3.3 共同本征函数
共同本征函数解读
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。
如果测量B ，则不一定能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。
考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。
展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。
其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A ≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。
量子力学讲义第三章讲义
第三章 力学量用算符表达§3.1 算符的运算规则一、算符的定义：算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。
ˆAuv = 表示Â把函数u 变成 v ， Â就是这种变换的算符。
为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。
但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。
二、算符的一般特性 1、线性算符满足如下运算规律的算符Â，称为线性算符11221122ˆˆˆ()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。
例如：动量算符ˆpi =-∇， 单位算符I 是线性算符。
2、算符相等若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即ˆˆA B ψψ=，则算符Â和算符ˆB 相等记为ˆˆAB =。
3、算符之和若两个算符Â、ˆB对体系的任何波函数ψ有：ˆˆˆˆˆ()A B A B C ψψψψ+=+=，则ˆˆˆA B C +=称为算符之和。
ˆˆˆˆAB B A +=+，ˆˆˆˆˆˆ()()A BC A B C ++=++ 4、算符之积算符Â与ˆB之积，记为ˆˆAB ，定义为 ˆˆˆˆ()()ABA B ψψ=ˆC ψ= ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足交换律，即ˆˆˆˆABBA ≠。
5、对易关系若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
例如：算符x , ˆx pi x∂=-∂不对易证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂i i x xψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -=，ˆˆz z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
第13讲共同本征函数、测不准关系
ˆx, p ˆ y, p ˆz. p
ˆ ,L ˆ2 , L ˆ . H z
例 3：
ˆ H
（2）力学量完全集中力学量的数目一般与体系自由度数相同。
（3）由力学量完全集所确定的本征函数系，构成该体系态空间的 一组完备的本征函数，即体系的任何状态均可用它展开。
§8 测不准关系
（一）测不准关系的严格推导 （二）坐标和动量的测不准关系 （三）角动量的测不准关系
（三）力学量完全集合
（1）定义：为完全确定状态所需要的一组两两对易的力学 量算符的最小（数目）集合称为力学量完全集。 例 1： 例 2： 三维空间中自由粒子，完全确定其 状态需要三个两两对易的力学量： 氢原子，完全确定其状态也 需要三个两两对易的力学量： 一维谐振子，只需要一个力 学量就可完全确定其状态：
例如：
ˆF ˆ ˆ F ˆG G ˆF ˆ ) 0 ˆ F ˆG (G
ˆ ,L ˆ ] 0 [L x z
= 0 的态，Y
m
= Y00
？
Lx Lz 同时有确定值。 但是，如果两个力学量的共同本征函数不止一个， 而是一组且构成完备系，此时二力学量算符必可对易。
定理：若两个力学量算符有一组共同完备 的本征函数系，则二算符对易。
（一）测不准关系的严格推导
（1）引
由上节讨论表明，两力学量算符对易则同时有确定值； 若不对易，一般来说，不存在共同本征函数， 不同时具有确定值。
两个不对易算符所对应的力学量在某一状态中究竟 不确定到什么程度？即不确定度是多少？ 测量值 Fn 与平均值 < F > 的偏差的大小。
问题：
不确定度：
（1）测不准关系的严格推导
x
p
4.3共同本征函数解读
2
0 0
ˆ2Y ( , ) l (l 1)2Y ( , ) L lm lm
ˆ Y ( , ) mY ( , ) L z lm lm
l 0,1,2,3,, 称角量子数 , m 0,1,2,,l , 磁量子数 .
