实数和二次根式
八年级数学实数之二次根式知识点总结
一、二次根式的概念及性质：① 二次根式的概念：一般地，形如 √a （a≥0）的式子叫作二次根式，其中“ √ ” 称为二次根号，a称为被开方数。
例如，√2 ，√（x^2+1) ，√(x-1) (x≥1) 等都是二次根式 。
② 二次根式的性质：当 a ≥ 0 时，√a 表示 a 的算术平方根，所以√a 是非负数 ( √a ≥ 0)，即对于式子 √a 来说，不但 a ≥ 0，而且 √a ≥ 0，因此可以说 √a 具有双重非负性 。
③ 最简二次根式：1、被开方数中不含有分母 ；2、被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式 。
④ 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。
⑤ 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。
注：对于商的算术平方根，最后结果一定要进行分母有理化。
⑥ 分母有理化：化去分母中根号的变形叫作分母有理化，分母有理化的方法是根据分数的基本性质，将分子和分母分别乘分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式）化去分母中的根号。
⑦ 化成最简二次根式的一般方法：1、将被开方数中能开得尽方的因数或因式进行开方；2、若被开方数含分母，先根据商的算术平方根的性质对二次根式进行变形，再根据分母有理化的方法化简二次根式；3、若分母中含二次根式，根据分母有理化的方法化简二次根式 。
判断一个二次根式是否为最简二次根式，要紧扣最简二次根式的特点：（1）被开方数中不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）若被开方数是和（或差）的形式，则先把被开方数写成积的形式，再判断，若无法写成积（或一个数）的形式，则为最简二次根式 。
⑧ 二次根式的加减：（1）先把每个二次根式都化成最简二次根式；（2）把被开方数相同的二次根式合并，注意合并时只把“系数”相加减，根号部分不动，不是同类二次根式的不能合并，即二、知识点讲解：1、二次根式的概念及有意义的条件：例题1、下列式子中，是二次根式的有 （ B ）例题2、使式子 √(m-2) 有意义的最小整数 m 的值是 2 。
(中考数学)实数与二次根式(知识点梳理)(记诵版)
第05讲 实数与二次根式知识点梳理考点01 平方根一、平方根1.平方根的概念：如果一个数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个数x 就叫作a 的平方根（或二次方根）。
2.平方根的表示方法：正数a 的平方根可记作a ±，读作：正负根号a ，读作根号，a 是被开方数。
3.平方根的性质：若a x =2，那么a x =-2）（，则x -也是a 的平方根，所以正数a 的平方根有两个，它们互为相反数，0的平方根是0；因为相同的两个数的乘积为正，所以任何数的平方都不是负数，所以负数没有平方根（即0≥±a a ，）。
二、算数平方根1.算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫作a 的算术平方根。
2.算术平方根的表示方法：正数a 的算术平方根可记作a ，读作：根号a 。
3.算术平方根的性质：正数有一个正的算术平方根；0的算术平方根是0，负数没有算术平方根。
一个正数a 的正的平方根就是它的算术平方根。
三、开平方1.求一个数a （0≥a ）的平方根的运算叫作开平方，其中a 叫作被开方数。
开平方运算是已知指数和幂求底数。
2.因为平方与开平方互为逆运算，所以可以通过平方来寻找一个数的平方根。
3.正数、负数、0都可以进行平方运算，且平方的结果只有一个；但开平方只有正数和0可以，负数不能开平方。
考点02 立方根1.立方根的概念：一般地，如果一个数x 的立方等于a ，即a x =3，那么这个数x 就叫作a的立方根（或三次方根）。
2.立方根的表示方法：a 的立方根可记作3a ，读作：三次根号a ，其中“3”是根指数，a 是被开方数，注意根指数“3”不能省略。
3.立方根的性质：（1）一个正数有一个正的立方根；（2）一个负数有一个负的立方根；（3）0的立方根是0；4.开立方：求一个数a 的立方根的运算叫作开立方。
5.立方根中被开方数可以是正数、负数和0,；开立方运算与立方运算互为逆运算；求一个带分数的立方根时，必须把带分数化成假分数，再求它的立方根。
二次根式与实数之间的关系
二次根式与实数之间的关系根据数学的定义，二次根式是指一个数的平方根，表示为√a，其中a为非负实数。
实数是对现实生活中的数量进行抽象的数学概念，包括有理数和无理数。
二次根式与实数之间存在着密切的关系，本文将探讨这种关系。
1. 二次根式的定义二次根式是指一个实数的平方根。
对于非负实数a，√a表示a的正平方根，即满足b² = a的实数b。
例如，√4 = 2，因为2² = 4。
二次根式可以表示为分数形式或小数形式，如√9 = 3，或√2 ≈ 1.414。
2. 二次根式的性质二次根式具有一些重要的性质，这些性质与实数之间的关系密切相关：- 非负实数的二次根式均为实数。
例如，√9 = 3是一个实数。
- 负实数没有实数的二次根式。
例如，对于-9来说，不存在一个实数b，使得b² = -9。
- 实数的二次根式满足乘法性质。
即若a和b都是非负实数，则√(ab) = √a × √b。
3. 二次根式与有理数的关系有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数（有限小数和循环小数）。
二次根式与有理数之间的关系如下：- 若一个非负实数的平方是一个有理数，那么它的二次根式就是一个有理数。
例如，√4 = 2，4是一个有理数，因此2也是一个有理数。
- 若一个非负实数的平方不是一个有理数，那么它的二次根式就是一个无理数。
例如，√2是一个无理数，因为2的平方不是一个有理数。
4. 二次根式与无理数的关系无理数是不能表示为两个整数的比值的数，包括无理代数数和无理超越数。
二次根式与无理数之间的关系如下：- 像√2、√3这样的二次根式是无理数。
它们无法用有限小数或循环小数形式表示。
- 无理数的二次根式仍然是无理数。
例如，√(√2) = (√2)^(1/2) =2^(1/4) 是一个无理数。
综上所述，二次根式与实数之间存在着重要的关系。
实数的二次根式可以是有理数或无理数，具体取决于实数的平方是否是一个有理数。
初中数学实数与二次根式的基本概念进阶(含解析)
初中数学实数与二次根式的基本概念进阶考试要求：重难点：1.平方根、立方根的有关概念以及其区别和联系；2.能进行实数的运算3.二次根式(0)a≥的内涵，(0)a≥是一个非负数；2a=(0)a≥；a=(0)a≥ 及其运用．4.二次根式乘除法的规定及其运用．5.二次根式的加减运算．例题精讲：实数模块一实数的概念及分类1．实数的概念实数：有理数和无理数的统称．2．实数的分类0⎧⎧⎫⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎪⎪⎫⎧⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎩正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 注意：（1）实数还可按正数，零，负数分类．（2）整数可分为奇数，偶数，零是偶数，偶数一般用2n （n 为整数)表示；奇数一般用2n 1- 或2n 1+ （n 为整数）表示． （3）正数和零常称为非负数．（4）带根号的数不一定是无理数，如9．【例1】 下列实数317，π-，3.1415921中无理数有（ ）． A ．个B ．个C ．个D ．个【难度】1星【解析】是不是有理数，要看化简之后的结果，所以无理数有π-【答案】A【巩固】有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数； （2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数； （4）无理数都可以用数轴上的点来表示． 其中正确的说法的个数是（ ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【难度】1星 【解析】略． 【答案】C模块二 数轴、相反数、倒数、绝对值数轴：规定了原点、正方向和单位长度的一条直线叫数轴. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.（1）实数a 的相反数是a -.（2）实数a 和b 互为相反数，则a+b =0.（3）从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.