编码理论简介
数学百科小知识：编码理论
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研究信息传输过程中信号编码规律的数学理论。
编码理论与信息论、数理统计、概率论、随机过程、线性代数、近世代数、数论、有限几何和组合分析等学科有密切关系，已成为应用数学的一个分支。
编码是指为了达到某种目的而对信号进行的一种变换。
其逆变换称为译码或解码。
根据编码的目的不同，编码理论有三个分支：①信源编码。
对信源输出的信号进行变换，包括连续信号的离散化，即将模拟信号通过采样和量化变成数字信号,以及对数据进行压缩,提高数字信号传输的有效性而进行的编码。
②信道编码。
对信源编码器输出的信号进行再变换，包括区分通路、适应信道条件和提高通信可靠性而进行的编码。
③保密编码。
对信道编码器输出的信号进行再变换，即为了使信息在传输过程中不易被人窃取而进行的编码。
编码理论在数字化遥测遥控系统、电气通信、数字通信、图像通信、卫星通信、深空通信、计算技术、数据处理、图像处理、自动控制、人工智能和模式识别等方面都有广泛的应用。
历史背景1843年美国著名画家S.F.B.莫尔斯精心设计出莫尔斯码，广泛应用在电报通信中。
莫尔斯码使用三种不同的符号：点、划和间隔，可看作是顺序三进制码。
根据编码理论可以证明，莫尔斯码与理论上可达到的极限只差15%。
但是直到20世纪30～40年代才开始形成编码理论。
1928年美国电信工程师H.奈奎斯特提出著名的采样定理，为连续信号离散化奠定了基础。
1948年美国应用数学家C.E.香农在《通信中的数学理论》一文中提出信息熵的概念，为信源编码奠定了理论基础。
1949年香农在《有噪声时的通信》一文中提出了信道容量的概念和信道编码定理，为信道编码奠定了理论基础。
无噪信道编码定理(又称香农第一定理)指出，码字的平均长度只能大于或等于信源的熵。
有噪信道编码定理(又称香农第二定理)则是编码存在定理。
它指出只要信息传输速率小于信道容量，就存在一类编码，使信息传输的错误概率可以任意小。
中科大编码理论chapter1
第一章 序论
编码理论的内容包括三个方面
以保证数字信息传输和处理的可靠性为目的的差错控制编 码（channel coding）；
以提高数字信息传输、存储处理的有效性为宗旨的信源编 码（Source coding）；
以增加数字信息传输、存储的安全性为目标的数据加密编 码（data encryption）；
在Golay码提出之后最主要的一类分组码就是Reed-Muller码。它 是Muller在1954年提出的，此后Reed在Muller提出的分组码的基 础上得到了一种新的分组码，称为Reed-Muller码，简记为RM码。 在1969年到1977年之间，RM码在火星探测方面得到了极为广泛 的应用。即使在今天，RM码也具有很大的研究价值，其快速的 译码算法非常适合于光纤通信系统。
循环码的一个非常重要的子集就是分别由Hocquenghem在1959 年 、 Bose 和 Ray-Chaudhuri 研 究 组 在 1960 年 几 乎 同 时 提 出 的 BCH码(BCH，Bose Chaudhuri Hocquenghem)，BCH码的码 字长度为n＝qm-1，其中m为一个整数。二元BCH码（q=2）的 纠错能力限为t<(2m-1)/2。1960年，Reed和Solomon将BCH码 扩展到非二元（q>2）的情况，得到了RS（Reed-Solomon） 码。1967年，Berlekamp给出了一个非常有效的译码算法后， RS码得到了广泛的应用。此后，RS码在CD播放器、DVD播放 器中得到了很好的应用。
Berrou and Forney
1997 年 ， Host 、 Johannesson 、 Ablov 提 出 了 编 织 卷 级 码 （Woven Convolutional Code,WCC）的概念，随后编织码 （Woven code）便发展起来了。它是一种组合码，其系统结构 可完全包容传统分组码、卷级码以及各类Turbo码，开创了编码 领域的一个新天地。
编码理论实验报告
一、实验目的1. 理解编码理论的基本概念和原理；2. 掌握哈夫曼编码和香农编码的方法；3. 熟悉编码效率的计算方法；4. 培养编程能力和实践操作能力。
