苏锡常镇一模数学试题及答案

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【数学】江苏省苏锡常镇四市2020届高三第一次教学情况调研试题(解析版)

【答案】
【解析】由题意，可得所得到的几何体是由一个圆柱挖去两个半球而成；其中，圆柱的底面半径为1，母线长为2；体积为；两个半球的半径都为1，则两个半球的体积为；则所求几何体的体积为
.
12.在△ABC中，( )⊥ ( ＞1)，若角A的最大值为，则实数的值是_______．
【答案】3
【解析】
，解得＝3．
故答案为：3.
13.若函数 (a＞0且a≠1)在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2](1＜m＜n)，则a的取值范围是_______．
【答案】(1， )
【解析】由题意知：与的图像在(1， )上恰有两个交点
考查临界情形：与切于，
．
故答案为： .
14.如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O，若OB＝ OC，则△ABC面积的最大值为_______．
（1）求A；
（2）已知a＝2 ，B＝，求△ABC的面积．
解：（1）∵bcosA﹣ asinB＝0．
∴由正弦定理可得：sinBcosA﹣ sinAsinB＝0，
∵sinB＞0，
∴cosA＝ sinA，
∴tanA＝，
∵A∈（0，π），
∴A＝；
（2）∵a＝2 ，B＝，A＝，
∴C＝，根据正弦定理得到
【解析】由题意A B中有且只有一个元素，所以，即 .
故答案为： .
3.已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是_______．
【答案】0.08
【解析】首先求得，
．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
故答案为：0.08.
4.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 (a＞0)的一条渐近线方程为，则a＝_______．

江苏省苏锡常镇四市2019届高三一模考试数学试卷(有答案)

2018-2019学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试卷一、填空题，本大题共 14 题，每小题 5 分，共 70 分，不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上1、已知集合 A = {0，1，2}， B = {x | -1 < x < 1}，则 A ∩B = ．答案：{}=0A B ⋂。

2、i 为虚数单位，复数(1- 2i )2 的虚部为．答案：2312()4i i =---，即虚部为-4。

3、抛物线 y 2 = 4x 的焦点坐标为．答案：()1,0。

4、箱子中有形状、大小相同的 3只红球、 1只白球，一次摸出 2 只球，则摸到的2 只球颜色相同的概率为．答案：12解析：232412C C =。

5、如图是抽取某学校160 名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前 3组的频率成等差数列，则第 2 组的频数为．答案：406、如图是一个算法流程图，则输出的 S 的值是．答案：7、已知函数2log (3),0()21,0x x x f x x -≤⎧=⎨->⎩，若1(1)2f a -=，则实数a = ．答案：2log 3 解析：222133(1)1log 1log log 3222f a a a -=⇒-=⇒=+= 8、中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 700 里，那么这匹马在最后一天行走的里程数为．答案：700127解析：设第七天走的路程为x ，那么七天总共走的路程为76127002270012127x x x x x -+++==⇒=-。

9、已知圆柱的轴截面的对角线长为 2，则这个圆柱的侧面积的最大值为．答案：2π解析：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，那么2244r h +=，圆柱的侧面积为224222r h rh πππ+≤=。

2021-2022学年度苏锡常镇四市高三教学调研(一)数学试题含答案

高三数学第1页（共6页）2021~2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学（参考答案） 2022.03一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D 7．C 8．D二、选择题：9．BCD10．AD 11．BC 12．AB三、填空题： 13．2 14．1(0]2， 15．[22]− ，，52 162 三、解答题：本题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）解：①5sin sin sin 3B C A +==，由正弦定理sin sin sin A B C a a c ==，可得553b c a +==．以下如③所示． ②因为10cos cos 9B C +=，由余弦定理得22222210229a cb a bc ac ab +−+−+=，所以22222220()()9b ac b c a b c abc +−++−=，所以22220()(2)9b c a b c bc abc +−−+=，其中2222cos a b c bc A −−=−，所以10()(1cos )9b c A a +−=． …………………………………………………… 4分若A为锐角，则1cos 3A ===，则5b c +=．由余弦定理22222()8cos 1122b c a b c a A bc bc bc+−+−==−=−，所以6bc =，又5b c +=，解得23b c = =，或32b c = =，．所以△ABC的面积为11sin 622bc A =⨯=． ………………… 8分高三数学第2页（共6页）若A为钝角，则1cos 3A ===−，则532b c a +=<=，舍去．综上可得，△ABC的面积为 ……………………………………………… 10分③因为5b c +=，由余弦定理22222()8cos 1122b c a b c a A bc bc bc+−+−==−=−． … 3分若A为锐角，则1cos 3A ===，则8113bc −=，所以6bc =，又5b c +=，解得23b c = =，或32b c = =，．所以△ABC的面积为11sin 622bc A =⨯=． …………………… 7分若A为钝角，则1cos 3A ===−，则8113bc −=−，所以12bc =，又5b c +=，无解，舍去． ………………………………… 9分综上可得，△ABC的面积为 ……………………………………………… 10分 18．（12分）解：（1）该同学在每个项目中得优、良、中互为互斥事件，由题意得，11623p p + + =，解得1p =．所以甲在每个项目中通过的概率都为12623p +=． ……………………………… 2分设事件A 为甲能进入到数学建模社团，因为甲在每个项目中通过的概率都为23，且在每个项目中的成绩均相互独立，所以()222833327p A =⨯⨯=．答：甲能进入到数学建模社团的概率为827． …………………………………… 5分（3）X 的可能取值为0，1，2，3． ……………………………………………… 6分 ()103P X ==；()2121339P X ==⨯=； ()2214233327P X ==⨯⨯=；()2228333327P X ==⨯⨯=．高三数学第3页（共6页）所以X 的概率分布为……………… 10分所以X 的数学期望E (X )＝124838012339272727⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………… 12分 19. （12分）解：（1）1111(1)1n n a a n n n n +−=−=−++． ……………………………………… 1分当2n ≥时，211121a a −=−，321132a a −=−，……，1111n n a a n n −−=−−，相加得1111n a a n −=−，所以1n a n=． ……………………………………… 3分当1n =时，11a =也符合上式，所以数列{}n a 的通项公式1n a n =． …………… 5分（2）由（1）得221n a n =，所以2221111111111()()42222n a n n n n n n =<==−−−+−+．…………………………… 8分所以222111111111111112222222211112n S n n n +=+−+−+−−−+−++<++， 4111122112n n n =−=−++．所以421n n S n <+． ……………………………………………… 12分 20．（12分）解：（1）当12t =时，11112C E BD t BC C B ===，即点D ，E 分别为BC ，11B C 的中点，在直三棱柱111ABC A B C −中，11AA BB ，11AA BB =，平面11BB C C 为平行四边形，连接DE ，则1DE BB ，1DE BB =，所以1DE AA ，1DE AA =，所以四边形1DEAA 是平行四边形，所以1ADA E ．……………………………… 3分高三数学第4页（共6页）又因为AD ⊄平面1A EB ，1A E ⊂平面1A EB ，所以AD 平面1A EB ． ……………………………………………… 5分（2）方法一：在平面ABC 内，过点C 作AD 的垂线，垂足为H ，连结1C H ，则1C HC ∠为二面角1C AD C −−的平面角，即1π3C HC ∠=，在直角三角形1C HC 中，13C C =，所以CH =．在直角三角形CHA中，CH =，3AC =，所以sin CH CAH AC ∠==<，又因为CAH ∠为锐角，所以cos CAH ∠=且π04CAH <∠<，所以点H 在线段AD 的延长线上． ……………………………………………… 9分CDA △中，πsin sin()4CDH CAH ∠=+∠，6sin CH CD CDH ==−∠所以2BD t BC ===−．………………………………………… 12分方法二：1AA ⊥平面ABC ，又90BAC ∠=，以1{}AB AC AA ，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，则点(000)A ，，，(300)B ，，，(030)D ，，，1(033)C ，，从而1(033)AC =，，，(330)BC =− ，，，(30)BD tBC t t ==− 3，，，所以(3330)AD t t =− ，，．设平面1AC D 的一个法向量为1()n x y z = ，，，由11100n n AC AD ⎧⎪⎨⎪⋅= ⋅= ⎩，，有030(1)333t x ty y z −+⎧⎨+⎩= = ，，取1(11)n t t t = − −，，，又平面ADC 的一个法向量为2(001)n = ，，，因为二面角1C AD C −−的大小为π3，所以1212π1cos 32n n n n ⋅==． …………… 9分 12=，得2420t t −+=，又因为01t <<，所以2t =． ……………………………………………… 12分H D C A B高三数学第5页（共6页）21．（12分）解：（1）因为椭圆C的离心率为2，且其右焦点F所以c a =2a c c −=a =c =． …………………… 2分所以2223b a c =−=，所以椭圆C 的标准方程为22163x y +=． ………………… 4分（2）设直线MN 的方程为y x m =+，点11()M x y ，，22()N x y ，，00()A x y ，，直线MN 的方程与椭圆方程联立得22163x y y x m ⎧+= ⎪⎨⎪=+ ⎩，，则2234260x mx m ++−=，所以1221222432631612(26)0x x m m x x m m ⎧+=− ⎪⎪−⎪=⎨⎪∆=−−> ⎪⎪⎩，，，由102010200y y y y x x x x −−+=−−，得120012002()()2()0x x m x y x x x m y +−−+−−=．所以200002642()()2()033m m x y m x m y −+−−−−−=，整理得， 00002(2)2403y x m x y −+−=，所以000020240y x x y −= ⎧⎨−= ⎩，，……………………………… 10分因为点A 在第一象限，所以0021x y = ⎧⎨= ⎩，，所以点A 的坐标为(21)A ，． ……………………………………………… 12分高三数学第6页（共6页）22．（12分）解：（1）当e a =时，2()eln (e)f x x x x =−+−，则2e 2(12e)e (21)(e)()12(e)=x x x x f x x x x x+−−+−'=−+−=，（0x >）令()0f x '>，得e x >；令()0f x '<，得e x <；所以，函数()y g x =的单调增区间为(e,)+∞，单调减区间为(0,e)． ………… 3分（2）22(ln 2e)()ln 2(e)a x a x a f x a x x x+−−'=−+−=，令2()2(ln 2e)0t x x a x a =+−−=，因为2(ln 2e)80a a ∆=−+>，所以方程22(ln 2e)0x a x a +−−=，有两个不相等的实根12x x ，（12x x <），又因为1202a x x =−<，所以120x x <<，令02x x =，列表如下所以()f x 存在极值点0x ． ……………………………………………… 7分因为2002(ln 2e)0x a x a +−−=，所以200022e ln x x a x a −=−，记0()ln u t t x t =−，0()1x u t t'=−，当00t x <<时，()0u t '<，()u t 单调递减；当0t x >时，()0u t '>，()u t 单调递增．所以当0t x =时，0()ln u t t x t =−的最小值为0000()ln u x x x x =−．所以200000022e ln ln x x a x a x x x −=−−≥，即200002(2e 1)ln 0x x x x −++≥， ……………………………………………… 10分因为00x >，所以002ln (2e 1)0x x +−+≥，因为()2ln (2e 1)v t t t =+−+在(0) +∞，上单调递增，且0()(e)0v x v =≥，所以0e x ≥，则0x 的最小值是e ． ……………………………………………… 12分。

