2014年初中数学组卷 10
2014年3月yuxs的初中数学组卷
一．选择题（共8小题）1．（2013•杭州一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图；（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①当0＜t≤5时，y=t2；②当t=6秒时，△ABE≌△PQB；③cos∠CBE=；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的是（）2．如图，梯形ABCD中AB∥CD，∠DAB=90°，AB=4CD，E是腰BC上一点，CE=CD，过点E作EF⊥BC交AD 于点F，若F是AB的中点，则下列结论：①AE⊥DE；②AB=AD；③tan∠EFD=；④S△ABE=16S△CDE；其中正确结论的个数是（）3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．则下列结论：①若∠MFC=120°，则∠MAB=30°；②∠MPB=90°﹣∠FCM；③△ABM∽△CEF；④S梯形AMCD﹣2S△EFC=3S△MFC，正确的是（）4．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2=PB•EF；③PF•EF=2AD2；④EF•EP=4AO•PO．其中正确的是（）5．如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE，过E作EF∥CD交BC于F．下列结论：①BE=EC；②BC2=AC•DC；③S△BEC：S△BEA=2：1；④EF=AD；⑤sin∠BCA=．其中正确结论的个数有（）6．四边形ABCD为直角梯形，AD：BC=2：3，E为DC边上的中点，连接AE交BD于H点，过点H作HN⊥AD 于N，NH的延长线交BC于点M，则：①AH：HE=4：3；②M为BC的中点；③S四边形BHEC﹣S△ABH=2S△AHD，则正确的结论有（）7．如图，在正方形ABCD中，E为正方形ABCD内一点，且∠AEB=90°，tan∠BAE=，将△ABE绕点B逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF、AC、CE，G为AE的中点，连接CG．有下列结论：①△BEF为等腰直角三角形；②S正方形ABCD=8S△ECG；③∠ECB=∠CAG；④CG=AD．其中正确结论的个数是（）8．如图，△ABC为等边三角形，BD=DE，∠BDE=120°，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG．下列结论：①CG=DE；②若DE∥BC，则△ABH∽△GBD；③在②的条件下，若CE⊥BC，则．其中正确的有（）二．填空题（共10小题）9．（2013•丰台区二模）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时，①如图①，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；②如图②，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O不是AC中点时，如图③，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，求的值．10．（2013•鞍山一模）李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m=时，n=_________．11．（2012•绍兴三模）在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q同时从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC 向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F（如图）．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒），则：（1）当t=_________时，四边形PABQ是平行四边形；（2）当t=_________时，△PQF是等腰三角形．12．（2012•南安市质检）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG 重叠部分（即阴影部分）的面积为_________；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，该三角形纸片直角顶点的坐标是_________．13．（2012•合川区模拟）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边做等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为．其中正确的是_________．14．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①=；②点F是GE的中点；③∠ADF=∠CDB；④AF=AB，其中正确的结论序号是_________．15．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．16．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ∽△PHA，则点P的坐标为_________．17．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q 分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？（2）当t为何值时，PQ⊥OB？（3）当t为何值时，PQ∥AB？（4）当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？18．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，s10= _________；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是_________．三．解答题（共12小题）19．（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．20．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？21．（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出的值．22．（2013•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C 的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作▱CDEF．（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．23．（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．24．（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．（1）求证：△ADP∽△ABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．25．（2013•台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）26．（2013•宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．（1）证明△AMF是等腰三角形；（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．27．（2013•汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=6，在三角板DEF中，∠FDE=90°，DF=4，DE=．将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上．现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动．（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则∠EMC=_________度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围．28．（2013•南京）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相同，因此△ACB和△A′B′C′互为顺相似；如图②，△ABC∽△A′B′C′，且沿周界ABCA与A′B′C′A′环绕的方向相反，因此△ACB和△A′B′C′互为逆相似．（1）根据图Ⅰ，图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件．可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ；其中，互为顺相似的是_________；互为逆相似的是_________．（填写所有符合要求的序号）．（2）如图③，在锐角△ABC中，∠A＜∠B＜∠C，点P在△ABC的边上（不与点A，B，C重合）．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．29．（2013•绵阳）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比．面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题：（1）若O是△ABC的重心（如图1），连结AO并延长交BC于D，证明：；（2）若AD是△ABC的一条中线（如图2），O是AD上一点，且满足，试判断O是△ABC的重心吗？如果是，请证明；如果不是，请说明理由；（3）若O是△ABC的重心，过O的一条直线分别与AB、AC相交于G、H（均不与△ABC的顶点重合）（如图3），S四边形BCHG，S△AGH分别表示四边形BCHG和△AGH的面积，试探究的最大值．30．（2013•哈尔滨）已知：△ABD和△CBD关于直线BD对称（点A的对称点是点C），点E，F分别是线段BC 和线段BD上的点，且点F在线段EC的垂直平分线上，连接AF，AE，AE交BD于点G．（1）如图1，求证：∠EAF=∠ABD；（2）如图2，当AB=AD时，M是线段AG上一点，连接BM，ED，MF，MF的延长线交ED于点N，∠MBF=∠BAF，AF=AD，试探究FM和FN之间的数量关系，并证明你的结论．2014年3月yuxs的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．（2013•杭州一模）如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P以1cm/秒的速度沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q以2cm/秒的速度沿BC运动到点C时停止．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图；（2）（其中曲线OG为抛物线的一部分，其余各部分均为线段），则下列结论：①当0＜t≤5时，y=t2；②当t=6秒时，△ABE≌△PQB；③cos∠CBE=；④当t=秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的是（）2==．==tBQ PF=×t=t中，，t=PD=﹣﹣，=，=，==，=2．如图，梯形ABCD中AB∥CD，∠DAB=90°，AB=4CD，E是腰BC上一点，CE=CD，过点E作EF⊥BC交AD 于点F，若F是AB的中点，则下列结论：①AE⊥DE；②AB=AD；③tan∠EFD=；④S△ABE=16S△CDE；其中正确结论的个数是（）EFD=是矩形，，，==8CD，ABC==3．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°．点E是DC的中点，过点E作DC的垂线交AB于点P，交CB的延长线于点M．点F在线段ME上，且满足CF=AD，MF=MA．则下列结论：①若∠MFC=120°，则∠MAB=30°；②∠MPB=90°﹣∠FCM；③△ABM∽△CEF；④S梯形AMCD﹣2S△EFC=3S△MFC，正确的是（）BMP=∠∠∠4．如图，矩形ABCD中，E为DC的中点，AD：AB=：2，CP：BP=1：2，连接EP并延长，交AB的延长线于点F，AP、BE相交于点O．下列结论：①EP平分∠CEB；②BF2=PB•EF；③PF•EF=2AD2；④EF•EP=4AO•PO．其中正确的是（）CP=x BP= AD=CP=BP=CE==，=xx2（EP=2PC=PAB=PO=EP=2×x5．如图，在△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE，过E作EF∥CD交BC于F．下列结论：①BE=EC；②BC2=AC•DC；③S△BEC：S△BEA=2：1；④EF=AD；⑤sin∠BCA=．其中正确结论的个数有（）CE=BE=×））ADBD=（BCA==6．四边形ABCD为直角梯形，AD：BC=2：3，E为DC边上的中点，连接AE交BD于H点，过点H作HN⊥AD 于N，NH的延长线交BC于点M，则：①AH：HE=4：3；②M为BC的中点；③S四边形BHEC﹣S△ABH=2S△AHD，则正确的结论有（）×S=BM=FG=FE=BC×=×SFE=×=S×S××S﹣（+×）S﹣S7．如图，在正方形ABCD中，E为正方形ABCD内一点，且∠AEB=90°，tan∠BAE=，将△ABE绕点B逆时针旋转90°得到△CBF，连接EF、AC、CE，G为AE的中点，连接CG．有下列结论：①△BEF为等腰直角三角形；②S正方形ABCD=8S△ECG；③∠ECB=∠CAG；④CG=AD．其中正确结论的个数是（）”BAE=BE×××BE=BC8．如图，△ABC为等边三角形，BD=DE，∠BDE=120°，连接CE，F为CE的中点，连接DF并倍长，连接AD、CG、AG．下列结论：①CG=DE；②若DE∥BC，则△ABH∽△GBD；③在②的条件下，若CE⊥BC，则．其中正确的有（）GD=的值转化为求的GD==即=；二．填空题（共10小题）9．（2013•丰台区二模）在Rt△ABC中，AB=BC，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O放在斜边AC上，将三角板绕点O旋转．（1）当点O为AC中点时，①如图①，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，连接EF，猜想线段AE、CF与EF之间存在的等量关系（无需证明）；②如图②，三角板的两直角边分别交AB，BC延长线于E、F两点，连接EF，判断①中的猜想是否成立．若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O不是AC中点时，如图③，三角板的两直角边分别交AB，BC于E、F两点，若，求的值．，∠10．（2013•鞍山一模）李老师从“淋浴龙头”受到启发，编了一个题目：在数轴上截取从0到3的对应线段AB，实数m对应AB上的点M，如图1；将AB折成正三角形，使点A，B重合于点P，如图2；建立平面直角坐标系，平移此三角形，使它关于y轴对称，且点P的坐标为（0，2），PM与x轴交于点N（n，0），如图3．当m=时，n=4﹣2．，﹣，=，即．．11．（2012•绍兴三模）在直角梯形OABC中，OA∥BC，A、B两点的坐标分别为A（13，0），B（11，12），动点P、Q同时从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC 向C运动，当点P停止运动时，点Q同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F（如图）．设动点P、Q运动时间为t（单位：秒），则：（1）当t=时，四边形PABQ是平行四边形；（2）当t=2或1或时，△PQF是等腰三角形．）根据平行线分线段成比例求得=；然后由平行线分线段成比例求得；利t=）∵=，=t=；t=或时，故答案为：或12．（2012•南安市质检）在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为（1，1）．将一个最短边长大于的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．（1）如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为；（2）若三角形纸片的直角顶点不与点O、F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，该三角形纸片直角顶点的坐标是（，）或（1﹣，1﹣）．的面积为OD=OA=的坐标为的面积为时，，）S=OE；故答案是：的面积为时，易证得四边形OD=OA=，）的面积为时，易证得四边形的坐标为，，），，）13．