人教版选修22反证法
人教A版选修2-22.2.2反证法课件23张ppt优质课件PPT
一、问题情境 小华睡觉前，地上是干的，早晨起来，看见地上全湿了。小华对婷婷说：“昨天晚上下雨了。”
你能对小华的判断说出理由吗？
假设昨天晚上没有下雨，那么地上应是干的，这与早晨地上全湿了相矛盾，所以说昨晚下雨是正确的。
小华的理由：
我们可以把这种说理方法总结一下：
1．反证法 假设原命题______(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明________，从而证明了__________，这种证明方法叫做反证法． 2．反证法常见矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与________、____、____、____等矛盾．
A
B
C
P
证明：假设PB=PC。 在△ABP与△ACP中 AB=AC(已知） AP=AP（公共边） PB=PC（已知） ∴△ABP≌△ACP（S.S.S) ∴∠APB=∠APC(全等三角形对应边相等） 这与已知条件∠APB≠∠APC矛盾，假设不成立. ∴PB≠PC
作业： 练习：学案中巩固提高 习题91页：A组
独立 作业
谢谢大家
0
（平行四边形对边平行）
证明：假设CD、BE互相平分
连结DE，故四边形BCED是平行四边形
∴BD∥CE
这与BD、CE交于点A矛盾
假设错误， ∴CD、BE不能互相平分
变式训练1 已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca不大于零． 证明：假设ab＋bc＋ca>0， 因为a2＋b2＋c2≥0. 则(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)>0. 所以(a＋b＋c)2>0，即a＋b＋c≠0，这与a＋b＋c＝0矛盾，所以假设不成立，故ab＋bc＋ca≤0.
显然这与故事中的李树长满果子相矛盾。说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？
人教A版高中数学选修2-2.2反证法课件
人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
牛刀小试
用反证法证明(填空):在三角形的内角中,
至少有一个角大于或等于60 °
A
已知:∠A ,∠B ,∠C是△ABC的内角（如图）
求证:∠A ,∠ B ,∠ C中至少有一个角
大于或等于60 °
B
C
证明：假设所求的结论不成立，即
∠A_＜_ 60 ° ,∠ B__＜60 ° ,∠ C __＜60 °
牛顿说：“反证法是数学家最精当 的武器之一”。
英国数学家哈代也曾这样称赞它： “反证法是数学家最有力的一件武器， 比起象棋开局时牺牲一子以取得优势的 让棋法，它还要高明。象棋对弈者不外 乎牺牲一卒或顶多一子，数学家索性把 全局拱手让给对方！”
探究1：掀起你的盖头来——认识反证法
反证法的定义：
在证明数学问题时，先假定命题结论的反面成立， 在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相 矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛 盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定 命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法。
---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
人教A版高中数学选修2-2 .2反证法 课件
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3.如果a>b>0，那么 a > b
证明: 假设 a 不大于 b
则 a< b 或 a= b 因为 a>0,b>0 所以
否定要全面
(1)若a< b ab
与 已 知 ab0 矛 盾
（ 2） 若 a= b a=b， 与 已 知 ab0 矛 盾
所以假设错误，故原命题 a b 成立
高中数学人教版选修2-2教学课件：2.2.2反证法
(1)用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设②归谬③结论
(2)用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与 假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等． (3)适宜使用反证法的情况: 正难则反! (1)结论以否定形式出现；(2)结论以“至多----,” ,“至 少---” 形式出现；(3)唯一性、存在性问题;(4)结论的反 面比原结论更具体更容易研究的命题。
方法小结: 1直接证明:直接从原命题的条件逐步推得结论成立. ⑴综合法──联想尝试(浮想联翩,尝试前进!) 由因导果:(已知) A B1 Bn B (结论)
2.反证法是一种常用的间接证明方法.
