△ADE沿AE翻折，点D的对应点是D'，连接CD'，若BD＝4，CE＝5，则DE的长为（）A．B．C．D．⼆、填空题本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应的位置上.11．（3分）的绝对值是．12．（3分）把多顼式2a2﹣4a+2分解因式的结果．13．（3分）函数y＝的⾃变量x的取值范围为．14．（3分）为了解某市创建全国⽂明城市的效果满意度，设置了“满意、基本满意、不满意、说不清楚”四种意见．现从某校所有1200名学⽣中随机征求了100名学⽣的意见，其中持“基本满意”的有14名学⽣，持“不满意”和“说不清楚”的共有6名学⽣，估计全校持“满意”意见的学⽣⼈数约为．15．（3分）⼩明⽤图中所⽰的扇形纸⽚作⼀个圆锥侧⾯，已知扇形的半径为5cm，弧长是6πcm，那么这个圆锥的⾼是．16．（3分）某市规定了每⽉⽤⽔不超过l8⽴⽅⽶和超过18⽴⽅⽶两种不同的收费标准，该市⽤户每⽉应交⽔费y（元）是⽤⽔x（⽴⽅⽶）的函数，其图象如图所⽰．已知⼩丽家3⽉份交了⽔费102元，则⼩丽家这个⽉⽤⽔量为⽴⽅⽶．17．（3分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点B的切线交AC的延长线于点D．若∠A＝2∠D，BD＝4，则图中阴影部分的⾯积为．18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D、E分别是边AB、BC的中点，连接DE，将△BDE绕点B按顺时针⽅向旋转⼀定⾓度（这个⾓度⼩于90°）后，点D的对应点D'和点E的对应点E'以及点A 三个点在⼀直线上，连接CE'，则CE'＝．三、解答题本⼤题共10⼩题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要，的计算过程、推演步骤或⽂字说明.19．（5分）计算：（π﹣）0﹣（）2﹣sin60°+|﹣4|．20．（5分）解不等式组：．21．（6分）先化简，再求值：（x+）÷，其中x＝．22．（6分）⼀客运公司有60座和45座两种型号的客车可供租⽤，60座客车每辆每天的租⾦⽐45座的贵200元．某校七年级师⽣在这个客运公司租了5辆60座和3辆45座的客车去沙家浜参加社会实践活动，⼀天的租⾦共计5000元．该客运公司60座和45座的客车每辆每天的租⾦分别是多少元？23．（8分）我市在各校推⼴⼤阅读活动，初⼆（1）班为了解2⽉份全班学⽣课外阅读的情况，调查了全班学⽣2⽉份读书的册数，并根据调查结果绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图：根据以上信息解决下列问题：（1）参加本次问卷调查的学⽣共有⼈，其中2⽉份读书2册的学⽣有⼈；（2）补全条形统计图，并求扇形统计图中读书3册所对应扇形的圆⼼⾓度数；（3）在读书4册的学⽣中恰好有2名男⽣和2名⼥⽣，现要在这4名学⽣中随机选取2名学⽣参加学校的阅读分享沙龙，请⽤列举法（画树状图或列表）求所选取的这2名学⽣恰好性别相同的概率．24．（8分）如图，在平⾏四边形ABCD中，点E是边BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F．连接AC、BF．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）当四边形ABFC是矩形时，若∠AEC＝80°，求∠D的度数．25．（8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC⊥x轴，垂⾜为D，边AB所在直线分别交x轴、y轴于点E、F，且AF＝EF，反⽐例函数y＝的图象经过A、C两点，已知点A（2，n）．（1）求AB所在直线对应的函数表达式；（2）求点C的坐标．26．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，直径AD交BC于点E，连接OC，过点C作CF⊥AD，垂⾜为F．过点D作⊙O的切线，交AB的延长线于点G．（1）若∠G＝50°，求∠ACB的度数；（2）若AB＝AE，求证：∠BAD＝∠COF；（3）在（2）的条件下，连接OB，设△AOB的⾯积为S1，△ACF的⾯积为S2，若，求tan∠CAF的值．27．（10分）如图，四边形ABCD是矩形，点P是对⾓线AC上⼀动点（不与A、C重合），连接PB，过点P作PE⊥PB，交射线DC于点E，已知AD＝3，sin ∠BAC＝．设AP的长为x．（1）AB＝；当x＝1时，＝；（2）①试探究：否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由；②连接BE，设△PBE的⾯积为S，求S的最⼩值．（3）当△PCE是等腰三⾓形时．请求出x的值；28．（10分）如图1，抛物线y＝x2﹣（m﹣1）x﹣m（m＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB＝3OA．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）动点D在线段BC下⽅的抛物线上．①连接AC、BC，过点D作x轴的垂线，垂⾜为E，交BC于点F．过点F作FG⊥AC，垂⾜为G．设点D的横坐标为t，线段FG的长为d，⽤含t的代数式表⽰d；②过点D作DH⊥BC，垂⾜为H，连接CD．是否存在点D，使得△CDH中的⼀个⾓恰好等于∠ABC的2倍？如果存在，求出点D的横坐标；如果不存在，请说明理由．2018年江苏省苏州市常熟市中考数学⼀模试卷参考答案⼀、选择题本⼤题共10⼩题，每⼩题3分，共30分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的，请将选择题的答案填在答题卷相应的位置上.1．A；2．B；3．D；4．C；5．C；6．D；7．B；8．A；9．C；10．B；⼆、填空题本⼤题共8⼩题，每⼩题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应的位置上.11．；12．2（a﹣1）2；13．x≥﹣1且x≠1；14．960；15．4cm；16．30；17．7﹣π；18．；三、解答题本⼤题共10⼩题，共76分，把解答过程写在答题卷相应的位置上，解答时应写出必要，的计算过程、推演步骤或⽂字说明.19．；20．；21．；22．；23．50；17；24．；25．；26．；27．4；；28．；。
2018年苏锡常镇四市一模试题和答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）化学可能用到的相对原子质量：H-1 C一12 N-14 0—16 S-32Na-23 Mg-24 A1-27 Fe-56 Cu-64 2n-65选择题单项选择题：本题包括10小题，每小题2分，共计20分。
每小题只有一个选项符合题意。
1．每年3月22日为“世界水日”。
下列有关“废水”的处理正确的是A．工业废水无需处理，直接用于农业灌溉B．废水经氯气消毒后，即可安全再利用C．寻找方式来减少和再利用废水可节约水资源D．收集和处理废水，弊大于利2．下列有关化学用语的表示，正确的是A．氨基(-NH2)的电子式：B．钾离子的结构示意图:C．二氧化碳分子的比例模型：D．碳酸电离的方程式：3．下列有关物质性质与用途具有对应关系的是A．晶体硅熔点高硬度大，可用于制造半导体材料B碳酸钠溶液显碱性，可用于除去金属器件表面的油脂C．碳酸氢钠能与碱反应，可用作焙制糕点的膨松剂D．明矾溶于水能形成胶体，可用于自来水的杀菌消毒4．实验室制各氨气、收集、验证其还原性并进行尾气处理的装置和原理能达到实验目的的是A．用装置甲制取氨气B．用装置乙收集氨气时气体应该从a口进b口出C．装置丙中黑色固体变成红色时还原产物一定为铜D．可以用装置丁吸收氨气，进行尾气处理5．短周期主族元素X、Y、Z、W原子序数依次增大，其中X、Y处于同一周期且相邻，Z元素的原子在短周期中原子半径最大，W是地壳中含量最多的金属元素。
下列说法正确的是A．原子半径：r(X）<r(Y）<r(W）<r(Z)B．Z和X组成的化合物中一定不含共价键C．W的单质还原性比Z的强D．Y、Z、W三种元素组成的化合物可能是Z3WY66．下列指定反应的离子方程式正确的是A．石灰水中加入过量小苏打溶液：B．将铜丝插入足量浓硝酸中：C．将SO2通入少量氨水中：D．用双氧水从酸化的海带灰浸出液中提取碘：7．在给定的条件下，下列选项所示的物质间转化均能实现的是8．电石(主要成分为CaC2)是重要的基本化工原料。
20182018苏锡常镇数学高三模拟(二)
合用标准文案2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕数学Ⅰ试题本卷须知：1．本试卷共4 页，包括填空题〔第 1 题～第 14 题〕、解答题〔第 15 题～第 20 题〕两局部．本试卷总分值 160 分，考试时间 120 分钟．2．答题前，请您务必然自己的姓名、考试号用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址．3．答题时，必定用0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在答题卡的指定地址，在其他地址作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描述清楚．5.请保持答题卡卡面干净，不要折叠、破坏．一律严禁使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．一、填空题：本大题共14 小题，每题 5 分，共 70 分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应地址上．．．．．．．．．1．会集A x 1 x 3 ， B x x 2 ，那么 A B▲．2． i 为虚数单位，复数z1 3 yi ( y R )，z2 2 i ，且z1 1 i ，那么y▲．z23．下表是一个容量为10 的样本数据分组后的频数分布．假设利用组中值近似计算本组数据的平均数 x ，那么 x 的值为▲．数据[12.5,15.5)[15.5,18.5)[18.5,21.5)[21.5,24.5)频数2134x2y24．直线 2 x 3 y0 为双曲线a2b2 1(a 0,b 0) 的一条渐近线，那么该双曲线的离心率的值为▲．优秀文档合用标准文案5．据，在公元前 3 世，阿基米德已得出了前n 个自然数开始平方和的一般公式．右是一个求前n 个自然数平方和的算法入 x 流程，假设入 x 的1，出S的▲．S06 ． 1 是会集( x, y) x2y2 ,1所表示的地域， 2 是会集S S2x x 1 x( x, y) y, x所表示的地域，向地域 1 内随机的投一个点，S5否是点落在地域 2 内的概率▲．出 S 7．等比数列a n的前 n 和 S n，公比 q3，S3S453 ，结束3a3▲．8．直四棱柱底面是 2 的菱形，面角的 2 3 ，直四棱柱的面▲．