（2012•合川区模拟）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=1，E为直角边AB上任意一点，以线段CE为斜边做等腰Rt△CDE，连接AD，下列说法：①AC⊥ED；②∠BCE=∠ACD；③△AED∽△ECB；④AD∥BC；⑤四边形ABCD面积的最大值为．其中正确的是②④⑤．BC====；×=14．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下四个结论：①=；②点F是GE的中点；③∠ADF=∠CDB；④AF=AB，其中正确的结论序号是③④．AG=AB===ABAG=AD=BCAC=15．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A、B的坐标为（6，0），（6，8）．动点M、N分别从O、B同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，其中，点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动，过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒．（1）用含x的代数式表示P的坐标（直接写出答案）；（2）设y=S四边形OMPC，求y的最小值，并求此时x的值；（3）是否存在x的值，使以P、A、M为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由．+8=x××t=﹣﹣（﹣==AP=x=，即=，解得时，=，解得x=秒时以16．已知：直角梯形OABC中，CB∥OA，对角线OB和AC交于点D，OC=2，CB=2，OA=4，点P为对角线CA 上的一点，过点P作QH⊥OA于H，交CB的延长线于点Q，连接BP，如果△BPQ∽△PHA，则点P的坐标为（，）．x+2，﹣﹣PQ=x+2（（﹣x+2x，，，），），）17．如图，在平面直角坐标系中，点C的坐标是（0，3），点A的坐标是（8，0），点B的坐标是（4，3），P、Q 分别是x、y轴上的两个动点，点P从C出发，在线段CB上以1个单位/秒的速度向点B移动，点Q从A出发，在线段AO上以2个单位/秒的速度向点O 移动．设点P、Q同时出发，运动的时间为t（秒）（1）当t为何值时，PQ平分四边形OABC的面积？（2）当t为何值时，PQ⊥OB？（3）当t为何值时，PQ∥AB？（4）当t为何值时，△OPQ是等腰三角形？====t=，t=t=，t=t=t=t=t=18．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C=Rt∠，AC=BC=2，在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形称为第1次剪取，记所得正方形面积为s1（如图1）；在余下的Rt△ADE和Rt△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为s2（如图2）；继续操作下去…；则第10次剪取时，s10=；第2012次剪取后，余下的所有小三角形的面积之和是．﹣=﹣==S=；=和三．解答题（共12小题）19．（2013•遵义）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．（）（∴根据勾股定理，得时，=，即=t=时，=，即=t==，即=PH=ו）+t=．t=时，四边形有最小值，其最小值是20．（2013•永州）如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在，请说明理由；（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（3）若AB=9，CD=4，BD=15，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D 三点为顶点的三角形相似？并求BP的长；（4）若AB=m，CD=n，BD=l，请问m，n，l满足什么关系时，存在以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似的一个P点？两个P点？三个P点？和相似三角形的判定得出当=或时，使以和相似三角形的判定得出当=或时，使以和相似三角形的判定得出当=或时，使以和相似三角形的判定得出当=或时，使以=或==或②=，BP=时，以=或==或②=，BP=或或=或==或②=，BP=或或=或==或②=，21．（2013•武汉）已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：；（2）如图②，若四边形ABCD是平行四边形．试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得成立？并证明你的结论；（3）如图③，若BA=BC=6，DA=DC=8，∠BAD=90°，DE⊥CF．请直接写出的值．时，=成立，=，得出=CM=xx CN==时，======成立．）解：===xxx，==．22．（2013•温州）如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（6，0），B（0，8），点C的坐标为（0，m），过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴上的一动点，连接CD，DE，以CD，DE为边作▱CDEF．（1）当0＜m＜8时，求CE的长（用含m的代数式表示）；（2）当m=3时，是否存在点D，使▱CDEF的顶点F恰好落在y轴上？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点D在整个运动过程中，若存在唯一的位置，使得▱CDEF为矩形，请求出所有满足条件的m的值．=，即=CE=﹣CE=﹣=即．，，CP=CE=﹣mBAO=GCP=（m﹣m OG=OC+CG=m+m=m+=﹣m；=，即=﹣﹣mmm=﹣．或或﹣或﹣．23．（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．=，则易求=，即==，×2==′的坐标是（，24．（2013•泰州）如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．（1）求证：△ADP∽△ABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值；（3）若AD=10，AB=a，DP=8，随着a的大小的变化，点M的位置也在变化．当点M落在矩形ABCD外部时，求a的取值范围．，解得MN=PC=（x（BC=x x xx（的最小值为，解得QB=BE=．MN=PC=（＞（25．（2013•台州）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，求证：△ABC是“好玩三角形”；（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求的值；②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．（4）（本小题为选做题，作对另加2分，但全卷满分不超过150分）依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1），可以求出分情况讨论，就可以求出的值，当的值；②根据①求出的两个，，xAC=x=MPMN。
2014年10月初中数学圆与铅垂高组卷
2014年10月初中数学圆与铅垂高组卷一．选择题（共15小题）1．（2013•泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（）转45°度后得到△AB′C′，点B经过的路径为弧BB′，若∠BAC=60°，AC=1，．B．C．D矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°得到矩形A′B′CD′，则AD边扫过的面积（阴影部分）为（）A．πB．πC．πD．π的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是（）A．﹣B．﹣C．π﹣D．π﹣两个端点，交直角边AC于点E，B、E是半圆弧的三等分点，弧BE的长为π，则图中阴影部分的面积为（）A．B．C．D．AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分面积是（）．8．（2010•龙湖区模拟）如图，图中正方形ABCD的边长为4，则图中阴H分别为边AB，AC的中点，将△ABC绕点B顺时针旋转120°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积（即阴影部分面积）．B．C．10．（2007•泰安）如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB=90度．曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中，，，…的圆心依次按A，B，C循环．如果AC=1，那么曲线CDEF和线段CF围成图形的面积为（）．B．C．D．相等的图形个数是（）A．0B．2C．3D．4．﹣a2+πa2B．2（a2﹣πa2）C．﹣a2+πa2D．a2﹣πa2圆，过点B，A，C作，如图所示．若AB=4，AC=2，S1﹣S2=，则S3﹣S4的值是（）．B．C．D．15．（2013•德州）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直．B．C．D．16．（2013•乐山）如图，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为_________．17．（2013•宿迁）如图，AB是半圆O的直径，且AB=8，点C为半圆上的一点．将此半圆沿BC所在的直线折叠，若圆弧BC恰好过圆心O，则图中阴影部分的面积是_________．（结果保留π）18．如图，小半圆的圆心在大半圆的直径DE上，大半圆的弦AB与小半圆相切于点C，且AB∥CD，AB=4cm，阴影部分的面积_________．三．解答题（共12小题）19．（2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．（1）求证：ON是⊙A的切线；（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）20．（2013•贵阳）已知：如图，AB是⊙O的弦，⊙O的半径为10，OE、OF 分别交AB于点E、F，OF的延长线交⊙O于点D，且AE=BF，∠EOF=60°．（1）求证：△OEF是等边三角形；（2）当AE=OE时，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）21．（2013•绵阳）如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交⊙O于E，连接CE．（1）判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；（2）若E是的中点，⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积．22．（2006•平凉）如图是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦关与小半圆相切，且AB=24．问：能求出阴影部分的面积吗？若能，求出此面积；若不能，试说明理由．23．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图是某汽车的一个雨刷器的转动示意图，雨刷器杆AB与雨刷CD在B处固定连接（不能转动），当杆AB绕A点转动90°时，雨刷CD扫过的面积如图所示，现量得：CD=80cm、∠DBA=20°，AC=115cm，DA=35cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．24．（2006•湖州）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将△AOC 沿AC翻折得△APC．（1）填空：∠PCB=_________度，P点坐标为_________；（2）若P，A两点在抛物线y=﹣x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由．25．（2009•十堰）如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A （1，0）和点B（﹣3，0），与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．26．（2013•枣庄）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P 点的坐标和四边形ABPC的最大面积．27．（2010•绵阳）如图，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的两个交点分别为A （﹣4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，△EFK 的面积最大？并求出最大面积．28．（2007•昆明）如图，在直角坐标系中，点A的坐标为（﹣2，0），连接OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB．（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P是（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB 是否有最大面积？若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．（注意：本题中的结果均保留根号）．29．（2009•益阳）阅读材料：如图1，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图2，抛物线顶点坐标为点C（1，4），交x轴于点A（3，0），交y轴于点B．（1）求抛物线和直线AB的解析式；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P 点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）是否存在抛物线上一点P，使S△PAB=S△CAB？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．30．（2009•江津区）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B （﹣3，0）两点．（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．。
6.N边形的内角和