⑵分析法──转化尝试(执果索因,妙在转化!) 执果索因:(结论) B B1 Bn A (已知)
证：假设 2是有理数，
2
∴ m = 2n
m 则存在互质的整数m，n使得 2 = ， n
∴ m = 2n
2 2
2
∴m 2 是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k = 2n ，即n = 2k
2
2
∴n2也是偶数，这与m，n互质矛盾！
所以假设不成立，2是有理数成立。
选做作业: 1.直线 PO 与平面 相交于 O ，过点 O 在平面 内 引直线 OA 、 OB 、 OC ， POA POB POC . 求证： PO . P
说明：常用的正面叙述词语及其否定：
正面 词语 否定 正面 词语 等于 大于（>） 小于 (<) 是 都是
不等于 至多有 一个 至少有 两个
小于或 大于或 等于（≤） 等于（≥） 不是
至少有 一个 一个也 没有 任意的 所有的
最新人教版高中数学选修2.2.2-反证法ppt课件
• 事例一：诸葛亮的“空城计”与反证法：三国时期，蜀国 丞相诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏延领兵去攻打魏国，只 留下少数老弱病残军士守城，不料魏国大都督司马懿率大 队人马杀来，靠几个老弱军士出城应战，无异于以卵击石， 怎么办？诸葛亮冷静思考之后，决定打开城门，让老弱军 士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香案，端坐 弹琴，态度从容，琴声幽雅，司马懿见此情景，心中疑虑： “诸葛亮一生精明过人，谨慎有余，从不冒险，今天如此 这般，城内必有伏兵，绝不能中计。”于是急令退兵。这
证明： 假设 的三个内角∠A, ∠ B, ∠ C都小于60°， ABC < °，∠B 所以∠ A 60 60°， 60° < < ∠C
∴ ∠A+∠B+∠C<180°
这与 三角形内角和等于180° 相矛盾. ∴ 假设 不能成立，所求证的结论成立. 先假设结论的反面是正确的，然后通过逻辑推理，推出与公理、已证 的定理、定义或已知条件相矛盾， 说明假设不成立，从而得到原结论正确。
第二章 推理与证明 2.2.2 反证法
教材分析
• 直接证明与间接证明是数学证明的两类基本方法，直接证明的两种 方法：综合法与分析法；间接证明的一种基本方法：反证法. • 反证法，可以说是一个难点.因为以前我们的证明所采用的方法均为 直接证明法，由已知到结论，顺理成章.而对于间接证明的反证法， 许多同学难以走出直接证明的局限，从而不能深刻或正确地理解反 证法思想.其实，反证法作为证明方法的一种，有时起着直接证明不 可替代的作用.
教学目标
• 使学生初步掌握反证法的概念及反证法证明的基本方法； • 培养学生用反证法简单推理的技能，发展学生的思维能力. • 引导学生掌握反证法证题的基本方法，训练学生的思维能 力. 重点难点
高中数学 222 反证法课件 新人教版选修22
规律技巧 1反证法是利用原命题的否定不成立则原命题 一定成立来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列 出与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，反证法都是不完 全的.
2否定性的问题常用反证法，结论中以“至多”，“至 少”形式出现，也常用反证法.
第二十六页，共33页。
随堂训练
1.应用反证法推出矛盾的推导过程中要把下列哪些作为条
第十四页，共33页。
【证明】 证法1：假设a＋b>2，则 a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)>2(a2－ab＋b2)． ∵a3＋b3＝2，∴a2－ab＋b2<1. ∴1＋ab>a2＋b2≥2ab. ∴ab<1. ∴a2＋b2<1＋ab<2. ∴(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab<2＋2ab<4. ∴a＋b<2这与假设相矛盾，故a＋b≤2.