球谐函数具体表达式见P375，L2有2l+1重简并。
例1、三维粒子，动量三个分量（Px、Py、Pz) 构成一个力学量完全集； 例2、三维无限深势阱，能量E三个动能分量 2 2 2 p p p 构成一个力学量完全集。 y x z
( 2m 2m 2m , , )
三个量子数n1, n2, n3就完全确定一个 可能的状态。
2、量子力学的关于测量的一个基本假定2：
0
这是连带勒让德（Legendre）方程 只有当λ＝l(l+1), l=0,1,2,…时，方程才有 有限解（见附录P370，A4），其解为连 带勒让德多项式： m
Pl (cos ),
m l
得（L2,LZ）共同本征函数为：
m im 称球谐函数 Ylm ( , ) Nlm (1)m P (cos ) e l
4.3.2
已知：
(L2,Lz)的共同本征函数，球谐函数
ˆ L z i
2 1 1 ˆ2 2 [ L (sin ) ] 2 2 sin sin
ˆ ( ) m ( ) L z m m 1 im e 本征函数： m 2
ˆ2Y ( , ) 2Y ( , ) L lm lm
L2的本征函数与本征值 ？
[L2,Lz]=0, （p89(17)式），故有共同本 征函数。设为Y（θ,φ）＝Θ(θ)Φm(φ) ∵Y（θ,φ）满足LZ本征方程， Θ(θ)＝？
共同本征函数
§4.3 共同本征函数 1、测不准关系的严格证明在算符Aˆ的本征态中测量力学量A ，可以得到确定值，并不出现涨落。
如果测量B ，则不一定能得到确定值。
例如，由于粒子的波粒二象性，其位置与动量不能够同时完全确定，而其不确定度由下式确定≥∆⋅∆p x对于比较普遍的情况，设有Aˆ，B ˆ两个力学量，令A A A -=∆ˆˆ，B B B -=∆ˆˆ， （注意在经典力学中A A A -=∆）因为Aˆ，B ˆ是厄米算符，所以A ˆ∆，B ˆ∆也是厄米算符。
考虑积分⎰≥∆-∆=0d |)ˆˆ(|)(2τψξξB i AI ，ξ为实数，积分区间取为整个空间。
展开上式，有⎰⎰⎰⎰∆∆+∆∆-∆∆-∆∆=∆-∆∆-∆=τψψτψψψψξτψψξτψψξψψξξd )ˆ(ˆd ]ˆ)ˆ()ˆ(ˆ[d ˆ(ˆ(d ]ˆˆ[ˆˆ()(****2**BB B A A B i A A B i A B i A I ）（）（）（）））（）（）因为Aˆ∆，B ˆ∆均是厄米算符，所以有 ⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（BA B B A i A I （利用了厄米性）而A B B A A A B B B B A A A B B Aˆˆˆˆ)ˆ)(ˆ()ˆ)(ˆ(ˆˆˆˆ-=-----=∆∆-∆∆ 对⎰⎰⎰∆+∆∆-∆∆-∆=τψψτψψξτψψξξd ˆd )ˆˆˆˆ(d )ˆ()(2**2*2）（B A B B A i A I ，则 0ˆ)ˆˆˆˆ()ˆ()(222≥∆+--∆=）（B A B B A i A I ξξξ令K i A B B Aˆˆˆˆˆ=-，则 0ˆˆ)ˆ(222≥∆++∆）（B K A ξξ这是有关实参数的一元二次方程。
其有解的条件可由判别式给出，即4)ˆ()ˆ(222K B A≥∆∆，简记为2||ˆˆK B A ≥∆⋅∆，或|]ˆˆ[|21ˆˆB A B A ，≥∆⋅∆ 这就是测不准关系。
12角动量算符共同完备本征函数系力学量完全集.