2014年06月21日25865971的初中数学组卷一．选择题（共10小题）5．（2012•深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（）6．（2010•泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE重叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）7．（2009•湛江）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）8．（2009•内江）如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）9．（2012•茂名）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个二．填空题（共3小题）11．（2008•连云港）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为_________．12．如图，在正六边形ABCDEF内放入2008个点，若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共_________个．13．一个n边形中，除了一个内角外，其余内角和是1020°，那么这个未知角是_________度，这个多形是_________边形．三．解答题（共11小题）14．我们知道，过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线把三角形分割成（n﹣2）个三角形．（1）请以三角形、四边形、五边形为切入点研究，找出规律，如图①；（2）如图②，在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？（3）想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理？15．（1）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求（m﹣k）n的值是多少？（2）如图，∠A=∠C，CD⊥AB于D，交AE于F，试判别∠AEB的度数吗？并说明理由．16．有两个多边形，这两个多边形的边数比为3：5．内角和的度数之比是1：2，求它们各自的边数．17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=？18．（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有_________个．（用含n的代数式表示）（2）若在如图4所示的n边形中，P是A1A n边上的点，分别连接PA2、PA3、PA4…PA n﹣1，得到n﹣1个互不重叠的三角形．你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由；（3）反之，若在四边形内部有n个不同的点，按照（1）中的方法可得k个互不重叠的三角形，试探究n与k的关系．19．一个正多边形的每个外角和与其相邻的内角的度数比为1：3，求这个正多边形的边数．20．如图，已知正五边形ABCDE的每一个角都相等．（1）求∠B；（2）连AC，若∠BAC=∠BCA，求∠ACD．21．（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．22．正六边形的中心角∠MON （=60°）绕中心O旋转．试证：无论中心角旋转到何种位置，阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的．23．（2008•西城区一模）如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．24．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于_________．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于_________，正方形的边长为_________；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于_________，正六边形的边长为_________．2014年06月21日25865971的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）5．（2012•深圳）如图所示，一个60°角的三角形纸片，剪去这个60°角后，得到一个四边形，则∠1+∠2的度数为（）6．（2010•泉州）如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D，E分别是边AB、AC上，将△ABC 沿着DE重叠压平，A与A'重合，若∠A=70°，则∠1+∠2=（）7．（2009•湛江）如图，小林从P点向西直走12米后，向左转，转动的角度为α，再走12米，如此重复，小林共走了108米回到点P，则α=（）8．（2009•内江）如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转20°，再前进5米后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点O时一共走了（）9．（2012•茂名）从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，若把这个多边形分割成6个边形的对角线共有=35二．填空题（共3小题）11．（2008•连云港）如图所示，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，…，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．12．如图，在正六边形ABCDEF内放入2008个点，若这2008个点连同正六边形的六个顶点无三点共线，则该正六边形被这些点分成互不重合的三角形共4020个．13．一个n边形中，除了一个内角外，其余内角和是1020°，那么这个未知角是60度，这个多形是八边形．三．解答题（共11小题）14．我们知道，过n边形的一个顶点可以作（n﹣3）条对角线，这（n﹣3）条对角线把三角形分割成（n﹣2）个三角形．（1）请以三角形、四边形、五边形为切入点研究，找出规律，如图①；（2）如图②，在n边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？（3）想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理？15．（1）过m边形的一个顶点有7条对角线，n边形没有对角线，k边形共有k条对角线，求（m﹣k）n的值是多少？（2）如图，∠A=∠C，CD⊥AB于D，交AE于F，试判别∠AEB的度数吗？并说明理由．对角线的总条数为③16．有两个多边形，这两个多边形的边数比为3：5．内角和的度数之比是1：2，求它们各自的边数．17．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=？18．（1）如图，在图1中，互不重叠的三角形共有3个，在图2中，互不重叠的三角形共有5个，在图3中，互不重叠的三角形共有7个，…，则在第n个图形中，互不重叠的三角形共有2n+1个．（用含n的代数式表示）（2）若在如图4所示的n边形中，P是A1A n边上的点，分别连接PA2、PA3、PA4…PA n﹣1，得到n﹣1个互不重叠的三角形．你能否根据这样的划分方法写出n边形的内角和公式并说明你的理由；（3）反之，若在四边形内部有n个不同的点，按照（1）中的方法可得k个互不重叠的三角形，试探究n与k的关系．19．一个正多边形的每个外角和与其相邻的内角的度数比为1：3，求这个正多边形的边数．=820．如图，已知正五边形ABCDE的每一个角都相等．（1）求∠B；（2）连AC，若∠BAC=∠BCA，求∠ACD．=108=3621．（1）如图①②，试研究其中∠1、∠2与∠3、∠4之间的数量关系；（2）如果我们把∠1、∠2称为四边形的外角，那么请你用文字描述上述的关系式；（3）用你发现的结论解决下列问题：如图③，AE、DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD、∠MDA的平分线，∠B+∠C=240°，求∠E的度数．∠∠DAE=（∠22．正六边形的中心角∠MON （=60°）绕中心O旋转．试证：无论中心角旋转到何种位置，阴影部分的面积总等于这个正六边形面积的．S23．（2008•西城区一模）如图，正六边形ABCDEF中，点M在AB边上，∠FMH=120°，MH与六边形外角的平分线BQ交于点H．（1）当点M不与点A、B重合时，求证：∠AFM=∠BMH．（2）当点M在正六边形ABCDEF一边AB上运动（点M不与点B重合）时，猜想FM与MH的数量关系，并对猜想的结果加以证明．∵APM=24．阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数．小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造△AP′C，连接PP′，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决．请你回答：图1中∠APB的度数等于150°．参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，则∠APB的度数等于135°，正方形的边长为；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，则∠APB的度数等于120°，正六边形的边长为．AE=PE=A=PA=2PA=×2AE=PE=×=正六边形的内角为×（AM=PA===2PM=2）2N=MN==×=，。
2014年5月29金天初中数学组卷
2014年5月29金天初中数学组卷一．选择题（共4小题）1．（2013•延安二模）定义[a，b，c]为函数y=ax2+bx+c的特征数，下面给．当m=﹣3时，函数图象的顶点坐标是（）．当m＞0时，函数图象截x轴所得的线段长度大于．当m≠0时，函数图象经过同一个点．当m＜0时，函数在x时，y随x的增大而减小意一点，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥CD于N，点Q是MN的中点，当点P沿着圆圈走过45°弧长时，点Q走过的路径长为（）A．B．C．D．放置，搬动时，先将扇形以B为圆心，作如图所示的无滑动翻转，再使它紧贴地面滚动，当A、B两点再次触地时停止，半圆的直径为6m，则圆心A．6πB．8πC．10πD．12π4．（2013•义乌市）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），顶点坐标为（1，n），与y轴的交点在（0，2）、（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①当x＞3时，y＜0；②3a+b＞0；③﹣1≤a≤﹣；④3≤n≤4中，正确的是（）5题图A．①②B．③④C．①④D．①③二．填空题（共5小题）5．（2013•吴江市模拟）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点B（﹣3，0），C（1，0），与y轴相交于点4（0，﹣3），O为坐标原点．点M为y 轴上的动点，当点M运动到使∠OMC+∠OAC=∠ABC时，AM的长度为_________．6．（2012•泰安）如图，在平面直角坐标系中，有若干个横坐标分别为整数的点，其顺序按图中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（1，1），（1，2），（2，2）…根据这个规律，第2012个点的横坐标为_________．7．如图AB=BC=CA=AD=，AH⊥CD于H，AP=，则BD=_______．8．（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A （13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为_________．9．（2012•隆昌县二模）已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50m，半圆的直（结果用π表示）径为4m，则圆心O所经过的路线长是_________m．三．解答题（共21小题）10．（2014•江宁区一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．（1）若点D是AC的中点，则⊙P的半径为_________；（2）若AP=2，求CE的长；（3）当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求⊙P的半径；（4）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，点P在运动的过程中，能否使点D、C、I、P构成一个平行四边形？若能，请求出AP的长；若不能，请说明理由．11．（2014•建邺区一模）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，如果过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个三角形，其中一个为等腰三角形，另一个为直角三角形，则称这条直线为△ABC的关于点B的伴侣分割线．例如：如图1，在Rt△ABC中，∠C=20°，过顶点B的一条直线BD交AC于点D，且∠DBC=20°，显然直线BD是△ABC的关于点B的伴侣分割线．（1）如图2，在△ABC中，∠C=20°，∠ABC=110°．请在图中画出△ABC的关于点B的伴侣分割线，并标注角度；（2）在△ABC中，设∠B的度数为y，最小内角∠C的度数为x．试探索y 与x之间满足怎样的关系时，△ABC存在关于点B的伴侣分割线．12．已知：如图，AB=BC=CA=AD，AH⊥CD于H，CP⊥BC，CP交AH于P．求证：△ABC的面积S=AP•BD．13．（2012•兰州）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；（2）求证：BC2=2CD•OE；（3）若tanC=，DE=2，求AD的长．14．（2012•大连）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=2∠BCD=2α，点E在AD上，点F在DC上，且∠BEF=∠A．（1）∠BEF=_________（用含α的代数式表示）；（2）当AB=AD时，猜想线段EB、EF的数量关系，并证明你的猜想；（3）当AB≠AD时，将“点E在AD上”改为“点E在AD的延长线上，且AE＞AB，AB=mDE，AD=nDE”，其他条件不变（如图），求的值（用含m，n的代数式表示）15．（2012•济南）如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=2，AC，BD 相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC，CD 相交于点E，F，连接EF与AC相交于点G．①判断△AEF是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E为边BC的四等分点时（BE＞CE），求CG的长．16．（2004•镇江）已知抛物线y=mx2﹣（m﹣5）x﹣5（m＞0）与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2），与y轴交于点C，且AB=6．（1）求抛物线和直线BC的解析式；（2）在给定的直角坐标系中，画出抛物线和直线BC；（3）若⊙P过A、B、C三点，求⊙P的半径；（4）抛物线上是否存在点M，过点M作MN⊥x轴于点N，使△MBN被直线BC分成面积比为1：3的两部分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．（2012•淄博）如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．18．（2011•綦江县）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：△ACD≌△BCE；（2）延长BE至Q，P为BQ上一点，连接CP、CQ使CP=CQ=5，若BC=8时，求PQ的长．19．（2012•泰州）如图，已知直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，OA=5．OA 与⊙O相交于点P，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C．（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=2，求⊙O的半径和线段PB的长；（3）若在⊙O上存在点Q，使△QAC是以AC为底边的等腰三角形，求⊙O 的半径r的取值范围．20．（2012•普陀区二模）二次函数y=（x+2）2的图象的顶点为A，与y轴交于点B，以AB为边在第二象限内作等边三角形ABC．（1）求直线AB的表达式和点C的坐标．（2）点M（m，1）在第二象限，且△ABM的面积等于△ABC的面积，求点M的坐标．（3）以x轴上的点N为圆心，1为半径的圆，与以点C为圆心，CM的长为半径的圆相切，直接写出点N的坐标．21．（2012•北京）已知二次函数y=（t+1）x2+2（t+2）x+在x=0和x=2时的函数值相等．（1）求二次函数的解析式；（2）若一次函数y=kx+6的图象与二次函数的图象都经过点A（﹣3，m），求m和k的值；（3）设二次函数的图象与x轴交于点B，C（点B在点C的左侧），将二次函数的图象在点B，C间的部分（含点B和点C）向左平移n（n＞0）个单位后得到的图象记为G，同时将（2）中得到的直线y=kx+6向上平移n个单位．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，求n 的取值范围．22．（2013•江阴市一模）某84消毒液工厂，去年五月份以前，每天的产量与销售量均为500箱，进入五月份后，每天的产量保持不变，市场需求量不断增加．如图是五月前后一段时期库存量y（箱）与生产时间t（月份）之间的函数图象．（五月份以30天计算）（1）该厂_________月份开始出现供不应求的现象．五月份的平均日销售量为_________箱；（2）为满足市场需求，该厂打算在投资不超过220万元的情况下，购买8台新设备，使扩大生产规模后的日产量不低于五月份的平均日销售量．现（3）在（2）的条件下（市场日平均需求量与5月相同），若安装设备需5天（6月6日新设备开始生产），指出何时开始该厂有库存？23．（2012•绍兴）如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，连接AC，抛物线y=x2﹣4x﹣2经过A，B两点．（1）求A点坐标及线段AB的长；（2）若点P由点A出发以每秒1个单位的速度沿AB边向点B移动，1秒后点Q也由点A出发以每秒7个单位的速度沿AO，OC，CB边向点B移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点P的移动时间为t秒．①当PQ⊥AC时，求t的值；②当PQ∥AC时，对于抛物线对称轴上一点H，∠HOQ＞∠POQ，求点H的纵坐标的取值范围．24．（2014•温州一模）如图1，直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AC=CD=10cm，AB=8cm，点P由点C出发沿CA方向运动，同时点E由点A出发沿AB方向运动，点P与点E的运动速度都是1cm/s，当点E运动到点B，两点的运动停止．