苏锡常镇四市2021~2022学年度高三一模数学试题(含答案)

2021~2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学 2022.03一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝R ，集合A ＝{x ||x －2|≤1}，B ＝{x |2x －4≥0}，则集合A ∩(∁U B )＝A ．(1，2)B ．(1，2]C ．[1，2)D ．[1，2] 2．在(x －1x)4的二项展开式中，第二项的系数为A ．4B ．－4C ．6D ．－6 3．i 是虚数单位，设复数z 满足i z ＝|－32＋i 2|＋i ，则z 的共轭复数z -＝ A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i 4x 0 1 2 3 4 y1015203035经计算知，y 对x 的线性回归方程是ŷ＝6.5x ＋ˆ，预测当x ＝6时，y ＝附：在线性回归方程ŷ＝aˆ＋b ˆx 中，b ˆ＝()∑∑==--ni ini iix n xyx n yx 1221，a ˆ＝y -－b ˆx -，其中x -，y -为样本平均值．A ．47.5B ．48C ．49D ．49.5 5．平面内三个单位向量a ，b ，c 满足a ＋2b ＋3c ＝0，则A ．a ，b 方向相同B ．a ，c 方向相同C ．b ，c 方向相同D ．a ，b ，c 两两互不共线6．若双曲线C 1：y 2－3x 2＝λ(λ≠0)的右焦点与抛物线C 2：y 2＝8x 的焦点重合，则实数λ＝ A ．±3 B ．－ 3 C ．3 D ．－37．有5个相同的球，其中3个红色、2个蓝色，从中一次性随机取2个球，则下列说法正确的是A ．“恰好取到1个红球”与“至少取到1个蓝球”是互斥事件B ．“恰好取到1个红球”与“至多取到1个蓝球”是互斥事件C ．“至少取到1个红球”的概率大于“至少取到1个蓝球”的概率D ．“至多取到1个红球”的概率大于“至多取到1个蓝球”的概率8．正四面体ABCD 的棱长为a ，O 是棱AB 的中点，以点O 为球心的球在△BCD 上截得的曲线与CD 相切，则球O 的体积是A ．16πa 3B ．26πa 3C ．36πa 3D ．23πa 3二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则A ．S 6＝2S 4－S 2B ．S 6＝3(S 4－S 2)C ．S 2n ，S 4n －S 2n ，S 6n －S 4n 成等差数列D ．S 22，S 44，S 66成等差数列10．某校体育活动社团对全校学生体能情况进行检测，以鼓励学生积极参加体育锻炼．学生的体能检测结果X 服从正态分布N (75，81)，其中60为体能达标线，90为体能优秀线，下列说法正确的有附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝0.6826，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝0.9544，P (μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝0.9974． A ．该校学生的体能检测结果的期望为75B ．该校学生的体能检测结果的标准差为81C ．该校学生的体能达标率超过0.98D ．该校学生的体能不达标的人数和优秀的人数大致相等 11．下列函数中，最大值是1的函数有A ．y ＝|sin x |＋|cos x |B ．y ＝sin 2x －cos 2xC ．y ＝4sin 2x cos 2xD ．y ＝tan x tan2xtan2x －tan x12．已知函数f (x )＝a e xx －x ＋ln x (a ∈R )，若对于定义域内的任意实数s ，总存在实数t 使得f (t )＜f (s )，则满足条件的实数a 的可能值有A ．－1B ．0C ．1eD ．1三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，设圆柱和圆锥的表面积分别为S 1，S 2，则S 1S 2＝ ▲ ． 14．已知圆C ：(x －2)2＋(y ＋4)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，直线AP ，AQ 分别与圆C 相切于P ，Q 两点，则圆心C 到直线PQ 的距离的取值范围是 ▲ ．15．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)在一个周期内的图象如图所示，其中点P ，Q 分别是图象的最高点和最低点，点M 是图象与x 轴的交点，且MP ⊥MQ ．若f (12)＝32，则tan φ＝ ▲ ．(第15题图)16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (|x |＋1)＝2f (|x |－1)．若当x ∈(0，1)时，f (x )＝1－|2x －1|，则f (x )在区间(－1，3)上的值域为 ▲ ，g (x )＝f (x )－45x 在区间(－1，3)内的所有零点之和为 ▲ ．(本小题第一空2分，第二空3分)四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)在①sin B ＋sin C ＝1029，②cos B ＋cos C ＝109，③b ＋c ＝5这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝3，sin A ＝223，，求△ABC的面积．18．(12分)某大学数学建模社团在大一新生中招募成员，由于报名人数过多，需要进行选拔．为此，社团依次进行笔试、机试、面试三个项目的选拔，每个项目设置“优”、“良”、“中”三个成绩等第；当参选同学在某个项目中获得“优”或“良”时，该同学通过此项目的选拔，并进入下一个项目，否则该同学在此项目中不通过，且不能参加后续的项目．通过了全部三个项目的同学进入到数学建模社团．现有甲同学参加数学建模社团选拔，已知该同学在每个项目中得“优”、“良”、“中”的概率都分别为16，p 2，p3，且甲在每个项目中的成绩均相互独立．(1)求甲能进入到数学建模社团的概率；(2)设甲在本次数学建模社团选拔中恰好通过X 个项目，求X 的概率分布及数学期望．19．(12分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －1n (n ＋1)，n ∈N *．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列{a n 2}的前n 项和为S n ，求证：S n ＜4n2n ＋1．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，AA 1＝AB ，点D ，E 分别为棱BC ，B 1C 1上的点，且BD BC ＝C 1EC 1B 1＝t (0＜t ＜1)．(1)若t ＝12，求证：AD ∥平面A 1EB ；(2)若二面角C 1－AD －C 的大小为π3，求实数t 的值．21． (12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且椭圆C 的右焦点F 到右准线的距离为3．点A 是第一象限内的定点，点M ，N 是椭圆C 上两个不同的动点(均异于点A )，且直线AM ，AN 的倾斜角互补． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线MN 的斜率k ＝1，求点A 的坐标．已知实数a＞0，函数f(x)＝x ln a－a ln x＋(x－e)2，e是自然对数的底数．(1)当a＝e时，求函数f(x)的单调区间；(2)求证：f(x)存在极值点x0，并求x0的最小值．2021~2022学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研(一)数学2022.03注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2023届苏锡常镇一模答案