9．是第二象限角，且sin 3， tan() 2 ， tan▲．1010．直 l ： mx y2m 1 0 ， C ： x2y22x 4 y0 ，当直 l 被 C 所截得的弦最短，数m▲．11．在△ ABC 中，角 A, B, C 分是 a, b, c ，假设足 2b cos A =2 c3a ，角B的大小▲．12．在△ ABC 中， AB AC，AB 1， AC t ，P是△ ABC 所在平面内一点，假设tAP 4 AB AC▲．|AB|，△ PBC 面的最小|AC|4x2, x⋯0,13．函数 f (x)x3x0,假设函数g( x) f (x)3x b 有三个零点，数 b 的,x取范▲．14． a ,b 均正数，且ab a2b0， a22b21的最小▲．4a b优秀文档合用标准文案二、解答题：本大题共 6 小题，共90 分．请在答题卡指定地域内作答，解答时应写出必．．．．．．．要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．〔本小题总分值14 分〕向量 m( 3cos x, 1) , n(sin x,cos2 x) ．（1〕当 x π时，求m n的值；3〔 2〕假设x0, π，且m n31，求 cos2x 的值．43216．〔本小题总分值 14分〕B 如图，在周围体 ABCD 中，平面 ABC ⊥平面 ACD ，E， F， G 分别为 AB， AD ，AC 的中点， AC BC ，EACD 90 ．〔 1〕求证： AB⊥平面 EDC ；A GC〔 2〕假设 P 为 FG 上任一点，证明EP∥平面 BCD ．PFD17．〔本小题总分值14 分〕某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量w〔单位：百千克〕与肥料花销x〔单位：百元〕满足以下关系：3，且投入的肥料花销不高出 5 百元．其他，还需w 4x 1要投入其他本钱〔如施肥的人工费等〕2x 百元．这种水蜜桃的市场售价为16 元/千克〔即 16 百元 /百千克〕，且市场需求向来供不应求．记该棵水蜜桃树获得的利润为 L (x) 〔单位：百元〕．（1〕求利润函数L x的函数关系式，并写出定义域；（2〕当投入的肥料花销为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？优秀文档合用标准文案18．〔本小分16 分〕函数 f (x) a ln x bx 3，a，b 数， b 0 ， e 自然数的底数， e 2.71828 ⋯．〔 1〕当 a 0 ， b 1 ，函数 f (x) 的最小g ( a) ，求 g (a) 的最大；〔 2〕假设关于x 的方程 f ( x)=0 在区 (1， e] 上有两个不相同数解，求 a 的取范．b19．〔本小分16 分〕x2y2F ( 1,0)x2C :a2b21(a b0) 的左焦点，左准方程．〔 1〕求C的准方程；y〔 2〕直 l 交C于A，B两点．①假设直 l C的左焦点 F ，P A交 y 于点 P ，且足PA AF ，PBBF ．求：定；F O x②假设 A， B 两点足 OA OB 〔OB坐原点〕，求△ AOB 面的取范．20．〔本小分16 分〕数列 a na2 a 4*足 a1 1,a n n n,其中 n N ,,非零常数．1a n2〔 1〕假设3,8 ，求：a n 1 等比数列，并求数列a n的通公式；（2〕假设数列 a n是公差不等于零的等差数列．①求数 , 的；②数列a n的前n和S n构成数列S n，从S n中取不相同的四按从小到大排列成四子数列．：可否存在首S1的四子数列，使得子数列中的全部之和恰好2021？假设存在，求出全部足条件的四子数列；假设不存在，明原由．优秀文档合用标准文案21．【选做题】此题包括A ，B， C ，D四小题，每题10 分. 请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．应的答题地域内作答，假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、．．．．．．．．．证明过程或演算步骤．A．〔选修 4－ 1：几何证明选讲〕如图，直线 DE 切圆O于点 D ，直线EO交圆O于A,B两点，DC OB于点C，且 DE 2BE ，求证：2OC3BC ．DAO C B E B．〔选修 4— 2：矩阵与变换〕1a1 及对应的特色向量e 1矩阵 M的一个特色值1．3b1求矩阵 M 的逆矩阵．C．〔选修 4— 4：坐标系与参数方程〕在平面直角坐标系xO y 中，以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系. 曲线 C1的参数方程为x32cos，为参数 )，曲y32sin(0,2 π,线 C2的极坐标方程为sin(πaR 〕．假设曲线C1与曲线 C2有且仅有一个公) a 〔a 的值．3共点，求实数D. 〔选修 4— 5：不等式选讲〕a ,b,c 为正实数，求证：b2c2a2⋯abc ．a b c【必做题】第22，23 题，每题10 分，共 20 分 . 请把答案写在答题卡的指定地域内，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10 分〕优秀文档袋中装有大小相同的 2 个白球、 2 个红球和 1 个黄球．一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0 分、 1 分和 2 分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得 n 分〔n N*〕的情况就算游戏过关，同时游戏结束，假设四局过后仍未过关，游戏也结束．〔 1〕求在一局游戏中得 3 分的概率；〔 2〕求游戏结束时局数X 的分布列和数学希望 E ( X )．23．〔本小题总分值10 分〕f n (x) C n0 x n C1n (x 1)n( 1)k C n k ( x k)n( 1)n C n n ( x n) n，其中 x R，n N *，k N, k, n．（1〕试求 f1 ( x) ， f 2 ( x) ， f 3 ( x) 的值；（2〕试猜想 f n (x) 关于 n 的表达式，并证明你的结论．2021-2021 学年度苏锡常镇四市高三授课情况调研〔二〕优秀文档数学参照答案一、填空．1． x1x22． 13．4．21 35． 146．37． 38．16 2 49．110．- 111．π12．3 76213． (,6)(1,0]14． 7 46 小，共90 分．二、解答：本大共π31) ，n(314 分15．解：〔 1〕当 x， m(,,) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3224所以 m n311 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分442〔 2〕m n = 3 cos xsin x cos2 x3sin 2 x 11sin(2 xπ18 分2cos2 x2)，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯262假设 m n31，s in(2 xπ131，即sin(2 xπ3，32)232)366因 x[0,π，所以ππ ππ610 分]6剟2 x6，所以 cos(2x)，⋯⋯⋯⋯⋯4363cos2 x cos[(2 xππcos(2xπ3π 1⋯⋯⋯⋯⋯ 12 分6)])2sin(2 x)2666633132314 分32326．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16．〔 1〕因平面 ABC⊥平面 ACD ，ACD90，即 CD ⊥ AC，平面 ABC平面 ACD =AC， CD平面 ACD ，所以 CD ⊥平面 ABC，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分又 AB平面 ABC，所以 CD ⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分因 AC BC ，EAB 的中点，所以CE⊥ AB，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分又 CE CD C ，CD平面 EDC， CE平面 EDC ，所以 AB ⊥平面 EDC．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分〔 2〕 EF， EG，因 E， F 分 AB， AD 的中点，所以 EF ∥ BD，又BD平面 BCD ， EF平面 BCD，优秀文档合用标准文案所以 EF ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分同理可 EG ∥平面 BCD ，且 EF EG=E ， EF 平面 BCD ， EG平面 BCD ，所以平面 EFG ∥平面 BCD ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分又 P FG 上任一点，所以EP平面 EFG ，所以 EP ∥平面 BCD ．⋯⋯⋯⋯⋯14 分17．解：〔 1〕 L ( x)16 43x 2x 6448 3x 〔 0剟x 5 〕．⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分x 1x 1〔 2〕法一 ： L ( x)64483 x 6748x 1x1x31, 67248 3 x 143 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分x 1当且 当48 3 x 1 ，即 x3 取等号．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分x 1故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分法二： Lx483 ，由 L x0 得， x3 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 21故当 x 0,3 ， Lx 0 ， L x 在 0,3 上 增；当 x3,10 ， L x0 ， L x在 3,5 上 减；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分故 L x max 43 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分答：当投入的肥料 用300 元 ，种植 果 得的最大利 是4300 元．⋯ 14 分18．