过点E作EF∥AD，分别交CD、AC于点F、点G，连结EP，设点E的运动时间是t（秒），回答以下问题：（1）当t取何值时，EP∥BC？（2）令△PEG的面积为S，当0＜t＜5时，求S关于t的函数关系式，若存在最大值，请求出此时的t值；（3）是否存在t值，使△PEG为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由；（4）如图2，点E关于AC的对称点是点E′，当t=_________时（直接写出相应的t值），PE′⊥EF．25．（2013•鞍山二模）已知抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0），B （4，1）两点，与x轴另一交点为D，与y轴交于点C．（1）求抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）的函数关系式；（2）如图，连接AC，在抛物线上是否存在点P，使∠ACD+∠ACP=45°？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合）经过A、E、O三点的圆交直线AB于点F，①点E在运动过程中四边形OEAF的面积是否发生变化，并说明理由；②当EF分四边形OEAF的面积为1：2两部分时，求点E的坐标．26．（2013•天河区二模）已知抛物线y=3ax2+2bx+c（1）若a=b=1，c=﹣1，求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）若a+b+c=1，是否存在实数x0，使得相应的y=1？若有，请指明有几个并证明你的结论；若没有，阐述理由；（3）若a=，c=2+b且抛物线在﹣1≤x≤2区间上的最小值是﹣3，求b的值．27．（2013•天河区二模）已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N 分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是_________，MN 与EC的数量关系是_________（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．28．如图，B、C、D三点在同一直线上，分别以BC、CD为边在同侧作两个正三角形△ABC和△ECD，P为BD边中点，M、N分别为AB、ED的中点，连接PM、PN，探求PM与PN的数量关系及∠MPN的度数，并证明．29．（2010•咸宁）已知二次函数y=x2+bx﹣c的图象与x轴两交点的坐标分别为（m，0），（﹣3m，0）（m≠0）．（1）证明4c=3b2；（2）若该函数图象的对称轴为直线x=1，试求二次函数的最小值．30．（2007•双柏县）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为a n，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b （a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=_________，log216=_________，log264=_________．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=_________；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．。
2014年09月23日yhch的初中数学组卷
2014年09月23日yhch的初中数学组卷一．填空题（共1小题）1．（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为_________cm2．二．解答题（共5小题）2．已知实数x，y满足下面关系式：y=﹣x+2，求x y的值．3．已知与|a﹣b+3|互为相反数．（1）求a，b的值；（2）求12a+b2的平方根．4．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．5．（2014•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．6．（2012•老河口市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A（0，4），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．B、C两点坐标分别为（3，0），（8，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，点Q是对称轴l上的一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．2014年09月23日yhch的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．（2014•宁波）如图，半径为6cm的⊙O中，C、D为直径AB的三等分点，点E、F分别在AB两侧的半圆上，∠BCE=∠BDF=60°，连接AE、BF，则图中两个阴影部分的面积为6cm2．∴==•OA=2ON=AM=2，NE=GN==GE=2NE=2AM=××=6，6二．解答题（共5小题）2．已知实数x，y满足下面关系式：y=﹣x+2，求x y的值．解：由已知条件得：，3．已知与|a﹣b+3|互为相反数．（1）求a，b的值；（2）求12a+b2的平方根．）与）根据题意得：解得：4．读句画图：如图，直线CD与直线AB相交于C，根据下列语句画图：（1）过点P作PQ∥CD，交AB于点Q；（2）过点P作PR⊥CD，垂足为R．5．（2014•黔南州）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，﹣1）的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点（点B在点C的左侧），已知A点坐标为（0，3）．（1）求此抛物线的解析式（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，△PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和△PAC的最大面积．；抛物线为；时，=∴=，即=CE=∵；，m+3﹣（m m=（﹣m（；）6．（2012•老河口市模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A（0，4），交x轴于B、C两点（点B在点C的左侧）．B、C两点坐标分别为（3，0），（8，0）．（1）求此抛物线的解析式；（2）过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l 与⊙C有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点P是抛物线上的一个动点，点Q是对称轴l上的一动点，是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．，解得y=﹣=5∴，﹣﹣，=＜，设，+5）或（（，，）是抛物线的顶点（，﹣，坐标为（）或（，）或（，﹣）。
UTF-8''2014年10月27日刘艳的初中数学全品相似与重庆中考难题组卷
2014年10月27日刘艳的初中数学组卷2014年10月27日刘艳的初中数学组卷一．填空题（共10小题）1．（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是_________米．2．（2010•鞍山）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为_________ m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）3．（2007•烟台）如图，电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映屏幕的规格为2m×2m，若放映机的光源S距胶片20cm，那么光源S距屏幕_________米时，放映的图象刚好布满整个屏幕．4．（2008•荆门）如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是_________，_________．5．（2014•遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH=_________里．6．（2014•孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为_________．7．（2013•淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有_________条．8．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．9．（2014•重庆）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为_________．10．（2014•重庆）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=_________．二．解答题（共20小题）11．（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．12．（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB 交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．13．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．14．（2013•娄底）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ 到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．15．（2014•陕西）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？16．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．求证：BD•CF=CD•DF．17．（2011•陕西）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）18．（2010•青海）梯形ABCD的四个顶点分别为A（0，6），B（2，2），C（4，2）D（6，6）．按下列要求画图．（1）在平面直角坐标系中，画出以原点O为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1；（2）画出位似图形A1B1C1D1向下平移五个单位长度后的图形A2B2C2D2．19．（2013•绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．20．（2014•陕西）如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求AC的长．21．（2012•徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m．（1）△FDM∽△_________，△F1D1N∽△_________；（2）求电线杆AB的高度．22．（2014•重庆）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．23．（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC 外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．24．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC 交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．25．（2014•重庆）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．26．如图，在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；（2）求证：EF+EG=CE．27．（2014•重庆）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．28．（2014•重庆）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．29．（2014•重庆）如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E，F 同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N 两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由．30．（2014•重庆）某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？2014年10月27日刘艳的初中数学组卷参考答案与试题解析一．填空题（共10小题）1．（2014•潍坊）如图，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2米的标杆CD和EF，两标杆相隔52米，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2米到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4米到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是54米．∴，=，∴，，∴，∴，2．（2010•鞍山）如图小明想测量电线杆AB的高度，发现电线杆的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面BC上，量得CD=4 m，BC=10 m，CD与地面成30°角，且此时测得1 m杆的影子长为2 m，则电线杆的高度约为8.7m．（结果保留两位有效数字，≈1.41，≈1.73）÷5+2+≈3．（2007•烟台）如图，电影胶片上每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm，放映屏幕的规格为2m×2m，若放映机的光源S距胶片20cm，那么光源S距屏幕米时，放映的图象刚好布满整个屏幕．，．cm=m答：银幕应在离镜头4．（2008•荆门）如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为（3，2），（﹣1，﹣1），则两个正方形的位似中心的坐标是（1，0），（﹣5，﹣2）．∴，解得，解得x+…，解得x，故5．（2014•遵义）“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E、南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=15里，HG经过A点，则FH= 1.05里．∴∴6．（2014•孝感）如图，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，双曲线y=经过斜边OA的中点C，与另一直角边交于点D．若S△OCD=9，则S△OBD的值为6．|k|∴．y=，即﹣|k|7．（2013•淄博）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有3条．8．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．S=，∴=，∴=为对应边，且，∴==为对应边，且=，∴=，∴=故答案为：或或9．（2014•重庆）如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，且DE=2CE，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF，则OF的长为．BE==2，=BF，，CF==OF=10．（2014•重庆）如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB边上一点，G是AD延长线上一点，BE=DG，连接EG，CF⊥EG交EG于点H，交AD于点F，连接CE，BH．若BH=8，则FG=5．BN=HN=4﹣=2CH=2GH=CH=2．∴FG=5二．解答题（共20小题）11．（2013•苏州）如图，点P是菱形ABCD对角线AC上的一点，连接DP并延长DP交边AB于点E，连接BP并延长交边AD于点F，交CD的延长线于点G．（1）求证：△APB≌△APD；（2）已知DF：FA=1：2，设线段DP的长为x，线段PF的长为y．①求y与x的函数关系式；②当x=6时，求线段FG的长．，进而得出，=，进而得出=，即===，求出即可．