2022~2023学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案2023.3一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．A2．D3．D4．B5．D6．A7．B8．C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．AD10．AC11．BC12．ACD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．200-14．3515．16．2三、解答题：本题共6小题，共70分.17．解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，则2311139a q a q a q ++=，43211123a q a q a q =+，…………………………………1分因为10a q ≠，所以2230q q --=，……………………………………………2分即(1)(3)0q q +-=，因为0q >，所以3q =，则11a =，所以13n n a -=；……………………………4分（2）因为13n n a -=，所以13n n n b -=，所以01112333n n nT -=+++，①121112133333n n n n nT --=++++ ，②………………………………………………6分①-②得011211132333333223n n n nn n T -+=+++-=-⋅ ，……………………………8分所以1923443n n n T -+=-⋅.…………………………………………………………10分18．解：（1）若3π4C =，则π4A B +=，因为1sin 2(3tan 2)cos 2A B A +=+，所以ππ1sin(2)(3tan 2)cos(2)22B B B +-=+-，…………………………………1分所以1cos 2(3tan 2)sin 2B B B +=+，………………………………………2分所以23tan 2tan 10B B +-=，…………………………………………………4分所以1tan 3B =或tan 1B =-，因为π04B <<，则1tan 3B =．…………………………………………………6分（2）若A B =，则1sin 23tan 2cos 2A A A +=+，所以1tan 3tan 21tan AA A+=+-，………8分得23tan 1A =，所以tan A =，又0πA <<，所以π6A B ==，……………………………………………………10分又2c =，所以AB 边上的高为33，故面积为33.……………………………12分19．（1）证明：因为侧面11ABB A 为菱形，所以11A B AB ⊥，……………………1分又因为1A B AC ⊥，1AC AB A = ，所以1A B ⊥平面1AB C .…………………………………………………………4分（2）法一：取AB 的中点O ，连接1B O ，因为1π3ABB ∠=，所以1ABB △为等边三角形，所以1B O AB ⊥．………………5分因为平面11A B BA ⊥平面ABC ，平面11A B BA 平面ABC AB =，1B O ⊂平面11A B BA ，所以1B O ⊥平面ABC ，……………………6分所以1B O AC ⊥，又因为1A B AC ⊥，1B O AB O = ，所以AC ⊥平面11A B BA ．…………………7分以O 为原点，1,,OB OD OB ()OD AC ∥所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.则(100)B ，，，(100)A -，，，1(20A -，(110)E -，，，所以1(30BA =- ，(210)BE =- ，，．………………………………………………8分设平面1A BE 的一个法向量为n ()x y z =，，，所以13020BA x BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，，n n 取1x =，得2z y ==，所以平面1A BE的一个法向量为(12=n ．……………………………………9分又P 在线段1A E 上，设1EP λEA =(01)λ<<，111()P x y z ，，，所以111(11)(11x y z λ+-=--，，，，所以11111x λy λz ⎧=--⎪=-⎨⎪=⎩，，，所以(11)P λλ---，，所以(1)AP λλ=-- ，．因为AP 与平面1A BE 所成角大小为π4，所以πsin 4=cos AP <>= ，n n nAP AP ⋅=．………………10分所以2520λλ-=，即25λ=或0λ=（舍），即125EP EA =．………………………12分法二：设11A B AB F = ，因为1A B ⊥平面1AB C ，所以平面1A BE ⊥平面1AB C ，………………………………………………………5分EF 为交线，由法一得AC ⊥平面11A B BA ，………………………………………7分所以1AE AF ==，EF =，过A 作AH EF ⊥于H，则2AH =，…………………………………………9分因为AP 与平面1A BE 所成角大小为π4，所以1AP =，………………………10分在1AEA △中，可计算得EP =125EP EA =．………………………………12分20.解：（1）设每位居民需化验的次数为X若混合血样呈阴性，则120X =，若混合血样呈阳性，则2120X =，……………2分所以X 的分布列为：201()0.99820P X ==，2021(10.99820P X ==-，…………………………………4分202020201212121()0.998(10.998)0.998(10.002)20202020E X =⨯+-=-=--21(10.00220)0.0920≈--⨯=，故2000名居民总化验次数约为20000.09180⨯=次．…………………………6分（2）设每组n 人总费用为Y 元，若混合血样呈阴性则9Y n =+，若混合血样呈阳性，则119Y n =+，所以，Y 的分布列为：(9)0.991n P Y n =+=，(119)10.991n P Y n =+=-，…………………………8分所以()(9)0.991(119)(10.991)n n E Y n n =+⨯++-11100.9919n n n =-⨯+，每位居民的化验费用为：()9911100.9911110(10.009)n n E Y n n n=-⨯+=-⨯-+ (10)分991110(10.009)10.091 2.8n n n n ≈-⨯-+=+++≥元，当且仅当90.09n n=，即10n =时取等号.故10n =时，每位居民化验费用的期望最小．…………………………………12分21．解：（1）由题意,设:1l x my =+,联立方程组221y x x my ⎧=⎨=+⎩，，得2220y my --=．……………………………………2分故121222y m y y y =⎧⎨=+-⎩，，12121211y y m y y y y ++==-．由11||||BM AM -==，2=,解得1m =.故直线l 的方程为1y x =-．…………………4分（2）①设(0)(0)M t t >，，:l x my t =+，3344())(C D y x x y ，，，，故22y x x my t ⎧=⎨=+⎩，，得2220my y t --=，所以1211m y y t +=-，同理可得3411m y y t +=-，故12341111y y y y +=+．…………………………………6分②由①可知3124134213241111y y y y y y y y y y y y -=-⇔=--，故31132424||||||||y y y y y y y y -=-．注意到31242||||||||y y AC y y BD --==，以及12213412224441242||||2t y y t y y y y y AM y y D y M ⋅=-=⋅-=，所以||||AM DM =，即M 为AD 中点．…………………………………………8分所以41412x t x y y =-⎧⎨=-⎩，，代入抛物线方程，可得2112112(4(2))y x y t x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩，，13y =，22y =-．由14y y =-=434y y t =-，可得3y =．……………………10分故112234||||70||||1S y AB S CD y y y --===．……………………………12分22．解：（1）21()()()ln 4h x f x g x x x =-=+-，得(2(122()2x xx h x x x -'=-=+，…………………………………………2分因此函数()h x得单调递增区间为()2+∞，单调递减区间为(02，．故函数()h x的最小值为1131ln ln 24422h =+-=+．…………………4分（2）设1122()()A x y B x y ，，，，由题意有2211122122114l n n 4l x t x x x x t x x x ⎧+=-⎪⇒-+=+⎨⎪=-+⎩-，，．令21m x x =-，故21x x m =+，且211)ln(104x m x m -+-+=．故方程204ln(1)m x x m +-+-=有解．…………………………………………6分令21()ln()4φx x x m m =-+-+,故221()122x x x mm φx x x m +-'+=-+=，容易知道存在00x >，函数()φx 在区间0(0,)x 上递减，在0()x +∞，上递增，且2000221x x m +-=．所以20000ln(1()0)4φx x x m m ⇔-+-+≤≤．注意到0012m x x =-，故2200000001ln ln(11110)0224422x x x x x x x x -++⇔++-+-≤≤，………………8分构造函数24ln(211)2)(p x x x x x -=+++．因为211()2210x p x x x'=++>+，所以()p x 在(0,)+∞上单调递增，且1111(0102424p =++-+=，故0102x <≤，所以001212m x x -=≥．…………………………………………10分所以12|||AB x x =-=．……………………………………………11分此时012111,,,1222m x x x ====，所以当直线:1l y x =-+，11)(10)2(2B A ，，，时，||AB 的最小值为22．………12分。

