动力学与控制-多自由度系统数值计算(2)振型叠加法
结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加
结构动力学三自由度振型叠加是指以系统无阻尼的振型（模态）为空间基底，通过坐标变换，使原动力方程解耦，求解n个相互独立的方程获得各阶模态振型，进而通过叠加各阶模态振型的贡献求得系统的响应。
在振型叠加法中，由于利用了振型的正交性，使得质量与刚度矩阵中的非对角项、耦合项得以消除，将联立的运动微分方程转换为N个独立的正规坐标方程，分别求解每一个正规坐标的反应，然后根据叠加原理得出用原始坐标表示的反应。
振型叠加法只适用于线性体系的动力分析，若体系为非线性，则可采用逐步积分法进行反应分析。
第五章(第4,5节)多自由度系统的振动
t kuξ t 0 Muξ
由正交性得解耦的方程为
t uT kuξ t 0 uT Muξ
t K ξ t 0 Mr ξ r
(5.4-3)
式Mr为模态质量矩阵，Kr为模态刚度矩阵，它们都是对 角矩阵。
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
mv0 1 0.459701 k q t 0.577350 sin 0.796226 t m m 0.627693 k mv0 1 0.888074 k 0.577350 sin1.538188 t m m 0.325057 k 0.265408 m k v0 sin 0.796226 t m 0.362555 k 0.512730 m k v0 sin1.53818 8 t m 0.187672 k
q t uη t
代入系统的运动微分方程，并用正则振型矩阵的转置 uT 左乘方程两边，由正交性条件得解耦方程为 t Λη t 0 η
r t r2r t 0
r 1, 2, , n
5.4 系统对初始条件的响应· 振型叠加法
r0 u
r T r T 0 Mq0 ,r0 u Mq
(r 1,2,, n) (5.4-11)
由式(5.5-4)求出原坐标q(t)的普遍表达式为
q t uη t
n
u r t u
r
r 1 n r 1
n
r
r0 sin r t r0 cos r t r
5.5 瑞利(Rayleigh)商
瑞利商法的提出意义
第4章-多自由度系统振动分析的数值计算方法(25页)
第4章 多自由度系统振动分析的数值计算方法用振型叠加法确定多自由度系统的振动响应时，必须先求得系统的固有频率和主振型。
当振动系统的自由度数较大时，这种由代数方程求解系统固有特性的计算工作量很大，必须利用计算机来完成。
在工程中，经常采用一些简单的近似方法计算系统的固有频率及主振型，或将自由度数较大的复杂结构振动问题简化为较少阶数的振动问题求解，以得到实际振动问题的近似分析结果。
本章将介绍工程上常用的几种近似解法，适当地选用、掌握这类实用方法，无论对设计研究或一般工程应用都将是十分有益的。
§4.1 瑞利能量法瑞利（Rayleigh ）能量法又称瑞利法，是估算多自由系统振动基频的一种近似方法。
该方法的特点是：①需要假定一个比较合理的主振型；②基频的估算结果总是大于实际值。
由于要假设主振型，因此，该方法的精度取决于所假设振型的精度。
§4.1.1 第一瑞利商设一个n 自由度振动系统，其质量矩阵为[]M 、刚度矩阵为[]K 。
多自由度系统的动能和势能一般表达式为{}[]{}{}[]{}/2/2TTT x M x U x K x ⎫=⎪⎬=⎪⎭&& (4.1.1)当系统作某一阶主振动时，设其解为{}{}(){}{}()sin cos x A t x A t ωαωωα=+⎫⎪⎬=+⎪⎭&(4.1.2)将上式代入式（4.1.1），则系统在作主振动时其动能最大值max T 和势能最大值max U 分别为{}[]{}{}[]{}2max max /2/2TTT A M A U A K A ω⎫=⎪⎬=⎪⎭(4.1.3)根据机械能守恒定律，max max T U =，即可求得{}[]{}{}[]{}()2I TTA K A R A A M A ω== (4.1.4)其中，()I R A 称为第一瑞利商。
当假设的位移幅值列向量{}A 取为系统的各阶主振型{}i A 时，第一瑞利商就给出各阶固有频率i ω的平方值，即{}[]{}{}[]{}2(1,2,,)Ti i i Ti i A K A i n A M A ω==L(4.1.5)在应用上式时，我们并不知道系统的各阶主振型{}i A ，只能以假设的振型{}A 代入式（4.1.4），从而求出的相应固有频率i ω的估计值。
第三章多自由度体系的振动2
10
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