解：〔 1〕当 b1 ，函数 f (x)a ln x x 3 ，f ( x)a 3x 2 a 3x 3 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分xx令 f ( x)0 ，得 xaa 0 ，3，因 a 0 ，333x(0,3aaa,))33(333 f (x)+f (x)极小所以 g ( a) f (3aa ln3a a aa a ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分)33ln()，3 3 33令 t (x) x ln xx ，t ( x) ln x ，令 t ( x) 0 ，得 x 1 ，且当 x1 ， t (x) 有最大1，所以 g ( a) 的最大 1〔表格略〕， (分段写 性即可 )，此 a3 ．⋯⋯⋯ 6 分〔 2〕由 意得，方程a ln x bx 3 0 在区 (1， e] 上有两个不相同 数解，优秀文档合用标准文案所以ax 3 在区 (1， e] 上有两个不相同的 数解，b ln x即函数y 1a像与函数 m(x)x 3 像有两个不相同的交点，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9 分bln x因x 2 (3ln x 1)3m ( x)(ln x)2，令 m (x)0 ，得 xe ，x(1, 3 e)3e( 3 e,em ( x) 0+m( x)3e所以当 x3(3e, ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分(1， e) ， m(x) 当 x 〔 3 e ，e] ， m( x) (3e,e 3 ] ，所以 a ,b 足的关系式a3，即a 33e, eb 的取 范 〔3e ， e ] ．⋯⋯⋯⋯ 16 分b19．解：〔 1〕由 知 e2， a 22c 2b 2c 2 ，即 a 22b 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分22代入C 获得1 11 ，b 21 ， a 22 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分(1,) 2b 2 2b 22∴ C : x 2y 2 1 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分2〔 2〕①由 知直 l 的斜率存在， 直l 的方程 y k(x 1) ， P(0,k ) ．A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，直 l 代入 得 x 2 2k 2 ( x 1)22 ，整理得，(1 2k ) x4k x2k20 ，∴ x 1x 24k 2 2 ,x 1x 2222． ⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分22k2221 2k1 2k由 PAAF ，PBBF 知，1 x 1 , 1 x2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分x 1x 2x 1 x 22 x 1x 2 4k 2 4k 2 44∴1 2k2 1 2k 24〔定 〕．⋯⋯⋯ 9 分1 x x x x4k 2 2k 2 2121211221 2 k1 2k②当直 OA, OB 分 与坐 重合 ，易知△AOB 的面 S2 10 分，⋯⋯⋯⋯⋯2当直 OA, OB 的斜率均存在且不 零 ，OA : ykx, OB : y1x ，kA( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，将 y kx 代入 C 获得 x 2 2k 2 x 2 2 ，合用标准文案2222k 2，同理 x222k 222，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分∴ x12k 2, y12122 , y222 12k k kk22△ AOB 的面S OA OB1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分22k21k 2221令t211,，S t，k2t 1 t1112t t 2令 u 1(0,1) ， S1122．⋯⋯⋯⋯⋯ 15 分t u2u2129,2u324上所述， S2,2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分323a 28a4(3a2)(an 2)20．解：〔 1〕当3,8 ， a n1n n n3a n2，a n2a n 2∴ a n 113(a n1) ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分又 a n10 ，不然 a110，与 a1 1 2矛盾，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∴ a n12 首， 3 公比的等比数列，∴ a n1n 1n 11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分2 3，∴ a n 2 3〔 2〕① a n a1(n1)d dn d 1 ，由 a na n2a n4a( a2)2a 4 ，1得1aa n2n n n n∴ ( dn d3)(dn1)(dn d2( dn d1) 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分1)∴ d 2n2(4 d d 2 )n d3 d 2 n2(2(1 d )) dn(1 d ) 2(1 d )4任意 n N 恒建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分d 2 d 2，，1∴4d d2(2(1 d ))d，即u d，∴1,u4, d2．⋯⋯⋯⋯ 9 分2d 3(1 d)2(1 d )4，，d 2上，14,a n 2n1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分，②由①知S n n(12n1)n2．22021 奇数，四也许三个奇数一个偶存在足条件的四元子列，察到数、也许一个奇数三个偶数．1 假设三个奇数一个偶数，S1 , S2x1 , S2 y 1 , S2 z是足条件的四，1(2 x1)2(2 y1)24z22021 ，∴ 2( x2x y2y z2 )1007 ，与1007 奇数矛盾，不合意舍去．⋯⋯11 分合用标准文案2 假设一个奇数三个偶数，S 1 , S 2x , S 2 y , S 2 z 是 足条件的四 ，124 x 24 y 2 4z 22021 ，∴ x 2y 2 z 2504 ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分由 504 偶数知， x, y, z 中一个偶数两个奇数也许三个偶数．1〕假设 x, y, z 中一个偶数两个奇数，不如x 2 x 1，y 2 y 1 1,z 2 z 1 1,2(x 12y 1 2 y 1 z 1 2 z 1 ) 251 ， 与 251奇数矛盾． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯13 分2〕假设 x, y, z 均 偶数，不如x 2x 1, y 2 y 1, z2 z 1 ，x 12y 1 2z 12 126 ， 奇偶解析知x 1 , y 1 , z 1 中两奇数一个偶数，不如 x 12x 2 ， y 1 2 y 21 ， z 12 z 2 1 ， x 2 2y 2 2y 2 z 2 2 z 2 31． ⋯14 分因 y 2 ( y 2 1), z 2 ( z 21) 均 偶数，所以 x 2 奇数，不如0剟 y 2z 2 ，当 x 2 1 ， y 2 2y 2 z 2 2z 2 30 ， y 22y 2 ,14 ， 得 y 2 0 ， z 25 ， x 2 1 ， 当 x 2 3 ， y 2 2 y 2z 22z 2 22 ， y 2 2 y 2 , 10 ， 得 y 2 1 ， z 24 ， x 2 3 ， 当 x 25 ， y 22y 2 z 22z 26 ， y 22y 2 , 2 ， 得 y 2 0 ， z 22 ， x 25 ，即 S 1, S 4 , S 8 , S 44 也许 S 1, S 12 , S 24 ,S 36 也许 S 1, S 4 , S 20 , S 40 足条件，上所述，S 1, S 4 , S 8 , S 44 ， S 1, S 12 , S 24 , S 36 ， S 1 , S 4 , S 20 , S 40 全部 足条件的四元子列．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16 分〔第二卷 理科附加卷〕21．【 做 】本 包括 A ， B ， C ， D 四小 ，每小10 分.A ．〔 修 4－ 1 几何 明 〕 .合用标准文案解： OD ，的半径R， BE x ， OD R， DE2BE 2x ．⋯⋯⋯⋯ 2 分在 Rt△ ODE 中，∵ DC OB，∴ OD2OC OE ，即 R2OC ( R x) ，①又∵直 DE 切 O 于点 D， DE 2BE OE ，即 4x2x ( R x) ，②⋯⋯⋯ 6 分∴ x 2R，代入①， R2OC (R2R) ， OC3R ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分335∴ BC OB OC R 3R2R ，55∴ 2OC3BC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分B．〔修 4— 2：矩与〕解：由知，1a11a1111a ，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分3b13b113b ，1∴ a2,b 2 ， M 12. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分32det(M )121 2 23 4 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分3211∴ M122．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分3 14 4C．〔修 4— 4：坐系与参数方程〕解： ( x22224 ，3)( y 3)4cos4sin∴曲 C 的一般方程 (x224 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分1)( y 3)sin(1sin3cos a ，3) a22∴曲 D 的直角坐方程3x y2a0，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分曲 C 心到直D的距离 d 33 3 12a8 分(3) 2122 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴ a3 2 ，∴a1或 a 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分〔少一解，扣一分〕D．