江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

江苏省苏锡常镇四市2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知等差数列{}n a 中，27a =，415a =，则数列{}n a 的前10项和10S =（）A ．100B ．210C ．380D ．4002．一个由两个圆柱组合而成的密闭容器内装有部分液体，小圆柱底面半径为1r ，大圆柱底面半径为2r ，如图1放置容器时，液面以上空余部分的高为1h ，如图2放置容器时，液面以上空余部分的高为2h ，则12h h =（）A ．21r rB ．212r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．321r r ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．21r r 3．甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷，四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个，每个景点去一人．已知：①甲不在远古村寨，也不在百里绝壁；②乙不在原始森林，也不在远古村寨；③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件；④丁不在百里绝壁，也不在远古村寨．若以上语句都正确，则游玩千丈瀑布景点的同学是（）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知x ，y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（）A ．4B ．34C ．211D ．14 5．函数的图象可能是下列哪一个？（）A ．B ．C ．D ．6．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同7．已知函数()()f x x R ∈满足(1)1f =，且()1f x '<，则不等式()22lg lg f x x <的解集为（） A ．10,10⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．10,10,10 C ．1,1010⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()10,+∞ 8．已知函数()sin(2)4f x x π=-的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位后得到函数()sin(2)4g x x π=+的图象，则ϕ的最小值为（）A ．4πB ．38πC ．2πD ．58π 9．已知集合{}|26M x x =-<<，{}2|3log 35N x x =-<<，则MN =（） A ．{}2|2log 35x x -<<B ．{}2|3log 35x x -<<C ．{}|36x x -<<D ．{}2|log 356x x << 10．已知(2sin ,cos ),(3cos ,2cos )2222x x x x a b ωωωω==，函数()f x a b =·在区间4[0,]3π上恰有3个极值点，则正实数ω的取值范围为（）A ．85[,)52 B ．75[,)42 C ．57[,)34 D ．7(,2]411．若双曲线C ：221x y m-=的一条渐近线方程为320x y +=，则m =（） A ．49 B ．94 C ．23 D ．3212．函数ln ||()xx x f x e =的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