∴，∴，=，∴，∵，即，y=x×∵=，∴，=，是解题关键．12．（2013•上海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B＞∠A，点D为边AB的中点，DE∥BC交AC于点E，CF∥AB 交DE的延长线于点F．（1）求证：DE=EF；（2）连结CD，过点D作DC的垂线交CF的延长线于点G，求证：∠B=∠A+∠DGC．BC EF=DE=CB=13．（2013•巴中）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的长．∴==14．（2013•娄底）如图，在△ABC中，∠B=45°，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H．（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ 到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围．∴∴∴∴∴∴﹣x﹣（）时，矩形的面积最大时，矩形的长为，宽为×=2∴（[（]t+∴﹣t．15．（2014•陕西）某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，先在河岸边选择了一点B（点B与河对岸岸边上的一棵树的底部点D所确定的直线垂直于河岸）．①小明在B点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D处，如图所示，这时小亮测得小明眼睛距地面的距离AB=1.7米；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态（除身体重心下移外，其他姿态均不变），这时视线通过帽檐落在了DB延长线上的点E处，此时小亮测得BE=9.6米，小明的眼睛距地面的距离CB=1.2米．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD是多少米？∴，∴，16．如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，E为AC的中点，ED交CB的延长线于F．求证：BD•CF=CD•DF．DE=CE=AE=17．（2011•陕西）一天，数学课外活动小组的同学们，带着皮尺去测量某河道因挖沙形成的“圆锥形坑”的深度，来评估这些坑道对河道的影响，如图是同学们选择（确保测量过程中无安全隐患）的测量对象，测量方案如下：①先测出沙坑坑沿的圆周长34.54米；②甲同学直立于沙坑坑沿的圆周所在的平面上，经过适当调整自己所处的位置，当他位于B时恰好他的视线经过沙坑坑沿圆周上一点A看到坑底S（甲同学的视线起点C与点A，点S三点共线），经测量：AB=1.2米，BC=1.6米．根据以上测量数据，求圆锥形坑的深度（圆锥的高）．（π取3.14，结果精确到0.1米）∴，OS=OA=≈OS=18．（2010•青海）梯形ABCD的四个顶点分别为A（0，6），B（2，2），C（4，2）D（6，6）．按下列要求画图．（1）在平面直角坐标系中，画出以原点O为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1；（2）画出位似图形A1B1C1D1向下平移五个单位长度后的图形A2B2C2D2．，就是把原图形缩小到原来的，连接19．（2013•绍兴）若一个矩形的一边是另一边的两倍，则称这个矩形为方形，如图1，矩形ABCD中，BC=2AB，则称ABCD为方形．（1）设a，b是方形的一组邻边长，写出a，b的值（一组即可）．（2）在△ABC中，将AB，AC分别五等分，连结两边对应的等分点，以这些连结线为一边作矩形，使这些矩形的边B1C1，B2C2，B3C3，B4C4的对边分别在B2C2，B3C3，B4C4，BC上，如图2所示．①若BC=25，BC边上的高为20，判断以B1C1为一边的矩形是不是方形？为什么？②若以B3C3为一边的矩形为方形，求BC与BC边上的高之比．，推出=，=，=，=，得出=MN=GN=GH=HE=h×h×∴=，=，=，==∴=hMN=GN=GH=HE=h×h时，=；×==边上的高之比是或20．（2014•陕西）如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB，且OB=6，过点B作⊙O的切线BD，切点为D，延长BO交⊙O于点A，过点A作切线BD的垂线，垂足为C．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）求AC的长．∴∴AC=21．（2012•徐州）如图，为测量学校围墙外直立电线杆AB的高度，小亮在操场上点C处直立高3m的竹竿CD，然后退到点E处，此时恰好看到竹竿顶端D与电线杆顶端B重合；小亮又在点C1处直立高3m的竹竿C1D1，然后退到点E1处，此时恰好看到竹竿顶端D1与电线杆顶端B重合．小亮的眼睛离地面高度EF=1.5m，量得CE=2m，EC1=6m，C1E1=3m．（1）△FDM∽△FBG，△F1D1N∽△F1BG；（2）求电线杆AB的高度．∴∴∴，∵∴22．（2014•重庆）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．a%a%23．（2014•重庆）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC，垂足是D，AE平分∠BAD，交BC于点E．在△ABC 外有一点F，使FA⊥AE，FC⊥BC．（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME．求证：①ME⊥BC；②DE=DN．+ECM=DAE=AD=CD=BC24．（2014•重庆）如图，抛物线y=﹣x2﹣2x+3 的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．（1）求A、B、C的坐标；（2）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（3）在（2）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ．过抛物线上一点F作y轴的平行线，与直线AC 交于点G（点G在点F的上方）．若FG=2DQ，求点F的坐标．DQ S=•EM=．DQ=DC=，FG=225．（2014•重庆）已知：如图①，在矩形ABCD中，AB=5，AD=，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．（1）求AE和BE的长；（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．，BD==．=AE=AE==4﹣，即== BD=；BQ=BQ==；∠﹣∠∠== BQ=；BQ=5=﹣、、﹣．26．如图，在正方形ABCD 中，点F是BC延长线上一点，过点B作BE⊥DF于点E，交CD于点G，连接CE．（1）若正方形ABCD边长为3，DF=4，求CG的长；（2）求证：EF+EG=CE．CG==ME=CEEF+EG=CE）根据27．（2014•重庆）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D，CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF=∠CBG．求证：（1）AF=CG；（2）CF=2DE．，28．（2014•重庆）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．，解得PM PM PM PM （﹣（﹣+时，（），=PB=．=BN+PN+PB=3+3+，由勾股定理得：，）CD=ND=，）作对称轴的垂线，垂足为，﹣=E=．，，，则=，即．，﹣，y=﹣，，﹣）y=x+3，，，），29．（2014•重庆）如图1，在▱ABCD中，AH⊥DC，垂足为H，AB=4，AD=7，AH=．现有两个动点E，F 同时从点A出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿射线AC方向匀速运动，在点E，F的运动过程中，以EF为边作等边△EFG，使△EFG与△ABC在射线AC的同侧，当点E运动到点C时，E，F两点同时停止运动，设运动时间为t秒．（1）求线段AC的长；（2）在整个运动过程中，设等边△EFG与△ABC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；（3）当等边△EFG的顶点E到达点C时，如图2，将△EFG绕着点C旋转一个角度α（0°＜α＜360°），在旋转过程中，点E与点C重合，F的对应点为F′，G的对应点为G′，设直线F′G′与射线DC、射线AC分别相交于M，N 两点．试问：是否存在点M，N，使得△CMN是以∠MCN为底角的等腰三角形？若存在，请求出CM的长度；若不存在，请说明理由．时，如答图当CD=AB=4DH==，EP=GP=EG=GAC==．ACH====时，如答图=当=4×，=4×=x∴x=（﹣=4×，=4×EP==xCE=x∴x=（•t﹣==CP=CF=7 x=××；CP=CFPN=7CM=x=．7．30．（2014•重庆）某生态农业园种植的青椒除了运往市区销售外，还可以让市民亲自去生态农业园购买．已知今年5月份该青椒在市区、园区的销售价格分别为6元/千克、4元/千克，今年5月份一共销售了3000千克，总销售额为16000元．（1）今年5月份该青椒在市区、园区各销售了多少千克？（2）6月份是青椒产出旺季．为了促销，生态农业园决定6月份将该青椒在市区、园区的销售价格均在今年5月份的基础上降低a%，预计这种青椒在市区、园区的销售将在今年5月份的基础上分别增长30%、20%，要使6月份该青椒的总销售额不低于18360元，则a的最大值是多少？。
2014年二次函数初中数学组卷
2014年9月4日二次函数初中数学组卷一．解答题（共30小题）1．（2014•龙东地区）如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B （1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．2．（2014•本溪）如图，直线y=x﹣4与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，与x轴的另一个交点为C，连接BC．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）点M在抛物线上，连接MB，当∠MBA+∠CBO=45°时，求点M的坐标；（3）点P从点C出发，沿线段CA由C向A运动，同时点Q从点B出发，沿线段BC由B向C运动，P、Q的运动速度都是每秒1个单位长度，当Q点到达C点时，P、Q同时停止运动，试问在坐标平面内是否存在点D，使P、Q运动过程中的某一时刻，以C、D、P、Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点D的坐标；若不存在，说明理由．3．（2014•哈尔滨）如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y=ax2+bx与直线y=﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．（1）求a，b的值；（2）点P是线段AB上一动点（点P不与点A、B重合），过点P作PM ∥OB交第一象限内的抛物线于点M，过点M作MC⊥x轴于点C，交AB 于点N，过点P作PF⊥MC于点F，设PF的长为t，MN的长为d，求d 与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，当S△ACN=S△PMN时，连接ON，点Q在线段BP 上，过点Q作QR∥MN交ON于点R，连接MQ、BR，当∠MQR﹣∠BRN=45°时，求点R的坐标．4．（2014•贵阳）如图，经过点A（0，﹣6）的抛物线y=x2+bx+c与x轴相交于B（﹣2，0），C两点．（1）求此抛物线的函数关系式和顶点D的坐标；（2）将（1）中求得的抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移m（m ＞0）个单位长度得到新抛物线y1，若新抛物线y1的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；（3）在（2）的结论下，新抛物线y1上是否存在点Q，使得△QAB是以AB为底边的等腰三角形？请分析所有可能出现的情况，并直接写出相对应的m的取值范围．5．（2014•益阳）如图，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，抛物线y=a（x﹣2）2+k经过点A、B，并与X轴交于另一点C，其顶点为P．（1）求a，k的值；（2）抛物线的对称轴上有一点Q，使△ABQ是以AB为底边的等腰三角形，求Q点的坐标；（3）在抛物线及其对称轴上分别取点M、N，使以A，C，M，N为顶点的四边形为正方形，求此正方形的边长．6．（2014•咸宁）如图1，P（m，n）是抛物线y=﹣1上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．【探究】（1）填空：当m=0时，OP=_________，PH=_________；当m=4时，OP=_________，PH=_________；【证明】（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．【应用】（3）如图2，已知线段AB=6，端点A，B在抛物线y=﹣1上滑动，求A，B两点到直线l的距离之和的最小值．7．（2014•漳州）已知抛物线l：y=ax2+bx+c（a，b，c均不为0）的顶点为M，与y轴的交点为N，我们称以N为顶点，对称轴是y轴且过点M的抛物线为抛物线l的衍生抛物线，直线MN为抛物线l的衍生直线．（1）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3的衍生抛物线的解析式是_________，衍生直线的解析式是_________；（2）若一条抛物线的衍生抛物线和衍生直线分别是y=﹣2x2+1和y=﹣2x+1，求这条抛物线的解析式；（3）如图，设（1）中的抛物线y=x2﹣2x﹣3的顶点为M，与y轴交点为N，将它的衍生直线MN先绕点N旋转到与x轴平行，再沿y轴向上平移1个单位得直线n，P是直线n上的动点，是否存在点P，使△POM为直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2014•三明）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A（﹣2，0），与y轴的交点为C，对称轴是x=3，对称轴与x轴交于点B．（1）求抛物线的函数表达式；（2）经过B，C的直线l平移后与抛物线交于点M，与x轴交于点N，当以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求出点M的坐标；（3）若点D在x轴上，在抛物线上是否存在点P，使得△PBD≌△PBC？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．9．（2014•黔东南州）如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）求△PAC为直角三角形时点P的坐标．10．（2014•黄石）如图，在矩形AOCD中，把点D沿AE对折，使点D 落在OC上的F点，已知AO=8．AD=10．（1）求F点的坐标；（2）如果一条不与抛物线对称轴平行的直线与该抛物线仅有一个交点，我们把这条直线称为抛物线的切线，已知抛物线过点O，F，且直线y=6x ﹣36是该抛物线的切线，求抛物线的解析式；（3）直线y=k（x﹣3）﹣与（2）中的抛物线交于P、Q两点，点B的坐标为（3，﹣），求证：+为定值．（参考公式：在平面直角坐标系中，若M（x1，y1），N（x2，y2），则M，N两点间的距离为|MN|=）11．（2014•宜昌）如图，在平面直角坐标系中，已知点P（0，4），点A在线段OP上，点B在x轴正半轴上，且AP=OB=t，0＜t＜4，以AB为边在第一象限内作正方形ABCD；过点C、D依次向x轴、y轴作垂线，垂足为M，N，设过O，C两点的抛物线为y=ax2+bx+c．（1）填空：△AOB≌△_________≌△BMC（不需证明）；用含t的代数式表示A点纵坐标：A（0，_________）；（2）求点C的坐标，并用含a，t的代数式表示b；（3）当t=1时，连接OD，若此时抛物线与线段OD只有唯一的公共点O，求a的取值范围；（4）当抛物线开口向上，对称轴是直线x=2﹣，顶点随着t的增大向上移动时，求t的取值范围．12．（2014•郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时点P的坐标；（3）如图二，设线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．13．（2014•重庆）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）若点P为线段BC上一点（不与B，C重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M，交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求△BPN的周长；（3）在（2）的条件下，当△BCM的面积最大时，在抛物线的对称轴上存在一点Q，使得△CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．