2018年高中数学北师大版选修4-4参数方程题型总结课件
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2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
2
2
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
x 线AB的方程为 3 y 2
2
2
1
1 2x 3y 6 0
6 13
d
| 6 cos 6 sin 6 | 22 32
2 sin( ) 4
所以当 =
4 这时点P的坐标为( 3 2 2 , 2)
时, d 有最大值, 面积最大
x2 y2 1、动点P(x,y)在曲线 1上变化 ，求2x+3y的最 9 4 大值和最小值
A
B O N
M
设∠XOA=φ
x
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. y 解： 设∠XOA=φ, M(x, y), 则 A A: (acosφ, a sinφ), B B: (bcosφ, bsinφ), M
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2
2
把下列参数方程化为普通方程 x 3cos x 8cos (3) (4) y 10sin y 5sin
2.2 直线的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
三、例题讲解 例1 已知直线l : x y 1 0与抛物线y x 2交于 例1.
A,B两点，求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B 两点的距离之积。
分析: 1.用普通方程去解还 是用参数方程去解; 2.分别如何解. 3.点M是否在直线上 A
y
M(-1,2)
O
B
x
三、例题讲解
x y 1 0 解：由 y x2 得：2 x 1 0 x
C. 45
0
D.135
0
130 27 和8 x 15 y 85 0, 切点为（ ， ） 17 17
练习： 1、直线{ x 2 2t y 3 2t (t为参数)上与点P(2,3)
(
距离等于 2的点的坐标是
A(-4,5) C(-3,4)或(-1,2)
C
)
B(-3,4) D(-4,5)(0,1)
则 MA MB ( 1 1 5 2 3 5 2 1 5 2 3 5 2 ) (2 ) ( 1 ) (2 ) 2 2 2 2
3 5 3 5 4 2
（）如何写出直线的参数方程？ 1 l
①
（）如何求出交点 ，B所对应的参数1，t 2 ? 2 A t
(*)
由韦达定理得：1 x2 1，x1 x2 1 x
AB 1 k 2 ( x1 x 2 ) 2 4 x1 x 2 2 5 10
3 5 3 5 1 5 1 5 y1 ，y2 由(*)解得：x1 ，x 2 2 2 2 2 1 5 3 5 1 5 3 5 记直线与抛物线的交点 A( 坐标 , )，B( , ) 2 2 2 2
x x0 t cos （t为参数） y y0 t sin
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
2
2
y A
B O M N
φ
x
a b x a cos (为参数) 椭圆的参数方程: y b sin
椭圆的参数方程中参数φ的几何意义: 是∠AOX=φ,不是∠MOX=φ.
圆的标准方程: x2+y2=r2
y
P θ
x r cos 圆的参数方程: (为参数) y r sin θ的几何意义是 ∠AOP=θ
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
椭圆的参数方程
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
2
2
x a cos O N x 由已知: (为参数) y b sin 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
O
例1、如下图，以原点为圆心，分别以a，b（a＞b＞0） 为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过 点A作AN⊥ox，垂足为N，过点B作BM⊥AN，垂足为M， 求当半径OA绕点O旋转时点M的轨迹参数方程. 分析：点M的横坐标与点A的横坐标相同, 点M的纵坐标与点B的纵坐标相同. y 而A、B的坐标可以通过 引进参数建立联系.
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的长轴长为（ 4 ），短轴长为
（ 2 ），焦点坐标是（( 3 , 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
2
2
x a cos O N x 由已知: (为参数) y b sin 即为点M的轨迹参数方程. x2 y2 消去参数得: 2 2 1, 即为点M的轨迹普通方程. a b
1 .参数方程 数方程. 2 .在椭圆的参数方程中，常数a、b分 别是椭圆的长半轴长和短半轴长. a>b
O
高二数学北师大版选修4-4课件：第二章 参数方程 本章整合
参数方程
������ = 5cos������, ������ = 5sin������
−
π 2
≤
������
≤
π 2
表示的曲线是什么?
提示:先将参数方程化为普通方程再判断曲线的形状.
解:化为普通方程是 x2+y2=25,
∵-π2 ≤θ≤π2 , ∴0≤x≤5,-5≤y≤5.
∴表示以(0,0)为圆心,5 为半径的右半圆.