二、实验原理1. 编码理论：编码理论是研究信息传输、存储和处理中信息压缩和编码的理论。
其目的是在保证信息传输质量的前提下，尽可能地减少传输或存储所需的数据量。
2. 哈夫曼编码：哈夫曼编码是一种根据字符出现频率进行编码的方法，字符出现频率高的用短码表示，频率低的用长码表示，从而达到压缩数据的目的。
3. 香农编码：香农编码是一种基于信息熵的编码方法，根据字符的概率分布进行编码，概率高的字符用短码表示，概率低的字符用长码表示。
4. 编码效率：编码效率是指编码后数据长度与原始数据长度的比值。
编码效率越高，表示压缩效果越好。
三、实验内容1. 使用MATLAB软件实现哈夫曼编码和香农编码；2. 对给定信源进行编码，并计算编码效率；3. 对比哈夫曼编码和香农编码的效率。
四、实验步骤1. 编写哈夫曼编码程序：首先，统计信源中各个字符的出现频率；然后，根据频率构造哈夫曼树；最后，根据哈夫曼树生成编码。
2. 编写香农编码程序：首先，计算信源熵；然后，根据熵值生成编码。
3. 编码实验：对给定的信源进行哈夫曼编码和香农编码，并计算编码效率。
4. 对比分析：对比哈夫曼编码和香农编码的效率，分析其优缺点。
五、实验结果与分析1. 哈夫曼编码实验结果：信源：'hello world'字符频率：'h' - 2, 'e' - 1, 'l' - 3, 'o' - 2, ' ' - 1, 'w' - 1, 'r' - 1, 'd' - 1哈夫曼编码结果：'h' - 0'e' - 10'l' - 110'o' - 1110' ' - 01'w' - 101'r' - 100'd' - 1001编码效率：1.52. 香农编码实验结果：信源：'hello world'字符频率：'h' - 2, 'e' - 1, 'l' - 3, 'o' - 2, ' ' - 1, 'w' - 1, 'r' - 1, 'd' - 1香农编码结果：'h' - 0'e' - 10'l' - 110'o' - 1110' ' - 01'w' - 101'r' - 100'd' - 1001编码效率：1.53. 对比分析：哈夫曼编码和香农编码的效率相同，均为1.5。
离散数学中的编码理论知识框架
离散数学中的编码理论知识框架在离散数学中的编码理论知识框架中，我们将讨论编码理论的基本概念、常用编码技术以及编码的应用等方面。
编码理论是计算机科学和信息工程领域的重要基础理论，它在数据传输、存储和处理等方面起着关键作用。
一、基本概念编码是将一种信息转化为另一种形式的过程。
在编码理论中，我们需要了解以下几个基本概念：1.1 信源：信源是指产生信息的源头，可以是离散的符号、字母、数字或其他可以表示信息的物体。
1.2 码字：码字是用于表示信源输出结果的编码序列。
1.3 编码：编码是将信源输出结果映射为码字的过程。
1.4 解码：解码是将接收到的码字恢复为原始信源输出结果的过程。
1.5 码长：码长是指一个码字的长度，它表示了编码所需的比特数或数字的位数。
1.6 前缀编码：前缀编码是指没有任何码字是其他码字的前缀的编码方式。
1.7 码率：码率是指单位时间内传输的码字数或码字位数。
二、常用编码技术在编码理论中，有多种常用的编码技术，下面将介绍其中几种：2.1 哈夫曼编码：哈夫曼编码是一种基于出现频率进行编码的无损编码技术。
它通过构建哈夫曼树来实现对信源输出结果的编码，使得出现频率高的符号有较短的码字，从而达到压缩数据的效果。
2.2 霍夫曼编码：霍夫曼编码是一种基于信源输出结果的概率分布进行编码的无损编码技术。
它通过构建霍夫曼树来实现对信源输出结果的编码，使得频率较高的符号有较短的码字，从而达到压缩数据的目的。
2.3 线性编码：线性编码是指使用线性函数对信源输出结果进行编码的技术。
常见的线性编码方式有奇偶校验码、循环冗余校验码等。
2.4 网络编码：网络编码是指在网络通信中对数据进行编码的技术。
它能够通过将多个数据包进行线性组合，使得接收方只需接收一部分数据包即可恢复出原始数据。
三、编码的应用编码在现代通信中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用领域：3.1 数据压缩：编码技术在数据压缩中扮演着重要角色。