14．（2014•凉山州）如图①，在平面直角坐标中，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x2的图象为l1．（1）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B．①满足此条件的函数解析式有_________个．②写出向下平移且经点A的解析式_________．（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线经过A，B两点，所得的抛物线l2，如图②，求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标，并求△ABC的面积．（3）在y轴上是否存在点P，使S△ABC=S△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2014•六盘水）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象交x轴于A、D两点，并经过B点，已知A点坐标是（2，0），B点的坐标是（8，6）．（1）求二次函数的解析式．（2）求函数图象的顶点坐标及D点的坐标．（3）该二次函数的对称轴交x轴于C点．连接BC，并延长BC交抛物线于E点，连接BD，DE，求△BDE的面积．（4）抛物线上有一个动点P，与A，D两点构成△ADP，是否存在S△ADP=S？若存在，请求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．△BCD16．（2014•崇左）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（﹣3，0），B（0，﹣3）两点，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A．（1）求一次函数y=kx+b的解析式；（2）若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值；（3）当﹣3≤x≤0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为﹣4，求m，n的值．17．（2014•丹徒区二模）如图，已知二次函数y=x2+mx+n的图象经过A（0，3），且对称轴是直线x=2．（1）求该函数解析式；（2）在抛物线上找点P，使△PBC的面积是△ABC的面积的，求出点P 的坐标．18．（2014•镇江一模）如图，抛物线y=x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．（1）求抛物线的函数关系式及顶点D的坐标；（2）若点M是抛物线对称轴上的一个动点，求CM+AM的最小值．19．（2014•晋江市质检）如图，已知抛物线y=﹣x2+2x+c经过点C（0，3），且与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），线段BC与抛物线的对称轴相交于点P．M、N分别是线段OC和x轴上的动点，运动时保持∠MPN=90°不变．（1）求抛物线的解析式；（2）①试猜想PN与PM的数量关系，并说明理由；②在①的前提下，连结MN，设OM=m．△MPN的面积为S，求S的最大值．20．（2014•江西模拟）如图1，若抛物线L1的顶点A在抛物线L2上，抛物线L2的顶点B也在抛物线L1上（点A与点B不重合）我们把这样的两抛物线L1、L2互称为“友好”抛物线，可见一条抛物线的“友好”抛物线可以有很多条．（1）如图2，已知抛物线L3：y=2x2﹣8x+4与y轴交于点C，试求出点C 关于该抛物线对称轴对称的对称点D的坐标；（2）请求出以点D为顶点的L3的“友好”抛物线L4的解析式，并指出L3与L4中y同时随x增大而增大的自变量的取值范围；（3）若抛物y=a1（x﹣m）2+n的任意一条“友好”抛物线的解析式为y=a2（x﹣h）2+k，请写出a1与a2的关系式，并说明理由．21．（2013•潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG 的面积及等于两弯新月面积的？22．（2013•营口）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y=﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．（1）求w与x之间的函数关系式．（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？23．（2013•云南）如图，四边形ABCD是等腰梯形，下底AB在x轴上，点D在y轴上，直线AC与y轴交于点E（0，1），点C的坐标为（2，3）．（1）求A、D两点的坐标；（2）求经过A、D、C三点的抛物线的函数关系式；（3）在y轴上是否在点P，使△ACP是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2013•南宁）如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究：①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值；②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数．25．（2013•川汇区一模）问题情境要围成面积为36cm2的长方形，当该长方形的长为多少时，它的周长最小？最小值是多少？数学模型设长方形的面积为s（s＞0），长为x（x＞0），周长为y，则y与x的函数关系式为_________探索研究（1）我们可以借鉴研究函数的经验，先探索s=1时的函数的图象性质．②仔细观察图象，描述该函数图象随自变量变化的特征；（2）在求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的最大（小）值时，除了通过观察图象，还可以通过配方得到，请你通过配方求“数学模型”中函数的最小值．解决问题用上述方法解决“问题情境”中的问题，直接写出答案．26．（2013•丰南区一模）阅读材料：如图，过△ABC的三个顶点分别作出水平垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”（a），中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高（h）”．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：S△ABC=ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．解答下列问题：如图，抛物线顶点坐标为点C（1，4）交x轴于点A，交y轴于点B（0，3）（1）求抛物线解析式和线段AB的长度；（2）点P是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接PA，PB，当P 点运动到顶点C时，求△CAB的铅垂高CD及S△CAB；（3）在第一象限内抛物线上求一点P，使S△PAB=S△CAB．。
2014年06月20日初中数学旋转组卷
2014年06月20日初中数学旋转组卷一．选择题（共4小题）1．（2013•盐城）如图①是3×3正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）A ． 4种B ． 5种C ． 6种D ． 7种三角板ABC 绕C 顺时针旋转90°至三角板A'B'C'的位置后，再沿CB 方向向左平移，使点B'落在原三角板ABC 的斜边AB 上，则三角板A'B'C'平移的距离为（ ）3题A ． 6cmB ． 4cmC ． （6﹣）cmD ． （）cmC 按顺时针方向旋转90°至△A 1B 1C 的位置，沿CB 向左平移使B 1点落在△ABC 的斜边AB 上，点B 1平移到点B 2，则点B 由B ⇒B 1⇒B 2运动的路． （3π+3﹣）cm B ． （3π﹣3+）cmC ． （π+3﹣）cmD ． （π﹣3+）cm4．如图，Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线AD 相交于点P ，分别交AC 和BC 的延长线于E ，D ．过P 作PF ⊥AD交AC的延长线于点H，交BC的延长线于点F，连接AF交DH于点G．则下列结论：①∠APB=45°；②PF=PA；③BD﹣AH=AB；④DG=AP+GH．其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④5．如果将点P绕定点M旋转180°后与点Q重合，那么点P与点Q关于点M对称，定点M叫对称中心，此时，点M是线段PQ的中点．如图，在直角坐标系中，△ABO的顶点A、B、O的坐标分别为（1，0）、（0，1）、（0，0），点列P1、P2、P3、…中的相邻两点都关于△ABO的一个顶点对称，点P1与点P2关于点A对称，点P2与点P3关于点B对称，点P3与点P4关于点O对称，点P4与点P5关于点A对称，点P5与点P6关于点B对称，点P6与点P7关于点O对称，…，且这些对称中心依次循环，已知P1的坐标是（1，1），点P100的坐标为_________．6．（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（﹣1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为_________．7题7．（2013•荆州）如图，是一个4×4的正方形网格，每个小正方形的边长为1．请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点O为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为4．8．在数学活动课上，李老师要求同学们在边长为1的正方形格纸中，画出一个“风车”图案．小红同学的做法是：如图甲所示，把一个三角形按顺时针方向旋转90°，连续转三次，形成四个叶片的“风车”图案；类似地，把一个梯形按顺时针方向旋转90°，连续转三次，形成图乙所示的四个叶片的“风车”图案．请你仿照小红同学的做法，在备用图中，画一个新的四个叶片的“风车”图案，并使得“风车”的四个叶片的面积与图乙的四个叶片的面积相同．9．小明在一次数学活动中，为了求…的值，设计了如图所示的图形．请你利用这个几何图形求式子…的值为_________．10题10．（2013•贺州）如图，在△ABC中，AB=6，将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE，点A经过的路径为弧AD，则图中阴影部分的面积是_________．11．如图所示，P是正方形ABCD内一点，且PA=1，PB=2，PC=3，以B 为旋转中心，将△ABP按顺时针方向旋转到△CBE位置，AB边与CB边重合，则正方形ABCD面积为_________．12题12．（2013•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为_________度时，两条对角线长度相等．三．解答题（共18小题）13．（2013•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．14．（2013•潍坊）如图1所示，将一个边长为2的正方形ABCD和一个长为2、宽为1的长方形CEFD拼在一起，构成一个大的长方形ABEF．现将小长方形CEFD绕点C顺时针旋转至CE′F′D′，旋转角为a．（1）当点D′恰好落在EF边上时，求旋转角a的值；（2）如图2，G为BC中点，且0°＜a＜90°，求证：GD′=E′D；（3）小长方形CEFD绕点C顺时针旋转一周的过程中，△DCD′与△CBD′能否全等？若能，直接写出旋转角a的值；若不能说明理由．15．（2013•潍坊）为了改善市民的生活环境，我市在某河滨空地处修建一个如图所示的休闲文化广场，在Rt△ABC内修建矩形水池DEFG，使顶点D，E在斜边AB上，F，G分别在直角边BC，AC上；又分别以AB、BC、AC为直径作半圆，它们交出两弯新月（图中阴影部分），两弯新月部分栽植花草；其余空地铺设瓷砖，其中AB=24米，∠BAC=60°，设EF=x米，DE=y米．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）当x为何值时，矩形DEFG的面积最大？最大面积是多少？（3）求两弯新月（图中阴影部分）的面积，并求当x为何值时，矩形DEFG 的面积及等于两弯新月面积的？16．用四块如图①所示的正方形瓷砖拼成一个新的正方形．（1）请你在图②中画一种拼法，使拼成的图案是轴对称图形但不是中心对称图形．（2）请你在图③中画一种拼法，使拼成的图案是中心对称图形但不是轴对称图形．（3）请你在图④中画一种拼法，使拼成的图案既是轴对称图形又是中心对称图形．17．（2013•达州）通过类比联想、引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的．下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF=45°，连接EF，则EF=BE+DF，试说明理由．（1）思路梳理∵AB=AD，∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，可使AB与AD重合．∵∠ADC=∠B=90°，∴∠FDG=180°，点F、D、G共线．根据_________，易证△AFG≌_________，得EF=BE+DF．（2）类比引申如图2，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E、F分别在边BC、CD 上，∠EAF=45°．若∠B、∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足等量关系_________时，仍有EF=BE+DF．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC应满足的等量关系，并写出推理过程．18．（2013•巴中）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）19．（2013•襄阳）如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．①当旋转角为_________度时，边AD′落在AE上；②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC 满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．20．（2013•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．21．在一次数学活动中，爱动脑筋的小华同学设计了一个几何模型：将一个面积为1的正方形按照图示进行分割．研究发现，图中蕴含着一个美妙的数量关系．（1）请计算++++的值；（2）观察几何模型的结构特征，请猜想+++…+的计算结果（用含n的代数式表示）．22．在一节数学实践活动课上，吕老师手拿着三个正方形硬纸板和几个不同的圆形的盘子，他向同学们提出了这样一个问题：已知手中圆盘的直径为13cm，手中的三个正方形硬纸板的边长均为5cm，若将三个正方形纸板不重叠地放在桌面上，能否用这个圆盘将其盖住？问题提出后，同学们七嘴八舌，经过讨论，大家得出了一致性的结论是：本题实际上是求在不同情况下将三个正方形硬纸板无重叠地适当放置，圆盘能盖住时的最小直径．然后将各种情形下的直径值与13cm进行比较，若小于或等于13cm就能盖住，反之，则不能盖住．吕老师把同学们探索性画出的四类图形画在黑板上，如下图所示．（1）通过计算，在①中圆盘刚好能盖住正方形纸板的最小直径应为_________cm．（填准确数）（2）图②能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为_________cm图③能盖住三个正方形硬纸板所需的圆盘最小直径为_________cm？（结果填准确数）（3）按④中的放置，考虑到图形的轴对称性，当圆心O落在GH边上时，此时圆盘的直径最小．请你写出该种情况下求圆盘最小直径的过程．（计算中可能用到的数据，为了计算方便，本问在计算过程中，根据实际情况最后的结果可对个别数据取整数）（4）由（1）（2）（3）的计算可知：A．该圆盘能盖住三个正方形硬纸板，B．该圆盘不能盖住三个正方形硬纸板．你的结论是_________．（填序号）23．如图示：一幅三角板如图放置，等腰直角三角形固定不动，另一块的直角顶点放在等腰直角三角形的斜边中点D处，且可以绕点D旋转，在旋转过程中，两直角边与AB、CB的交点为G、H（1）当三角板DEF旋转至图1所示时，你能发现线段BG和CH大小有何关系？证明你的结论．（2）若在旋转过程中，两直角边的交点G、H始终在边AB、CB上，AB=CB=4cm，在旋转过程中四边形GBHD的面积是否不变，若不变，求出它的值，若变，求出它的取值范围．（3）当三角板DEF旋转至图2所示时，三角板DEF与AB、BC边所在的直线相交于点G、H时，（1）的结论仍然成立吗？并说明理由．24．