如果两个主振型 {Y (1) }和 {Y ( 2) }彼此不正交，即
{Y (1) }T [M ]{Y ( 2) } 0
取一个由 {Y (1) } 和 {Y ( 2) } 组成的新的主振型，即
{Y
(1, 2)
} {Y } c{Y }
主振型正交的物理意义：
1）每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，其数学表 达式为 ：
s2 {Y (t ) }T [M ]{Y ( s ) } 0
2）当一体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的 振动。 3）各个主振型都能够单独出现，彼此间线性无关。
9
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
(t ) T (t ) T (t ) T 2 (s)
{Y } [ M ]s {Y }sin(s t )
2 (s)
s {Y } [ M ]{Y }sin(s t ) 0
2 (t ) T (s)
s2 {Y (t ) }T [M ]{Y ( s ) } 0
8
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
(1) T ( 2)
T
同理：
{Y (1) }T [ K ]{Y (3) } 0.001 k 0 {Y ( 2) }T [ K ]{Y (3) } 0.00001 k 0
6
§ 3.3 主振型的正交性和正则坐标
对任意一个位移向量{y} ，将其写成主振型的线性组合：
{ y} 1{Y (1) } 2 {Y ( 2) } n {Y ( n ) } i {Y (i ) }
Y
1
计算结构动力学 多自由度体系的振动
tgi=2i/i(1-i2)
(36)
将式(34)代回
{u}=ii(t){A}i ， 得
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上
述结果中令i=0得到。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤
左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得
由此可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
(11)
{A}jT[M]{A}i=0
(12)
上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应
的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性
力在第i振型位移上不做功，反之亦然。
(e)
方程两边同时左乘{A}jT，根据正交性则有
Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0
(20)
从式(20)可得(根据单自由度自由振动结果)
yi(t)=aisin(it+ci)
(f)
代回多自由度所假设的解，即可得
{u(t)}=aisin(it+ci){A}i
(21)
5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如何
22求无阻尼自由振动的振型求无阻尼自由振动的振型aaii频率频率ii33用阻尼比用阻尼比1122和频率和频率1122求瑞利阻尼的求瑞利阻尼的00和和44求求ii振型振型参与系数振型振型参与系数iiaaiittppaaiittmmaa55求求ii振型阻尼比振型阻尼比12120066求求ii振型动力系数振型动力系数iiii222244ii22ii22121277求求ii振型相位角振型相位角iiarctg2arctg2iiii2288求求ii振型广义位移振型广义位移iittiisinsiniittiiii2299将各振型广义位移代回将各振型广义位移代回uuiittaaii则得最终则得最终结果结果uuttiisinsiniittiiii2237374444441441基本原理基本原理对动力问题设单元位移场仍表示成对动力问题设单元位移场仍表示成ddnnddee只是现在只是现在ddddxtddee设杆单元的密度为设杆单元的密度为将微段惯性力将微段惯性力aaaaddxx作为作为体积力则这一单元荷载的总虚功为体积力则这一单元荷载的总虚功为dxdx3838引入单元一致质量矩阵引入单元一致质量矩阵mmeedx39394444由式3939代入形函数并积分对质量均匀分布的平代入形函数并积分对质量均匀分布的平面弯曲单元其单元一致质量矩阵面弯曲单元其单元一致质量矩阵mmee13221561354221354221564204040作业
