同济大学_汽车学院_汽车振动_郭荣_chapter2_作业答案

⎛ ⎜⎜⎝
k1k2
4(k1 + k2 )
⎞ ⎟⎟⎠
x2
Ue
=
1 2
ke x2
可得： ke
=
k1k2
4(k1 + k2
)
于是
f= 1 4π
k1k2
(k1 + k2 ) m
2.4 求图示系统的等效刚度。
解： ① 力和力矩分析
⎧ ⎨ ⎩
F1 + F2 = F1a = F2b
F
可得：
→
⎧⎨k1 ⎩ k1
x1 + k2 x2 = x1a = k2 x2b
(a + b)2 k1k2
F
→
F
=
(a + b)2 k1k2
a2k1 + b2k2
x
等效刚度为：
ke
=
(a + b)2 k1k2
a2k1 + b2k2
2.5 设有一均质等截面简支梁如图。在中间有一集中质量 m。如把梁本身质量 M 考虑在内，试计算此系统的等效质量。假定梁在自由振动时的动挠度曲线和简支 梁中间有集中静载荷作用下的静挠度曲线一样。
⎛ ⎜⎝
系统作微振动 sin θ
≈
θ;
1− cosθ
≈
1θ2 2
⎞ ⎟⎠
解：
（1）求总势能
( ) a：U = 1 k (a sinθ )2 + mgl(1 − cosθ ) ≈ 1 ka2 + mgl θ 2
2
2
b：U = 1 k (a sinθ )2 ≈ 1 ka2θ 2
2
2
( ) c：U = 1 k (a sinθ )2 − mgl(1 − cosθ ) ≈ 1 ka2 − mgl θ 2
2
2
（2）振动微分方程
方法： d (T +U ) = 0
dt
动能 T = 1 m (lθ )2
2
( ) a: ml2θ + ka2 + mgl θ = 0
b: ml2θ + ka2θ = 0
( ) c: ml2θ + ka2 − mgl θ = 0
2.7 一只用于流体力学试验室的压力表，具有均匀内径，截面积为 A。内装一长 度为 L、密度为ρ的水银柱，如图所示。求液面在其平衡位置附近振动的频率。 忽略水银与管壁间的摩擦。
ρl
+
m
⎞ ⎟⎠
y
2
=
1 2
⎛ ⎜⎝
17 35
M
+
m
⎞ ⎟⎠
y 2
Te
=
1 2
me y 2
可得： me
=
17 35
M
+
m
中央集中受力简支梁的刚度为：
k
=
48EJ l3
则系统的固有频率为：
f= 1 k 2π me
2.6 若以平衡位置为坐标原点，且令该位置的势能为零，则如图所示各系统中质
量离开静平衡位置的角度为θ 时的总势能为多少？并写出各自的振动方程。
解：在离心力作用下系统达到平衡时有：
kΔx = mω2 (l0 + Δx)
以新平衡位置作为坐标原点，则有
mx+ k(x + Δx) − mω2 (l0 + Δx + x) = 0 整理得： mx + kx − mω 2 x = 0
⎠
又
Te
=
1 2
me x2
故
me
=
m1a12 + m2a42 a42
f
=
1 2π
ke = 1 me 2π
k1a22 + k2a32 m1a12 + m2a42
2.2 图示振动系统的弹性元件的质量忽略不计。求系统的等效刚度（ k1, k3 为悬臂 弹簧的刚度）。
解：
k1 、 k2 串联
keq1
=
k1k2 k1 + k2
1 2
k2
⎛ ⎜ ⎝
a3 a4
⎞2 x⎟
⎠
=
1⎛
2
⎜ ⎝
k1a22 + k2a32 a42
⎞ ⎟
x
2
,
⎠
又
Ue
=
1 2
ke x2
故
ke
=
k1a22 + k2a32 a42
Ta
=
1 2
m1
⎛ ⎜ ⎝
a1 a4
x
⎞2 ⎟
⎠
+
1 2m2x2=1⎛
2
⎜ ⎝
m1a12 + m2a42 a42
⎞ ⎟
x
2
,
解： 设 y 为中点动挠度，即简支梁中点自由振动的位移，梁在自由振动过程中离端
点距离为 ξ
的截面在垂直方向的位移为
y
3l2ξ − l3
4ξ
3
，则速度为
y
3l2ξ − l3
4ξ
3
。
∫ Ta
=
2
l 2 0
1ρ 2
⎛ ⎜ ⎝
y
3l
2ξ
− l3
4ξ
3
⎞2 ⎟ ⎠
dξ
+
1 my 2 2
=
1 2
⎛ ⎜⎝
17 35
⎤⎦ 2
=
k
(r
+
a)2 θ 2
d t
(U a
+
Ta
)
=
0
可得： θ +
4k (r + a)2
3mr 2
θ
=
0
于是： f = 1 2π
4k (r + a)2 = 1 r + a
3mr 2
2π r
4k 3m
2.9 两个滑块在光滑的机体槽内滑动，机体在水平面内绕固定轴 o 以角速度ω转 动。每个滑块质量为 m，各用弹簧常数为 k 的弹簧支承。试确定其固有频率。
F
x1
=
(a
b
+ b) k1
F;
x2
=
(a
a
+ b) k2
F
②几何分析
x − x1 = a x2 − x1 a + b 于是
x
−
(a
b
+ b) k1
F
=
⎛ ⎜⎜⎝
(a
a
+ b) k2
F
−
(a
b
+ b) k1
F
⎞ ⎟⎟⎠
a
a +b
=
a2k1 − abk2
(a + b)2 k1k2
F
变换得：
x
=
a2k1 + b2k2
解： 振动微分方程为： LAρx+ 2Aρ gx = 0
系统固有圆频率为 ω0 = 2g L 系统固有频率为 f = 1 2g L
2π
2.8 确定图示系统的固有频率。圆盘质量为 m。
ka
k
r
O
x
解：
Ta
=
1 2
mx 2
+
1 2
Jθ2
=
3 4
mr 2θ2
Ua
=
2×
1 2
k
⎡⎣( r
+
a)θ
keq1 、 k3 并联 keq2 = keq1 + k3
keq2 、 k4 串联
keq
=
keq 2 k4 keq2 + k4
( ( )( ) ) keq
=
keq 2 k4 keq2 + k4
=
k1k2 k1k2 +
+ k2k3 + k3k1 k4 k1 + k2 k3 + k4
2.3 图示振动系统中，弹性元件以及滑轮的质量忽略不计。假定滑轮转动时无摩 擦作用，求系统的等效刚度。
2.1 如图所示系统中，已知 m1, m2 , k1, k2 , a1, a2 , a3, a4 , 水平刚杆的质量忽略不计。以 m2 的线位移为运动坐标，求系统的等效刚度 ke ，等效质量 me 以及固有频率。
解：设 m2 的线位移为 x，由能量法
Ua
=
1 2
⎛ k1 ⎜
⎝
a2 a4
⎞2 x⎟
⎠
+
解：设滑轮中心位移分别为 x1、x2，由滑轮系运动分析可知：
x = 2( x1 + x2 )
(1)
设绳中张力为 T0，则
2T0 = k1x1 = k2 x2
(2)
由(1)和(2)可得：
x1
=
k1
2(k1 +
k2
)
x
x2
=
k2
2(k1 +
k2
)
x
由能量法
Ua
=
1 2
k1x12
+
1 2
k2 x22
=
1 2