〔修 4— 5：不等式〕解法一：根本不等式∵ a b2⋯2b ， bc2⋯2c ， ca2⋯2a ，a b c合用标准文案b 2c 2ca 22b 2c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分∴ abb⋯2a ac∴ b2c 2 a 2 ⋯a b c ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分a bcc)(b 2c 2 a 2解法二：柯西不等式( a b) ⋯(bc a)2 ，∴ b 2c 2 a 2ab c⋯a bc ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分ab c【必做 】第22， 23 ，每小 10 分， 20 分.22．解：〔 1〕 在一局游 中得3 分 事件 A ，C 1C 1C 1 2P( A) 2 2 1．⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2 分C 535答：在一局游 中得3 分的概率2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分5〔 2〕 X 的全部可能取 1,2,3, 4 ．C 1C 2C 2C 13 在一局游 中得2 分的概率2 2 21，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分C 5310P( X1) C 22C 211；C 535P( X2)4 3 65 10；25P( X3) 4 (1 3 )2 28 ；5 10 5 125 P( X4) 4 (1 3 )3 425 5．10125所以X 12 34162842P525125125⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∴ E(X)1126 3 28 4 42337．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分525 12512512523．解： (1) f 1 (x)C 10 x C 11( x 1) xx 11 ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1 分0 21 22f 2 ( x) C 2 xC(2x 1 ) 2C ( x 2 )22( x 224 x4)2 ； ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分x2x 1) (xf 3 ( x) C 30 x 3 C 31 (x 1)3 C 32 (x 2)3C 33 ( x 3)33333合用标准文案〔 2〕猜： f n ( x)n! ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4 分而 kC n k k n !n!， nC n k11n(n 1)!n!，k!( n k )!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!(k 1)!(n k)!所以 kC n k nC n k11．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 5 分用数学法明建立．①当 n 1 ， f1 (x) 1 ，所以建立．②假当 n k ，建立，即f k ( x)C k0 x k C k1 (x当 n k0k 11k 11，f k 1 ( x) C k 1 x C k 1 (x 1)1)k( 1)k C k k ( x k) k k! ．k 1k 1k 1( 1)C k 1 (x k 1)C k01x k 1C k11 ( x 1)k ( x 1)( 1)k C k k1 (x k) k ( x k) ( 1)k 1 C k k11 (x k 1)k 1 x[C k01 x k C k1 1 ( x 1)k( 1)k C k k 1 ( x k )k ]1k2k(k 1k k]k 1k 1k 1[ C k 1 ( x1)2C k 1 ( x2)1)kC k 1 (x k)( 1) C k 1 (x k 1)x[C k0 x k(C k1C k0 )( x 1)k(1)k (C k k C k k1 )( x k )k ]( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k )k ] ( 1)k 1C k k11 (x k 1)k (x k 1) x[C k0 x k C k1 (x 1)k(1)k C k k ( x k)k ]x[C k0 (x1)k( 1)k1 C k k 1 ( x k)k ] ( k 1)[( x 1)k C k1 ( x2) k( 1)k1 C k k1 (x k)k ]x( 1)k 1 C k k ( x k 1)k( k 1)( 1)k 1( x k 1)k0k1k(k kk)kx[C k x C k (x 1)1) C k ( x]x[C k0 ( x1)k( 1)k-1 C k k1 (x k)k(1)k C k k ( x k 1)k ]〔 * 〕( k 1)[( x 1)k C k1 ( x 2) k( 1)k 1 C k k 1 (x k)k( 1)k ( x k 1)k ]由假知〔 * 〕式等于 x k! x k!( k1)k!(k 1)!．所以当 n k 1 ，也建立．合①②， f n ( x) n! 建立．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分。
江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研(一)(3月)数学试题 (11)
【题文】如图，正三棱柱ABC -A 1B 1C 1，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱A 1C 1，AC 的中点，点D 是棱CC 1上靠近C 的三等分点.求证：（1）B 1M ∥平面A 1BN ；（2）AD ⊥平面A 1BN .【答案】证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11A C ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，3CD =，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=， 则1AD A N ⊥，又1BNA N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .【解析】 【标题】江苏省苏锡常镇四市2018届高三教学情况调研（一）（3月）数学试题【结束】。
2018江苏苏锡常镇四市高三调研(一)数学试题与答案
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题．．卡相应位置上．．．．．．. 1.已知集合{1,1}A =-，{3,0,1}B =-，则集合AB = ．2.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z = ．3.双曲线22143x y -=的渐近线方程为 ． 4.某中学共有1800人，其中高二年级的人数为600.现用分层抽样的方法在全校抽取n 人，其中高二年级被抽取的人数为21，则n = ．5.将一颗质地均匀的正四面体骰子（每个面上分别写有数字1，2，3，4）先后抛掷2次，观察其朝下一面的数字，则两次数字之和等于6的概率为 ．6.如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是 ．7.若正四棱锥的底面边长为2cm ，侧面积为28cm ，则它的体积为 3cm ． 8.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若242a a +=，241S S +=，则10a = ．9.已知0a >，0b >，且23a b+=，则ab 的最小值是 ． 10.设三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知tan 3tan A c bB b-=，则cos A = ．11.已知函数,1()4,1x a e x f x x x x ⎧-<⎪=⎨+≥⎪⎩（e 是自然对数的底）.若函数()y f x =的最小值是4，则实数a 的取值范围为 ．12.在ABC ∆中，点P 是边AB 的中点，已知3CP =4CA =，23ACB π∠=，则CP CA ⋅= ．13.已知直线l ：20x y -+=与x 轴交于点A ，点P 在直线l 上，圆C ：22(2)2x y -+=上有且仅有一个点B 满足AB BP ⊥，则点P 的横坐标的取值集合为 ．14.若二次函数2()f x ax bx c =++(0)a >在区间[1,2]上有两个不同的零点，则(1)f a的取值范围为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知向量(2sin ,1)a α=，(1,sin())4b πα=+.（1）若角α的终边过点(3,4)，求a b ⋅的值； （2）若//a b ，求锐角α的大小.16.如图，正三棱柱111ABC A BC -，其底面边长为2.已知点M ，N 分别是棱11AC ，AC 的中点，点D是棱1CC 上靠近C 的三等分点.求证：（1）1//B M 平面1A BN ； （2）AD ⊥平面1A BN .17.已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>经过点1)2，(1,)2，点A 是椭圆的下顶点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 且互相垂直的两直线1l ，2l 与直线y x =分别相交于E ，F 两点，已知OE OF =，求直线1l 的斜率.18.如图，某景区内有一半圆形花圃，其直径AB 为6，O 是圆心，且OC AB ⊥.在OC 上有一座观赏亭Q ，其中23AQC π∠=.计划在BC 上再建一座观赏亭P ，记(0)2POB πθθ∠=<<.（1）当3πθ=时，求OPQ ∠的大小；（2）当OPQ ∠越大，游客在观赏亭P 处的观赏效果越佳，求游客在观赏亭P 处的观赏效果最佳时，角θ的正弦值.19.已知函数32()f x x ax bx c =+++，()ln g x x =.