分离变量
() 其中， 1 2
eim 。
由求解过程可知，为使 Y(,) 在区间 [0, ] 内有限，必须 l (1 l ) l 0 , 1 , 2 ,
方程的解
m m i m Y ( , ) ( 1 ) N P ( c o s ) e m 0 , 1 , 2 , l l m l m l
ˆy y ˆx) i iy ix (x p p Lˆ z x y
ˆ Lz i
2．对易关系
ˆ, ˆ] ˆ [ L i L L
ˆ , [ L i ]
2 1 1 2 ˆ L Y ( ,) s i n Y ( ,) Y ( ,) 2 2 s i n s i n 2 2
Y ( , ) ( ) ( )
§3-4 角动量算符
一、角动量算符
粒子在中心力场中运动，角动量是表征体系转动性质的重要物 理量。为了区别后面要引入的自旋角动量，将其称为轨道角动量。 1．轨道角动量算符的定义
ˆ rp ˆ L
ˆ yp L ˆ z zp ˆy x ˆ ˆ x xp ˆz L y zp ˆ ˆ ˆ L z xp y yp x
二、力学量完全集
2
ˆ 的本征值简并，仅由量子数 无法唯一地确定其本征态。 算符 L l ˆ L 要唯一地确定其本征态，必须启用另一个与之对易的算符 。这样 z 的两个相互对易的线性厄米算符可以有完备的共同本征函数系，能 唯一地确定体系的状态。 将其推广之，如果有N个相互对易的力学量算符能唯一 地确定体系的状态，就将这N个力学量称为力学量完全集， 或者完整力学数量组。
第8讲 测不准关系的严格证明
第八讲 连续谱本征函数的归一化 测不准关系的严格证明 共同本征函数
1
第8讲目录
一、连续谱本征函数 二、连续谱本征函数的归一化与δ函数 三、不确定度（测不准）关系的严格证明 四、共同本征函数 五、习题
2
一、连续谱本征函数（1）
1、动量
x 分量的本征值与本征函数
设本征值与本征函数为 px 和 ，本征方程为： i p x C exp( ip x x / ) x 若 x (,) ，则 px (,) ，为连续变化：
ˆ iB ˆ d 0 A
2
ˆ iB ˆ iB ˆ )* (A ˆ ) d 0 I ( ) (A
ˆ )* A ˆ i ( A ˆ )* B ˆ d [ 2 ( A
ˆ (B ˆ )* A ˆ )* B ˆ )] i ( B
1 (1) (ax) ( x); (2) ( x) ( x); |a| (3) ( x)dx ( x)dx 1 ( 0); (亦可作为定义 )
(4) f ( x) ( x a)dx f (a);
(5) x ( x) 0
9
三、不确定度（测不准）关系的严格证明(1)
ˆ x ，有 x px ， ˆ 和B ˆ 为厄 问题：对于 x ˆ 和p A
米算符，则 A B ? ， 结论为：A B [ A ˆ, B ˆ] 2 【证明】：设任意波函数 以及任意实数 做积分： I ( )
3、连续谱本征函数的归一化(1)
ipx x / )，若取：C 动量本征态为 p C exp(
简并情况下两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法
简并情况下两个对易算符的共同本征函数
系的简单求解方法
简单求解两个对易算符的共同本征函数系是数学中一个重要的应用问题，也是量子力学和理论物理学中的一个重要研究课题。
本文将介绍两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法。
首先，要求解两个对易算符的共同本征函数系，需要先搞清楚每个易算符的本征函数是什么。
本征函数是一个线性无关的函数，它的变量不会受到线性变换的影响，而且它的值是这个函数的常数。
因此，在求解两个对易算符的共同本征函数系之前，需要先求解每个易算符的本征函数。
其次，要简单求解两个对易算符的共同本征函数系，需要采用变分法。
变分法可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题，从而使问题变得更容易求解。
需要注意的是，在采用变分法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要考虑到每个易算符的本征函数的变化率，以及其他相关变量的变化率。
最后，要求解两个对易算符的共同本征函数系，还可以采用矩阵方法。
矩阵方法是一种基于矩阵的技术，它可以将复杂的解析问题转换为简单的数值问题。
在采用矩阵方法求解两个对易算符的共同本征函数系时，需要构造一个矩阵，该矩阵包含了各个易算符的本征函数，以及其他相关变量。
总而言之，两个对易算符的共同本征函数系的简单求解方法主要有变分法和矩阵方法，在求解这一问题之前还需要先求解每个易算符的本征函数。
不管采用哪种方法，都需要考虑到各个变量的变化率，以便得到准确的结果。
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2
2
B2 C 2 / 4 A2 0
C 为实，不妨取 C / 2 A2 ,则得
B 2 C 2 / 4 A2 0
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
1 2 即 A B C , 或表成 4
2 2
1 1 ˆ ˆ A B C A, B 2 2
2 2
1
ˆ 与 B ˆ 为厄米算符, A 与 B 又均为实数, 在上式中， A ˆA ˆ A 与 B ˆB ˆ B 也是厄米的. A
让
ˆ B ˆ, ˆ A ˆ, B A
则(1)式仍成立.