动力学方程数值解法：振型叠加法与Duhamel积分
动力学方程数值解法：振型叠加法与Duhamel积分对于一个实际结构，由有限元法离散化处理后，动力学方程可写为：振型叠加法按照有限单元法的一般规则，经过边界条件的约束处理，结构在强迫振动时多自由度体系的运动平衡方程可以表示为：其中，M是体系的质量矩阵，C是体系的阻尼矩阵，而K则是刚度矩阵，R为外荷载向量。
上述动力平衡方程实质上是与加速度有关的惯性力和与速度有关的阻尼力及与位移有关的弹性力在时刻t与荷载的静力平衡。
振型叠加法是把多自由度体系的结构的整体振动分解为与振型次数相对应的单自由度体系，求得各个单自由度体系的动力响应后，再进行叠加得出结构整体响应。
振型叠加法原理是利用结构无阻尼自由振动的振型矩阵作为变换矩阵，将结构动力方程式(1)式变换成一组非耦合的微分方程。
逐个地求解这些方程后，将解叠加即可得到动力方程的解。
将体系单元节点的位移向量表示为如下的变换形式：式中的变换矩阵Φ是由动力方程对应的无阻尼自由振动方程解出的前m阶振型矩阵。
即Φ=[φ1，φ2，...φm]，x(t)是与时间有关的m 阶向量，x的各分量称为广义位移。
将式(2)代入动力方程(1)并左乘以Φt ，则可得广义位移为未知数的方程：式中现在进一步考察式(4)，考虑到特征向量的正交性，可得：于是对应于振型的广义位移的平衡方程(3)可改写为：其中，Λ为特征值将式(2)稍加运算可得广义位移用有限元位移表示的形式：在(6)式中，当忽略了阻尼的影响，平衡方程为互不耦合的，可以对每个方程逐个地进行时间积分。
出于相同的考虑，在对有阻尼的体系进行分析时仍然希望采用相同的计算过程去求解互不耦合的平衡方程式。
问题是式(6)中的阻尼阵C通常不能象体系的质量阵和刚度阵那样由单元的刚度阵和质量阵装配而成。
但当假定阻尼与固有频率成比例吗，即假定：式中，ξ1是振型阻尼参数；δij是Kronecker符号(当i=j时，δij=1。
当i≠j时，δij=0)。
这时式(6)可简化为如下形式的若干个方程式：其中xi(t)的初始条件为下式：式(10)表示了一个具有单位质量，刚度为ω12的自由度体系当阻尼比为ξi时的运动平衡控制方程。
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
振型叠加法
基本方程的求解
由于整体质量矩阵、整体阻尼矩阵和整体刚度 矩阵阶次都较高，一般认为下面几种方法求解是较 为有效。
ɺ M { ɺɺ( t )} + D { y( t )} + K { y( t )} = { f ( t )} y
其中： 其中： M：质量矩阵；D：阻尼矩阵；K：刚度矩阵 ：质量矩阵； ：阻尼矩阵； ：
3.2 振型叠加法基本步骤
1
大型特征值问题 固有特性） （固有特性）
3
矩阵、 矩阵、向量乘法 振型叠加） （振型叠加）
2
数值/ 数值/解析积分 （单自由度 系统响应） 系统响应）
3.2.1 系统固有特性的求解
动荷载作用下无阻尼系统时域运动微分方程：
y [ M ]{ɺɺ( t )} + [ K ]{ y( t )} = { f ( t )}
{ y( t )} = ∑ {φi } zi ( t )
i =1
n
振型叠加法
2.牛顿法
• 牛顿法是求解非线性方程的重要方法之一，一 般也称作Newton-Raphson方法，牛顿发的基本 思想是将非线性方程f(x)=0逐步线性化，每一步 求解线性方程的根。
f (x) (x ϕ ( x) = x − f ′( x)
• 缺点： • 局部收敛 • 对初值依赖大
3.振型叠加法
直接积分法的基本要点是将整个动力学响应 的历程划分为若干时间步长，而为了求解的精度 要求，每个步长要求得很小，至少分为十步，每 一步都要对线性方程组进行求解，因此要耗费相 当多的机时，所以从一般意义上讲，计算短时间 的动力学响应，使用直接积分法比较有效，若长 时间的动力学响应采用该方法分析就不可取了。
1.直接积分法
多自由度体系振型分解法
多自由度体系振型分解法振型分解法（振型叠加法）是用于求解多自由度弹性体系动力反应的基本方法，基本概念是，在对运动方程进行积分前，利用结构的固有振型及振型正交性，将N 个自由度的总体方程组解耦为N 个独立的与固有振型及振型正交性，将这些方程进行解析或数值求解，得到每个振型的动力反应，然后将各振型的动力反应按一定的方式叠加，得到多自由度体系的总动力反应。
1 振型分解法原理地震作用下多自由度体系运动方程为：[]{}[]{}[]{}[]{}g M u C u K u M I u ++=- (1)式中，[]M 、[]C 、[]K 分别是体系的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，{}u 、{}u 、{}u 分别是体系的加速度向量、速度向量和位移向量，{}I 是维度与体系自由度相同的单位列向量。
