初等数论 同余

注意：这条与前面的(5)的推论和(7)不同, 模变了. 证明： m | (a－b) => km | k(a－b)
a b m a b mt t. d d d
2013年11月13日10时5分
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性质(9)
若 a ≡b (mod m1), a ≡b (mod m2), m=[ m1, m2 ], 则 a ≡ b (mod m) . 证明： 由充要条件, 有 m2 | (a－b)， m1 | (a－b)
2013年11月13日10时5分
性质的应用：
由 10≡1（mod 9），有 102≡12（mod 9）， 103≡13（mod 9），…，10n≡1n（mod 9）,
an an 1 a2 a1a0 an 10n an 1 10n 1 a1 10 a0 an an 1 a1 a0 (mod 9).
性质⑺ 同余式的“除”.
性质⑻⑼⑽
涉及模的改变！分别与a，b和m的约 数，倍数，公约数，最小公倍数有关.
性质⑾是关于a，b和m最大公约数的。
2013年11月13日10时5分
例 2
分析
今天是星期二，101000天之后的那天是星期几？
由于1乘a为a ，1n=1，先求得某数的n次幂与1对模同余 是非常方便的. 我们已知 7 | 1001, 即103 ＋1≡0 (mod 7), ， 103 ≡－1(mod 7), 得106 ≡1 (mod 7).
又23m1 2(mod 7)， 从而当且仅当
23m 2 4(mod 7),
n 3m时, 7 2n 1.
（2）由23m 1 2(mod 7)，3m 1 1 3(mod 7), 23m 2 1 5(mod 7), 2 可知，对任何正整数n, 2n 1不能被7整除.
2013年11月13日10时5分
例 1 每一个整数 a 恰与0，1，2，…，m－1
中的某一个数对于模 m 同余。 证: 由带余除法知, a = mq+ r , 0≤r<m, 唯一确定, ∴ a－ r = mq , ∴m | (a－ r),
由定理 2. 1. 1，a 与 r 对 m 同余，0≤ r < m, r 必为 0, 1, 2, …, m－1中的某一个数. 命题成立.
同余式可以用与模互质的整数两边约简。
以上的同余性质与相等性质相类似，但同余还有一 些与相等性质相完全不相同的性质. 请看下面：
2013年11月13日10时5分
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性质(8)
若a ≡b (mod m)，k 为正整数 ， 则 ka ≡ kb (mod km) .
a b m (mod ). d为a，b及m的任一正公约数，则 d d d
=> m | (a－b)，因为最小公倍数整除任何公倍数. 这个性质可以推广到任何多个同余式的情况.
性质(10) 设d ≥1， d | m，若a ≡b (mod m) ，
则 a ≡ b (mod d ) .
证明：
2013年11月13日10时5分
d | m， m | (a－b) => d | (a－b).
解: ∵ 7 | 1001,
∴ 103 ≡－1 (mod 7),
可见,类似于等 式的“等量代 换”,同余式也 可以“代换”, 不妨即称之为 “同余代换”.
∴ 106 ≡1 (mod 7), 104 ≡－10 ≡4(mod 7), ∴ 101000≡106×166+4 ≡(106) 166×104 ≡1166× 4(mod 7), 即 7)。 故101000天之后是是星期六。 101000≡4(mod
即得 9 的整除特征。
2013年11月13日10时5分
性质(7) 若a =a1d, b =b1d, (m, d) =1, a ≡b (mod m)， 则 a1 ≡ b1 (mod m) .
证明： m | (a－b) 即 m | d(a1－b1)
而(m, d) =1, ∴ m | (a1－b1) ， 即a1 ≡b1 (mod m).
∵ 10 ≡1 (mod 3),
∴a≡ an+an－1 +…+a0 (mod 3).
即得a能被3整除的充分必要条件，即它的十进位数码 的和能被3整除. ∵ 10 ≡1 (mod 9), 同理可证9的情况(前面已证).
2013年11月13日10时5分
同余与数的整除特征
被 7, 11, 13 整除的数特征是: 将这个数从个位起从 右往左每三位分成一节, 奇数节的数之和与偶数 节的数之和, 所得的差能被 7, 11, 13 整除.
2013年11月13日10时5分
例如：
27、31、36、42、20，它们对模 5，哪些
同余？哪些不同余？
对于模 1，任意的两个整数同余吗？
关于模 2 同余的整数有什么特点？
同余是三个数 a 和 b 和 m 之间的关系， 正整数 m（模）起着同余标准的作用。
2013年11月13日10时5分
E
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性质(11) 若a ≡b (mod m)，则 (a，m) = (b，m).