（1）若0a =，2b =-，且()()f x g x ≥恒成立，求实数c 的取值范围； （2）若3b =-，且函数()y f x =在区间(1,1)-上是单调递减函数. ①求实数a 的值；②当2c =时，求函数(),()()()(),()()f x f xg xh x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩的值域.20.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，13a =，且123n n S a +=-*()n N ∈. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对于正整数i ，j ，()k i j k <<，已知j a λ，6i a ，k a μ成等差数列，求正整数λ，μ的值；（3）设数列{}n b 前n 项和是n T ，且满足：对任意的正整数n ，都有等式12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --成立.求满足等式13n n T a =的所有正整数n . 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）21.【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A. 选修4-1：几何证明选讲如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过点D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ，且满足DA DC =.（1）求证：2AB BC =； （2）若2AB =，求线段CD 的长. B. 选修4-2：矩阵与变换 已知矩阵4001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1205B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵AB ；（2）若1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求a ，b 的值. C. 选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，已知圆C经过点)4P π，圆心为直线sin()3πρθ-=点，求圆C 的极坐标方程. D. 选修4-5：不等式选讲已知x ，y 都是正数，且1xy =，求证：22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PD 垂直于底面ABCD ，2PD AD AB ==，点Q 为线段PA （不含端点）上一点.（1）当Q 是线段PA 的中点时，求CQ 与平面PBD 所成角的正弦值； （2）已知二面角Q BD P --的正弦值为23，求PQPA的值. 23.在含有n 个元素的集合{1,2,,}n A n =⋅⋅⋅中，若这n 个元素的一个排列（1a ，2a ，…，n a ）满足(1,2,,)i a i i n ≠=⋅⋅⋅，则称这个排列为集合n A 的一个错位排列（例如：对于集合3{1,2,3}A =，排列(2,3,1)是3A 的一个错位排列；排列(1,3,2)不是3A 的一个错位排列）.记集合n A 的所有错位排列的个数为n D . （1）直接写出1D ，2D ，3D ，4D 的值；（2）当3n ≥时，试用2n D -，1n D -表示n D ，并说明理由； （3）试用数学归纳法证明：*2()n D n N ∈为奇数.2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅰ试题参考答案一、填空题1. {1}2. 53. y x =4. 635. 3166. 258 9. 10. 1311. 4a e ≥+ 12. 6 13. 1,53⎧⎫⎨⎬⎩⎭14. [0,1)二、解答题15.解：（1）由题意4sin 5α=，3cos 5α=，所以sin()4a b a πα⋅=++sin cos 4παα=+cos sin 4πα+45=+35+=（2）因为//a b ，sin()14a πα+=，α(s i nc o s c o s s i n )144ππαα+=，所以2sin sin cos 1ααα+=，则2sin cos 1sin ααα=-2cos α=，对锐角α有cos 0α≠，所以tan 1α=，所以锐角4πα=.16.证明：（1）连结MN ，正三棱柱111ABC A B C -中，11//AA CC 且11AA CC =，则四边形11AAC C 是平行四边形，因为点M 、N 分别是棱11AC ，AC 的中点，所以1//MN AA 且1MN AA =，又正三棱柱111ABC A B C -中11//AA BB 且11AA BB =，所以1//MN BB 且1MN BB =，所以四边形1MNBB 是平行四边形，所以1//B M BN ，又1B M ⊄平面1A BN ，BN ⊂平面1A BN ，所以1//B M 平面1A BN ；（2）正三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，BN ⊂平面ABC ，所以1BN AA ⊥，正ABC ∆中，N 是AB 的中点，所以BN AC ⊥，又1AA 、AC ⊂平面11AAC C ，1AA AC A =，所以BN ⊥平面11AAC C ，又AD ⊂平面11AAC C ，所以AD BN ⊥，由题意，1AA =，2AC =，1AN =，CD =，所以1AA AN AC CD == 又12A AN ACD π∠=∠=，所以1A AN ∆与ACD ∆相似，则1AA N CAD ∠=∠，所以1ANA CAD ∠+∠112ANA AA N π=∠+∠=，则1AD A N ⊥，又1BN A N N =，BN ，1A N ⊂平面1A BN ，所以AD ⊥平面1A BN .17.解：（1）由题意得222231141314a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得2211411a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=； （2）由题意知(0,1)A -，直线1l ，2l 的斜率存在且不为零，设直线1l ：11y k x =-，与直线y x =联立方程有11y k x y x=-⎧⎨=⎩，得1111(,)11E k k --，设直线2l ：111y x k =--，同理1111(,)1111F k k ----， 因为OE OF =，所以1111||||111k k =---，①1111111k k =---，1110k k +=无实数解；②1111111k k =---，1112k k -=，211210k k --=，解得11k = 综上可得，直线1l的斜率为118.解：（1）设OPQ α∠=，由题，Rt OAQ ∆中，3OA =，AQO AQC π∠=-∠233πππ=-=，所以OQ =，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OP OPQ OQP=∠∠，3sin()6ππα=--sin()6παπα=--5sin()6πα=-，5sincos 6παα=5cos sin 6πα-1cos 2αα=cos αα=， 因为α为锐角，所以cos 0α≠，所以tan α=，得6πα=；（2）设OPQ α∠=，在OPQ ∆中，3OP =，2POQ πθ∠=-236πππ=-=，由正弦定理得sin sin OQ OPOPQ OQP=∠∠3sin(())2ππαθ=---，所以sin(())2παπαθ=---sin(())2παθ=--cos()αθ=-cos cos sin sin αθαθ=+，从而sin )sin θαcos cos αθ=sin 0θ≠，cos 0α≠， 所以tanα=，记()f θ=，'()f θ=(0,)2πθ∈；令'()0f θ=，sin θ=0(0,)2πθ∈使得0sin θ=，当0(0,)θθ∈时'()0f θ>，()f θ单调增，当0(,)2πθθ∈时'()0f θ<，()f θ单调减，所以当0θθ=时，()f θ最大，即tan OPQ ∠最大，又OPQ ∠为锐角，从而OPQ ∠最大，此时sin θ=答：观赏效果达到最佳时，θ19.解：（1）函数()y g x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，2b =-，3()2f x x x c =-+，∵()()f x g x ≥恒成立，∴32ln x x c x -+≥恒成立，即3ln 2c x x x ≥-+.令3()ln 2x x x x ϕ=-+，则21'()32x x x ϕ=-+3123x x x +-=2(1)(133)x x x x-++=，令'()0x ϕ≥，得1x ≤，∴()x ϕ在(0,1]上单调递增， 令'()0x ϕ≤，得1x ≥，∴()x ϕ在[1,)+∞上单调递减， ∴当1x =时，max [()](1)1x ϕϕ==. ∴1c ≥.（2）①当3b =-时，32()3f x x ax x c =+-+，2'()323f x x ax =+-. 由题意，2'()3230f x x ax =+-≤对(1,1)x ∈-恒成立， ∴'(1)3230'(1)3230f a f a =+-≤⎧⎨-=--≤⎩，∴0a =，即实数a 的值为0.②函数()y h x =的定义域为(0,)+∞.当0a =，3b =-，2c =时，3()32f x x x =-+.2'()33f x x =-，令2'()330f x x =-=，得1x =.∴当(0,1)x ∈时，()0f x >，当1x =时，()0f x =，当(1,)x ∈+∞时，()0f x >. 对于()ln g x x =，当(0,1)x ∈时，()0g x <，当1x =时，()0g x =，当(1,)x ∈+∞时，()0g x >.∴当(0,1)x ∈时，()()0h x f x =>，当1x =时，()0h x =，当(1,)x ∈+∞时，()0h x >. 故函数()y h x =的值域为[0,)+∞.20.