将位移{}u 作正则坐标变换如下：{}[]{}{}()1Nn n n u q q φ==Φ=∑ (2)式中，[]Φ是体系的振型矩阵（模态矩阵），{}q 是广义坐标向量，则有：[]{}{}{}12N φφφ⎡⎤Φ=⎣⎦ (3){}{}12TN q q q q = (4)将式(2)带入式(1)有：[][]{}[][]{}[][]{}[][]g M q C q K q M I u Φ+Φ+Φ=- (5)上式两端分别左乘[]TΦ得：[][][]{}[][][]{}[][][]{}[][][]T T T Tg M q C q K q M I u ΦΦ+ΦΦ+ΦΦ=-Φ (6)根据振型正交性原则，可知[][][]TM ΦΦ和[][][]TK ΦΦ为对角矩阵，对角元素分别为n M 和n K ：{}[]{}{}[]{}T nn nTnn n M M K K φφφφ⎧=⎪⎨=⎪⎩ (7) 根据振型分解法进一步假定[][][]TC ΦΦ为对角矩阵（能够被振型矩阵[]Φ对角化得阻尼称为比列阻尼）。
[][][]12Tn C C C C ⎡⎤⎢⎥⎢⎥ΦΦ=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(8) 上式中的主对角元素为：{}[]{}Tn n n C C φφ= (9)则公式(6)表示的N 个自由度的方程组解耦为N 个与振型对应的单自由度体系的运动方程为：{}[][](1,2,)Tn n n n n n gn M q C q K q M I u n N φ++=-= (10)其中n M 、n C 、n K 以及{}[][]Tg n M I u φ-分别称为第n 阶振型的振型质量、振型阻尼、振型刚度和振型荷载。
12.9_多自由度体系在任意动力荷载作用下的强迫振动
各层振幅值为
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0.028
Y 0.045 mm
0.23
可见,两种方法计算结果相同。
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20 0
103
m
0.045 0.230
mm
负号表示当荷载向右达到幅值时，位移向左达到幅值。
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解法二:采用振型叠加法求解
(1)求自振频率和振型：
由例12-26，已求出
w1 13.47 s 1 w2 30.1 s1
w3 46.6 s1
0.333 0.664 4.032
Y 0.667 0.663 3.022
1
1
1
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(2)计算广义质量：
由 M i Y (i) T [M ] Y (i) ，可得
0.333
T
270
0
0 0.333
M1
0.667
0
t
1 0 0 180 1
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(3)计算广义荷载：
由 Fi t Y (i) T [FP t] ，可得
0.333 T 0
F1t
0.667
20
sin
t
13.34
sin
t
kN
1 0
0.664
T
0
F2 t
0.663
20
sin
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(5)计算各楼层的位移：
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则有
} [C p ]{ } [ K ]{} {Q(t )} [ M p ]{ {Q(t )} [ ]T {F (t )}
(0)} [ M p ]1[ ]T {x 0 } { (0)} [ M p ]1[ ]T {x0 }, {
由于系统已经解耦，可以逐方程根据前述直接积分 法求出主坐标下的响应，然后换算出物理响应。这 种基于模态变换的响应算法，称为振型叠加法(模态 叠加法)。
i 1 s
1
于是
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
2 i
i {i }
s
如果以[L]确定的变换仅用于计算加速度，即 L } } [ L ]{ { x 则
L } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ s 1 i [ F ]{P (t )} 2 {i }
10