求证：四边形ABCD不可能是平行四边形． 【分析】 解答本题的关键在于通过假设，根据平行四边 形对边所在直线的斜率相等，推出结论与已知条件相矛盾，从 而肯定原命题正确．
第二十三页，共33页。
【证明】 由题意得，直线AB的斜率为 kAB＝xy22－－xy11＝y12＋py2，同理kBC＝y32＋py2， kCD＝y42＋py3，kDA＝y12＋py4. 假设四边形ABCD为平行四边形，则有kAB＝kCD，kBC＝kDA. 即有yy23＋ ＋yy12＝ ＝yy31＋ ＋yy44， ，① ② 由①－②，得y1－y3＝y3－y1，
件使用( )
①结论相反的判断，即假设 ②原命题的条件 ③公理、
定理、定义等 ④原结论
A．①②
B．①②④
C．①②③
D．②③
答案 C
第二十七页，共33页。
人教版高中数学选修2-22.2.2反证法学案
2．2.2反证法1．认识反法是接明的一种基本方法．2．理解反法的思虑程，会用反法明数学．基梳理1．定：一般地，由明 p? q 向明：綈 q? r ? ⋯ ? t， t 与假矛盾，或与某个真命矛盾．进而判断┐q 假，推出 q 真的方法，叫做反法．2．反法常的矛盾型：反法的关是在正确的推理下得出矛盾．个矛盾能够是与假矛盾或与数学公义、定理、公式、定或与公的事矛盾等．想想： (1) 反法的是什么？(2)反法属于直接明是接明？其明程属合情推理是演推理？(1)分析：反法的就能否认，推出矛盾，进而明原是正确的．(2)分析：反法是接明中的一种方法，其明程是特别密的演推理．自自1．用反法明命“三角形的内角中起码有一个大于60°” ，反正确的选项是(A)A ．假三内角都不大于60°B．假三内角都大于60°C．假三内角至多有一个大于60°D．假三内角至多有两个大于60°分析：“起码有一个”的否认是“一个都没有”，反“三个内角都不大于60°”．2．有以下：①已知 p3＋ q3＝ 2，求 p＋ q≤2，用反法明，可假p＋ q≥2；②已知a， b∈R，2|a|＋ |b|<1，求方程x ＋ ax＋ b＝ 0 的两根的都小于1，用反法明可假方程有一根x1的大于或等于1，即假|x1|≥ 1.以下法中正确的选项是(D)A ．①与②的假都B．①与②的假都正确C．①的假定正确；②的假定错误D．①的假定错误；②的假定正确分析：用反证法证明问题时，其假定是原命题的否认，故①的假定应为“的假定为“两根的绝对值不都小于1”，故①假定错误．②假定正确．3.“实数 a， b， c 不全大于0”等价于 (D)A ． a， b， c 均不大于0B．a， b， c 中起码有一个大于0C．a， b， c 中至多有一个大于0p＋ q>2”；②D． a， b， c 中起码有一个不大于0分析：“不全大于零”即“起码有一个不大于0”，它包含“全不大于0”．应选 D.基础巩固1． (2014 微·山一中高二期中)用反证法证明命题“假如 a>b>0，那么 a2>b2”时，假定的内容应是 (C)A ． a2＝ b2B． a2<b222222＝ b 2C．a ≤ b D． a <b，且 a2．否认“至多有两个解”的说法中，正确的选项是(D)A ．有一个解B．有两个解C．起码有两个解D．起码有三个解3．用反证法证明命题“若直线AB、CD是异面直线，则直线AC、BD 也是异面直线”的过程概括为以下三个步骤：①则A、B、C、D四点共面，因此AB、 CD共面，这与AB、 CD是异面直线矛盾；②因此假定错误，即直线AC、 BD也是异面直线；③假定直线AC、 BD是共面直线．则正确的序号次序为(B)A ．①②③B ．③①②C．①③② D ．②③①分析：联合反证法的证明步骤可知，其正确步骤为③①②.4．命题“a，b∈R，若 |a－ 1|＋ |b－ 1|＝ 0，则 a＝ b＝ 1”用反证法证明时应假定为________．分析：“a＝ b＝ 1”的反面是“a≠1或 b≠1”，因此设为a≠1或 b≠1.答案： a≠1或 b≠1能力提升5．以下命题不适适用反证法证明的是(C)A．同一平面内，分别与两条订交直线垂直的两条直线必订交B．两个不相等的角不是对顶角C．平行四边形的对角线相互均分D．已知 x， y∈ R，且 x＋ y＞ 2，求证： x，y 中起码有一个大于 1.分析：选项 A 中命题条件较少，不足以正面证明；选项 B 中命题能否认性命题，能够反证法证明；选项 D 中命题是起码性命题，能够反证法证明．选项 C 不适适用反证法证明．