证明： 由a =b+ km立得。
2013年11月13日10时5分
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同余性质小结-简单而非常重要！
性质⑴⑵⑶ 等价关系 性质⑷⑸ 同余的加减乘，由推论，同余式也可以
移项和数乘.
性质⑹
关于多项式，涉及乘方，是性质综合应用.
2013年11月13日10时5分
同余与数的整除特征
例3 设a为整数，则a能被3或9整除的充分必要条件是 它的十进位数码的和能被3或9整除.
证：设a为正整数， a的十进位数的形式为 a = an10n+an－110n － 1 +… +a110+a0 (0≤ai<10, an≠0, i=0,1,2, …,n)
由同余定义可知如下性质成立
(1) 反身性： a ≡ a (mod m). (2) 对称性：若 a ≡ b (mod m)， 则 b ≡ a (mod m). (3) 传递性：若 a ≡ b (mod m), b ≡ c (mod m), 则 a ≡ c (mod m).
由(1)，若a = b，则a ≡ b (mod m)；反之不然！ 同余是整数间的一种等价关系！
2013年11月13日10时5分
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由定理2.1.1及整除的性质可得同余的下列性质
(5) 若a ≡b (mod m)，c ≡d (mod m) ， 则 ac ≡ bd (mod m) .
同余式可以相乘。
推论 若a ≡b (mod m)， 则 a k ≡ b k (mod m), k 为任意整数.
同余式的数乘。
E
2013年11月13日10时5分
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推广
2013年11月13日10时5分
性质(6)
证明：由 a≡b（mod m），有 a2≡b2（mod m），
a3≡b3（mod m），…，an≡bn（mod m）. 又由条件（7）及性质3，有 a0≡b0（mod m），a1a≡b1b（mod m）， a2a2≡b2b2（mod m），…， anan≡bnbn（mod m）. 由同余的加减性质即可证得.
p( p 1) ( p i 1) C Z i! i ! p ( p 1) ( p i 1)
i p
当i 1, 2,, p 1时,(i !, p) 1 故C ip pq, 即p C ip
i ! ( p 1) ( p i 1)，
命题成立。
例3、（）求所有的正整数n，使得2n 1能被7整除； 1 （2）证明：对于任何正整数n，2n +1不能被7整除。
解：（）n Z , 都可写成3m k的形式, 其中m N , k 0,1, 2. 1 因为23 1(mod 7)，所以23m 1(mod 7)，即23m 1 0(mod 7), 从而当 n 3m, 7 2n 1；
第二章
同余
同余作为数论中最基本的概念，在数论 中占有极为重要的地位。同余理论是初等数 论的核心，它包含了数论特有的思想方法. §2. 1 同余的概念及基本性质 §2. 2 剩余类与剩余系 §2. 3 欧拉定理
问题：日常生活中最常见的同余问题是什么？
日常生活中的星期几问题就是同余问题。
例如今天6日是星期二，那么本月13日, 20 日都是星期二，这是因为它们用7去除得到 的余数相同。 这说明有时我们注意的是某些整数用某一 个固定的整数去除所得到的余数。
事实上于同余有下述三个等价命题:
a b (mod m) m | a b a b mt , t为整数
以后我们将不加区别地交换使用。
2013年11月13日10时5分
由定理2.1.1及整除的性质可得同余的下列性质
(4) 若a ≡b (mod m)，c ≡d (mod m) ， 则 a + c ≡ b + d (mod m) , a－c ≡ b－d (mod m). 同余式可以相加减。 推论 若a +b ≡ c(mod m), 则 a≡ c － b (mod m) . 同余式可以“移项”。 E
2013年11月13日10时5分Biblioteka E定理2. 1. 1
整数a 和b 对模 m 同余的充要条件是 m |(a－b) .
证明：由带余除法，可设 a＝mq1+r1,(0≤r1<m), ∴ b＝mq2+r2 , (0≤r2<m),
若 a ≡ b (modm) ，则r1＝r2 ,
a－ b ＝m(q1－q2)，即m | (a－b)。 若 m|(a－b). 则 m|m (q1－q2) + (r1－r2 ), 因此m | (r1－ r2 ). 而 0≤r1<m ，0≤r2<m 故 0≤| r1－r2 |<m, 所以只有r1－r2 ＝0，r1＝r2 , 即 a ≡ b (modm) .