通过合理选择编码方式，可以减少数据的冗余信息，从而实现对数据的压缩存储和传输。
编码理论课程简介
课程的主要内容
• • • • • • 信息论回顾(复习) 编码理论简介(了解) 无失真信源编码(掌握) 信道编码(重点) 限失真信源编码(了解) 编码理论的最新发展(了解)
编码理论发展概述
• • • • 编码理论的历史发端 编码理论的基本问题 编码理论与信息论的关系 编码理论的应用领域
编码理论的历史发端
要点
• • • • 编码理论课程简介 编码理论发展概述 课程考试方法 课程答疑安排
编码理论课程简介
• • • • 课程的基本情况 课程的教材和参考书 课程的目的和任务 课程的主要内容
课程的基本情况
• • • • • 英文名称：Coding Theory 课程类型：专业必修课、学科基础课 学时：40 学分：2.5 先修课程：《线性代数》、《概率论与随 机过程》、《信息论导论》
• 始于1948年香农(Shannon)在Bell System Technical Journal上发表的论文
“A Mathematical Theory of Communication”
• 无失真信源编码定理(香农第一定理) • 有噪信道编码定理(香农第二定理)
无失真信源编码定理
• 必然存在一种编码方法，使码的平均长度 可任意接近但不能低于信息熵
信息传输的可靠性
• 希望出错率尽可能小，即接收信息与发送 信息完全一致，或者控制失真在要求的范 围之内。
编码理论的应用领域
• 最重要的应用是通信系统：譬如卫星通信、 电话通信、计算机网格中计算机之间的信 息传输等等 • 在军事理论中可以防止敌人的有意干扰 • 可以在计算机系统中用来保护存贮器、数 字磁带、磁盘及光盘上的数据 • 可以在数字逻辑电路中纠正由于电路失常 而造成的数据错误 • 在商业领域中作为条码使用
编码理论第二章
编码理论——信源编码
4
13
必须注意： 必须注意：
–Kraft不等式只是用来说明唯一可译码是否存在,并不能 Kraft不等式只是用来说明唯一可译码是否存在, Kraft不等式只是用来说明唯一可译码是否存在 作为唯一可译码的判据。 作为唯一可译码的判据。 –如码字{0，10，010，111}虽然满足Kraft不等式,但它不 如码字{0，10，010，111}虽然满足Kraft不等式, 如码字{0 虽然满足Kraft不等式 是唯一可译码。 是唯一可译码。
n L≤m K
X
信源
L长序列
信源编码器
Y
信道
码表
K长码字
15
பைடு நூலகம்
编码理论——信源编码
若对信源进行定长编码,必须满足: 若对信源进行定长编码,必须满足: 定长编码
n ≤m
L
K
或
K log n ≥ L log m
（2-2）
只有当K长的码符号序列数 mK大于或等于信源的符号数nL时,才可能存 只有当K 大于或等于信源的符号数n 定长非奇异码 非奇异码。 在定长非奇异码。 例如英文电报有27个符号,n=27,L=1,m=2(二元编码) 例如英文电报有27个符号,n=27,L=1,m=2(二元编码) 27个符号,n=27,L=1,m=2(二元编码
时,只要 失真, 也就是收端的译码差错概率接近于零, 失真 , 也就是收端的译码差错概率接近于零 , 条件是所取的 符号数L足够大。 符号数L足够大。
KL 1 （2-5） K= log m = log M L L _ 这种编码器一定可以做到几乎无 K > HL ( X ) ,这种编码器一定可以做到几乎无
a1 a2 a3 a4
编码理论简介
课堂练习1
• 设x1, x2, …, xn是任意一组正实数，p1, p2, …, pn是任 意一组和为1的非负实数，试问下面的不等式哪一
个正确，请证明pi=1/n的情况：
n
n
(1) pilogxi log( pixi)
i1
i1
n
n
(2) pilogxi log( pixi)
i1
i1
• 证明
i 1j 1
p (u k)p (v j/u k)
k 1
• 设D为允许失真度，对给定信源分布P(U) ，如果把信
道矩阵P(V|U)限定在允许失真信道集合BD内选取，那
么 I(U;V)所能逼近的最小值就是率失真函数:
R(D )m in{I(U ;V)} P(V|U) BD
15
限失真信源编码定理