故选 C.6．设 a、b、c∈R＋，P＝ a＋ b－ c，Q＝ b＋ c－a， R＝ c＋ a－b，则“PQR>0”是“P、Q、R同时大于零”的 (C)A ．充足不用要条件B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件分析：第一若 P、Q、R 同时大于零，则必有PQR>0 建立．其次，若 PQR>0，且 P、Q、R 不都大于 0，则必有两个为负，不如设P<0，Q<0，即 a＋b－ c<0，b＋ c－ a<0，∴ b<0 与b∈ R＋矛盾，故 P、Q、R 都大于 0.应选 C.7．已知数列 { a n} ，{ b n} 的通项公式分别为a n＝ an＋ 2，b n＝ bn＋ 1(a，b 是常数，且 a>b)，那么这两个数列中序号与数值均对应同样的项有________个．分析：假定存在序号和数值均相等的项，即存在n 使得 a n＝b n，由题意 a>b， n∈N *，则恒有 an＞ bn，进而 an＋ 2＞bn＋ 1 恒建立，因此不存在n 使 a n＝ b n.答案： 08．有以下表达：①“ a>b”的反面是“a<b”；② “x＝ y”的反面是“ x>y 或 x<y”；③ “三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心在三角形内” ；④“三角形最多有一个钝角”的反面是“三角形没有钝角” ．此中正确的表达有__________( 填序号 ) ．分析：“x＝y”的反面是“x≠y”，即是“x>y 或 x<y”，因此②正确；“a>b”的反面是“a≤b”；“三角形的外心在三角形外”的反面是“三角形的外心不在三角形外”；“三角形最多有一个钝角” 的反面是“三角形起码有两个钝角”．因此这三个都错．答案：②9．假如非零实数 a ， b ，c 两两不相等，且2＝1＋1不建立．2b ＝ a ＋ c.证明： b a c证明：假定 2＝1＋ 1建立，则2＝ a ＋ c ＝2b ，∴ b 2＝ ac.b acb ac ac又∵ b ＝ a ＋ c ，∴ a ＋ c 2 2 2 22 2＝ac ，即 a ＋ c ＝ 2ac ，即 (a － c) ＝ 0，∴ a ＝ c ，这与 a ，b ， c 两两不相等矛盾，∴2b ＝1a ＋ 1c 不建立．x x － 2 10．已知函数f(x)＝ a ＋x ＋ 1(a>1)．(1)证明：函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数； (2)用反证法证明方程f(x)＝ 0 没有负实根．证明： (1)任取 x 1， x 2∈ (－ 1，＋ ∞)，不如设 x 1<x 2，则 x 2－ x 1>0 ， ax 2－ x 1>1，且 ax 1>0.因此 ax 2 －ax 1＝ ax 1 (ax 2－ x 1－ 1)>0. 又由于 x 1＋1>0 ， x 2＋ 1>0，因此 x 2－ 2－ x 1－ 2x 2＋ 1x 1＋ 1（ x 2－ 2）（ x 1＋ 1）－（ x 1－ 2）（ x 2＋ 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）3（ x 2－ x 1）＝（ x 1＋ 1）（ x 2＋ 1）>0.x 2－ 2 x 1－ 2于是 f(x 2)－ f(x 1)＝ax 2－ ax 1＋ x 2＋ 1－x 1＋1>0，故函数 f(x)在 (－ 1，＋ ∞)上为增函数． (2)设存在 x 0<0(x 0≠－ 1)知足 f(x 0)＝ 0，则 ax 0＝－x 0 －2x 0 .＋1又 0<ax 0<1，因此 0<－x 0－ 21＋ 1<1，即 2<x 0<2.x 0与假定 x 0<0 矛盾，故 f(x)＝ 0 没有负实根．。
高中数学新课标人教A版选修2-2《2.2.2反证法》课件
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星页期一规：点范十训九分练。
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) 2＝0. ∵p，q，r∈N*， ∴q22q－－ppr－＝r0＝，0， ∴p＋2 r2＝pr，(p－r)2＝0， ∴p＝r，这与 p≠r 矛盾．(10 分) 所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．(12 分)