解：（1）由123n n S a +=-*()n N ∈得1223n n S a ++=-，两式作差得1212n n n a a a +++=-，即213n n a a ++=*()n N ∈.13a =，21239a S =+=，所以13n n a a +=*()n N ∈，0n a ≠，则13n na a +=*()n N ∈，所以数列{}n a 是首项为3公比为3的等比数列， 所以3n n a =*()n N ∈；（2）由题意26j k i a a a λϕ+=⋅，即33263jkiλμ+=⋅⋅， 所以3312j ik i λμ--+=，其中1j i -≥，2k i -≥，所以333j i λλ-≥≥，399k i μμ-≥≥，123312j i k i λμ--=+≥，所以1j i -=，2k i -=，1λμ==；（3）由12132n n n a b a b a b --++113n n a b ++⋅⋅⋅+=33n --得，11231n n n a b a b a b +-++211n n a b a b ++⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，111213(n n n a b a b a b +-++121)n n a b a b -+⋅⋅⋅++233(1)3n n +=-+-，1113(333)n n a b n +++--233(1)3n n +=-+-，所以21333(1)n n b n ++=-+133(333)n n +----，即1363n b n +=+，所以121n b n +=+*()n N ∈，又因为111133133a b +=-⋅-=，得11b =，所以21n b n =-*()n N ∈， 从而135(21)n T n =+++⋅⋅⋅+-21212n n n +-==*()n N ∈，2*()3n n n T n n N a =∈， 当1n =时1113T a =；当2n =时2249T a =；当3n =时3313T a =； 下面证明：对任意正整数3n >都有13n n T a <， 11n n n n T T a a ++-121(1)3n n +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭121133n n n +⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1221((1)3)3n n n +⎛⎫+-= ⎪⎝⎭2(221)n n -++，当3n ≥时，22221(1)n n n -++=-(2)0n n +-<，即110n n n nT T a a ++-<， 所以当3n ≥时，n nT a 递减，所以对任意正整数3n >都有3313n n T T a a <=； 综上可得，满足等式13n n T a =的正整数n 的值为1和3. 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学Ⅱ（附加题）参考答案21.【选做题】A. 选修4-1：几何证明选讲证明：（1）连接OD ，BD .因为AB 是圆O 的直径，所以90ADB ∠=，2AB OB =. 因为CD 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=，又因为DA DC =，所以A C ∠=∠，于是ADB CDO ∆≅∆，得到AB CO =，所以AO BC =，从而2AB BC =.（2）解：由2AB =及2AB BC =得到1CB =，3CA =.由切割线定理，2133CD CB CA =⋅=⨯=，所以CD =.B. 选修4-2：矩阵与变换解：（1）401248010505AB ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦； （2）由1151B A X --⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，解得51X AB ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦485280515⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，又因为a X b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，所以28a =，5b =.C. 选修4-4：坐标系与参数方程解：在sin()3πρθ-=0θ=，得2ρ=，所以圆C 的圆心的极坐标为(2,0).因为圆C 的半径PC 2==，于是圆C 过极点，所以圆的极坐标方程为4cos ρθ=.D. 选修4-5：不等式选讲证明：因为x ，y 都是正数，所以210x y ++≥>，210y x ++≥>，22(1)(1)9x y y x xy ++++≥，又因为1xy =，所以22(1)(1)9x y y x ++++≥.【必做题】22.解：（1）以D 为原点，DA ，DC ，DP 为坐标轴，建立如图所示空间直角坐标系；设AB t =，则(0,0,0)D ，(2,0,0)A t ，(2,,0)B t t ，(0,,0)C t ，(0,0,2)P t ，(,0,)Q t t ； 所以(,,)CQ t t t =-，(2,,0)DB t t =，(0,0,2)DP t =，设平面PBD 的法向量1(,,)n x y z =，则1100DB n DP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020tx ty tz +=⎧⎨=⎩，解得200x y z +=⎧⎨=⎩，所以平面PBD 的一个法向量1(1,2,0)n =-， 111cos ,n CQn CQ n CQ⋅<>===， 则CQ 与平面PBD 所成角的正弦值为5. （2）由（1）知平面PBD 的一个法向量为1(1,2,0)n =-，设(01)PQ PA λλ=<<，则PQ PA λ=，DQ DP PQ =+(0,0,2)(2,0,2)t t t λ=+-(2,0,2(1))t t λλ=-，(2,,0)DB t t =，设平面QBD 的法向量2(,,)n x y z =，则2200DQ n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即22(1)020t x t z tx ty λλ+-=⎧⎨+=⎩，解得(1)020x z x y λλ+-=⎧⎨+=⎩，所以平面QBD 的一个法向量2(1,22,)n λλλ=---，12cos ,n n =<>1212n n n n ⋅==，所以2255(1)96105λλλ-=-+，即2(2)()03λλ--=， 因为01λ<<，所以23λ=，则23PQ PA =.23. 解：（1）10D =，21D =，32D =，49D =，（2）12(1)()n n n D n D D --=-+，理由如下：对n A 的元素的一个错位排列（1a ，2a ，…，n a ），若1(1)a k k =≠，分以下两类： 若1k a =，这种排列是2n -个元素的错位排列，共有2n D -个；若1k a ≠，这种错位排列就是将1，2，…，1k -，1k +，…，n 排列到第2到第n 个位置上，1不在第k 个位置，其他元素也不在原先的位置，这种排列相当于1n -个元素的错位排列，共有1n D -个；根据k 的不同的取值，由加法原理得到12(1)()n n n D n D D --=-+；（3）根据（2）的递推关系及（1）的结论，n D 均为自然数；当3n ≥，且n 为奇数时，1n -为偶数，从而12(1)()n n n D n D D --=-+为偶数， 又10D =也是偶数，故对任意正奇数n ，有n D 均为偶数.下面用数学归纳法证明2n D （其中*n N ∈）为奇数.当1n =时，21D =为奇数；假设当n k =时，结论成立，即2k D 是奇数，则当1n k =+时，2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，注意到21k D +为偶数，又2k D 是奇数，所以212k k D D ++为奇数，又21k +为奇数，所以2(1)212(21)()k k k D k D D ++=++，即结论对1n k =+也成立； 根据前面所述，对任意*n N ∈，都有2n D 为奇数.。
江苏省苏锡常镇四市2018届高三模拟考试(二)数学试卷(含答案)
2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数 学 Ⅰ 试 题方差公式：2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=-+-+⋅⋅⋅+-⎣⎦，其中121()n x x x x n=++⋅⋅⋅+．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ▲ ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = ▲ ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ▲ ．4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ▲ ．5． 右图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的 取值范围是 ▲ ．6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入， 而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若 铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1．本试卷共4页，包含填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．7 88 2 4 4 9 2（第4题图）（第5题图）S ←2x −x 2S ←1输出S 结束 开始 输入xx ＜1Y N （第6题图）正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油 滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的 概率是 ▲ ．7． 已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ▲ ． 8． 已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14ad= ▲ ． 9． 在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ▲ ．10． 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= ▲ ．11． 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ▲ ．12． 如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅u u u r u u u r的取值范围为 ▲ ．13． 已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值 是 ▲ ．14． 