平行线,求所作两直线交点 P 的轨迹方程.
提示:借助于圆、椭圆的参数方程求解.
专题一
专题二
网络构建
专题归纳
解:设 A
2 2
cos������,
2 sin������
2
,B(5cos θ,4sin θ)(θ 为离心角),则所求轨迹的
������ = 5cos������, ①
参数方程为 ������ = 2 sin������②
������2 ������2
������2 - ������2
=
1(������
>
0,������
>
0)的双曲线参数方程为
������ = ������tan������,
������
=
������
1 (������为参数) cos������
代入消元法
参数方程与普通方程的互化 加减消元法
利用代数式三角函数中的恒等式消元参数
专题一
专题二
网络构建
专题归纳
专题二 参数方程的应用
1.在圆锥曲线中常涉及曲线上某点到另外一点的距离问题,利用参数方程可以转化到三角函数、二次函数 等问题来求解,利用三角函数的有界性及参数的范围得最大值或最小值.
2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4课件：第二讲 参数
2.平摆线轨迹的参数方程
x＝r（α－sin α）， (－∞＜α＜＋∞，α y＝r（1－cos α）
为参数)
3.渐开线定义 把一条没有弹性的细绳绕在一个固定圆盘的圆周上， 将铅笔系在绳的外端，把绳拉紧逐渐地展开，要求绳 的拉直部分和圆保持相切，那么铅笔会画出一条曲线，
圆的渐开线，这个圆叫作渐开线的_____. 基圆 这条曲线叫__________
︵
︵
→ OA＝(4cos θ，4sin θ). 由几何知识知∠MAB＝θ， → → → → AM＝(4θsin θ，－4θcos θ)，得OM＝OA＋AM ＝(4cos θ＋4θsin θ，4sin θ－4θcos θ) ＝(4(cos θ＋θsin θ)，4(sin θ－θcos θ)).
x＝4（cos θ＋θsin θ）， → 又OM＝(x， y)， 因此有 y＝4（sin θ－θcos θ）
分析 首先根据圆的直径可知半径为1，写出渐开线的 标准参数方程，再根据A、B对应的参数代入参数方程 可得对应的A、B两点的坐标，然后使用两点之间的距 离计算公式可得A、B之间的距离.
解
根据条件可知圆的半径是 1， 所以对应的渐开线参数方程是 π π (φ 为参数)，分别把 φ＝3和 φ＝2代入，可
︵
从上述分析可以看到，在圆周沿定直线无滑动滚动的过
程中，圆周上定点M的位置可以有圆心角φ惟一确定，因
此以φ为参数是非常自然的. 摆线的参数方程也不能化为普通方程.
【例1】 已知一个圆的摆线过一定点(1，0)，请写出该摆线的
参数方程.
解 根据圆的摆线的参数方程的表达式 (φ 为参数)可知，只需求
x＝r（φ－sin φ）， y＝r（1－cos φ）
2.1 椭圆的参数方程 课件 (北师大选修4-4)
l：x-y+4=0的距离最小.
y
分析1： P( 8 8y 2 , y), 设
则d | 8 8y 2 y 4 | 2
O x
分析2：设P(2 2 cos, sin ),
则d | 2 2 cos sin 4 | 2
P
分析3：平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求. 小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一
x a cos y b sin 是椭圆的参
另外, 称为离心角,规定参数 的取值范围是 [0, 2 )
x a cos , x b cos , 焦点在X 轴 焦点在Y 轴 y b sin . y a sin .
知识归纳 x2 y2 椭圆的标准方程: 2 2 1
点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。
x2 y2 1有一内接矩形ABCD， 例3、已知椭圆 100 64
求矩形ABCD的最大面积。
Y y D
解 : 设A 10cos ,8sin
AD 20cos , AB 16sin S 20 16sin cos 160sin 2
(3)
x 9
2
1 (4)
y 25
2
x 64
2
y 100
2
1
x 2cos 练习2：已知椭圆的参数方程为 ( 是 y sin
参数) ，则此椭圆的, 0)），离心率是 （
3 2
）。
例2、如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点P，使P到直线
O
A x
【练习1】把下列普通方程化为参数方程.