一副直角三角板由一块含30°的直角三角板与一块等腰直角三角板组成，且含30°角的三角板的较长直角边与另一三角板的斜边相等（如图1）（1）如图1，这副三角板中，已知AB=2，AC=_________，A′D= _________（2）这副三角板如图1放置，将△A′DC′固定不动，将△ABC通过旋转或者平移变换可使△ABC的斜边BC经过△A′DC′′的直角顶点D．方法一：如图2，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜180°）方法二：如图3，将△ABC沿射线A′C′方向平移m个单位长度方法三：如图4，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转角度β（0°＜β＜180°）请你解决下列问题：①根据方法一，直接写出α的值为：_________；②根据方法二，计算m的值；③根据方法三，求β的值．（3）若将△ABC从图1位置开始沿射线A′C′平移，设AA′=x，两三角形重叠部分的面积为y，请直接写出y与x之间的函数关系式和相应的自变量x的取值范围．25．（2014•枣阳市模拟）操作发现将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边BC 与30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．问题解决将图①中的等腰三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上．AC 与BD交于点O，连接CD，如图②．（1）求证：△CDO是等腰三角形；（2）若DF=，求AC的长．26．（2006•贺州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径GH⊥AB，交AC 于D，GH，BC的延长线相交于E．（1）求证：∠OAD=∠E；（2）若OD=1，DE=3，试求⊙O的半径；（3）当是什么类型的弧时，△CED的外心在△CED的外部、内部、一边上．（只写结论，不用证明）27．如图1：等边△ADE可以看作由等边△ABC绕顶点A经过旋转相似变换得到．但是我们注意到图形中的△ABD和△ACE的关系，上述变换也可以理解为图形是由△ABD绕顶点A旋转60°形成的．于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转60°形成的．①利用上述结论解决问题：如图2，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BFC都是等边三角形，求四边形ADFE的面积；②图3中，△ABC∽△ADE，AB=AC，∠BAC=∠DAE=θ，仿照上述结论，推广出符合图3的结论．（写出结论即可）28．如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，求四边形AEFD的面积．29．（2011•贵阳）[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点P（x1，y1）、Q（x2，y2）为端点的线段中点坐标为．[运用]（1）如图，矩形ONEF的对角线相交于点M，ON、OF分别在x轴和y 轴上，O为坐标原点，点E的坐标为（4，3），则点M的坐标为_________．（2）在直角坐标系中，有A（﹣1，2），B（3，1），C（1，4）三点，另有一点D与点A、B、C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．30．如图①，在凸四边形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC．（1）如图②，若连接AC，则△ADC的形状是_________三角形．你是根据哪个判定定理？答：_________．（请写出定理的具体内容）（2）如图③，若在四边形ABCD的外部以BC为一边作等边△BCE，并连接AE，请问：BD与AE相等吗？若相等，请加以证明；若不相等，请说明理由．（3）在第（2）题的前提下，请你说明BD2=AB2+BC2成立的理由．。
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一．选择题（共9小题）1．（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．2．（2010•台湾）如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A．8B．8.8 C．9.8 D．103．（2008•安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B．C．D．4．（2005•萧山区二模）如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则A、F两点间的距离是（）A．14 B．6+C．8+D．105．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A．6B．4C．3D．26．如图，在△ABC中，若AB=10，AC=16，AC边上的中线BD=6，则BC等于（）A．8B．10 C．11 D．127．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是角平分线，交AC于D点，若BD=2，则AB的长是（）A．2B．C．2D．148．如图，AD，CE为锐角△ABC的两条高，若AB=15，BC=14，CE=11.2，则BD的长为（）A．8B．9C．11 D．129．如图所示，AC上BD，O为垂足，设m=AB2+CD2，n=AD2+BC2，则m，n的大小关系为（）A．m＜n B．m=n C．m＞n D．不确定二．填空题（共9小题）10．（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是_________．11．（2013•桂林）如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=_________．12．（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是_________．13．（2012•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长_________．14．（2012•顺义区二模）如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP2+BP•PC的值为_________；若BC边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记m i=AP i2+BP i•P i C（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为_________．15．（2012•丰润区一模）如图，△ABC中∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，AC=，则AD的长是_________．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，如果CD=1，那么BD=_________．17．已知在△ABC中，AB=，AC=2，BC边上的高为，那么BC的长是_________．18．如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的高线和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm则DE的长为_________．三．解答题（共10小题）19．（2010•菏泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．20．（2011•广州一模）已知等腰三角形的一边长是10米，面积是30平方米，求这个三角形另两边的长．21．（2008•南汇区一模）如图，已知在△ABC中，AB=6，AC=，∠B=60°．求△ABC的面积．22．如图，已知△ABC，AB=AC，且周长为16，底边上的高AD=4，求这个三角形各边的长．23．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是BC上的高，AB=17，BC=16．（1）求△ABC的面积；（2）求点B到边AC的距离．24．已知：CD为Rt△ABC的斜边上的高，且BC=a，AC=b，AB=c，CD=h（如图）．求证：．25．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．（1）若AC=8，BC=6，求AB和AD的长；（2）设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，试说明：a+d＞b+c．26．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长．27．如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．28．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，∠A的平分线AD=10，求BC和AB．2014年4月yuxs的初中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）1．（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A．B．C．D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理．专题：压轴题．分析：根据勾股定理列式求出BC，再利用三角形的面积求出点A到BC上的高，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点D到AB、AC上的距离相等，然后利用三角形的面积求出点D到AB的长，再利用△ABD的面积列式计算即可得解．解答：解：∵∠BAC=90°，AB=3，AC=4，∴BC===5，∴BC边上的高=3×4÷5=，∵AD平分∠BAC，∴点D到AB、AC上的距离相等，设为h，则S△ABC=×3h+×4h=×5×，解得h=，S△ABD=×3×=BD•，解得BD=．故选A．点评：本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，利用三角形的面积分别求出相应的高是解题的关键．2．（2010•台湾）如图，△ABC中，有一点P在AC上移动．若AB=AC=5，BC=6，则AP+BP+CP的最小值为（）A．8B．8.8 C．9.8 D．10考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：若AP+BP+CP最小，就是说当BP最小时，AP+BP+CP才最小，因为不论点P在AC上的那一点，AP+CP都等于AC．那么就需从B向AC作垂线段，交AC于P．先设AP=x，再利用勾股定理可得关于x的方程，解即可求x，在Rt△ABP中，利用勾股定理可求BP．那么AP+BP+CP的最小值可求．解答：解：从B向AC作垂线段BP，交AC于P，设AP=x，则CP=5﹣x，在Rt△ABP中，BP2=AB2﹣AP2，在Rt△BCP中，BP2=BC2﹣CP2，∴AB2﹣AP2=BC2﹣CP2，∴52﹣x2=62﹣（5﹣x）2解得x=1.4，在Rt△ABP中，BP===4.8，∴AP+BP+CP=AC+BP=5+4.8=9.8．故选C．点评：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．因此先从B向AC作垂线段BP，交AB于P，再利用勾股定理解题即可．3．（2008•安徽）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于（）A．B．C．D．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．专题：压轴题．分析：连接AM，根据等腰三角形三线合一性质可求得AM的长，再根据面积公式即可求得MN的长．解答：解：如图，连接AM．∵AB=AC=5，点M为BC的中点，∴AM⊥CM，∴AM==4，∵AM•MC=AC•MN，∴MN==．故选C．点评：此题考查学生对勾股定理及等腰三角形性质的综合运用．4．（2005•萧山区二模）如图，已知∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3，BC=4，DE=EF=2，则A、F两点间的距离是（）A．14 B．6+C．8+D．10考点：勾股定理．专题：计算题．分析：先过F作FG⊥AB，交AB延长线于G，根据图易求AG，GF，再利用勾股定理即可求AF．解答：解：如右图所示，过F作FG⊥AB，交AB延长线于G，根据题意，AG=AB+CD+EF=3+3+2=8，GF=BC+DE=4+2=6，在Rt△AGF中，AF==10．故选D．点评：本题考查了勾股定理．解题的关键是作辅助线GF，构造直角三角形．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是∠BAC的平分线，若CD=2，那么BD等于（）A．6B．4C．3D．2考点：直角三角形的性质；角平分线的定义；勾股定理．分析：由题意，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，则∠BAC=90°﹣30°=60°，又因为AD是∠BAC的平分线，则∠BAD=∠CAD=30°；根据在直角三角形中30度所对的边是斜边的一半，则AD=2CD=2×2=4；又根据勾股定理可求AC的长；又∠B=30°，则AB=2AC=4，则根据勾股定理可求得：BC的长，则利用BD=BC﹣CD即可求出结果．解答：解：∵∠C=90°，∠B=30°，∴∠BAC=90°﹣30°=60°，又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠C形的性质可知：AD=2CD=2×2=4，根据勾股定理可得：AC==2，又知，∠B=30°，则AB=2AC=4，则根据勾股定理可得：BC==6，则BD=BC﹣CD=6﹣2=4．故选B．点评：本题考查直角三角形的性质以及勾股定理的应用，还考查了角平分线的定义及应用．6．如图，在△ABC中，若AB=10，AC=16，AC边上的中线BD=6，则BC等于（）A．8B．10 C．11 D．12考点：勾股定理．分析：由AB=10，AD=8，BD=6，可知BD⊥AC，根据勾股定理可求出BC．解答：解：∵AB=10，AD=8，BD=6，∴AB2=AD2+BD2，C2=100，BC=10故选B．点评：本题考查了勾股定理和逆定理，属于基础题，关键在于定理的掌握和运用．7．△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是角平分线，交AC于D点，若BD=2，则AB的长是（）A．2B．C．2D．14考点：含30度角的直角三角形；三角形内角和定理；勾股定理．专题：计算题．分析：根据三角形的内角和定理求出∠CBA，求出∠CBD，∠ABD，求出CD，根据勾股定理求出BC，根据直角三角形性质求出即可．解答：解：∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=180°﹣90°﹣30°=60°，∵BD平分∠CBA，∴∠ABD=∠CBD=30°，∵BD=2，∴CD=BD=1，由勾股定理得：BC==，∵∠A=30°，∠C=90°，∴AB=2BC=2点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点的理解和掌握，能求出BC的长是解此题的关键．8．如图，AD，CE为锐角△ABC的两条高，若AB=15，BC=14，CE=11.2，则BD的长为（）A．8B．9C．11 D．12考点：勾股定理；三角形的面积．分析：根据面积相等先求出AD的长，然后根据勾股定理求出BD的长．解答：解：∵在△ABC中，AB=15，BC=14，CE=11.2，∴15×11.2=14•AD，则AD=12．∴BD==9．故选B．点评：本题考查勾股定理的运用，关键是知道三角形面积的求法9．如图所示，AC上BD，O为垂足，设m=AB2+CD2，n=AD2+BC2，则m，n的大小关系为（）A．m＜n B．m=n C．m＞n D．不确定考点：勾股定理．分析：由于AC⊥BD，运用勾股定理分别表示AB2，CD2，AD2，BC2，然后计算m﹣n，即可得出m，n的大小关系．解答：解：∵AC⊥BD，∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2．∴m﹣n=AB2+CD2﹣AD2﹣BC2=OA2+OB2+OC2+OD2﹣（OA2+OD2+OB2+OC2）=0，∴m=n．故选B．点评：本题考查勾股定理的运用，难度中等，将斜边的平方等量转化为两直角边的平方和是解题的关键．二．填空题（共9小题）10．（2013•襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是6或2．考点：图形的剪拼；勾股定理．专题：压轴题．分析：先根据题意画出图形，此题要分两种情况，再根据勾股定理求出斜边上的中线，最后根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半即可求出斜边的长．