已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ▲ ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=o，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．ABCDP E（第15题图）▲ ▲ ▲ 16．（本小题满分14分）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，且22243()S a c b =+-.（1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围．▲ ▲ ▲17．（本小题满分14分）下图（I ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135o． （1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．▲ ▲ ▲18．（本小题满分16分）如图，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C（第17题图（Ⅰ））（第17题图（Ⅱ））DCy分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，． （1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =u u u u r u u u u r，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值． ▲ ▲ ▲ 19．（本小题满分16分）已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，① 当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；② 若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式．▲ ▲ ▲20．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．▲ ▲ ▲2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ（附加题） 2018．521．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用．本试卷第21题有A ，B ，C ，D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题．若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分．第22，23题为必答题．每小题10分，共40分．考试时间30分钟．考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置．3．答题时，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的指定位置，在其他位置作答一律无效．4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．5．请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损．一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔．▲ ▲ ▲B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ．▲ ▲ ▲C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t =+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线l，求a 的值．▲ ▲ ▲D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤． ▲ ▲ ▲【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答， 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙 做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三 位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m n ，的值；（2）求X 的数学期望．▲ ▲ ▲23．（本小题满分10分）已知函数21()((R)n f x x n x +*=+∈∈N ，．（1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值；（2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=．▲ ▲ ▲2017-2018 学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1． 1- 2．2- 3．4 4．20.8 5．[]01，6．14π 7．π28．2 9 10．411． 22⎡-⎢⎣⎦， 12．11⎤⎦， 13．22e 12- 14．二、解答题15． 证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥．……………………2 分 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥．……………………4 分 又PO CO O =I ，所以BD ⊥平面PCO ． ……………………6 分因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． ……………………7 分 （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． ……………………9 分 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥，又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． ……………………11 分又=CO EO O I ，所以平面CEO ∥平面PAD ， ……………………13分 而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ． ……………………14 分 16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-， …………………………2 分则sin B =，所以sin B B =． ………………………………4 分因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B = 又0πB <<，所以π3B =． …………………………………………………6 分 （2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--g m n =．………8 分由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，． ……………………………………………………10 分所以πsin(2)14A ⎛⎤-∈ ⎥ ⎝⎦． ……………………………………………12 分所以(63⎤∈-⎦g m n．即取值范围是(63⎤-⎦． ……………………14 分 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则 60206015tan =tan 2174t t t tαβ===，， ………………………………………2 分 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， …………………4 分 化简得 271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． …………………………………6分答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x .则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈- ……………………………9 分 （注：不写定义域扣1分） 记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， …………11 分 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. ……………13 分 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. …14 分 18. 解（1）由椭圆的离心率为2，焦点到对应准线的距离为1. 得21c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩， ………………………………………………2 分 所以，椭圆的标准方程为2212x y +=. …………………………………4分（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD =u u u u r u u u u r ，得021y =-，所以012y =-， ……………………………6 分代入椭圆方程得0x =或，所以1)2D -或1()2D -， 所以l的方程为：12y x =+或12y x =-+. …………………………9 分 （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+. …………12 分由B ，得直线BD的方程：2y x =-， ①直线AC方程为12y x =+， ② 联立①②得212x x =， …………………………………………………………15 分 从而12x x =2为定值. …………………………………………………………16 分 解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-， ① ………………10 分 由B ,D ,N2212y x =+ 代入可得2x =， ② …………………………………………………12 分①和②相乘得，231231x x x y =-2333323333222)2x y x x x y x +-==-+-. ……………………………………………16 分19. 解：（1）①由2()32f x x ax b '=++及02=+b a ，得22()32f x x ax a '=+-， ……………………………………………………1 分令()0f x '=，解得3ax =或a x -=. 