2 x y y 2 1 (2) x 1 (1) 4 9 16 x 2 cos x cos (1) (2) y 3sin y 4sin
2018版数学课堂讲义北师大版选修4-4课件：第二讲 参数
π 3 φ∈[0，2π)且 φ≠2，φ≠2π 为_______________________________.
【思维导图】
【知能要点】
1.椭圆的参数方程. 2.双曲线的参数方程.
题型一
椭圆的参数方程
x＝rcos θ， 1.和圆的参数方程 中的参数 θ 是半径 OM 的旋 y＝rsin θ x＝acos φ， 转角不同， 椭圆参数方程 中的参数 y＝bsin φ
(2)中心在
x＝x0＋acos φ， C(x0，y0)的椭圆的参数方程是 y＝y0＋bsin φ
(φ 为参数).
2.双曲线的参数方程
Hale Waihona Puke x2 y2 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数 a x＝ ， cos φ (φ 为参数) y＝btan φ 方程为________________________ ， 规定 φ 的取值范围
2
【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参 数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可 将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ 的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，
收到事半功倍的效果.
x2 y2 2.如图所示， 设 M 为双曲线a2－b2＝1(a， b＞0)上任意一点， O 为原点，过点 M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两 渐近线交于 A，B 两点.探求平行四边形 MAOB 的面积，由 此可以发现什么结论？
12 4y2 1 2y 所以 x＋2＝cos θ， ＝sin θ.消去 θ，得x＋2 ＋ 3 ＝1，这就 3
是线段 F1P 的中点的轨迹方程.
题型二
双曲线的参数方程
a x ＝ ， cos φ 与椭圆类似，双曲线的参数方程 (φ 为参数)中 y＝btan φ φ 的几何意义也是双曲线上一点 M 的离心角.
【思维导图】
【知能要点】
1.椭圆的参数方程. 2.双曲线的参数方程.
题型一
椭圆的参数方程
x＝rcos θ， 1.和圆的参数方程 中的参数 θ 是半径 OM 的旋 y＝rsin θ x＝acos φ， 转角不同， 椭圆参数方程 中的参数 y＝bsin φ
(2)中心在
x＝x0＋acos φ， C(x0，y0)的椭圆的参数方程是 y＝y0＋bsin φ
(φ 为参数).
2.双曲线的参数方程
Hale Waihona Puke x2 y2 中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线a2－b2＝1 的参数 a x＝ ， cos φ (φ 为参数) y＝btan φ 方程为________________________ ， 规定 φ 的取值范围
2
【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参 数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可 将动点用参数形式表示，从而将x，y都表示为某角θ 的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，
收到事半功倍的效果.
x2 y2 2.如图所示， 设 M 为双曲线a2－b2＝1(a， b＞0)上任意一点， O 为原点，过点 M 作双曲线两渐近线的平行线，分别与两 渐近线交于 A，B 两点.探求平行四边形 MAOB 的面积，由 此可以发现什么结论？
12 4y2 1 2y 所以 x＋2＝cos θ， ＝sin θ.消去 θ，得x＋2 ＋ 3 ＝1，这就 3
是线段 F1P 的中点的轨迹方程.
题型二
双曲线的参数方程
a x ＝ ， cos φ 与椭圆类似，双曲线的参数方程 (φ 为参数)中 y＝btan φ φ 的几何意义也是双曲线上一点 M 的离心角.
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������2 2 所以 +y =(cos 4
θ1+cos θ2)2+(sin θ1+sin θ2)2 =2+2cos(θ1-θ2)=2. 所以
������2 PQ 中点的轨迹方程为 8 ������2 + =1. 2
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
【应用 3】 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ������ = ������cos������, ������ = cos������, ������ = sin������ (φ 为参数),曲线 C2 的参数方程为 ������ = ������sin������ (a>b>0,φ 为参数). 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α 与 C1,C2 各有 π 一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α= 时,这两个交点重合. (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α= 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=- 时,l 与 C1,C2 的交 点分别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 是关键.