倒数：乘积为1的两个有理数互为倒数；0没有倒数. 倒数等于它本身的数是±1.（1）实数a (a ≠0)的倒数是1a. 2345（2）a 和b 互为倒数，则ab =1. 绝对值：（1）绝对值的含义与性质：(0)0(0)(0)a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（2）几何意义：实数的绝对值是一个非负数，在数轴上，表示数的点到原点的距离.注意：实数和数轴上的点一一对应，平面直角坐标系内的点与一对有序实数一一对应，对二者要加以区分，不能混淆.【例2】 若直径为2个单位长度的圆上的点A圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（ ） A ．2π B ．4π C ．2π D4π【难度】2星 【解析】略． 【答案】D【例3】2的相反数是 ． 【难度】1星【解析】一个数a 的相反数是a -；同样一个式子A 的相反式是-A ．【答案】2【例4】的倒数是 ．【难度】1星 【解析】略．【答案】【例5】2的绝对值是 ． 【难度】1星【解析】关键是判断原数（原式）的正负．2【巩固】的相反数是 ；倒数是 ；绝对值是 ．【难度】1星 【解析】略．；．模块三 实数的大小比较1 利用数轴比较大小因为数轴上右边的点表示的数，总是比左边的点表示的数大，所以负数小于0，0小于正数，负数小于正数. 2 利用绝对值比较大小两个正数比较大小，绝对值大的较大；两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 3 利用作差法比较大小设a 、b 是任意两实数，若0a b ->,则a b >;若0a b -=,则a b =;若0a b -<,则a b <. 4 利用作商法比较大小设a 、b 是任意两同号实数，当a ，b 都为负数时，若1a b >,则a b <；若1ab<,则a b >.【例6】 如果a b a b -= ． 【难度】2星【解析】91516<<,34∴<,3,3a b ∴==,33)6a b ∴-=-=-【答案】6-.）A ．在4.5和5.0之间B ．在5.0和5.5之间C ．在5.5和6.0之间D ．在6.0和6.5之间【难度】2星 【解析】同上． 【答案】B【巩固】已知a b ，为两个连续整数，且a b <，则a b +=_______． 【难度】2星【解析】由已知可知3,47a b a b ==∴+=． 【答案】7【例7】 若01b <<则2b ，b ，1b这四个数有下列关系（ ）A. 2b <b <<1bB. 2b <<1b <bC.1b<<b <2b D. <1b<2b <b 【难度】1星【解析】采用特殊值法，此题可令14b =． 【答案】A【巩固】15三个数的大小关系是（）A. <15<B. <15<C. <<15D. <<15【难度】2星【解析】利用平方法比较大小，2224=，2226=，215225=224225226,15<<∴<【答案】A模块四实数的运算1.运算律加法交换律a+b=b+a加法结合律()()a b c a b c++=++乘法交换律ab=ba乘法结合律()()ab c a bc=分配律a（b+c）=ab+ac注意：关于有理数的运算律和运算性质，在进行实数运算时仍然成立.2. 混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.【例8】化简：（1）21（2）34（3）12011+【难度】1星【解析】（1）2121)211=-==-；（2）34341=+=；（3）12011+1201211+=【答案】（1）1-；（2）1；（3）1．【例9】已知等腰三角形一边长为a，一边长b，且22(2)90a b b-+-=．求它的周长．【难度】2星【解析】a，b为三角形的边长，0,0a b∴>>，又22(2)90a b b-+-=，220,90a b b∴-=-=，33,2b a∴==，故三角形的三边长为3,3,32 或33,,322（舍去），故三角形的周长为3133722++=．【答案】172模块五 近似数、有效数字和科学记数法1. 近似数：将一个数四舍五入所得到的数．2. 有效数字：一个近似数从左边第一个不是零的数字起，到精确的数位为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字． 3. 科学记数法：把一个数表示成10n a ⨯的形式，其中110a ≤<,n 为整数．注意：用科学计数法表示的数10n a ⨯，其有效数字只与a 有关，就是a 的有效数字；精确度却和a 、10n有关，是a 的精确度乘10n 所得的结果.如54.3010⨯有三个有效数字，分别是4,3,0；4.30精确到0.01，60.011010000⨯=，故54.3010⨯精确到千位.【例10】 我国第六次全国人口普查数据显示，居住在城镇的人口总数达到665 575 306人，将665 575 306用科学记数法表示（保留三个有效数字）约为（ ）A ．B ．C ．D ．【难度】1星 【解析】略 【答案】C【例11】 指出下列各近似值精确到哪一位：（1）56.3；（2）5.630；（3） 65.6310⨯；（4） 5.630万【难度】1星 【解析】略 【答案】（1）十分位；（2）千分位；（3）万位；（4） 十位．【例12】 指出下列近似数有几个有效数字：（1）0.319；（2）0.0170；（3） 4.46万；（4） 85.2910⨯【难度】1星 【解析】略 【答案】（1）3个；（2）3个；（3） 3个；（4） 3个．模块六 平方根、算术平方根、立方根平方根：如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a的平方根，记作766.610⨯80.66610⨯86.6610⨯76.6610⨯方根，负数没有平方根，0的平方根是0.算术平方根：正数a 的算术平方根为0.立方根：如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立方根是0.注意：（1）当被开方数扩大(或缩小)2n 倍，它的算术平方根相应地扩大(或缩小)n 倍(0n ≥)． （2）平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：若0a ≥，则2a =； 不管a (0)||(0)a a a a a ≥⎧=⎨-<⎩（3）若一个非负数a 介于另外两个非负数1a 、2a 之间，即120a a a ≤<<时，它的算术平方根也之间，即：0≤<<算一个非负数的算术平方根的大致范围．【例13】 ）A ．81B ．3±C ．3D ．3-【难度】2星 【解析】略 【答案】B 【例14】 若24m -与31m -是同一个正数的平方根，则m 为（ ）A ．3-B ．1C ．-1D ．3-或1【难度】2星【解析】由于一个正数的平方根有两个，且互为相反数，由此即可得到2m -4与3m -1相等或互为相反数，然后列方程即可解决问题． 24m -与31m -是同一个正数的平方根， ∴24m -=31m -或24(31)m m -=--， 解得：3m =-，或1m =． 故选D ．【答案】D2，则(25)x +的平方根是 ；若5=，则x = .【难度】2星【解析】考察的是数的开方 【答案】3±；5±．【例15】 一个自然数的算术平方根为a ，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）．A ．1a +B ． 21a +C ． 22a +D【难度】2星 【解析】首先根据算术平方根的定义求出自然数，然后即可求出这个自然数相邻的下一个自然数．一个自然数的算术平方根为a ， ∴这个自然数是2a ．∴和这个自然数相邻的下一个自然数是21a +． 故选B ．【答案】B【巩固】设a a 的值是 ． 【难度】3星【解析】201222503.503a =⨯⨯∴=． 【答案】503【例16】 1.22== _____.【难度】2星 【解析】略 【答案】122-【例17】 已知2a -的平方根是2±，27a b ++的立方根是3，求22a b +的算数平方根． 【难度】2星【解析】22(2),6a a -=±∴=；3273a b ++=且6a =，8b ∴=，10=． 【答案】10【巩固】已知A =是3n m -+的算术平方根，2m B -=7m n +的立方根，求B +A 的平方根．【难度】2星【解析】由题可知3233m n m n -=⎧⎨-+=⎩，解得63m n =⎧⎨=⎩，0A ∴==，3B ===，∴【答案】a =，2yb =(0y <)8(4b a >)18=，求xy 的值.【难度】2星 【解析】2(4)8,48,4,48a b a b b a b a -=∴-=>∴-=；又33()18,18a b a b +=∴+=，解得2,16a b == 8,4,32x y xy ∴=-=-=．