解答：解：①如图所示：，连接CD，CD==，∵D为AB中点，∴AB=2CD=2；②如图所示：，连接EF，EF==3，∵E为AB中点，∴AB=2EF=6，故答案为：6或2．点评：此题考查了图形的剪拼，解题的关键是能够根据题意画出图形，在解题时要注意分两种情况画图，不要漏解．11．（2013•桂林）如图，在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，AB=5，AD=4，则AE=3．考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角等所以AD=BE=4，再利用勾股定理即可求出AE的长．解答：解：∵在△ABC中，CA=CB，AD⊥BC，BE⊥AC，∴AD=BE=4，∵AB=5，∴AE==3，故答案为：3．点评：本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的运用，题目比较简单．12．（2012•襄阳）在等腰△ABC中，∠A=30°，AB=8，则AB边上的高CD的长是或4或4．考点：等腰三角形的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：此题需先根据题意画出当AB=AC时，当AB=BC时，当AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可．解答：解：（1）当AB=AC时，∵∠A=30°，∴CD=AC=×8=4；（2）当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°，∴∠ACD=60°，∴∠BCD=30°，∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°×8=4；（3）当AC=BC时，则AD=4，∴CD=tan∠A•AD=tan30°•4=；故答案为：或4或4．点评：本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是等腰三角键是根据题意画出所有图形，要熟练掌握好边角之间的关系．13．（2012•黑龙江）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为4，则底边长6或2或4．考点：等腰三角形的性质；勾股定理．专题：分类讨论．分析：根据不同边上的高为4分类讨论，即可得到本题的答案．解答：解：①如图1，当AB=AC=5，底边上的高AD=4时，则BD=CD=3，故底边长为6；②如图2，△ABC为锐角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，∴BD=2，∴BC==2，∴此时底边长为2；③如图3，△ABC为钝角三角形，当AB=AC=5，腰上的高CD=4时，则AD=3，∴BD=8，∴BC==4，∴此时底边长2或4．点评：本题主要考查了等腰三角形的性质及勾股定理，解题的关键是分三种情况进行讨论．14．（2012•顺义区二模）如图，△ABC中，AB=AC=2，若P为BC的中点，则AP2+BP•PC的值为4；若BC 边上有100个不同的点P1，P2，…，P100，记m i=AP i2+BP i•P i C（i=1，2，…，100），则m1+m2+…+m100的值为400．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．专题：压轴题；规律型．分析：第一个空可通过构建直角三角形利用勾股定理和等腰直角三角形的性质证明∴AB2=AP2+BP•PC即可；第二个空可作D．根据勾股定理，得AP i2=AD2+DP i2=AD2+（BD﹣BP i）2=AD2+BD2﹣2BD•BP i+BP i2，P i B•P i C=P i B•（BC﹣P i B）=2BD•BP i﹣BP i2，从而求得M i=AD2+BD2，即可求解．解答：解：过A作AF⊥BC于F．在Rt△ABF中，AF2=AB2﹣BF2；在Rt△APF中，AF2=AP2﹣FP2；∴AB2﹣BF2=AP2﹣FP2；即AB2=AP2+BF2﹣FP2=AP2+（BF+FP）（BF﹣FP）；∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=FC；∴BF﹣FP=CF﹣FP=PC；∴AB2=AP2+BP•PC=4，故答案为：4；作AD⊥BC于D，则BC=2BD=2CD．根据勾股定理，得AP i2=AD2+DP i2=AD2+（BD﹣BP i）2=AD2+BD2﹣2BD•BP i+BP i2，又P i B•P i C=P i B•=2BD•BP i﹣BP i2，∴M i=AD2+BD2=AB2=4，∴M1+M2+…+M100=4×100=400．故答案为：400．点评：此题主要运用了勾股定理和等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造直角三角形是解本题的突破点，另外代入进行整理后代换出PC也是同学们不容易考虑到的．15．（2012•丰润区一模）如图，△ABC中∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，AC=，则AD的长是2．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．分析：由∠B=30°，可求出角平分线可求出∠CAD=30°，根据锐角三角函数求AD即可．解答：解：∵△ABC中∠C=90°，∠B=30°，∴∠CAB=60°，∵AD是△ABC的角平分线，∴∠CAD=30°，∵AC=，∴cos∠CAD==，∴AD=2，故答案为2．点评：本题主要考查对三角形内角和定理，含30度角的直角三角形，锐角三角函数的定义等知识点的理解和掌握，能求出∠CAD的度数是解此题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，如果CD=1，那么BD=．考点：角平分线的性质；等腰直角三角形．分析：过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，再求出直角三角形，然后根据等腰直角三角形斜边等于直角边的倍解答．解答：解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，∠C=90°，∴DE=CD=1，∵AC=BC，∠C=90°，∴∠B=45°，∴△BDE是等腰直角三角形，∴BD=DE=．故答案为：．点评：本题主要考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，等腰直角三角形的直角边与斜边的关系．17．已知在△ABC中，AB=，AC=2，BC边上的高为，那么BC的长是4cm或2cm．考点：勾股定理．分析：首先应分两种情况进行讨论，∠C是锐角和钝角两种情况．在直角△ABD和直角△ACD中，利用勾股定理求得BD，CD的长，当∠C是锐角时，∠C是钝角时，BC=BD﹣CD，据此即可求解．解答：解：在直角△ABD中，BD===3；在直角△ACD中，CD===1．当∠C是锐角时（如图1），D在线段BC上，BC=BD+CD=3+1=4；当∠C是钝角时，D在线段BC的延长线上时（如图2），BC=BD﹣CD=3﹣1=2cm．则BC的长是4cm或2cm．故答案是：4cm或2cm．点评：本题主要考查了利用勾股定理解决一般三角形的计算，转化为直角三角形的运算，关键是注意到分情况讨论，容易忽视的是第二种18．如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是边BC上的高线和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8cm则DE的长为2cm．考点：勾股定理；三角形的角平分线、中线和高．分析：E为BC中点，BC=8cm，所以BD=4+DE，CD=4﹣DE，在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据勾股定理分别表示出AD的长度，令两式相等，即可求出ED的长度．解答：解：在Rt△ABD中，AD2=AB2﹣BD2，即AD2=92﹣（4+DE）2在Rt△ADC中，AD2=AC2﹣DC2即AD2=72﹣（4﹣DE）2∴81﹣（4+DE）2=49﹣（4﹣DE）2∴（4+DE）2﹣（4﹣DE）2=32∴8•2DE=32∴DE=2cm，故答案为：2cm．点评：本题考查了勾股定理的应用，首先用DE分别表示出BD和CD的长度，在Rt△ABD和用勾股定理分别表示出AD的长度．令两式相等，即可求出DE的长度三．解答题（共10小题）19．（2010•菏泽）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，CD=5cm，求AB的长．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．分析：先有∠A=30°，那么∠ABC=60°，结合BD是角平分线，那么可求出∠DBC=∠ABD=30°，在Rt△DBC中，利用直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，可求出BD，再利用勾股定理可求BC，同理，在Rt△ABC中，AB=2BC，即可求AB．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴AD=DB，又∵Rt△CBD中，CD=5cm，∴BD=10cm，∴BC===5cm，∴AB=2BC=10cm．点评：本题利用了角平分线定义、直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识．20．（2011•广州一模）已知等腰三角形的一边长是10米，面积是30平方米，求这个三角形另两边的长．考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质．分析：等腰三角形的一边长为10m，这条边长可能是腰，也可能是底，因此要分类讨论解答：解：分三种情况计算．不妨设AB=10m，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则S△ABC=AB•CD，∴CD=6m．（1）当AB为底边时，AD=DB=5m（如图①）．AC=BC=m；（2）当AB为腰且三角形为锐角三角形时（图②）AB=AC=10m，AD==8m，BD=2m，BC==2m；（3）当AB为腰且三角形为钝角三角形时（图③）．AB=BC=10m，BD==8m，AC==6m．所以另两边的长分别为m、m，或10m、2m，或10m、6m．点评：本题考查等腰三角形的性质，关键是知道分三种情况讨论，然后根据不同的情况求值得到结果．21．（2008•南汇区一模）如图，已知在△ABC中，AB=6，AC=，∠B=60°．求△ABC的面积．专题：计算题．分析：作AH⊥BC，垂足为点H，在Rt△ABH中，利用∠B=60°先求出AH及BH的长，然后在Rt△ACH中利用勾股定理求出CH的长，从而根据三角形的面积=BC•AH可得出答案．解答：解：作AH⊥BC，垂足为点H．在Rt△ABH中，∵∠B=60°，AB=6，∴BH=3，，在Rt△ACH中，∵AC=，∴，∴BC=8，∴S△ABC=．点评：本题考查了三角形的面积及勾股定理的应用，对于本题应将所求三角形的面积转化到球线段BC的长度及线段AH的长度上来．22．如图，已知△ABC，AB=AC，且周长为16，底边上的高AD=4，求这个三角形各边的长．考点：勾股定理；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形的三线合一的性质可得BD=BC，设BD=x，根据三角形的周长表示出AB，然后利用勾股定理列式求出BD的长，再求出BC的长．解答：解：如图，∵AD是底边BC上的高，∴BD=BC，设BD=x，∵△ABC的周长为16，∴AB+BD=×16=8，∴AB=8﹣x，在Rt△ABD中，AB2=BD2+AD2，即（8﹣x）2=x2+42，解得x=3，∴AB=8﹣3=5，BC=2BD=2×3=6，∴△ABC的边AB、AC的长度均为5，边BC的长度为6．点评：本题主要考查了等腰三角形三线合一的性质，勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．23．如图，△ABC中，∠B=∠C，AD是BC上的高，AB=17，BC=16．（1）求△ABC的面积；（2）求点B到边AC的距离．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：（1）在直角△ABD中，利用勾股定理即可求得AD的长，即△ABC中BC边上的高，利用三角形的面积公式即可求解；（2）点B到边AC的距离，即△ABC中，AC边上的高长，根据三角形的面积公式即可求解．解答：解：（1）∵∠ABC=∠C，∴AB=AC=17，（1分）∵AD是BC上的高，∴BD=DC=8，（2分）∵（3分）∴△ABC的面积=BC•AD=．（4分）（2）设B到AC的距离为h，∵△ABC的面积=AC•h=，∴．（6分）点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，三线合一定理，正确根据勾股定理求得AD的长是解题的关键．24．已知：CD为Rt△ABC的斜边上的高，且BC=a，AC=b，AB=c，CD=h（如图）．求证：．考点：勾股定理．专题：证明题．分析：将左边通分后用c2代替a2+b2，再根据等面积的不同表示形式可得出即ab=ch，将h代入右边可得出结论．解答：证明：左边==∵在直角三角形中，a2+b2=c2，又∵即ab=ch∴=右边即证得：．点评：本题考查勾股定理及三角形的面积，属于中等难度的试题，解答此类题目的方法就是两边凑，从而最终得出要证的结论．25．如图，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．（1）若AC=8，BC=6，求AB和AD的长；（2）设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，试说明：a+d＞b+c．考点：勾股定理；三角形的面积；直角三角形的性质．分析：（1）根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可；（2）先由a2=b2+c2，ad=bc得出（a+d）2＞（b+c）2，再由a、d、b、c均大于零得出结论．解答：解：（1）由勾股定理AB=10（3分）由三角形面积公式，得AB•CD=AC•BC则CD=4.8 （4分）∴AD=6.4；（6分）（2）∵a2=b2+c2（7分）ad=bc（8分）∴a2+2ad=b2+c2+2bc（9分）∴a2+2ad=（b+c）2∴a2+2ad+d2＞（b+c）2（10分）∴（a+d）2＞（b+c）2（11分）又∵a、d、b、c均大于零∴a+d＞b+c．（12分）点评：此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用．26．已知：如图，在△ABC中，∠C=60°，AB=，AC=4，AD是BC边上的高，求BC的长．考点：勾股定理．分析：根据直角三角形两锐角互余求出∠CAD=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD，再根据勾股定理列式求出AD，再利用勾股定理列式求出BD，然后根据BC=CD+BD代入数据计算即可得解．解答：解：∵∠C=60°，AD是BC边上的高，∴∠CAD=90°﹣60°=30°，∴CD=AC=×4=2，在Rt△ACD中，AD===2，在Rt△ABD中，BD===6，∴BC=CD+BD=2+6=8．点评：本题考查了勾股定理，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，是基础题．27．如果，已知：D为△ABC边AB上一点，且AC=，AD=2，DB=1，∠ADC=60°，求∠BCD的度数．考点：勾股定理．专题：计算题．分析：过C作CE⊥AB于E，要想求∠BCD的度数，只需求出∠BCE的度数即可．设DE=x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，可求出CE的长；在Rt△AEC中，可根据勾股定理列出等式，从而求出x的值，继而得出BE=CE，求出∠BCE的值．解答：解：过C作CE⊥AB于E，设DE=x，则AE=2﹣x，在Rt△DCE中，∠ADC=60°，∴CE=x，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AE2+CE2=AC2，∴（2﹣x）2+（x）2=（）2，解得：，∴BE=CE=，又∠BEC=90°，∴∠BCE=45°，又∠DCE=90°﹣∠ADC=90°﹣60°=30°，∴∠BCD=∠BCE﹣∠DCE=15°．点评：本题考查勾股定理的知识，有一定难度，关键是正确作出辅助线，平时应注意多总结这类题目的解题思路及勾股定理的灵活运用．28．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=15，∠A的平分线AD=10，求BC和AB．考点：勾股定理；含30度角的直角三角形．分析：本题利用勾股定理与三角形内角与外角的关系即可解答．解答：解：在Rt△ADC中，∵AC=15，AD=10，∴CD==5，∴CD=AD，∠DAC=30°∴∠BAC=60°．∴∠B=90°﹣∠BAC=30°∴AB=2AC=30，BC===15．点评：本题主要考查了勾股定理和30°角直角三角形边的关系，熟练掌握定理是解题的关键．。