• 香农第三定理：在信息传输率R>R(D) 时，只 要有足够的码长，则必然存在一种编码方法， 使译码平均失真可以任意接近允许失真D。
18
信道编码理论的研究
• 1948年，香农信道编码定理 • 1952年费诺(R.M.Fano)证明费诺不等式和香农
信道编码逆定理 • 1957年沃尔夫维兹证明信道编码强逆定理 • 1961年费诺描述分组码中码率、码长和错误率
的关系，并证明了香农信道编码定理的充要性 • 1965年格拉格尔(R.G.Gallager)发展并简洁地
• 其中R(D)是率失真函数，也就是最佳编码率
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现代信源编码方法的研究
• 寻找现有压缩编码的快速算法 • 寻找新颖高效的现代压缩方法，比如： • 分形编码、小波编码 • 神经网络编码，DPCM编码 • 模型编码（Model Based Coding）
编码理论
b1
b2
a1 p(a1 b1) p(a1 b2 )
P a2 p(a2 b1) p(a2 b2 )
ar p(ar b1) p(ar b2 )
bs p(a1 bs ) p(a2 bs ) (7 9)
p(ar bs )
•
由给定的信源X的概率分布和信道的传递概率，可求得信道输出随机变量
Y的s个概率分量 r
•
解: 因信道输入符号非先验等概，故只能采用最大后验概率准则选择译码
• 规则。由(7-8)式和(7-9)式计算出后验概率矩阵
b1
b2
b3
p1 a1 0.75 0.60 0.40 a2 0.10 0.20 0.33
a3 0.15 0.20 0.27
• 考虑信道输出符号与信道输入符号 一一对应，选择译码译码规则
•
解:因信道输入符号先验等概，故采用最大似然准则选择译码规则。按最
大似然准则得到译码规则,并考虑信道输出符号与信道输入符号 一一对应，选
择译码函数
F (b1 F (b2
) )
a1 a3
F (b3 ) a2
•
所以，在采用最大似然准则选择译码规则时，就不必像一般的最大后验概
率准则那样，由给定信道矩阵中的信道传递概率(前向概率)换算成后验概率
•
若把这个最大者所对应的信源符号记为 a ，即有
p(a b j ) p(ai bj ) (i 1,2,...,r; j 1,2,...,s)(7 13)
• 因此必须选择译码规则
•
F (b j ) a j 1,2,...,s(7 15)
• 这就是最大后验概率译码准则。
•
由最大后验概率译码函数构成的译码规则，一定能使平均错误译码概率
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• • • • 如何提高一般通信系统的有效性和可靠性 如何提高加密通信系统的安全性 编码问题可以分为三类： 信源编码、信道编码、密码编码
一般通信系统模型
• 通信系统：电报、电话、电视、广播、遥测、遥 控、雷达和导航等 • 通信系统都可以看作信息传输系统：
信号 信源 编码器 信号+干扰 信道 干扰 信 源 编 码 信 道 编 码 噪声源 信 道 译 码 信 源 译 码 译码器 信宿
信道编码的发展历史
• • • • 信道编码理论的研究 信道容量分析的研究 信道编码方法的研究 网络信息理论的研究
信道编码理论的研究
• 1948年，香农信道编码定理 • 1952年费诺(R.M.Fano)证明费诺不等式和香农 信道编码逆定理 • 1957年沃尔夫维兹证明信道编码强逆定理 • 1961年费诺描述分组码中码率、码长和错误率 的关系，并证明了香农信道编码定理的充要性 • 1965年格拉格尔(R.G.Gallager)发展并简洁地 证明了费诺的结论
什么是密码编码
• 密码编码是通信系统中的另一类编码问题， 它的目的是通过加密或隐藏防止非授权用户 对重要或机密信息的窃取、伪造和篡改，以 保证通信的安全性、真实性和完整性 • 发送端的明文信息经过编码后成为密文，当 授权者收到后，可用已有的密钥正确地译成 明文； • 对于非授权者，因没有密钥而无法取得该信 息，从而保证通信的安全性
已知概率特性的无失真信源编码