【答案】32【例18】 若11a b ++=，求23ab c +-的值． 【难度】2星【解析】原式可变为(1)10a b -++=，2(1)10,1,1,1a b a b c -+++=∴==-=2312(1)314a b c ∴+-=+--⨯=-． 【答案】4-【例19】 已b ，求4321237620b b b b+++-． 【难度】３星【解析】本题采用了整体代入的数学思想．91416<<，34,<的整数部分为3，小数部分为3b =，3b =+，左右平方可得21496b b =++，256b b ∴=-， 4321237620b b b b +++-=22(56)12(56)37620b b b b b -+-++- 222225366060723762025620255662010b b b b b b b b b b =+-+-++-=++-=+-+-=【答案】10．模块七 二次根式的基本概念及化简二次根式概念0a ≥）的式子叫做二次根式． 二次根式的基本性质：0≥（0a ≥）双重非负性； 2a =（0a ≥）；(0)(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩【例20】 设y =，求使y 有意义的x 的取值范围.【难度】２星【解析】对二次根式定义的考察20210x x -≥⎧⎨+>⎩，解得122x -<≤． 【答案】122x -<≤【巩固】当x 时，．【难度】２星【解析】对二次根式定义的考察，通过观察可以发现2223(1)220,x x x -+=-+≥>∴要使22023xx x -≥-+，20x -≥即可，2x ∴≤．【答案】2x ≤【例21在实数范围成立，那么x y z +的值是多少？ 【难度】２星0a ≥）的考察．由题可知20110,20110,2011z z z -≥-≥∴=，0，260,20,3,2x y x y ∴-=+=∴==-321201*********x y z +-∴===．【答案】2011【巩固】若m =定m 的值. 【难度】3星0a ≥）的考察，但是如果能观察出199x y -+与199x y --互为相反数此题会更直接．1990,1990,1990,199x y x y x y x y -+≥--≥∴--=∴+=，0，3520230x y m x y m +--=⎧∴⎨+-=⎩，解得264x m y m=-⎧⎨=-⎩，2642x y m m m ∴+=-+-=-，2199m ∴-=201m ∴=．【答案】201总结： 0a ≥0≥重非负性．【例22】 化112a ≤≤） 【难度】2星a =，去绝对值时，一定要注意a 的正负．211a a =---， 112a ≤≤，∴原式=21(1)21132a a a a a ---=--+=-． 【答案】32a -【巩固】设012x y <<<<，则=__________.【难度】3星【解析】012x y <<<<， ∴原式=2122(1)(2)21221x y x y x y x y x y x yx ==-+----=-+----=-+-+-+=+【答案】21x +总结：a ，而不是直接化简成a ，因为去绝对值时，a 的正负不同结果是不同的．二次根式的乘除最简二次根式：0a ≥）中的a 称为被开方数．满足下面条件的二次根式我们称为最简二次根式：被开放数的因数是整数，因式是整式（被开方数不能存在小数、分数形式）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式分母中不含二次根式二次根式的计算结果要写成最简根式的形式．=0a ≥，0b ≥）=0a ≥，0b >） 利用这两个法则时注意a 、b 的取值范围，=，a 、b 都非负，否则不成立，≠【例23】 已知0xy >，化简二次根式 ） ABC． D．【难度】2星【解析】解题的关键是确定被开放式字母的符号．由题可知20x >，且20,0y y x -≥∴≤，又0xy >，0x ∴<，∴原式=． 【答案】D【巩固】化简二次根式的结果是 ． 【难度】2星【解析】解题的关键是确定被开放式字母的符号．【答案】【例24】） A ． 1111n n +++ B ． 1111n n-++ C ． 1111n n +-+ D ． 1111n n--+ 【难度】3星【解析】原式1111n n ===+-+．【答案】C22010的结果是 ．【难度】3星【解析】解本题时注意完全平方公式的应用．原式2201022010=2222222201020102010200920093120102009201060271401960282009====+⨯+-=-++=-+=．【答案】2009【例25】 计算（1）02321(3)()(1)2π------ （2） （3）2(4+ （4）22⨯【难度】2星【解析】（1）02321(3)()(1)2π------11141222=-+-=- ； （2）=2212186-=-=- ；（3）2(4+164561=+++；（4）22⨯=22(52)9⨯=-=．【答案】（1）122-；（2）6-；（3）61+（4）9．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式．分母有理化：把分母中的根号化去叫做分母有理化．互为有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，说这两个代数式互为有理化因式．0．【例26】 若最简根式2m -是同类二次根式，则m ＝ ，n＝ ．.【难度】2星【解析】判断是同类二次根式首先必须是最简二次根式，然后被开方数完全相同即可．由题可知212252726m n m n m n -+=⎧⎨+-=+-⎩，解得94m n =⎧⎨=⎩． 【答案】9 ， 4【例27】 =的整数解有 组.【难度】3星【解析】,,x y ，∴=， ∴=,m n 为0或正整数），2m n ∴+=，0,1,2m ∴=．【答案】3【例28】 当m =2422m m m +--的值是 ． 【难度】1星【解析】2422m m m +--=22442222m m m m m m --==+---，m =2)2-=，原式=22+=．【答案】课堂检测：【练习1】若4m ，则估计m 的取值范围 ．【难度】2星【解析】67,243<<∴<<【答案】243<<【练习2】阅读下面数学领域的滑稽短剧,你觉得结果2=3荒谬吗?找出它们错误的根源吗?第一幕：410915-=- 第二幕：等式两边同时加164，1410691564-+=-+14第三幕：上式变形，得22225555222()323()2222-⨯⨯+=-⨯⨯+ 第四幕：利用2222()a ab b a b -+=-，得到：2255(2)(3)22-=- 第五幕：两边开平方，得552322-=- 第六幕：两边加上52，得到等式23=！ 【难度】2星【解析】荒谬．第五幕时出了错误．开方时，没有分类讨论． 第五幕：两边开平方，得552322-=-（舍去）或552322-=- 第六幕：移项得，5232,2+=⨯即55= ． 【答案】荒谬．第五幕时出了错误．开方时，没有分类讨论．【练习3】b =，求a ，b 的值. 【难度】2星【解析】考察二次根式非负性．【答案】11,2a b =-=-．【练习4】阅读下列解题过程：（1=== （2== 请回答下列问题：（1）观察上面解题过程,的结果为__________________．（2）利用上面所提供的解法，请化简：2010+ 【难度】2星【解析】对原式的每一项进行分母有理化，原式12011+1．【答案】（1（21【练习5】当n是一个整数．【难度】3星231n n =====++n为整数，∴231n n ++为整数．=231n n ++．课后作业：1. 把根号外的因式移到根号内得 （） AB ．C ． D【难度】2星【解析】略【答案】 C2. 已知整数x 、y=x ，y ）的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3【难度】2星【解析】略【答案】D3. 设a b ，都是实数，且0a a +=，ab ab =，0c c -=，那么化简b ac -为（ ）A ．2c b -B ．22b a -C ．b - D.b【难度】2星 【解析】0,0,a a a +=∴≤,0.0.0.ab ab b c c c =∴≤-=∴≥∴原式=b a b c b c a b -++-++-=，故选D ．【答案】D4.设a 、ba =，求222ab -++的值【难度】2星【解析】由已知可得2a b ==，∴222a b -++=222(224a -+=+=． 【答案】45. 化简下列各式（1）0x >，0y >） （2）（0a >，0b >） 【难度】2星【解析】（1（0x >，0y >）2x y ==（2（0a >，0b >）==【答案】（1（26. 请你观察、思考下列计算过程2211121,11;11112321,111;==== ．【难度】2星=111111111．【答案】1111111117.计算：【难度】3星a b c ==，把二次根式转化成分式计算．原式=()()()()()()a b c a b a c b a b c c a c b ++------()()()()()()()()()0()()()0a b c b a c c a b a b a c b c ab ac ba bc ac bc a b a c b c a b a c b c ---+-=-----++-=---=---= 【答案】0。