(k )
小组练习
• 4组：设计自由度数目较多的算例，用模态叠
加法计算系统的响应(考虑全部模态、部分模 态的模态位移法以及部分模态的模态加速度法 三种情形)。 时间：第周上课前完成
11
2
振型叠加法
振型截断法就是仅使用[L]近似地计算响应，一般可 分为振型位移法和振型加速度法两类。 • 振型位移法 假定已经求得系统的前s阶固有频率i及其对应的主 振型{i}(i=1,2,…,s)，引入变换 {x} [ L ]{ L } 代入作用力方程，有
L } [C pL ]{ L } [ K pL ]{ L } [ L ]T {P(t )} [ M pL ]{
i 1
i
7
8
单自由度系统的线性力法
对于单自由度振动系统
cx kx f (t ) m x (0) x 0 x(0) x0 , x
单自由度系统的线性力法
x(t ) e n (t ti ) {xi cos[d (t ti )] 1 m d i n x0 x
2015/5/15
振型叠加法
具有经典阻尼的n自由度线性振动系统，其运动方程: } [C ]{x } [ K ]{x} {P (t )} [ M ]{ x (1) 初始条件： (0)} {x 0 } {x(0)} {x0 }, {x (2) 如果已经求得系统的全部n个主模态，记
6
1
2015/5/15
振型叠加法
• 振型加速度法
无阻尼多自由度系统的位移方程为
} {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ]{ x
振型叠加法
对于以模态阻尼表示的经典阻尼系统，
} [ F ][C ][ L ]{ } {x} [ F ]{P (t )} [ F ][ M ][ L ]{ 2 i i {i } i 1 i 一般来说，模态加速度方法具有更高的精度。 [ F ]{P (t )}
[ M pL ] [ L ]T [ M ][ L ], [ K pL ] [ L ]T [ K ][ L ], [C pL ] [ L ]T [C ][ L ].
5
振型叠加法
与采用全部主振型进行主坐标变换的振型叠加法相 比，振型位移法仅对主坐标下的前s个无耦合方程分 别求响应、并仅用这s个主坐标响应换算物理响应， 在实施过程方面并无不同。
的形式给出，那么既然可以有“线性加速度”假定 ，为什么不尝试一下“线性力假定”？ 在[ti, ti+1]时间段，令
t t t ti f (t ) i 1 fi
如果在ti时刻的位移、速度和加速度均已求出，则
9
其中的系数 aij 和 bij( k ) 留作练习。由此可以逐步算出下 一时刻的位移、速度和加速度。
(1) (1) (1) (1) i b11 xi 1 a11 xi a12 x f i b12 f i 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) i 1 a11 i b11 x xi a12 x f i b12 f i 1 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) i 1 a11 i b11 x xi a12 x f i b12 f i 1
d
sin[ d (t ti )]}
e
ti
t
n ( t )
sin[d (t )] f ( )d
如果f(t)不是以函数表达式的形式给出，而是以序列
{ f 0 , f1 , , f n } ( f i f (ti ))
在线性力假定之下，这个表达式可以积出解析表达 式，并可进一步得到
[ M p ] diag( M p1 , M p 2 , , M pn ) [ K p ] diag( K p1 , K p 2 , , K pn ) [ M p ][] [C p ] diag(2M p1 11 ,2 M p 2 22 , ,2M pn nn )
2
振型叠加法
引入变换
{x} [ ]{}
振型叠加法
对于自由度数目非常大的复杂振动系统，用全部固有 频率和主振型进行响应分析，既不现实也不必要。当 激励频率主要包含低频成分时，只使用较低的若干阶 固有频率及主振型近似分析系统的响应，称为振型截 断法。 如果把全部主振型分成两组，
[ ] [ L | H ], [ L ] [1 2 s ], [ H ] [s 1 s 2 n ]. 则振型叠加法所使用的主坐标变换可以表示为 {x} [ ]{} [ L ]{ L } [ H ]{ H }
2 2 [ ] [1 2 n ], [ ] diag(12 , 2 , n )
动力学与控制
多自由度系统振动的数值计算 (2) 振型叠加法
[ ]T [ M ][ ] [ M p ], [ ]T [ K ][ ] [ K p ], [ ]T [C ][ ] [C p ]