课前探究学习
课堂讲练互第动五页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
肯定条件p， 否定结论q
― 推―理→
导致逻 辑矛盾
矛―盾―→律
“若p则綈q”为假
→ “若p则q”为真
课前探究学习
课堂讲练互第动六页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
2．反证法证明数学命题的一般步骤 第一步：分清命题“p→q”的条件和结论； 第二步：作出与命题结论q相矛盾的假定綈q(反设)； 第三步：由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果 (归谬)； 第四步：断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定綈q不 真，于是原结论q成立，从而间接地证明了命题p→q为真． 第三步中所说的矛盾结果，通常是指推出的结果与已知公理、已 知定义、已知定理或已知条件矛盾，与临时假定矛盾以及自相矛 盾等各种情况．
a1＝ 2＋1，
3a1＋3d＝9＋3
2，
(4 分)
∴d＝2，故 an＝2n－1＋ 2，Sn＝n(n＋ 2)．(6 分)
(2)证明 由(1)得 bn＝Snn＝n＋ 2.
假设数列{bn}中存在三项 bp、bq、br(p、q、r 互不相等)成等比数列， 则 b2q＝bpbr，(8 分)
即(q＋ 2)2＝(p＋ 2)(r＋ 2)，
课前探究学习
课堂讲练互第动七页，编辑于星活期页一：规点 十范九训分。练
最新人教版高中数学选修2.2.2-反证法 (1)ppt课件
例3
1 (1－ a)b， (1－ b)c， (1－ c)a 中至少有一个不大于 . 4 1 【证明】 假设三式同时大于 ， 4 1 1 1 即 (1－ a) b＞ ，(1－ b) c＞ ， (1－ c) a＞ ， 4 4 4 三式相乘，得 1 (1－ a) a· (1－ b) b· (1－ c)c＞ . 64 1－ a＋ a 2 1 又 (1－ a) a≤( ) ＝ . 2 4
2Hale Waihona Puke ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3. ∴a＋b＋c>0，这与 a＋b＋c≤0 矛盾， 故 a，b，c 中至少有一个大于 0.
题型三
用反证法证明(或解答)“至多”或“至少”类命题
(2013· 临沂高二检测)已知 a、 b、 c∈ (0,1)，求证：
4．常用正面词语与其否定形式 用反证法证明问题时，常用正面词语的否定形式如下 表：
正面词语 等于 小于 大于 是 否定 不等于 正面词语 都是 否定 不都是(至少有一个不是) 至少有两个 一个也没有
不小于(大于或等于) 至多有一个 不大于(小于或等于) 至少有一个 不是
想一想 1. 用反证法证明命题“若 p， 则 q”时， 为什么证出非 q 假， 就说明“若 p，则 q”就真？
3 1 － ＜ a＜ ， 2 2
题型三
用反证法证明否(肯 )定式命题
例1
设 { an}，{ bn} 是公比不相等的两个等比数列，cn＝ an＋
bn，证明：数列{ cn}不是等比数列．
【证明】 假设 { cn}是等比数列， 则当 n≥ 2 时， (an＋ bn)2＝(an－ 1＋ bn－ 1)· ( an＋ 1＋ bn＋1 )． 2 ∴ a2 ＋ 2 a b ＋ b n n n n ＝ an－1 an＋ 1＋ an－ 1 bn＋ 1＋ bn－1 an＋ 1＋ bn－ 1 bn＋ 1 . 设 { an}， { bn}的公比分别为 p， q(p≠ q)． 2 ∵ a2 ＝ a · a ， b bn＋ 1， － ＋ n n 1 n 1 n＝ bn－1 ·
人教版高中数学选修2-2《反证法》
反证法
演绎法
暴力列举法
课程小结
1、反证法证明命题的步骤： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过 一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定 原命成立。 2、反证法解决的问题类型：（正难则反） ①至多，至少； ②否定性命题； ③唯一，无穷，有限问题.