第6讲+有理数、实数,二次根式的计算
第六周 无理数与实数，二次根式的意义及乘除计算本节目标：1、 明确二次根式具有双非负性。
2、 会逆用公式(•、a)2= a (a _ 0)将多项式在实数范围内进行因式分解。
—2.. i a (a _0)3、 弄懂二次根式的性质： .a = a =(av0)4、 能熟练进行二次根式乘除法、加减法计算。
5、 会进行代入求值的计算。
6、 二次根式的概念及性质 实数部分知识点：1、 实数和数轴上的点是 对应的，数轴上每一个点都表示唯 个实数。
2、 实数集的分类还可以这样分:正分数 i 负分数3、比较有理数的大小(1 )利用数轴，右边 > 左边(2) 正实数 >负实数，两个负数比较，绝对值大的反而小。
(3) 两个无理数比较大小，通常先求出近似值，再比较大小。
(4) 其他常用方法：作差法、作商法、平方法板块一：无理数与实数【例1】-,0,0.5,―工，—2 ,，6,0.1010010001……，-，这些数中，有理数有 ______________________3 7____________________ ，无理数有 _______________________________________________ 。
【例2】求下列各式中的x(1) x =j 2 (2)X —1=2 (3) 2x+5=7【例4】求满足下列等式的字母的取值范围有理数 实数*无理数正有理数*0 负有理数 正无理数 负无理数，有限小数或无限循环小》无限不循环小数有理数、负整数 无理数」'正无理数负无理数(1) x =x(2) x = —x (3) 2a —73=石―2a【例5】比较大小(1) 3-3与.、2 ( 2) 一-10 与一二(3) 2.3 与3...2 (4) ..、6 •2与..3 • ... 5 (平方法)(5) ..2-a与32a-5 (正负法) (6) 2^- 7与、一7 -3 (作差法)(7) 3 3与•、2 (根指数统一)【例6】,5的整数部分是 ________ ，小数部分是___________ 。
第一课时：实数 二次根式 大小比较及运算
知识点 1 实数的概念及分类1．整数和________统称为有理数；____________叫无理数；有理数和无理数统称为________．分类：(1)按定义分类 实数⎩⎪⎨⎪⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数⎩⎪⎨⎪⎧正整数0负整数分数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正分数负分数有限小数或 小数无理数⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫正无理数负无理数 小数 (2)按正负分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ ⎩⎪⎨⎪⎧正整数正分数正无理数⎩⎨⎪⎧负有理数⎩⎪⎨⎪⎧负整数负分数【名师提醒】1、任何分数都是有理数，如23，－45等；2、常见的几种无理数：①根号型，如5，8等开方开不尽的数；②构造型，如0.1010010001……；③π及含π的数，如π，π＋4等．3、2π是 数，不是 数，722是 数，不是 数。
4、0既不是 数，也不是 数，但它是自然数.提分必练：下列各数：13，π，38，cos 60°，0，3，其中无理数的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 知识点2 实数的相关概念1、数轴：规定了 、 、 的直线叫做数轴， 和数轴上的点是一一对应的，数轴的作用有 、 、 等。
2、相反数：只有 不同的两个数叫做互为相反数，a 的相反数是 ，0的相反数是 ，互为相反数的两 个数（除0以外）分别位于数轴上原点的两侧， 且到原点的距离__________。
3、倒数：实数a 的倒数是 ， 没有倒数，倒数是它本身的数是___，a 、b 互为倒数⇔4、绝对值：在数轴上表示一个数的点离 的 距离叫做这个数的绝对值。
因为绝对值表示的是距离，所以一个数的绝对值是 数， 我们学过的非负数有三个： 、 、 。
化简绝对值的公式： |a|＝⎩⎪⎨⎪⎧ （a ≥0），（a<0），一对相反数在数轴上的对应点到原点的距离相等，因此它们的绝对值__________。
【名师提醒：a+b 的相反数是 ，a-b 的相反数是 ,0是唯一一个没有倒数的数，相反数等于本身的数是 ，倒数等于本身的数是 ，绝对值等于本身的数是 】提分必练：1.－12的绝对值的相反数是( )A .12B ．－12C ．2D ．－2 2.－2015的相反数是________． 3．|－8|的倒数是________．知识点 3 科学记数法 1.科学记数法：把一个数写成________或_______的形式(其中________≤|a|<________，n 为整数)，这种记数法称为科学记数法．例如574000记作________，－0.000737记作________．2.精确度与近似数：近似数与准确数的接近程度通常用________表示：近似数一般由________取得，________到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，如5.3746精确到0.001或精确到千分位是________.4.46万是精确到________位．提分必练：已知空气的单位体积质量是0.001239g /cm 3，则用科学记数法表示该数为( )A ．1.239×10－3g /cm 3 B ．1.239×10－2g /cm 3C ．0.1239×10－2g /cm 3D ．12.39×10－4g /cm 3 【方法点拨】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a 和n 的值． (1)a 值的确定：1≤|a|<10； (2)n 值的确定：A ．当原数大于或等于10时，n 等于原数的整数位数减1；B ．当原数大于0且小于1时，n 是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)；知识点 4 数的开方1、若x 2=a(a 0),则x 叫做a 的 ，记做±a ，其中正数a 的 平方根叫做a 的算术平方根，记做 ，正数有 个平方根，它们互为 ，0的平方根是 ，负数 平方根。
数学天地二次根式与实数运算
数学天地二次根式与实数运算数学天地：二次根式与实数运算数学是一门精确而又广泛应用的学科，其中二次根式与实数运算是数学中的重要概念之一。
本文将介绍二次根式的定义与性质，以及实数运算的基本规则和应用。
一、二次根式的定义与性质1. 二次根式的定义二次根式是指形如√a的数，其中a为一个非负实数。
二次根式的特点是结果是一个实数，且满足以下性质：（1）非负数的二次根式，结果是非负实数；（2）零的二次根式，结果仍为零；（3）负数的二次根式，结果是虚数，无实数解。
2. 二次根式的化简化简二次根式是将根号里的数尽可能提取出来，以便更方便进行实数运算。
常见的化简规则包括：（1）同底数相乘或相除：√a * √b = √(a * b)，√a / √b = √(a / b)；（2）同底数相加或相减：√a + √b ≠ √(a + b)，√a - √b ≠ √(a - b)；（3）乘方：(√a)² = a。
二、实数运算的基本规则和应用1. 实数运算的基本四则运算实数运算包括加法、减法、乘法和除法。
其基本规则如下：（1）加法规则：a + b = b + a；（2）减法规则：a - b ≠ b - a；（3）乘法规则：a * b = b * a；（4）除法规则：a / b ≠ b / a。
2. 实数运算的应用实数运算在现实生活中有着广泛的应用，例如：（1）计算金融相关问题：利率计算、投资回报率等；（2）物理学中的力、速度、加速度等问题的计算；（3）几何学中的长度、面积、体积等问题的计算；（4）经济学中的成本、销售额、利润等问题的计算。
总结：本文介绍了数学中的二次根式与实数运算的基本概念与应用。
二次根式是一种特殊的根式，其结果为实数，但在处理负数时会得到虚数。
实数运算是数学运算的基本规则，其四则运算在现实世界中有着广泛的应用。