江苏省苏锡常镇2024届高三下学期教学情况调研(一模)数学试卷及答案

2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学2024.3注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2320A xx x =++>∣，集合{}04B x x =∣ ，则（）A.A B ⋂=∅ B.A B ⋃=R C.A B ⊆ D.B A⊆2.设5250125(12)x a a x a x a x +=++++ ，则125a a a +++= （）A.-2 B.-1 C.242 D.2433.已知平面向量,,a b c 满足0,||||1,||3a b c a b c ++====，则a 与b 的夹角为（）A.π4 B.π3 C.2π3 D.3π44.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点，它不仅关乎个体成长，也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况，从本市全体高三学生中随机抽查了1200人，经统计后发现样本的身高（单位：cm ）近似服从正态分布()2172,N σ，且身高在168cm 到176cm 之间的人数占样本量的75%，则样本中身高不低于176cm 的约有（）A.150人 B.300人 C.600人 D.900人5.函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在区间()0,2π内的零点个数为（）A.2 B.3 C.4 D.56.在平面直角坐标系xOy 中，已知A 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右顶点，以OA 为直径的圆与C 的一条渐近线交于另一点M ，若12AM b =，则C 的离心率为（）2 B.2 C.2 D.47.莱莫恩（Lemoine ）定理指出：过ABC 的三个顶点,,A B C 作它的外接圆的切线，分别和,,BC CA AB 所在直线交于点,,P Q R ，则,,P Q R 三点在同一条直线上，这条直线被称为三角形的Lemoine 线.在平面直角坐标系xOy 中，若三角形的三个顶点坐标分别为()()()0,1,2,0,0,4-，则该三角形的Lemoine 线的方程为（）A.2320x y --= B.2380x y +-=C.32220x y +-= D.23320x y --=8.已知正项数列{}n a 满足()*1223111121n n n n a a a a a a n ++++=∈+N ，若5627a a -=，则1a =（）A.13 B.1 C.32D.2二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知复数123,,z z z ，下列说法正确的有（）A.若1122z z z z =，则12z z = B.若22120z z +=，则120z z ==C.若1213z z z z =，则10z =或23z z = D.若1212z z z z -=+，则120z z =10.已知函数()sin 2cos2x f x x=-，则（）A.()f x 的最小正周期为πB.()f x 的图象关于点()π,0对称C.不等式()f x x >无解D.()f x 的最大值为2411.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为1AA 的中点，点F 满足()11101A F A B λλ= ，则（）A.当0λ=时，1AC ⊥平面BDFB.任意[]0,1λ∈，三棱锥F BDE -的体积是定值C.存在[]0,1λ∈，使得AC 与平面BDF 所成的角为π3D.当23λ=时，平面BDF 截该正方体的外接球所得截面的面积为56π19三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知变量,x y 的统计数据如下表，对表中数据作分析，发现y 与x 之间具有线性相关关系，利用最小二乘法，计算得到经验回归直线方程为8ˆˆ0.yx a =+，据此模型预测当10x =时ˆy 的值为__________.x56789ˆy 3.5456 6.513.已知()(),0,11,,4log log 4a b a b b a ∞∈⋃++=，则2ln a b b+的最小值为__________.14.在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,1P -和抛物线2:4C y x =，过C 的焦点F 且斜率为(0)k k >的直线与C 交于,A B 两点.记线段AB 的中点为M ，若线段MP 的中点在C 上，则k 的值为__________；AF BF ⋅的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos 1c B a +=.（1）证明：2B A =；（2）若2sin ,144A b ==，求ABC 的周长.16.（15分）如图，在四棱锥E ABCD -中，EC ⊥平面,,ABCD DC BC AB ⊥∥,22DC DC AB ==，CB CE =，点F 在棱BE 上，且12BF FE =.（1）证明：DE ∥平面AFC ；（2）当二面角F AC D --为135 时，求CE .17.（15分）我国无人机发展迅猛，在全球具有领先优势，已经成为“中国制造”一张靓丽的新名片，并广泛用于森林消防､抢险救灾､环境监测等领域.某森林消防支队在一次消防演练中利用无人机进行投弹灭火试验，消防员甲操控无人机对同一目标起火点进行了三次投弹试验，已知无人机每次投弹时击中目标的概率都为45，每次投弹是否击中目标相互独立.无人机击中目标一次起火点被扑灭的概率为12，击中目标两次起火点被扑灭的概率为23，击中目标三次起火点必定被扑灭.（1）求起火点被无人机击中次数的分布列及数学期望；（2）求起火点被无人机击中且被扑灭的概率.18.（17分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点50,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，过椭圆222:1(1)x C y a a+=>的上项点A 作两条动直线()112212:1,:10l y k x l y k x k k =+=+<<分别与C 交于另外两点,M N .当1k 22=时，AM PM =.（1）求a 的值；（2）若1291,8MN k k NP ==，求1k 和2k 的值.19.（17分）已知函数()24e 2(0)x f x x x x-=->，函数()()2233g x x ax a a a =-+--∈R .（1）若过点()0,0O 的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，与曲线()y g x =相切于点Q .①求a 的值；②当,P Q 两点不重合时，求线段PQ 的长；（2）若01x ∃>，使得不等式()()00f x g x 成立，求a 的最小值.2023~2024学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）数学参考答案1.【答案】D【解析】{2A x x =<-∣或{}1},04x B xx >-=≤≤∣，则B A ⊆，选D.2.【答案】C【解析】0x =时，55000123451,1;1,3,a a x a a a a a a =∴===+++++51234531242a a a a a ∴++++=-=，选C.3.【答案】B【解析】a b c +=- ，所以22()a b c += ，所以2223a a b b +⋅+= ，所以12a b ⋅= ，1πcos ,,,23a b a b a b a b ⋅==∴= ，选B.4.【答案】A【解析】()2172,,(168176)0.75,(172176)0.375X N P X P X σ~<<=∴<<=，(176)0.50.3750.125,0.1251200150P X ∴>=-=⨯=，选A.5.【答案】C 【解析】π2π3x k +=，则πππ5,.1,2,π6236k x k k x k x =-+∈====Z ；()4113,π;4,π,36k x k x f x ====在()0,2π选C.6.【答案】B 【解析】tan b AOM a ∠=，则112sin ,22b b AM a AOM ec OA a c ∠===∴==，选故答案选B.7.【答案】B【解析】ABC 的外接圆设为22100,4201640E F x y Dx Ey F D F E F ++=⎧⎪++++=∴++=⎨⎪-+=⎩，034D E F =⎧⎪=⎨⎪=-⎩∴外接圆：22340x y y ++-=，即2232524x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，在A 处切线：31,:1,,1,C,D 242x y y BC P ⎛⎫=+=∴ ⎪-⎝⎭排除.在C 处切线()4,:1,10,42x y AB y R =-+=∴-，选B.8.【答案】D【解析】1n =时，1211;23n a a =≥时，21111212141n n n n a a n n n +-=-=+--()5666654545611117,99,2799,,18,63,9922a a a a a a a a a a a =∴=∴+=∴===∴=，343232121335,10,15,,3,22a a a a a a a a a =∴==∴==∴= ，选D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】AC 【解析】1122z z z z ⋅=，则221212,z z z z =∴=，A 对.2212z z =，则12i,i z z ==-满足条件，10z ≠，B 错.()12131231,0,0z z z z z z z z =∴-=∴=或230,z z C -=对.令()221212i,i,i ()()z a b z c d z z a c b d a c b d =+=+-=-+-=-+-，()22121212i ()(),z z a c b d a c b d z z z z +=+++=+++-=+，则220ac bd +=，()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc =++=-++不一定为0,D 错，选AC .10.【答案】BD【解析】()()()()sin πsin π,π2cos2π2cos2x x f x f x x x+-+==≠∴-+-不是()f x 的周期，A 错.()()()()()sin 2πsin 2π,2cos22π2cos2x x f x f x f x x x---===-∴---关于()π,0对称，B 对.()()π0π,f f x x -=>-∴>有解，C 错，选B D.()()22sin sin 2sin 1212sin x x f x x x ==+--，求()f x 的最小值.令()112sin 0,12222sin sin x f x x x >=≤=+，当且仅当12sin sin x x =，即2sin 2x =时取"="，D 对，选BD.11.【答案】ACD【解析】0λ=时，F 与1A 重合，平面BDF 为平面11,BDC AC ⊥ 面1BDA ，1AC ∴⊥平面,A BDF 对.11A B 不与平面BDE 平行，F ∴到面BDE 的距离不为定值，∴三棱锥F BDE -的体积不为定值，B 错.当F 在1A 时，AC 与平面BDF 所成角的正弦值为6332<，此时AC 与平面BDF 所成角小于π3，当F 在1B 时，AC 与平面BDF 所成角为ππ,23>∴存在[]0,1λ∈使AC 与平面BDF 所成角为π,C 3正确.如图所示建系，()()()0,0,0,2,2,0,2,2,2D B F λ，设平面BDF 的法向量为()0220,,,,22200n DB x y n x y z x y z n DF λ⎧⋅=+=⎧⎪=∴⎨⎨++=⋅=⎩⎪⎩ 不妨设1x =，则()()1,1,1,1,1,2,2,0y z n AC λλ=-=-=--=- .23λ=，则42,,23F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，平面BDF 的法向量11,1,3n ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，球心()1,1,1O ，O 到面BDF 的距离19OD n d n ⋅== 44432R ++==，∴截面圆半径2225656,ππ,D 1919r R d S r =-===对，选ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】7.4【解析】7,5,50.87,0.6,0.80.6,ˆ0ˆˆ1x y aa y x x ==∴=⨯+∴=-=-=ˆ7.4.y=13.【答案】ln21+【解析】114log log 4,4log 4,log ,log 2a b a a a b a b b b a b +=∴+=∴=∴=，即22222,ln ln ln a b a b b b b b b b =+=+=+，令()2ln f x x x =+，()221220,2x f x x x x x'-=-===.()f x 在()()()min 0,2,2,,()2ln21,f x f ∞+==+ 此时2,2b a ==14.【答案】2；5【解析】AB 为过焦点的弦，AB 中点为M ，过M 作准线的垂线，垂足为N ，则MN 的中点在抛物线上.PM 的中点在抛物线上，,N P ∴重合.令()()()1122,,,,:1A x y B x y AB y k x =-.()214y k x y x ⎧=-⎨=⎩，消x 可得2121244240,,1,22y y y y y y k k k k +--=+===∴=.()()()22222121212121221111144164y y y y y y y y AF BF x x +-⎛⎫⎛⎫⋅=++=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭164815164+=++=.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.【解析】（1）证明：()2cos 1sin sin sin cos cos sin B A C A B A B+==+()sin sin cos cos sin sin A B A B A B A ⇒=-=-A B A ∴=-或()πA B A +-=（舍），2B A ∴=.（2）2147sin sin22444B A ==⨯⨯=，21314cos 12sin 12,cos 844B A A =-=-⨯==，()2314710252sin sin 4444168C A B ∴=+=⨯+⨯==，由正弦定理21452752448a c =⎧⇒==⇒⎨=⎩ABC ∴ 的周长为714+16.【解析】（1）设BC m =，如图建系.()()()()21,0,1,0,0,0,0,0,2,0,,0,,,033A m C D E m F m m ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，()()21,0,1,,,0,0,,2,33CA m CF m m DE m ⎛⎫===- ⎪⎝⎭设平面AFC 的：一个法向量为()1,,n x y z = ，()101,2,21033mx z n m mx my +=⎧⎪∴⇒=--⎨+=⎪⎩ 1220,DE n m m DE ∴⋅=-+=∴ ∥平面AFC .（2）平面ACD 的一个法向量()20,1,0n =，122122cos1353,3251n n m CE n n m ⋅∴=-=--==+⋅ 17.【解析】（1）起火点被无人机击中次数X 的所有可能取值为0,1,2,3()()32131141120,1C 512555125P X P X ⎛⎫⎛⎫=====⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()232341484642C ,3551255125P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⨯==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.X ∴的分布列如下：X 0123P 1125121254812564125()44123,,3555X B E X ⎛⎫~∴=⨯= ⎪⎝⎭.（2）击中一次被扑灭的概率为121134116C 552125P ⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭击中两次被火扑灭的概率为222341232C 553125P ⎛⎫=⋅⨯⨯= ⎪⎝⎭击中三次被火扑灭的概率为334645125P ⎛⎫== ⎪⎝⎭∴所求概率63264102125125125125P =++=.18.【解析】（1）22222222112022a y x x a x x a y a ⎧⎛⎫=+⎪⇒++=⎨ ⎪⎝⎭⎪+=⎩()22222225,,0,1,0,223a a M A P a a ⎛⎫--⎛⎫∴- ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭由22222222222221222a a a AM PM a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⇒+-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭2222523a a ⎛⎫-+ ⎪+⎝⎭，解得24,2a a =∴=.（2）设()()()1122,,,,0,1M x y N x y A ，则()()121221122121211114153011141y x x y x x x y x y y x x y ⎧⎛⎫--⋅=⎪ ⎪+⎪⎝⎭⇒---=⎨⎛⎫-⎪⋅-⋅= ⎪⎪+⎝⎭⎩.()()211221503x x x y x y ⇒--+-=对比,M N 两点方程知MN 过50,3⎛⎫ ⎪⎝⎭与P 重合.1212178171588x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解得112121,202x k k y =-⎧⇒==⎨=⎩.19.【解析】（1）①()222e e 42x x x f x x --⋅-=⋅-'，设020004e ,2x P x x x -⎛⎫- ⎪⎝⎭()()0022000002004e 2e 1422,x x OPx x x k f x x x x ----∴===⋅-⇒='∴切点()2,2,1P k -=-.l ∴方程：()22y x +=--，即y x=-()2222133033y x x a x a a y x ax a a=-⎧⇒-+++=⎨=-+--⎩()()()22Δ(13)4305110a a a a a =+-+=⇒--=15a ∴=或1②当1a =时，2Q x =，此时()2,2,,Q P Q -重合，舍去.当15a =时，45Q x =，此时44,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭此时22446222555PQ ⎛⎫⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）令()()()2224e 233x F x f x g x x x ax a a x-=-=-+-++()()()()22223e 224e 1223,420x x x x x F x x a F x x x --''-+-=-+-'=⋅+>()F x '在()1,∞+上取补集，对1x ∀>，均有()()0f x g x ->成立，即()0F x >恒成立()2222446303201F a a a a a a ∴=-+-++>⇒-+>⇒<或2a >而对1,1x a ∀><经检验均有()0F x >成立，∴原命题中1a ≥而1a =时，()()()224e 1223,x x F x x F x x -'-+-'-= ，注意到()20F '=()F x ∴在()1,2上()()min 2,,()200F x F ∞+∴==≤ 成立，符合.综上：a 的最小值为1.。