������ π + 2 4
物线. 又因为 x= cos + sin = 2sin , 0<θ<2π,所以 0≤x≤ 2. 所以方程为 x2=2y(0≤x≤ 2),表示抛物线的一部分.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题二
曲线参数方程的应用
曲线的参数方程通过参数反映坐标变量 x,y 之间的间接关系,其中的 参数一般具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时, 要充分注意参数的合理选择,用参数方程可以求轨迹,解决最值问题,也可以 证明恒等式. 【应用 1】 化参数方程 ������ = ������ + , ������ =
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
专题一
参数方程和普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参 数经常采用的是代入法和三角公式法.但将曲线的参数方程化为普通方程, 不只是把其中的参数消去,还要注意 x,y 的取值范围在消参前后应该是一 致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲 线. 【应用】 参数方程 线? 提示:化参数方程为普通方程,求出 x 的取值范围,进行判断. ������ = cos + sin ������ =
������ =
当 t=- 3时,
.
4 3 2 3 , 3 3
所以曲线上到直线 y=2x+1 距离最小的点为 距离的最小值为
2 15+ 5 . 5
或 -
4 3 2 3 ,3 3
,
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
������2 ������2 【应用 2】 椭圆 + =1 上有 16 4 1 率分别为 kOP,kOQ,且 kOP· kOQ=- . 4
知识建构
综合应用
真题放送
参数方程的概念 直线的参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程 参数方程 参数方程与普通方程的互化 平摆线 平摆线和渐开线 渐开线 参数方程化成普通方程 普通方程化成参数方程
平摆线的概念 平摆线的参数方程 渐开线的概念 渐开线的参数方程
1 ������ 1 ������������
(t 为参数)为普通方程,在该曲线上
求出一点 P,使它到直线 y=2x+1 的距离最小,并求此最小距离. 提示:两式平方相减可消去参数 t,再将点代入直线方程求距离表达式, 从而求出距离的最小值.
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
������2 ������2 解:根据题意,x -y =4,即 − =1 为曲线的普通方程. 4 4 1 1 设曲线上任一点的坐标为 ������ + ,t- , ������ ������ 2 1 3 2������+ ������ -t+ ������ +1 ������+ ������ +1
P,Q 两点,O 为椭圆中心,OP,OQ 的斜
(1)求|OP|2+|OQ|2 的值; (2)求线段 PQ 中点的轨迹方程.
提示:利用椭圆的参数方程,设出 P,Q 的坐标,再依题意求解. 解:(1)设 P(4cos θ1,2sin θ1),Q(4cos θ2,2sin θ2). 因为 kOP· kOQ=- ,所以 所以 cos(θ1-θ2)=0. 所以 θ1-θ2=kπ+ (k∈Z). 所以 sin2θ1=cos2θ2,cos2θ1=sin2θ2. 所以|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=20,即 |OP|2+|OQ|2=20.
2 2
则这点到直线 y=2x+1 的距离 d=
2 15+ 5 . 5 3 ������
5
=
5
≥
|2 3+1| 5
=
等号成立时,t= ,即 t2=3,所以 t=± 3. 当 t= 3时,
4 3 , 4 3 2 3 3 所以 P , . 3 3 2 3 ������ = , 3 4 3 ������ = , 4 3 2 3 3 所以 P ,3 3 2 3 ������ = , 3
1 (1 + sin������) 2 ������ 2 ������ 2
,
(θ 为参数,0<θ<2π)表示什么曲
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专题一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
专题二
解:因为 x =
2
������ ������ 2 cos + sin =1+sin 2 2 ������ 2 ������ 2
θ=2y,所以普通方程为 x2=2y,为抛
π 2 1 4 2sin ������1 2sin ������2 1 · =- . 4cos ������1 4cos ������2 4
知识建构
综合应用
真题放送
专题一
专题二
(2)设 PQ 的中点为(x,y), ������ = 2(cos ������1 + cos ������2 ), 则 ������ = sin ������1 + sin ������2 .
4 4 2
提示:由曲线的参数方程判断出曲线的形状,结合曲线的几何性质解题
θ1+cos θ2)2+(sin θ1+sin θ2)2 =2+2cos(θ1-θ2)=2. 所以
������2 PQ 中点的轨迹方程为 8 ������2 + =1. 2
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综合应用
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专题一
专题二
【应用 3】 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ������ = ������cos������, ������ = cos������, ������ = sin������ (φ 为参数),曲线 C2 的参数方程为 ������ = ������sin������ (a>b>0,φ 为参数). 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α 与 C1,C2 各有 π 一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α= 时,这两个交点重合. (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α= 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=- 时,l 与 C1,C2 的交 点分别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 是关键.