数学天地广阔而深奥，希望本文能够为读者提供一些有关二次根式与实数运算的基本了解，并能够在实际问题中运用数学的方法解决难题。
第05讲 实数与二次根式(易错点梳理+微练习)(解析版)
第05讲实数与二次根式易错点梳理易错点梳理易错点01混淆平方根与算术平方根对于正数a 来说，a ±表示a 的平方根，a 表示a 的算术平方根。
易错点02混淆平方根与立方根的性质正数的平方根有两个，它们互为相反数；负数没有平方根，实数a 的立方根只有一个，无论a 是正数、负数还是0。
易错点03二次根式概念理解错误对二次根式的定义理解不透，认为只要带二次根号即为二次根式，忽视了二次根式a 中0≥a 的条件，所以在平时做题中必须特别注意理解二次根式的被开方数是非负数。
易错点04二次根式运算顺序出错由于乘除是同一级运算，因此按顺序哪个在前，要先算哪个运算。
易错点05错用二次根式的性质二次根式的性质有)0,0(≥≥∙=b a b a ab ；)0,0(>≥=b a ba ba ，切记不存在b a b a ±=±。
易错点06解题时忽视限制条件应用二次根式的运算性质)0,0(≥≥∙=b a b a ab ，)0,0(>≥=b a ba ba 时，必须要满足括号里的条件。
考向01平方根例题1：（2021·四川凉山·）A ．9B ．9和﹣9C ．3D ．3和﹣3【答案】D【思路分析】先化简，再根据平方根的地红衣求解．3±，故选D ．【点拨】本题考查了平方根的定义，熟练掌握平方根的定义是解答本题的关键，如果一个数的平方等于a ，则这个数叫做a 的平方根，即x 2=a ，那么x 叫做a 的平方根，记作x =±．例题2：（2021·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）下列计算正确的是（）A ．4=±B ．()2234636m n m n =C ．24833a a a ⋅=D ．33xy x y-=【答案】A【思路分析】根据平方根，幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式及合并同类项的运算法则分别对每一个选项进行分析，即可得出答案．【解析】A 、4=±，正确，故该选项符合题意；B 、()2234639m n m n =,错误，故该选项不合题意；C 、24633a a a ⋅=，错误，故该选项不合题意；D 、3xy 与3x 不是同类项，不能合并，故该选项不合题意；故选：A ．【点拨】本题考查了平方根、幂的乘方与积的乘方，单项式乘以单项式以及合并同类项，熟练掌握平方根的定义、幂的乘方与积的乘方、单项式乘以单项式以及合并同类项的运算法则是解题关键．考向02立方根例题3：（2021·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（）A ．2(3=-B=C1=D ．1)3+=【答案】B【思路分析】根据二次根式的运算及立方根可直接进行排除选项．【解析】解：A 、(23=，错误，故不符合题意；B =，正确，故符合题意；C 1=-，例题4：（2021·江苏南京·中考真题）一般地，如果n x a =（n 为正整数，且1n >），那么x 叫做a 的n 次方根，下列结论中正确的是（）A ．16的4次方根是2B ．32的5次方根是2±C ．当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小D ．当n为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而增大【答案】C【思路分析】根据题意n 次方根，列举出选项中的n 次方根，然后逐项分析即可得出答案．【解析】A.42=16 4(2)=16-，∴16的4次方根是2±，故不符合题意；B.5232= ，5(2)32-=-，∴32的5次方根是2，故不符合题意；C.设x y =则155153232,28,x y ====1515,x y ∴>且1,1,x y >>,x y ∴>∴当n 为奇数时，2的n 次方根随n 的增大而减小，故符合题意；D.由C 的判断可得：D 错误，故不符合题意．故选C ．【点拨】本题考查了新概念问题，n 次方根根据题意逐项分析，得出正确的结论，在分析的过程中注意x 是否为负数,通过简单举例验证选项是解题关键．考向03实数例题5：（2021·山东日照·中考真题）在下列四个实数中，最大的实数是（）A ．-2BC ．12D ．0【答案】B【思路分析】根据实数的大小比较方法进行比较即可．【解析】解： 正数大于0，负数小于0，正数大于负数，∴1022>>>-，故选：B ．【点拨】本题考查了实数的大小比较，理解“正数大于0，负数小于0，正数大于负数”是正确判断的关键．例题6：（2021·贵州毕节·中考真题）下列各数中，为无理数的是（）A ．πB ．227C ．0D ．2-【答案】A【思路分析】根据无理数的定义逐项判断即可．【解析】A 、π是无理数，符合题意；B 、223.1428577= 小数点后的142857是无限循环的，则227是有理考向04二次根式的概念与性质例题7：（2021·湖北襄阳·中考真题）x 的取值范围是（）A ．3x ≥-B ．3x ≥C ．3x ≤-D ．3x >-【答案】A【思路分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式，即可求解．在实数范围内有意义，∴x +3≥0，即：3x ≥-，故选A ．【点拨】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方式是非负数，是解题的关键．例题8：（2021·浙江杭州·中考真题）下列计算正确的是（）A2=B 2=-C 2±D 2=±【答案】A【思路分析】由二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案．2==，故A 正确，C 2=，故B 、D 错误；故选：A ．【点拨】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握性质进行判断．考向05二次根式的乘除例题9：（2021·湖南株洲·中考真题）计算：4-=（）A ．-B ．－2C ．D ．【答案】A化简，然后根据乘法法则运算即可．【解析】解：()44--⨯-A ．【点拨】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．例题10：（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）AB C D 【答案】D【思路分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方最简二次根式，故本选项不符合题意；C |a ，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；D 、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D ．【点拨】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．考向06二次根式的加减例题11：（2021·广西梧州·中考真题）下列计算正确的是（）A=B =C ．2=D ．2＝2【答案】D【思路分析】根据二次根式的性质和二次根式的加法法则和除法法则逐一进行计算，从而得出答案；=A B=选项C 错误；）2＝2，选项D 正确；故选：D【点拨】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键例题12：（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（）ABC D 【答案】D【思路分析】把每个选项中的不是最简二次根式化为最简二次根式即可作出判断．【解析】A =B =与类二次根式，故此选项错误；C 故此选项错误；D ==，D ．【点拨】本题考查了二次根式的化简，同类二次根式的识别等知识，注意二次根式必须化成最简二次根式．微练习一、单选题【答案】B<<∴56<，∴30的算术平方根介于5与6之间．故选：B ．2．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）下列计算：①222+=a a a ，②(1)x y x xy +=+，③46，④236() mn mn =，正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】解：①23a a a +=，故①错误；②(1)x y x xy +=+，故②正确；③446+，故③正确；④2336() mn m n =，故④错误；故正确的有②，③，共2个，故选：B ．3．（2021·湖南师大附中博才实验中学一模））A ．4和5之间B ．5和6之间C ．6和7之间D ．