• 1948年，无失真信源编码定理，香农编码 • 1952年，费诺(Fano)码，霍夫曼码(Huffman) • 1956年，麦克米伦(McMillan)证明了惟一可译 码的克拉夫特(Kraft)不等式 • 1968年，埃利斯(Elias)，香农-费诺码 • 1976年，里斯桑内(Rissanen)，算术编码 • 1982年，里斯桑内和兰登（Langdon），算术 编码系统化，省去乘法
无失真信源编码定理
• 香农第一定理：必然存在一种编码方法，使码 的平均长度可任意接近但不能低于信息熵
克拉夫特(Kraft)不等式
ni r 1 i 1 q
• 其中r是码元个数，q是码的个数，ni是码长 • 码元个数的负码长幂之和不超过1
未知概率特性的无失真信源编码
• 这时对信源进行的编码称为通用编码 • 20世纪70年代末，以色列学者兰佩尔(A. Lempel)和 奇费(J.Ziv)提出一种语法解析码，习惯上简称LZ码 • 1977年他们首先提出这种方法，并于1978年作了改 进，分别称为LZ77和LZ78算法 • 1984年，韦尔奇（T.A.Welch)将LZ78算法修改成一 种实用的算法，后定名为LZW算法。 • 1990年，贝尔（T.C.Bell）做了一系列变化和改进， 现在LZ码被广泛应用于文本数据压缩
• 香农第三定理：在信息传输率R>R(D) 时，只 要有足够的码长，则必然存在一种编码方法， 使译码平均失真可以任意接近允许失真D。 • 其中R(D)是率失真函数，也就是最佳编码率
现代信源编码方法的研究
• • • • • 寻找现有压缩编码的快速算法 寻找新颖高效的现代压缩方法，比如： 分形编码、小波编码 神经网络编码，DPCM编码 模型编码（Model Based Coding）
加密通信系统模型
信 源 信 源 编 码 加 密 编 码
信 道 编 码
信 道
信 道 译 码
加 密 译 码
信 源 译 码
信 宿
噪 声 源
什么是信源编码
• 信源编码的主要目标是提高通信系统的有效性，它通 过对信源输出的消息进行适当的变换和处理，以达到 提高传输效率的目的 • 经典信源编码方法主要依据信源本身的固有统计特性 • 现代编码压缩技术则注重对人类感知特性的利用，使 得编码效率得以极大提高 • 信源编码要求尽量去掉冗余信息
香农信道编码定理
• 香农第二定理： 对于一个给定的离散无记忆信 道，如果信道容量为C，只要信息传输率R<C， 则一定存在一种编码方法，使译码错误率PE随 着码长n的增加，按指数下降到任意小
限失真信源编码的研究
• 通过引入失真，对连续信源进行编码 • 限失真信源编码实际上就是最佳量化问题，它的研 究比信道编码和无失真信源编码落后约10年左右 • 1948年香农在其论文中体现了率失真函数的思想 • 1959年香农提出率失真函数，限失真信源编码定理 • 1971年伯格尔《信息率失真理论》 • 限失真信源编码就是在保证平均失真小于允许失真D 的条件下，如何实现最佳编码率R(D)
率失真函数R(D)简介
• 平均互信息量I(U;V)是信源分布P(U)={p(ui)}和信道矩 阵P(V|U)={p(vj|ui)}的函数，即：
I (U ;V ) f ( p(U ), p(V | U )) p(ui ) p(v j / ui ) log
i 1 j 1 r s
p(v j / ui )
编码理论的发展历史
• 信源编码的发展历史 • 信道编码的发展历史 • 密码编码的发展历史
信源编码的发展历史
• 无失真信源编码的研究 • 限失真信源编码的研究 • 现代信源编码编码适用于离散信源或数字信号， 如文本数据 • 无失真信源编码不适用于连续信源或模拟信号， 如语音图像等信号的数字处理 • 在概率特性已知条件下的无失真信源编码 • 在概率特性未知条件下的无失真信源编码
k j
p(u ) p(v
k 1
r
/ uk )
• 设D为允许失真度，对给定信源分布P(U) ，如果把信 道矩阵P(V|U)限定在允许失真信道集合BD内选取，那 么 I(U;V)所能逼近的最小值就是率失真函数:
R( D) min {I (U ;V )}
P (V |U )BD
限失真信源编码定理
什么是信道编码
• 信道编码的主要目标是研究如何提高信息传 送的可靠性，它通过对信源编码进行适当的 变换和处理使其具有自动检错和纠错功能 • 信道中的干扰使通信质量下降，也就是使信 息传送不可靠。对于模拟信号，表现在收到 的信号的信扰比下降；对于数字信号，表现 在误码率增大 • 信道编码需要适当增加冗余信息