������ π + 2 4
物线. 又因为 x= cos + sin = 2sin , 0<θ<2π,所以 0≤x≤ 2. 所以方程为 x2=2y(0≤x≤ 2),表示抛物线的一部分.
知识建构
综合应用
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专题一
专题二
专题二
曲线参数方程的应用
曲线的参数方程通过参数反映坐标变量 x,y 之间的间接关系,其中的 参数一般具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时, 要充分注意参数的合理选择,用参数方程可以求轨迹,解决最值问题,也可以 证明恒等式. 【应用 1】 化参数方程 ������ = ������ + , ������ =
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专题一
专题二
专题一
参数方程和普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参 数经常采用的是代入法和三角公式法.但将曲线的参数方程化为普通方程, 不只是把其中的参数消去,还要注意 x,y 的取值范围在消参前后应该是一 致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲 线. 【应用】 参数方程 线? 提示:化参数方程为普通方程,求出 x 的取值范围,进行判断. ������ = cos + sin ������ =
������ =
当 t=- 3时,
.
4 3 2 3 , 3 3
所以曲线上到直线 y=2x+1 距离最小的点为 距离的最小值为
2 15+ 5 . 5
或 -
4 3 2 3 ,3 3
,
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������2 ������2 【应用 2】 椭圆 + =1 上有 16 4 1 率分别为 kOP,kOQ,且 kOP· kOQ=- . 4
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参数方程的概念 直线的参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程 参数方程 参数方程与普通方程的互化 平摆线 平摆线和渐开线 渐开线 参数方程化成普通方程 普通方程化成参数方程
平摆线的概念 平摆线的参数方程 渐开线的概念 渐开线的参数方程
1 ������ 1 ������������
(t 为参数)为普通方程,在该曲线上
求出一点 P,使它到直线 y=2x+1 的距离最小,并求此最小距离. 提示:两式平方相减可消去参数 t,再将点代入直线方程求距离表达式, 从而求出距离的最小值.
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������2 ������2 解:根据题意,x -y =4,即 − =1 为曲线的普通方程. 4 4 1 1 设曲线上任一点的坐标为 ������ + ,t- , ������ ������ 2 1 3 2������+ ������ -t+ ������ +1 ������+ ������ +1
P,Q 两点,O 为椭圆中心,OP,OQ 的斜
(1)求|OP|2+|OQ|2 的值; (2)求线段 PQ 中点的轨迹方程.
提示:利用椭圆的参数方程,设出 P,Q 的坐标,再依题意求解. 解:(1)设 P(4cos θ1,2sin θ1),Q(4cos θ2,2sin θ2). 因为 kOP· kOQ=- ,所以 所以 cos(θ1-θ2)=0. 所以 θ1-θ2=kπ+ (k∈Z). 所以 sin2θ1=cos2θ2,cos2θ1=sin2θ2. 所以|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=20,即 |OP|2+|OQ|2=20.
2 2
则这点到直线 y=2x+1 的距离 d=
2 15+ 5 . 5 3 ������
5
=
5
≥
|2 3+1| 5
=
等号成立时,t= ,即 t2=3,所以 t=± 3. 当 t= 3时,
4 3 , 4 3 2 3 3 所以 P , . 3 3 2 3 ������ = , 3 4 3 ������ = , 4 3 2 3 3 所以 P ,3 3 2 3 ������ = , 3
1 (1 + sin������) 2 ������ 2 ������ 2
,
(θ 为参数,0<θ<2π)表示什么曲
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专题一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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解:因为 x =
2
������ ������ 2 cos + sin =1+sin 2 2 ������ 2 ������ 2
θ=2y,所以普通方程为 x2=2y,为抛
π 2 1 4 2sin ������1 2sin ������2 1 · =- . 4cos ������1 4cos ������2 4
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(2)设 PQ 的中点为(x,y), ������ = 2(cos ������1 + cos ������2 ), 则 ������ = sin ������1 + sin ������2 .
4 4 2
提示:由曲线的参数方程判断出曲线的形状,结合曲线的几何性质解题