7和8之间【答案】B∴56，5和6之间；故选B ．4．（2021·广东·珠海市紫荆中学三模）下列四个实数中，最小的数是（）A ．5-B ．14C ．0D 【答案】A【分析】解：∵-5＜0＜14，A ．227B C ．3.1415926D 【答案】B【分析】解：A .227是分数，属于有理数；B 是无理数；C .3.1415926是有限小数，属于有理数；D 3=是整数，属于有理数；故选：B ．6．（2021·重庆·西南大学附中模拟预测）在函数2y x =-中，自变量x 的取值范围是（）A ．1x >-B ．1x ≥-C ．1x ≥-且2x ≠D ．1x >-且2x ≠【答案】C【分析】解：根据题意得：1020x x +≥⎧⎨-≠⎩，解得：x ≥−1且x ≠2．故选：C ．7．（2021·山东兰陵·一模）实数a ，b 在数轴上对应的点的位置如图所示，化简a 的结果是（）A ．2a b -+B ．2a b -C ．b -D ．b【答案】A【分析】解：由数轴可知，a ＜0＜b ，∴a -b ＜0∴2a a b a b a =-+-=-；故选：A8．（2021·江苏建邺·二模）2b =-，则b 满足的条件是（）A ．2b ＞B ．2b ＜C ．2b ≥D ．2b ≤【答案】D2b =-∴20b -≥∴2b ≤故选：D ．9．（2021·内蒙古包头·三模）下列说法中，真命题有（）有意义，则1x >；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则c 的值为8；1≥x ，故错误；②已知27α∠=︒，则α∠的补角是153︒，故正确；③已知2x =是方程260x x c -+=的一个实数根，则22-12+c =0，解得c =8，故正确；④在反比例函数2k y x-=中，若0x >时，y 随x 的增大而增大，则k -2＜0，则k 的取值范围是2k <，故错误；故选：B ．10．（2021·重庆·字水中学三模））A ．5和6之间B ．6和7之间C ．7和8之间D ．8和9之间．【答案】C【分析】解:===== 78∴<介于7和8之间，故选：C ．11．（2021·广西·南宁十四中三模）下列属于最简二次根式的是（）AB C D 【答案】B【分析】A.3=开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；B.是最简二次根式，故此选项符合题意；3=含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；D.10=被开方数是分数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；故选B 12．（2021·甘肃庆阳·二模））A B ．3C ．D ．【答案】D【分析】解：S =D13．（2021·福建·厦门市第九中学二模））AB C ．3D合题意；C.3 D.=故选D．14．（2021·广东·江门市第二中学二模）下列运算正确的是（）B．AC．x5•x6＝11x D．（x2）5＝7x【答案】C【分析】解：A不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；B、12a，故B选项错误；C、x5•x6＝11x，故C选项正确；D、（x2）5＝10x，故D选项错误，故选：C．15．（2021·福建南平·二模）下列运算正确的是（）A=B=C2=D=【答案】A【分析】解：A=B：选项错误，不符合题意；C：选项错误，不符合题意；D：选项错误，不符合题意；故答案选A．二、填空题16．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）______．【答案】1或2．【分析】解：∵23=∴23<<，1，2，故答案为：1或2．17．（2021·江苏·连云港市新海实验中学二模）______________．【答案】2【分析】解：原式=2，故答案为：2．|＝__．18．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）30+|﹣119．（2021·陕西·西安市铁一中学模拟预测）112-⎛⎫= ⎪⎝⎭____________．【答案】2-【分析】解：原式2=2=．故答案为2-．20．（2021·黑龙江·哈尔滨市萧红中学三模）=_______．【答案】32【分析】解：原式=32=．故答案为：32．21．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）=______．【答案】22=，故答案为：2．22．（2021·山东·济宁学院附属中学三模）已知1y ==_______．【答案】2【分析】 1y =，2020x x -≥⎧⎨-≥⎩，解得2x =，1y =∴，∴2=．故答案为：2．23．（2021·山东省诸城市树一中学三模）已知1a =，1b -，则33a b ab -=__________．【答案】【分析】解：33a b ab -()22ab a b =-()()ab a b a b =+-，∵1a +，1b =，∴)11211ab ==-=，11a b +-=112a b -=+-=，24．（2021·陕西·交大附中分校模拟预测）21|3|()2--+-．【答案】4【分析】解：原式＝3﹣3+4＝4．25．（2021·湖南师大附中博才实验中学二模）计算：201332-⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭【答案】【分析】解：原式=143+-+=26．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）计算：11()(53--．【答案】2-【分析】解：11()(53--35=-+2=．27．（2021·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测）1124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭21124-⎛⎫+ ⎪⎝⎭42=+2=．。
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11.4无理数与实数教学目标：1.知识与技能：（1）了解无理数的概念和它的本质特征----无限不循环；（2）会用整数估计无理数的大小；（3）知道无理数可以用数轴上的点表示.2.过程与方法：（1）学生亲身经历无理数的发现过程，体会无理数引入的必要性,在一系列的探究活动中，让学生体验数系扩展的过程，提高学生的数学素养，形成科学的思维方式；（2）培养学生的数感和估算能力.3.情感与态度：（1）创造一个让学生自主探索与合作交流进行学习的氛围，让学生体验探索、交流、合作的乐趣；（2）在学生的讨论和问题解决的探索中，通过对学生学习方法的指导，提高学生的探究能力与合作精神.教学重点：无理数概念的本质教学难点：无理数的发现过程和概念的建立教学方法：引导发现法、探索合作交流教学用具：计算器、多媒体教学过程：（一）创设问题情景：探究活动①：折纸活动拿出边长为2cm的正方形纸片，按照如图所示的方式折纸.问题：阴影部分的正方形的面积是多少？边长是多少？（学生动手实践并讨论后回答）小结：阴影正方形的边长恰好是边长为1cm的正方形的对角线，所以边长为1个单位长度的正方形的对角线长为2.（二）探索新知过程：1.自主探索，初步认识：议一议：2是面积为2的正方形的边长，是边长为1的正方形的对角线长，是2的算术平方根，那么2等于多少呢？是否能估算出它的大致范围？（学生分组讨论，教师指导）学生探索过程：因为12=1，22=4，32=9，…,平方数越来越大，所以1＜2＜2且不是一个整数；因为1.52＝2.25，1.42＝1.96，…，所以1.96＜2＜2.25；……（有能力的学生可以用计算器按这个思路继续估算）活动②：用计算器计算：2＝_____________；用计算器计算：1.4142135622＝_____________.问题： 1.414213562不是2的算术平方根，什么原因？是计算器算错了吗？结论：不是计算器算错了，1.414213562的平方不等于2，只是接近2，这一方面说明1.414213562不是2的算术平方根，但另一方面还说明用计算器算得的2的值是一个近似值，不是准确值.计算器显示的不是全部数据.2. 教师主导，全面认识：（程度好的学生可补充讲解）因为1.4142135622＝1.999999999<2， 所以可设2＝1.414213562＋r ，0<r<1,两边平方，得2＝1.4142135622+2×1.414213562r ＋r 2，因为r 2是个很小的数，我们把它略去，得2≈1.4142135622+2×1.414213562r ……用计算器算得r ＝3.731048932×10-10, 所以2＝1.414213562…… （有条件的学校可用计算机展示2的小数点后面400位，增强学生对2是一个“无限不循环小数”的信服）3. 