由0>a 知，(,)()0x a f x '∈-∞->，，)(x f 单调递增，(,)()03a x a f x '∈-<，，)(x f 单调递减，(,)()03ax f x '∈+∞>，，)(x f 单调递增，……………………………………………………3 分 因此，)(x f 的极大值为3()1f a a -=+，)(x f 的极小值为35()1327a a f =-.……………………………………………………4 分② 当0a =时，0b =，此时3()1f x x =+不存在三个相异零点；当0a <时，与①同理可得)(x f 的极小值为3()1f a a -=+，)(x f 的极大值为35()1327a a f =-.要使)(x f 有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a +-<， 即332715a a <->或. …………………………………………………………6 分 不妨设)(x f 的三个零点为321,,x x x ，且321x x x <<，则123()()()0f x f x f x ===，3221111()10f x x ax a x =+-+=， ① 3222222()10f x x ax a x =+-+=， ② 3223333()10f x x ax a x =+-+=， ③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x -+++-+--=， 因为210x x ->，所以222212121()0x x x x a x x a ++++-=， ④ …………………………………………………………8 分同理222332232()0x x x x a x x a ++++-=， ⑤ ⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x -+-++-=，因为310x x ->，所以2310x x x a +++=， ……………………………………9 分 又1322x x x +=，所以23ax =-. ………………………………………10 分 所以()03af -=，即22239a a a +=-，即327111a =-<-，因此，存在这样实数a =满足条件. ………………………………12 分（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，…………………………………………13 分由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=，因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， ……………15分 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++，所以b a 32=. …………………………………………………………………16分 20. 解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--， ①111692(2)n n n S b a n ---=--≥， ②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---， ③ …………………………2 分即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列． …………………………………………………………3 分（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+， …………………………4 分所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数． ………………………………6 分①当103d-=时，3d =，符合题意； …………………………………………7 分 ②当112n b -+为常数时，在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-． ………………………………………………………10分 （3）当3d =时，32n a n =-， ………………………………………………11分 由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． …………………………………………………12 分当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=， 当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥． …………………………………………………13分 设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=， 如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数，所以2也为3的倍数，矛盾． …………………………………………………15 分 所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=L ．所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和． ……………16 分2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED . ………………3 分因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA . …………6 分 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ， …………8 分 所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ． …………………10 分21.B 解 由2104xl l --=--， 得(2)()40x l l ---=的一个解为3，……………3分 代入得1x =-， ………………………5分因为2141轾犏=犏-臌M ，所以111662133-轾犏犏=犏犏-犏臌M . ………………………………10 分 21.C 解 消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=, ………………3 分cos()4a pq -=，得cos sin 0a r q r q +-=, 所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=. …………………………………6分依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-.……………………………………………………………10 分21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. ……………………………………3 分 由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， ………………………………6 分5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1. ……………………………………9 分所以－23≤c ≤1. ……………………………………10 分22. 解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ …………………………………3 分 又m n >，解得13m =，1.4n = ………………………………………………………5 分（2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= ………………………7 分14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---= ……………………9 分()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯=…………………………………………10 分23. 解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C =+=++++，……………………………………………………………………1 分所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=-+=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =. ……………………………………………………………………3 分 （2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C x C ++-++++++=+=+++L ，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++L ，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ， 首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的. 假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ，则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-U ，矛盾. 所以满足条件的,m α是唯一的. ………………………………………………5分 下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=+--=++-02122124234112212121212[222++2]n n n nn n n n C C C C +--++++=++L ，显然(2)(2)f f --∈N*. ………………………………………………………7 分2(0,1)∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-=∈. …………………………………8分所以令02122124234112212121212[222++2]n n n nn n n n m C C C C +--++++=++L ，21(2n α+=-+，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=， …………………………9 分所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=⋅-=-=. ……10分。