ˆ , B ˆ, B ˆ A ˆ , 就可得出 A 再考虑到
量子力学教程(第二版) 3.3.1 不确定度关系的严格证明
引 入
ˆ 的本征态时,对其测量,可得一 当体系处于力学量 A 个确定值,而不会出现涨落.但在其本征态下去测量 ˆ 时,却不一定得到一个确定值. 另一个力学量 B
下面我们普遍地分析此问题.
ˆ 和B ˆ, 设有两个任意的力学量 A
分析下列积分不等式 其中, 为体系的任意一个波函数, 为任意实参数.
ˆ 为体系的一个厄米算符, 对于体系的任一态 定理: 设 H
ˆ ) /( , ) 有下界( 即总是大于某一个固定的数c), ,( , H
ˆ 的本征态的集合, 构成体系的态空间中 但无上界, 则 H
的一个完备集, 即体系的任何一个量子态都可以用这一
组本征态完全集来展开.
3.3 共同本征函数
2
(这里假定量子数 , 或力学量 A , 不连续变化. 若
d , 而相应的展开系数的模方代表概 连续变化, 则
率密度. 例如, 坐标表象和动量表象的展开, 即属此情况.)
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
如体系的 Hamilton 量不显含时间 t (H / t 0), 则 H 为守恒量. 在此情况下, 如对易力学量完全集中包含
可以证明, 只当
l l 1 , l 0,1, 2,,
时,方程有一个多项式解(另一解为无穷级数), 即连带 Legendre 多项式
P ,
m l
m l
它在 1 区域中是有界的, 是物理上可接受的解.
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
利用正交归一性公式
1
观测量完全集 (complete set of commuting Observables, 简记
为CSCO), 在中文教材中,习惯称为对易力学量完全集, 或简
称为力学量完全集. 对易力学量完全集的概念与体系的一个 量子态的制备密切相关. 3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
按照态叠加原理, 体系的任何一个状态 均可用 来展开 a 利用 的正交归一性, 上式中的展开系数 a ( , ) 可确切定出. a 表示 态下, 测量力学量 A 得到 在 A 值的概率. 这是波函数的统计诠释的最一般的表述.
P
1
m l
l m ! 2 δll Pl d 2l 1 l 1
m
部分的波函数(实)
2l 1 l m ! m cos 2 l m ! P l
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.3 对易力学量完全集(CSCO)
ˆ(A ˆ ,A ˆ ,), 设有一组彼此独立而且互相对易的厄米算符 A 1 2
它们的共同本征态记为 , 设给定一组量子数
表示一组完备的量子数.
之后, 就能够完全确定体系的唯一
ˆ ,A ˆ ,) 构成体系的一组对易可 一个可能状态, 则我们称 ( A 1 2
m l , l 1,, l 1, l
满足
0
lm l m sin d δll
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
2 所以, l , lz 的正交归一的共同本征函数表示为
Ylm , 1
m
2l 1 l m ! m im cos e 4 l m ! P l
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
化简本征方程,得
1 d d m2 2 sin sin d d sin 0,
0
令 cos (
1),
则
2 d d m 2 1 0 2 d d 1
ˆ 本征值有简并的情况下, 对于给定能量本征值, (b) 在 H 本征态尚未完全确定, 此时需要用包含Hamilton量在内
的一个CSCCO, 根据他们的本征值把本征态完全确定下 来, 以便于对任何量子态进行确切的展开.