抽象概括，形成认识： 想一想：2＝1.414213562… 有什么特点？是我们学过的数吗？（教师不急于让学生回答问题，先让学生考虑下面问题）活动③ 把下列各数表示成小数： 6，53，31，71； 问题：它们的小数部分有什么特点？（学生动手计算并思考后回答，教师总结）结论：有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示.活动④ 把下列小数化成分数：0.25，6.0 -； 问题：什么样的小数可以化成分数？（学生动手计算并思考后回答，教师总结）结论：有限小数或无限循环小数都可以化成分数，有理数都可以用有限小数或无限循环小数表示，任何有限小数或无限循环小数都是有理数.也就是说，有理数只能和有限小数或无限循环小数等同.无理数定义：无限不循环小数叫做无理数.问题：你能举出一些无理数的例子吗？（学生举的例子不全时，补充：0.101001000100001…（两个1之间依次多一个0），π＝3.141592654…感兴趣的学生可以查阅有关资料进行了解，加深对概念的理解）历史上，对数学作出突出贡献的毕达哥拉斯学派曾断言：“世界上只有整数和分数，除此之外，就再没有其它的数了.”可见，这个断言是荒谬的.从无理数的发现到被承认历经磨难，此内容可以参看阅读材料《“无理数”的由来》，了解这一段历史.活动⑤ 你能在数轴上找到表示2的点吗？（学生动手实践，教师引导，利用折纸活动的结论找到这个点，加深对无理数的认识，渗透数形结合的思想）小结：有理数可以用数轴上的点表示，无理数也可以用数轴上的点表示.4.实例辨析，深化认识：例1.下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？π- ，－3.14，3-，1.732，0.03，18，3625，3121，37-，38-， 0. 484848…，0.3131131113…（两个3之间依次多一个1）解：有理数有：－3.14，1.732，0.03，18，3625，3121，38-，0.484848… 无理数有：π-，3-，37-，0.3131131113….小结：判断一个数是有理数还是无理数，应从它们的定义去辨别，不能从形式上去分辨，如带根号的数不一定是无理数.例2 .判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并举例说明理由：(1)无理数都是开方开不尽的数 ( )(2)无理都是无限小数. ( )(3)无限小数都是无理数. ( )(4)不带根号的数都是有理数. ( )(5)带根号的数都是无理数. ( )(6)有理数都是有限小数. ( )小结：判断一个数是不是无理数，一定要依据无理数是无限不循环小数这一本质属性去判断，开方开不尽的数都是无理数.但无理数还包括这类数，如π是无理数，而不是由开方得到的.（三） 归纳总结：通过本节课的学习，你有哪些收获和体会？（学生畅所欲言后，教师总结）1.无理数的本质特征是无限不循环；2.探索2的过程；3.数形结合的思想.（四） 作业：书：(a②11.6 二次根式的乘法教学内容本节从具体的例子引出二次根式乘法法则，又由二次根式的乘法法则得出积的算术平方根，围绕着乘法法则和积的算术平方根的性质展开．教学目标1．知识与技能．会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的简写运算．2．过程与方法．经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方法．3．情感、态度与价值观培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良好的思维品质．重难点、关键1．重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，•会利用积的算术平方根的性质化简二次根式．2．难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用．3．关键：采用从特殊到一般总结归纳的方法、类比的方法逐步有序地展开，•由于性质、法则关系式较集中，在计算、化简和应用中又相互交错，综合运用，教学中应采取讲练结合法，让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明．教学准备1．教师准备：投影仪、制作投影片．2．学生准备：复习二次根式定义、性质，预习本节课内容．教学内容一、回顾交流，导入新知课堂复习．（投影显示）请同学们完成下列各题．1．填空．（1．（2．（3．参考上述结果，用“>”、“<”或“＝”填空．2．利用计算器计算填空．（填入“>”、“<”或“＝”）（1（2（3（4学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规律．实际上，从计算中容易得出教师活动：在学生讨论的基础上，教师进行归纳．教师归纳如下：从上述练习中可以得出两个二次根式相乘，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相乘，根指数不变．a≥0，b≥0）．引导关注：同学们应该注意a≥0，b≥0这个条件，若没有这个条件，•上述法则不能成立．因为当a<0，b<0•乘法法则显然不能成立．例如：a=-2，b=-3二、范例学习，提高认知1．例1：计算．（1（2）2．教师活动：板书例1，引导学生参与例1的学习，理解二次根式乘法法则，在讲例中应强调（1）运算方法，如（2）应将4×28（2）二次根式运算结果，应该尽量化简，如（2）中结果不要写成教师板书：（1=（2）×学生活动：参与教师讲例，理解乘法法则的运用方法以及注意问题．三、随堂练习，理解新知1．计算下列各式．（1（2（3）2．学生活动：先独立完成上述练习，再与同伴交流．教师活动：请三位同学上讲台演示，而后再次强调乘法公式的计算方法：（1）•被开方数相乘，根指数不变；（2）•最后结果要检验被开方数中是否还有能开出来的因数，以达到最简的要求．四、继续探究，拓展延伸1．例2：计算．（1） 思路点拨：例2与例1不同的是被开方数是含有字母，因此在被开方数运算中，要充分运用整式乘法法则进行运算，然后再进行化简．教师讲例：（1）中根号外因数要相乘3×2=6，被开方数相乘5a ·10b=50ab ，这样就有50化成5×2，把5开出来有：（2）中出现10-1意义，关于10-1意义，大家在整式乘除一章中学过，即10-1=110，这样（2评析：这里补充例2，其意图是对例1│a │，当然，•本章没有特殊说明，字母均表示正数．2．课堂演练．计算．（1 学生活动：在理解了例2的基础上，做上述三道题，进行巩固．教师活动：板书演练题，请两位学生上讲台完成演练题，•再通过学生“板演”中出现的问题进行纠正，加深法则的应用．五、逆向思维，专题讨论a ≥0，b ≥0）（投影显示）教师讲述：由于这是一个等式，（a ≥0，b ≥0），这里运用了数学中的逆向思维，•的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积．这里同样必须a≥0，b≥0．学生活动：在教师的引导下，理解积的算术平方根的性质，并且联系二次根式乘法法则进行比较．评析：在讲述本节第二部分积的算术平方根性质时，要注意与第一部分联系，一是化简与运算的关系，二是积的算术平方根的性质．六、范例学习，加深理解1．例3：化简．（1（2思路点拨：本例是充分运用积的算术平方根性质进行化简，对于（2教师讲例：（1××9=45；（2=10×2学生活动：参与其中，理解积的算术平方根性质的应用．方法说明：从上例可以看出，如果一个二次根式的被开方数中有的因式（或因数）能开得尽方，可以利用积的算术平方根的性质，将这些因式（或因数）开出来，从而将二次根式化简，（a≥0）．2．例4：化简．（1思路点拨：例4是在例3的基础上进行延伸的，在解（2）中，会遇到a2+y2这个式子，请注意这个式子不能再开方了．师生活动：例4可以采取教师引导下，学生自主完成，在学生思考几分钟后，•请一位学生上讲台来讲解例4．学生解答：（1==（2===评析：由例4可以看出，在化简时，•一般先将被开方数进行因式分解或因数分解，然后就可以将能开得尽方的因式或因数，用它们的算术平方根代替，移到根号外，也就是开出来．七、课堂练习，巩固新知1．课本“做一做”．2．探究时空．（1（2）一个长方形的长，宽，求这个长方形的面积．（3）设直角三角形的两条直角边分别是a，b，斜边是c，如果a=4，c=12，求b．八、课堂总结，提高认识本节主要学习二次根式的乘法法则以及积的算术平方根性质，并围绕这两个结论进行简单的二次根式化简与运算，这里，化简是将根号内能开得尽方的因式或因数开出来，运算是指简单的二次根式相乘，不包括所得结果的根号内出现分式或分数的情况．