选修2-2 推理与证明
情境引入
警察局有５名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：
Ａ说：这里有１个人说谎．Ｂ说：这里有２个人说谎． Ｃ说：这里有３个人说谎．Ｄ说：这里有４个人说谎． Ｅ说：这里有５个人说谎．
提问：若你是警察，你觉得谁说了真话？
新知建构
直接证明困难怎么办？
间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法. 反证法是最常用的一种间接证明策略.
先假设结论的反面是正确的；然后通 过逻辑推理，推出与公理、已证的定理、 定义或已知条件相矛盾；分析可知假设 不成立，从而原结论正确．
这种证明方法叫做 反证法
典例分析
例1
已知：a1 a2 a3 a4 100, 求证：a1 , a2 , a3 , a4中，至少 有一个数大于25.
运用反证法的解题步骤：提升练习已知：ab bc ca 1, 求证：a b c 3
谢谢聆听
第一步，反设：作出与求证结论相反 的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并 由此通过一系列的正 确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从 而肯定原命成立。
练习1.
已知：a =x 2 y
2 2
2
,b y 2z
2
3
,
c z 2x ， 6 求证：a, b, c中至少有一个大于0.
高中数学人教课标版选修2-2《反证法》课件
(4)肯定原命题的结论成立.
知识回顾 重难点突破
问题探究
课堂小结
随堂检测
反证法主要适用于以下两种情形 ①要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索 不够清晰; ②如果从正面证明,需要分成多种情形进行分类讨论而从反面进行证 明,只研究一种或很少的几种情形. 常见否定用语
是——不是
等——不等 是
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究
课堂小结
随堂检测
运用反证思想,证明问题
例2.求证:
2 , 3 , 5不可能成等差数列.
. 2 3= 2+ 5 . 证明: 假设 2 , 3 , 5成等差数列则 所以 2 3 =
2
2+ 5
2
,化简得5=2 10 ,5 = 2 10
2
2
即25=40 ,这是不可能的.所以假设不成立,故原命题成立.
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究
课堂小结
随堂检测
运用反证思想,证明问题
例1.已知a＋b＋c>0,ab＋bc＋ca>0,abc>0.求证:a>0,b>0,c>0. 点拨:反证法的初始理论依据是基于“原命题与其逆否命题等价”的 逻辑原理,通过“结论不成立推出条件不成立”产生“条件成立所以
结论成立”的结果,是一种间接证明的方法.
反证法:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过
正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明原命题成立 的证明方法．
知识回顾 探究一:反证法
活动二
问题探究Biblioteka 课堂小结随堂检测运用反证思想,证明问题
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都不是－部分或全部是，即至少有一个是
唯一－－至少有两个
至少有一个有（是）－－全部没有（不是）
至少有一个不－－－－－全部都
练习：证明：圆的两条不全是直径的相
交弦不能互相平分. 已知：在⊙O中,弦AB、CD相交于P，且
AB、CD不全是直径
求证：AB、CD不能互相平分。
C
A
P
B
O
D
用反证法证明：圆的两条不是直径
的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径. A
求证：弦AB、CD不被P平分.