江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学一模试卷解析版

高考数学一模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合A={0，1，2}，B={x|-1＜x＜1}，则A∩B=______．2.i为虚数单位，复数（1-2i）2的虚部为______．3.抛物线y2=4x的焦点坐标是______．4.箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，则摸到的2只球颜色相同的概率为______．5.如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，已知从左到右的前3组的频率成等差数列，则第2组的频数为______．6.如图是一个算法流程图，则输出的S的值是______．7.已知函数，若，则实数a=______．8.中国古代著作《张丘建算经》有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里”，意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里．那么这匹马在最后一天行走的里程数为______．9.已知圆柱的轴截面的对角线长为2，则这个圆柱的侧面积的最大值为______．10.设定义在区间（0，）上的函数的图象与y=3cos2x+2的图象交于点P，则点P到x轴的距离为______．11.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a=8b，A=2B，则sin（A-）=______．12.若直线l：ax+y-4a=0上存在相距为2的两个动点A，B，圆O：x2+y2=1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形（C为直角顶点），则实数a的取值范围为______．13.在△ABC中，已知AB=2，AC=1，∠BAC=90°，D，E分别为BC，AD的中点，过点E的直线交AB于点P，交AC于点Q，则的最大值为______．14.已知函数f（x）=x2+|x-a|，g（x）=（2a-1）x+a ln x，若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，则实数a的取值范围为______．二、解答题（本大题共11小题，共148.0分）15.如图，三棱锥D-ABC中，已知AC⊥BC，AC⊥DC，BC=DC，E，F分別为BD，CD的中点．（1）求证：EF∥平面ABC；（2）BD⊥平面ACE．16.已知向量=（2cosα，2sinα），=（cosα-sinα，cosα+sinα）．（1）求向量与的夹角；（2）若⊥，求实数λ的值．17.某新建小区规划利用一块空地进行配套绿化．已知空地的一边是直路AB，余下的外围是抛物线的一段弧，直路AB的中垂线恰是该抛物线的对称轴（如图）．拟在这个空地上划出一个等腰梯形ABCD区域种植草坪，其中A，B，C，D均在该抛物线上．经测量，直路AB长为40米，抛物线的顶点P到直路AB的距离为40米．设点C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米．（1）求出n关于m的函数关系式；（2）当m为多大时，等腰梯形草坪ABCD的面积最大？并求出其最大值．18.已知椭圆E：的离心率为，焦点到相应准线的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知P（t，0）为椭圆E外一动点，过点P分别作直线l1和l2，直线l1和l2分别交椭圆E于点A，B和点C，D，且l1和l2的斜率分别为定值k1和k2，求证：为定值．19.已知函数f（x）=（x+1）ln x+ax（a∈R）．（1）若函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为x+y+b=0，求实数a，b的值；（2）设函数g（x）=，x∈[1，e]（其中e为自然对数的底数）．①当a=-1时，求函数g（x）的最大值；②若函数h（x）=||是单调减函数，求实数a的取值范围．20.定义：若有穷数列a1，a2，…，a n同时满足下列三个条件，则称该数列为P数列．①首项a1=1；②a1＜a2＜…＜a n；③对于该数列中的任意两项a i和a j（1≤i＜j≤n），其积a i a j或商仍是该数列中的项．（1）问等差数列1，3，5是否为P数列？（2）若数列a，b，c，6是P数列，求b的取值范围；（3）若n＞4，且数列b1，b2，…，b n是P数列，求证：数列b1，b2，…，b n是等比数列．21.已知x，y∈R，是矩阵A=的属于特征值-1的一个特征向量，求矩阵A的另一个特征值．22.在极坐标系中，已知直线l：，在直角坐标系（原点与极点重合，x轴正方向为极轴的正方向）中，曲线C的参数方程为（t为参数）．设l 与C交于A，B两点，求AB的长．23.若不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意的x∈R恒成立，求实数a的取值范围．24.从批量较大的产品中随机取出10件产品进行质量检测，若这批产品的不合格率为0.05，随机变量X表示这10件产品中的不合格产品的件数．（1）问：这10件产品中“恰好有2件不合格的概率P（X=2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X=3）”哪个大？请说明理由；（2）求随机变量X的数学期望E（X）．25.已知f（n）=+++…+，g（n）=+++…+，其中n∈N*，n≥2．（1）求f（2），f（3），g（2），g（3）的值；（2）记h（n）=f（n）-g（n），求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞．答案和解析1.【答案】{0}【解析】解：∵集合A={0，1，2}，B={x|-1＜x＜1}，∴A∩B={0}．故答案为：{0}．利用交集定义直接求解．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】-4【解析】解：∵（1-2i）2=12+（2i）2-4i=1-4-4i=-3-4i故复数（1-2i）2的虚部为-4故答案为：-4根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（1-2i）2的值，即可得到复数（1-2i）2的虚部．本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算，复数的基本概念，其中根据复数代数形式的乘法计算公式，计算复数（1-2i）2的值是解答本题的关键，本题易错误理解虚部的概念，而错解为-4i．3.【答案】（1，0）【解析】解：根据题意，抛物线y2=4x的开口向右，其焦点在x轴正半轴上，且p=2，则抛物线的焦点坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．根据题意，由抛物线的标准方程分析可得抛物线的点在x轴正半轴上，且p=2，由抛物线的焦点坐标公式计算可得答案．本题考查抛物线的几何性质，注意分析抛物线的开口方向．4.【答案】【解析】解：箱子中有形状、大小都相同的3只红球、1只白球，一次摸出2只球，基本事件总数n==6，摸到的2只球颜色相同包含的基本事件个数m==3，则摸到的2只球颜色相同的概率p=．故答案为：．基本事件总数n==6，摸到的2只球颜色相同包含的基本事件个数m==3，由此能求出摸到的2只球颜色相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】40【解析】解：如图是抽取某学校160名学生的体重频率分布直方图，由频率分布直方图得到前3组的频率和为：1-（0.0375+0.0125）×5=0.75，∵从左到右的前3组的频率成等差数列，∴第2组的频率为=0.25，∴第2组的频数为160×0.25=40．故答案为：40．由频率分布直方图得到前3组的频率和为1-（0.0375+0.0125）×5=0.75，由从左到右的前3组的频率成等差数列，得到第2组的频率为=0.25，由此能求出第2组的频数．本题考查等比数列的公比的求法，考查等差数列、等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】-【解析】解：由程序框图知所求为cos的值，当k=5时s=cos=故答案为：．由程序框图知所求为cos的值．本题考查程序框图的循环，属于简单题．7.【答案】log23【解析】解：函数，若，可得：，解得a=4-＞0舍去．，解得a=log23＞0，成立．故答案为：log23．利用分段函数列出方程，转化求解即可．本题考查分段函数的应用，对数的运算法则，考查计算能力．8.【答案】【解析】解：每天走的里程数是等比数列{a n}，公比q=，则S7==700，解得a1=，∴a7=×（）6=里，故答案为：设该匹马第一日走a1里，利用等比数列前n项和公式求出a1，即可求出这匹马在最后一天行走的里程数为本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9.【答案】2π【解析】解：设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，∴4a2+b2=4，设a=cosα，b=2sinα（0＜α＜），∴圆柱的侧面积S=2πab=2π×cosα•2sinα=2πsin2α，∴圆柱的侧面积的最大值为2π．故答案为：2π．设圆柱底面直径和母线长分别为2a，b，求出底面半径，代入圆柱侧面积公式，利用三角函数求最值．本题考查的知识点是旋转体的侧面积，熟练掌握圆柱的侧面积公式是关键，是基础题．10.【答案】3【解析】解：由=3cos2x+2得：3-6sin2x-3sin x+2=0，即6sin2x+3sin x-5=0，得sin x=====，sin x====-=-，∵x∈（0，），∴sin x＞0，∴sin x=，即点P到x轴的距离为y=3×=3，故答案为：3．联立方程组求出sin x的值，然后代入求出y的值，即可求出点P到x轴的距离．本题主要考查三角函数的应用，联立方程组求出sin x的值是解决本题的关键．11.【答案】【解析】解：∵5a=8b，A=2B，由正弦定理可得，5sin A=8sin B=5sin2B，∴10sin B cosB=8sin B，∵sin B≠0，∴cos B=，∴sin B==，∴sin A===，cos A=cos2B=2cos2B-1=，则sin（A-）==，故答案为：．由已知结合正弦定理可求cos B，结合同角平方关系可求sin B=进而可求sin A，cos A，再结合两角差的正弦公式可求sin（A-）．本题主要考查了正弦定理，同角平方关系及两角差正弦公式，二倍角公式的简单应用，属于中档试题．12.【答案】[-，]【解析】解：根据题意，若△ABC为等腰直角三角形，其中C为直角顶点且|AB|=2，则C到AB的距离为=1，若圆O：x2+y2=1上存在点C，使得△ABC为等腰直角三角形，则圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解可得：-≤a≤，即a的取值范围[-，]；故答案为：[-，]．根据题意，由直角三角形的性质分析可得C到AB的距离为=1，结合直线与圆的位置关系可得圆心O到直线l的距离d≤2，即有≤2，解得a的取值范围，即可得答案．本题考查直线与圆的位置关系，涉及点到直线的距离公式，属于基础题．13.【答案】-【解析】解：以A为原点，AC为x轴建立如图所示的直角坐标系：则B（0，2），C（1，0），D（，1），E（，），设直线PQ的方程为：+=1，则由E在直线PQ上，得+=1，（a＞0，b＞0），∴Q（a，0），P（0，b）．•=（a-0，-2）•（-1，b）=-a-2b=-（a+2b），∵（a+2b）（+）=+1++≥+2=，∴•=-（a+2b）≤-=-，故答案为：-．建立直角坐标系，利用向量的坐标运算以及基本不等式可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．14.【答案】（1，+∞）【解析】解：已知函数f（x）=x2+|x-a|，g（x）=（2a-1）x+a ln x，若函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，转换成利用函数f（x）-g（x）的零点个数为2个求解，①a＜0时，h（x）=f（x）-g（x）很显然，a＜0，h（x）=f（x）-g（x）单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②a＞0时，令h（x）=f（x）-g（x）=x2+|x-a|-（2a-1）x-a ln x=，可以求得a＞0时，h（x）=0由两个零点时，h（a）＜0，解得：a＞1，所以a＞1，故实数a的取值范围为（1，+∞）；函数y=f（x）与函数y=g（x）的图象恰好有两个不同的交点，可转换成利用函数f（x）-g（x）的零点个数为2个即可求解．