这里提出公式中a、b均为非负数，如果没有特殊说明，所有字母都表示正数，当然，还要注意产生字母只表示正数的片面认识．11.6二次根式的除法教学内容本小节仍然是从实例引出二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质，然后学习它们的运用方法．教学目标1．知识与技能．会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，会运用商的算术平方根的性质化简二次根式． 2．过程与方法．经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法．3．情感、态度与价值观．培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学的应用价值．重难点、关键1．•重点：利用二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质进行简单运算和化简．2．难点：二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质的关系及应用．3．关键：由特殊到一般，通过类比、归纳，结合练习，•让学生在认识过程中脉络清楚，条理分明．教学准备1．教师准备：投影仪、制作投影片．2．学生准备：复习上一节课内容，预习本节课内容．教学过程一、回顾交流，优化导入课堂复习．（投影显示）1．填空：（1．（2．（3=_______．2．利用计算器计算，并用“>”、“<”或“＝”填空．______学生活动：通过完成上述问题，从中找寻其中的规律．,,====．教师引导：从上面的练习中可以得到这样的结论，那就是，两个二次根式相除，实际上就是将这两个二次根式的被开方数相除，根指数不变．a≥0，b>0）教师说明：同学们应该注意a>0，b>0这个条件，若没有这个条件，•上述法则是不能成立，因为a<0，b<0•和乘法法则不同的是，这里的b是不可以取0的，这是因为，分母不能为0．二、范例学习，领会新知例1．计算．（投影显示）（1（2教师活动：引导学生参与例1的学习，理解二次根式的除法法则．思路点拨：例1中的（2．（教师板书）解：（1（2． 学生活动：参与例题的解答，从中领悟除法法则的运用方法．三、随堂学习，理解新知1．（1）计算下列各式：（2）课本练习第2（3）（4）题．学生活动：在练习中加深对法则的理解，在交流中掌握其应用方法．==（教师板书） 这样，就完成了除法运算，把分母中的根号化去，我们称为分母有理化．教师活动：讲解上述问题，引入分母有理化概念，引导学生完成下面训练．2．课堂演练，化简．（1学生活动：解答上述问题，并与同桌交流．解：（121-==；（22a b ==+ 四、逆向思维，情境合一a ≥0，b>0）（教师板书）．（a≥0，b>0），通过逆向思考，我们得到了商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根，a、b满足a≥0，b>0．五、范例学习，加深理解1．例2：化简．（1思路点拨：例2是商的算术平方根的应用．化简时，2．教师讲例：（板书）（187 ===21053ab====评析：•化简二次根式在本节中只限于被开方数中的分母可以完全开得尽方的情况．如果被开方数是带分数，在运算时，一般先化成假分数．教师活动：教师引导学生共同参与例2的解答，形成互动交流的良好氛围．六、随堂练习1．课本练习第1（3）（4）、3题．11.7 二次根式的加减法教学目标：1、 理解同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，掌握二次根式加减法的运算法则并熟练进行二次根式的加减法运算.2、 经历同类二次根式概念的形成过程，二次根式加减法的探究过程，获得把实际问题转 化为数学问题的体验和进行数学抽象、概括的感受，体会转化的思想以及类比的学习方法.3、通过独立思考与小组讨论，培养良好的学习态度，以及自主意识和合作精神.教学重点：1、同类二次根式概念的形成及其判断2、二次根式的加减法运算教学难点：对同类二次根式概念的理解教学方法：引导探究法、比较剖析法教学手段：多媒体，幻灯片教学过程:一、创设情境，导入新课：1、提出问题：“十一”国庆期间，小明到公园去游玩，公园游览图如下：（如果将游览图放在方格纸中，方格纸中每一个小正方形的边长为1米，比例尺为1∶200）小明从公园东门进入，你能帮小明求出公园东门到游乐场的距离以及从游乐场到华夏名亭的距离吗？2、学生分小组讨论得出：求公园东门到游乐场的距离S AB 和求游乐场到华夏名亭的距离S BC , 可以转化为求几条线段长度的和的问题. S AB = 1+2+2+2+2+2 ①S BC = 4+8+1+18 ②3、提出如何将这些算式化成最简形式呢？这就是本节课所要学习的内容（板书课题）说明：通过实例导入新课，引起学生学习兴趣，提出问题，使学生产生认知冲突，激发学生解决问题的欲望.二、比旧悟新，探索新知：1、 启发诱导，比旧悟新.（1）如何计算这些长度，怎样将这个陌生的问题转化为我们所熟悉的问题呢？（如果学生直接说出了正确答案，可追问是怎么得到的；如果解答有困难或表达不清，可进一步启发引导学生联想整式加减法运算进行思考）（2）观察①式：设2= aS AB =1+2+2+2+2+2= 1+a+2+a+2+a = 5+3a = 5+32.指出：①式的化简过程与整式加减法运算中的合并同类项类似.（3）提出如何化简②式呢？引导学生类比、联想、讨论得出：①式中的根式都已是最简二次根式，而②式中的8、18不是最简二次根式，所以应先将它们化为最简二次根式，再用化简①式的方式进行化简.（师生共同复习最简二次根式的概念. 8=22，18=32）2、类比转化，探求新知.（1）2a 和3a 是整式中的同类项，那么最简二次根式22和32是怎样的二次根式呢？引导学生进行类比得出：22和32是同类二次根式.（2）进一步提出8和18是不是同类二次根式.引导学生通过转化、类比、联想、自主探索、体验同类二次根式概念的形成过程. 讨论得出：8和18是同类二次根式.（3）同类二次根式的概念：几个二次根式分别化成最简二次根式后，如果被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式.三、同化新知，举一反三.1、通过观察、辨认、加深巩固同类二次根式的概念.例1：判断下列各式中，哪些是同类二次根式？① 27，72，21 75， 501. 解：∵27=332⨯=33；72=262⨯=62；2175= 21352⨯=253； 501=2102=1012. ∴72和501是同类二次根式， 27和2175是同类二次根式. ② 38ab ，ba 2，5332b a （字母均为正数） 解：∵a>0, b>038ab =ab b 2222⋅⋅= 2b ab 2；ab a =b a b a 222⋅⋅=b 21ab 2； 5332b a =ab b a 24422⋅⋅⋅=4ab 2ab 2. ∴38ab ,aba 和5332b a 都是同类二次根式. 小结：判断同类二次根式的一般步骤是什么？学生讨论得出： ① 判断是否为最简二次根式，如果不是那么化成最简二次根式.② 看被开方数是否相同.2、回过来再看看①、②两个算式.S AB = 1+2+2+2+2+2= 5+32S BC = 4+8+1+18= 4+22+1+32= 5+52两个算式的化简过程，就是二次根式的加减运算.3、二次根式加减法的法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式进行合并.合并方法为系数相加减，根式不变（被开方数不变）.4、巩固练习例2、计算：218+481—332 解：原式 = 62+2—122= —52.例3、计算：（5.0—231）—（25.0—75） 解：原式 =21—231—81+75 =22—323—412+53 =142+3133 例4、计算：x 2—38x —222xy （y<0）解：原式 =x 2—2x x 2—2y x 2=(1—2x —2y) x 2说明：采用学生板演、口答、讨论、互评等方式进行练习，并反复让学生体验二次根式加减法运算法则.5、小组讨论，集体交流.（1）讨论题：下列计算是否正确，为什么？① 2+3=5② 2+2=22③ a y —b y =a —b y④ 5a —2a =3⑤ x +x 2=x 3⑥ 21a 2+2a 2=221a 2（2）师生共同总结二次根式加减法中的注意点：① 不是同类二次根式的不能合并.② 根式前面的带分数要化为假分数.③ 结果是一个二次根式与多项式的积，必须注意多项式加上括号.（3）说明：① 通过分组讨论，发挥团队合作精神，帮助有困难的学生突破难点，使不同层次的学生在互相交流中有所提高.② 对于学生易混淆及犯错的问题的辨析，目的是让学生通过讨论，自己发现错误，找出原因，提出纠正的方法，培养学生自主学习的能力.。