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版) 3.3.4 量子力学中力学量用厄米算符表达
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
在上面的式子中,
l 和 l z 的本征值都是量子化的.
轨道角动量量子数 磁量子数
2
l
m
对于给定
l
,
l
2
的本征函数是不确定的,
因为
m l , l 1,, l 1, l , 共有 2l 1 个简并态.
Ylm 就
是用 l z
的本征值来确定这些简并态.
3.3 共同本征函数
ˆ iB ˆ d 0 I A
2
量子力学教程(第二版)
ˆ与 B ˆ 为厄米算符， 所以 因为 A
ˆ iB ˆ iB ˆ , A ˆ I A
2
ˆ , A ˆ i A ˆ , B ˆ B ˆ i B ˆ , A ˆ , B ˆ 2 A
有体系的Hamilton量, 则完全集中各力学量都是守恒量,
这种完全集又称为对易守恒量完全集( a complete set of
commuting conserved observables, 简记为CSCCO.)
包括 H 在内的守恒量完全集的共同本征态, 当然是定 态, 所相应的量子数都称为好量子数. 在这种展开中, 2 (无论ψ 是什么态, 定态或非定态), a 是不随时间 改变的.
2 1 1 2 2 l sin 2 2 sin sin
2 1 2 sin 2 l z sin sin
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
2 2 l l , l 0, 考虑到 的本征函数可以同时也取为 l z z 的本征态
A ( , A ) /( , )
(2) 在实验上观测某力学量A, 它的可能取值 A 就是算符
ˆ 的某一个本征值. 由于力学量观测值总是实数, 所以 A
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
关于CSCO, 再做几点说明: (1) CSCO是限于最小集合, 即从集合中抽出任何一个可 观测量后, 就不再构成体系的CSCO. 所以要求CSCO 中各观测量是函数独立的.
(2) 一个给定体系的CSCO中, 可观测量的数目一般等于
体系自由度的数目, 但也可以大于体系自由度的数目.
与Schrö dinger方程是量子力学的一个基本假定一样,
量子体系的可观测量 (力学量) 用一个线性厄米算符来
描述, 也是量子力学的一个基本假定, 它们的正确性应
该由实验来判定.
“量子力学中力学量用相应的线性厄米算符来表达”,
其含义是多方面的:
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
(1) 在给定状态ψ 之下, 力学量 A 的平均值 A 由下式 确定: ˆ
1 im m e , 2
m 0, 1, 2,
此时, l 2 的本征函数已分离变量, 即令
Y , m
并代入本征方程
l 2Y , 2Y ,
2 其中, 2是 l 的本征值( 无量纲), 待定.
(3) 一个给定体系往往可以找到多个CSCO, 或CSCCO.
在处理具体问题时, 应视其侧重点来进行选择. 一个
CSCCO的成员的选择, 涉及体系的对称性.
3.3 共同本征函数
量子力学教程(第二版)
体系的量子态用一组彼此对易的力学量完全集的共同
本征函数来展开, 在数学上涉及完备性问题. 这是一个颇 为复杂的问题.李政道曾经给出关于本征态的完备性的 如 下重要的定理.
2 2
ˆ i , A ˆ , B ˆ , A ˆ, B
ˆ A ˆ, B ˆ ˆ /i C C
引进厄米算符
则
I 2 A2 C B 2
A C / 2A
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
例如
坐标 r x, y, z 的共同本征态,即 δ 函数
x y z r δ r r0
0 0 0
δ x x0 δ y y0 δ z z0
相应本征值为
r0 x0 , y0 , z0 , x0 , y0 , z0 实
3.3
共同本征函数
量子力学教程(第二版)
由(2)式可以看出, 若两个力学量 A 与 B 不 对易, 则一般说来 A 与 B 不能同时为零, 即
ˆ, B ˆ 0 的特殊态可 ˆ 与 B ˆ 不能同时测定. (但 A A