本题考查函数的交点，选取分类讨论法是解决本题的关键，属于中档题．15.【答案】解：（1）证明：因为E，F分別为BD，CD的中点，所以EF∥BC，又BC⊂面ABC，所以EF∥面ABC，（2）证明：因为AC⊥BC，AC⊥DC，所以AC⊥面BCD，又BD⊂面BCD，所以BD⊥AC，又BC=DC，E为BD的中点．所以BD⊥CE，又AC∩CE=C，所以BD⊥面ACE，命题得证【解析】（1）由线面平行的判定得：因为E，F分別为BD，CD的中点，所以EF∥BC，又BC⊂面ABC，所以EF∥面ABC，（2）由线面垂直的判定定理得：因为BD⊥AC，BD⊥CE，又AC∩CE=C，所以BD⊥面ACE ，命题得证．本题考查了线线平行、线面平行的判定及线线垂直，线面垂直的判定定理，属中档题．16.【答案】解：（1），+2sin2α=2；∴；又；∴与的夹角为；（2）∵；∴；∴λ=2．【解析】考查根据向量坐标求向量长度的方法，向量坐标的数量积运算，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围．属于基础题.（1）根据向量的坐标即可求出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角；（2）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出实数λ．17.【答案】解：（1）以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴，不妨设f（x）=ax2+40，∵直路AB长为40米，∴B（20，0），∴0=400a+40，解得a=-，∴f（x）=-x2+40，∵C到抛物线的对称轴的距离为m米，到直路AB的距离为n米，∴n=-m2+40，0≤m≤20；（2）由（1）可得CD=2m，AB=40，∴S梯形ABCD=（2m+40）n=（m+20）（-m2+40）=-m3-2m2+40m+800设g（m）=-m3-2m2+40m+800，0≤m≤20∴g′（m）=-m2-4m+40=-（3m-20）（m+20），0≤m≤20令g′（m）=0，解得m=，当0≤m＜时，g′（m）＞0，函数g（m）单调递增，当＜m≤20时，g′（m）＜0，函数g（m）单调递减，∴g（m）max=g（）=（+20）（-×+40）=答：当m=时，腰梯形草坪ABCD的面积最大，其最大值为．【解析】本题考查了函数在实际生活中的应用，考查了导数求函数的最值，考查了分析问题，解决问题的能力，属于中档题．（1）以AB的为x轴，以PO所在的直线的为y轴，不妨设f（x）=ax2+40，求出a的值，即可得到n关于m的函数关系式，（2）S梯形ABCD=-m3-2m2+40m+800，设g（m）=-m3-2m2+40m+800，0≤m≤20，利用导数求出函数的最值即可．18.【答案】（1）解：（1）由题可得e==，，解得a=2，c=，则b2=a2-c2=1．由此椭圆的标准方程为：+y2=1．（2）证明：设直线PB的方程为：y=k1（x-t），设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意，可得：由整理，得：（1+4）x2-8k t•x+4（k2t2-1）=0，∴x1+x2=，x1x2=，∵==．同理，可得：．∴====．再设直线PD的方程为：y=k2（x-t），设C（x3，y3），D（x4，y4），则由上面过程同理，可得到：．∴==．∵k1和k2是定值．∴是定值．∴为定值．【解析】（1）由题设条件推导出e==，所以，由此能求出椭圆的标准方程．（2）分别设出两条直线方程，然后与椭圆的标准方程+y2=1联立，通过设而不求的方法消去不定的值t，剩下的算式只与定值k1和k2有关，最终得证．本题第（1）主要考查椭圆的离心率和准线方程以此得到椭圆的标准方程；第（2）主要考查平面解析几何中的设而不求的方法来判断定值问题，本题属中档题．19.【答案】解：（1）f′（x）=ln x++a，f′（1）=a+2=-1，a=-3，（1分）f（1）=a=-3，将点（1，-3）代入x+y+b=0，解得b=2．（2分）（2）①因为g（x）=（+1）ln x-1，则g′（x）=-+=．（3分）令φ（x）=x-ln x+1，则φ′（x）=1-≥0，函数φ（x）在区间[1，e]上单调递增．（5分）因为φ（x）≥φ（1）＞0，（6分）所以g′（x）＞0，函数g（x）在区间[1，e]上单调递增，所以函数g（x）的最大值为g（e）=．（8分）②同理，单调增函数g（x）=∈[a，a+1+]，（9分）则h（x）=•．1°若a≥0，g（x）≥0，h（x）=，h′（x）=≤0，令u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1，则u′（x）=-（1+2x）ln x--（2a+1）x＜0，即函数u（x）区间在[1，e]上单调递减，所以u（x）max=u（1）=-a+2≤0，所以a≥2．（11分）2°若a≤-，g（x）≤0，h（x）=-，由1°知，h′（x）=，又函数h（x）在区间[1，e]上是单调减函数，所以u（x）=-（1+x+x2）ln x-ax2+x+1≥0对x∈[1，e]恒成立，即ax2≤x+1-（1+x+x2）ln x对x∈[1，e]恒成立，即a≤+-ln x对x∈[1，e]恒成立．令φ（x）=+-ln x，x∈[1，e]，φ′（x）=---（-）ln x-（++1）=---+（+）ln x，记μ（x）=ln x-x+1（1≤x≤e），又μ′（x）=-1=≤0，所以函数μ（x）在区间[1，e]上单调递减，故μ（x）max=μ（1）=0，即ln x≤x-1，所以φ′（x）=---+（+）ln x≤---+（+）ln x（x-1）=--＜0，即函数φ（x）在区间[1，e]上单调递减，所以φ（x）min=φ（e）=+-（++1）ln e=-1，所以a≤φ（x）min=-1，又a≤-，所以a≤-．（13分）3°若-＜a＜0，因为g（x）==（1+）ln x+a，g′（x）=-+=≥=＞0，所以函数g（x）=在区间[1，e]上单调递增．又g（1）g（e）=a（a+1+）＜0，则存在唯一的x0∈（1，e），使得h（x0）==0，所以函数h（x）在区间[1，e]上不单调．（15分）综上，实数a的取值范围为（-∞，-1-]∪[2，+∞）．（16分）【解析】（1）f′（x）=ln x++a，f′（1）=a+2=-1，解得a．f（1）=-3，将点（1，-3）代入x+y+b=0，解得b．（2）①g（x）=（+1）ln x-1，可得g′（x）=-+=．令φ（x）=x-ln x+1，利用导数研究其单调性即可得出最值．②同理，单调增函数g（x）=∈[a，a+1+]，h（x）=•．对a分类讨论，研究其单调性最值即可得出．本题考查了利用导数研究其单调性、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.【答案】解：（1）等差数列1，3，5不是P数列，由于其中3，5不满足3×5或仍在数列中；（2）数列a，b，c，6是P数列，所以1=a＜b＜c＜6，由于6b或是数列中的项，而6b大于数列中的最大项6，则是数列中的项，同理也是数列中的项，考虑到1＜＜＜6，于是=b，=c，即bc=6，又1＜b＜c，所以1＜b＜，综上，b的取值范围是（1，）．（3）证明：数列{b n}是P数列，所以1=b1＜b2＜b3＜…＜b n，由于b2b n或是数列中的项，而b2b n大于数列中的最大项b n，则是数列{b n}中的项，同理，，…，，也都是数列{b n}中的项，考虑到1＜＜…＜＜b n，且1，．…，，b n这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，b n中的项，∴=b2，…，=b n-1，从而b n=b i b n+1-i（i =1，2，…，n-1），①又∵b n-1b3＞b n-1b2=b n，所以b n-1b3不是数列{b n}中的项，∴是数列{b n}中的项，同理，…也都是数列{b n}中的项，考虑到1＜＜…＜＜＜=b n-2＜b n-1＜b n，且1，，…，，，，b n-1，b n这n个数全是共有n项的增数列1，b2，…，b n中的项，于是，同理有，b n-1=b i b n-i（i=1，2，…，n-2），②在①中将i换成i+1后与②相除，得=，i=1，2，…，n-2，∴b1，b2，…，b n是等比数列．【解析】（1）由新定义考虑3，5两个元素不符题意，即可判断；（2）由P数列，可得1＜b＜c＜6，即有bc=6，进而得到b的范围；（3）由数列为P数列，考虑b n与b2，b3，…，b n-1，的比在数列中，推得b n=b i b n+1-i（i =1，2，…，n-1），①，b n-1=b i b n-i（i=1，2，…，n-2），②，再由等比数列的定义，即可得证．本题考查数列的新定义的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和性质，以及分类讨论思想方法，考查运算能力和推理能力，属于综合题．21.【答案】解：由特征值与特征向量的定义，可知：Aα=-1•α．即：•=-1•整理，得：=∴，解得：．∴A=．∵矩阵A的特征多项式f（λ）==（λ+3）（λ+1）．令f（λ）=0，即（λ+3）（λ+1）=0，解得：λ=-1，或λ=-3．∴矩阵A的另一个特征值为-3．【解析】本题可根据特征值与特征向量的定义写出算式Aα=-1•α，然后将矩阵代入计算可得x、y的值，然后写出矩阵A的特征多项式f（λ），令f（λ）=0即可找到矩阵A的另一个特征值．本题主要考查根据特征值与特征向量的定义式计算出矩阵中的参数，然后根据矩阵的特征多项式计算出矩阵的另一个特征值．本题属中档题．22.【答案】解：由ρsin（θ-）=0得ρsinθcos-ρcosθ=0，即y=x，由消去t得y2-x2=1，联立解得A（，），B（-，-），∴|AB|===2．【解析】由ρsin（θ-）=0得ρsinθcos-ρcosθ=0，即y=x，消去参数t可得曲线C的直角坐标方程，联立直线l与曲线C可解得A，B的坐标，再用两点间的距离公式可得|AB|．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意x∈R恒成立⇔（|x+1|+|x-a|）min≥5，∵|x+1|+|x-a|≥|x+1-（x-a）|=|1+a|，∴|a+1|≥5，即a≥4或a≤-6，所以实数a的取值范围为：（-∞，-6]∪[4，+∞）．【解析】不等式|x+1|+|x-a|≥5对任意x∈R恒成立⇔（|x+1|+|x-a|）min≥5，由绝对值不等式的性质，可得最小值，解不等式即可得到所求a的范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的性质的运用，以及不等式恒成立思想的运用，考查运算能力，属于中档题．24.【答案】解：由于批量较大，可以认为随机变量X～B（10，0.05），（1）恰好有2件不合格的概率为P（X=2）=×0.052×0.958，恰好有3件不合格的概率为P（X=3）=．因为P（X=2）÷{P（X=3）}==＞1，所以P（X=2）＞P（X=3），即恰好有2件不合格的概率大．（2）因为P（X=k）=，（k=0，1，2，…，10）．随机变量X的概率分布为：X012 (910)P…故E（X）==10×0.05=0.5故随机变量X的期望为E（X）=0.5【解析】（1）随机变量X服从二项分布，利用二项分布的概率公式求出恰好有2件不合格的概率P（X=2）”和“恰好有3件不合格的概率P（X=3）”比较即可．（2）确定X的取值从0到10，按照二项分布的概率公式求出X每个取值对应的概率，列出分布列，求期望．本题考查了二项分布及其期望的求法，主要考查简单的计算，二项分布的期望为np（p 为成功概率），属于中档题．25.【答案】解：（1）f（2）==，f（3）==，g（2）=，g（3）==（2）∵====，∴h（n）=f（n）-g（n）==，下面用数学归纳法证明：对对任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞．当m=2时，h（4）=++=，当m=3时，h（8）=+++＞+=+＞1，假设当m=t，t≥2，总有h（2t）＞．则当m=t+1，h（2t+1）=h（2t）+++…+＞+（+）++ +…+∵t≥3时，+-=＞0，∴+＞，又++…+＞++…+=，∴h（2t+1）＞++=，即当m=t+1时，命题成立，综上命题对任意的任意的m∈N*，m≥2，总有h（2m）＞成立．【解析】（1）利用n=2，n=3直接代入求解即可．（2）先化简，求出h（n）=f（n）-g（n）的表达式，利用数学归纳法进行证明即可．本题主要考查函数与不等式的证明，求出函数的表达式，利用数学归纳法以及结合组合数公式的性质进行证明是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．。