O
D
证明：假设弦AB、CD被P平分，
P
连结 AD、BD、BC、AC,
C
因为弦AB、CD被P点平分，所以四边形ACBD是平行四B边形
所以 ACB ADB,CAD CBD
因为 ABCD为圆内接四边形
求证：弦AB、CD不被P平分.
A
O
D
证法二
证明：假设弦AB、CD被P平分， C P
由于P点一定不是圆心O，连结OP， B
根据垂径定理的推论，有
OP⊥AB，OP⊥CD，
即过点P有两条直线与OP都垂直，
这与垂线性质矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
思考？
A、B、C三个人，A说B撒谎，B说 C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定 是在撒谎，为什么？
引例
证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°.
已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个
不小于60°
引例2：
将9个球分别染成红色或白色。那么无 论怎样染，至少有5个球是同色的。你能 证明这个结论吗？
间接证不明是：直接从原命题的条件逐步推得 命题成立的证明方法。
分析:假设C没有撒谎, 则C真. - - -- -那么A假且B假;
由A假, 知B真. 这与B假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.
总结提炼
1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论
2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以
是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、 公理、定理矛盾，自相矛盾等．
小故事 路边苦李
古时候有个人叫王戎，7岁那年 的某一天和小伙伴在路边玩，看见 一棵李子树上的果实多得把树枝都 快压断了，小伙伴们都跑去摘，只 有王戎站着没动。他说：“李子是 苦的,我不吃。”小伙伴摘来一尝， 李子果然苦的没法吃。
小伙伴问王戎:“这就怪了!你又没
有吃,怎么知道李子是苦的啊?”
王戎说:“如果李子是甜的,树 长在路边,李子早就没了！李 子现在还那么多,所以啊,肯定 李子是苦的，不好吃!”
反证法是一种常用的间接证明的方法。
反证法：
假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立）， 经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从 而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 反证法的一般步骤：
（1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）；
（2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
复习
直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、 公理、定理，直接推理证明结论的真实性。
常用的直接证明方法有综合法与分析法。
综合法的思路是由因导果；分析法的思路是执果索因。
在解决有关问题时，常常把分析法和综合法结合起 来使用。先用分析法寻求解题思路，再用综合法解 答或证明；有时要分析法和综合法结合起来交替使 用。
（3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。
归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。
注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析， 洞察矛盾。
反证法的思维方法：
正难则反
例1 已知a≠0，证明x的方程ax=b 有且只有一个根。
证：由于a 0，因此方程至少有一个根x b a
假设不成立， 2是无理数。
应用反证法的情形：
⑴直接证明困难; ⑵需分成很多类进行讨论． ⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” ---类命题； ⑷结论为 “唯一”类命题；
反证法的思维方法：正难则反
常见否定用语
是－－－不是
有－－－没有
等－－－不等
成立－－不成即至少有一个没有
所以 ACB ADB 180 , CAD CBD 180
因此 ACB 90, CAD 90
所以，对角线AB、CD均为直径，
这与已知条件矛盾，即假设不成立
所以，弦AB、CD不被P平分。
用反证法证明：圆的两条不是直径
的相交弦不能互相平分。
已知：如图，在⊙O中，弦AB、
CD交于点P，且AB、CD不是直径.
假设方程ax b 0(a 0)至少存在两个根
不妨设其中的两根分别为x1，x2且x1 ≠ x2
则ax1 = b，ax2 = b ∴ ax1 = ax2
∴ ax1 - ax2 = 0
∴a（x1 - x2）= 0
∵ x1 ≠ x2，x1 - x2 ≠ 0
∴a = 0 与已知a ≠ 0矛盾, 故假设不成立，结论成立。
例2 求证： 2 是无理数。
证明：假设 2不是无理数，则 2是有理数
则存在互质的整数m，n使得 2 = m ，
∴ m = 2n ∴ m2 = 2n2
n
∴ m2是偶数，从而m必是偶数，故设m = 2k（k∈N）
从而有4k2 = 2n2，即n2 = 2k2 ∴ n2也是偶数，n也是偶数
这与m，n互质矛盾！