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江苏省苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试（一）
数学
2012.3
1.已知集合{}3,2,1=A ，集合{}4,3=B ，则=B A .
2.已知复数i z 21-=（i 为虚数单位），则=2z .
3.已知命题:p 直线a ，b 相交，命题:q 直线a ，b 异面，则p ⌝是q 的条件.
4.某公司为了改善职工的出行条件，随机抽取100名职工，调查了他们的居住地与公司间的距离d （单位：千米）.由其数据绘制的频率分布直方图如图所示，则样本中职工居住地与公司间的距离不超过4千米的人数为 .
5.如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值=x .
Read x
If 0≥x Then 13)(2
--←x x x f Else
)5(log )(2+←x x f End If Print )(x f
6.已知角α（πα20<≤）的终边过点)3
2cos ,32(sin
ππP ，则=α .
7.写出一个满足1)()()(-+=y f x f xy f （x ，0>y ）的函数=)(x f .
8.已知点M 与双曲线19
162
2=-y x 的左，右焦点的距离之比为3:2，则点M 的轨迹方程
为 .
9.先后投掷一颗质地均匀的骰子两次，得到其向上的点数分别为m ，n ，设向量),(n m =，
5<的概率为 .
10.等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 .
11.已知a ，b 为正实数，函数x
bx ax x f 2)(3++=在[]1,0上的最大值为4，则)(x f 在
[]0,1-上的最小值为 .
12.如图，已知二次函数c bx ax y ++=2
（a ，b ，c 为实数，0≠a ）的图象过点)2,(t C ，
且与x 轴交于A ，B 两点，若BC AC ⊥，则a 的值为 .
13.设)(n u 表示正整数n 的个位数，)()(2n u n u a n -=，则数列{}n a 的前2012项和等于 .
14.将函数3322-++-=x x y （[]2,0∈x ）的图象绕坐标原点逆时针旋转θ（θ为锐角），若所得曲线仍是一个函数的图象，则θ的最大值为 .
二．解答题：本大题共6小题，共90分。

15.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量)sin ,2
cos
2(C C
-=，)sin 2,2
(cos
C C
n =，且.⊥ （1）求角C 的大小；（2）若2
222c b a +=，求A tan 的值.
16.如图1所示，在ABC Rt ∆中，6=AC ，3=BC ，︒=∠90ABC ，CD 为ACB ∠的平分线，点E 在线段AC 上，4=CE .如图2所示，将BCD ∆沿CD 折起，使得平面⊥BCD 平面ACD ，连结AB ，设点F 是AB 的中点. （1）求证：⊥DE 平面BCD ；
（2）若//EF 平面BDG ，其中G 为直线AC 与平面BDG 的交点，求三棱锥DEG B -的体积.
17.如图，两个圆形飞轮通过皮带传动，大飞轮1O 的半径为r 2（r 为常数），小飞轮2O 的半径为r ，r O O 421=.在大飞轮的边缘上有两个点A ，B ，满足3
1π
=
∠A BO ，在小飞轮的边
缘上有点C .设大飞轮逆时针旋转一圈，传动开始时，点B ，C 在水平直线21O O 上. （1）求点A 到达最高点时A ，C 间的距离；（2）求点B ，C 在传动过程中高度差的最大值.
18.如图，已知椭圆125100:
2
2=+y x E 的上顶点为A ，直线4-=y 交椭圆E 于点B ，C （点B 在点C 的左侧），点P 在椭圆E 上.
（1）若点P 的坐标为)4,6(，求四边形ABCP 的面积；（2）若四边形ABCP 为梯形，求点P 的坐标；
（3）若n m ⋅+⋅=（m ，n 为实数），求n m +的最大值.
19.数列{}n a 中，11=a ，22=a .数列{}n b 满足n n n n a a b )1(1-+=+，.+∈N n （1）若数列{}n a 是等差数列，求数列{}n b 的前6项和6S ；（2）若数列{}n b 是公差为2的等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（3）若0122=--n n b b ，n n n b b 2
6
212=++，+∈N n ，求数列{}n a 的前n 2项的和.2n T
20.若斜率为k 的两条平行直线l ，m 经过曲线C 的端点或与曲线C 相切，且曲线C 上的所有点都在l ，m 之间（也可在直线l ，m 上），则把l ，m 间的距离称为曲线C 在“k 方向上的宽度”，记为).(k d
（1）若曲线)21(12:2
≤≤--=x x y C ，求)1(-d ；
（2）已知2>k ，若曲线)21(:3
≤≤--=x x x y C ，求关于k 的函数关系式).(k d。