4.3.1 对数的概念
4.3.1对数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册+
2
x＝ － ；
3
(3) lg 100 ＝ x;
解：
(2) log x 8 ＝ 6；
(4) － ln e2 ＝ x.
精讲点拨
例3 在对数式y＝log(x－2)(4－x)中，实数x的取
值范围是________.
4－x>0，
解析： 由题意可知x－2>0， 解得 2<x<4 且 x≠3.
x－2≠1，
答案 (2，3)∪(3，4)
知识建构
（1）对数的由来
（2）对数的定义
（3）常用对数与自然对数
（5）指对数互换
巩固训练
1.判断
（1）根据对数的定义，因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.(
提示 因为对数的底数a应满足a>0且a≠1，所以错误.
（2）对数式log32与log23的意义一样.(
×
×)
)
提示 log32表示以3为底2的对数，log23表示以2为底3的对数，所以错误.
（3）对数的运算实质是求幂指数.( √ )
巩固训练
2.把下列指数式化为对数式，对数式化为指数式
巩固训练
2
3.若logx8＝3，则x＝________.
4.若log3(log2x)=0,则x=
2
.
巩固训练
5.求下列各式的值
对数的有关性质是解
2.对数的有关性质
题的重要依据！！
没有对数
(1)零和负数__________；
0
(2)1的对数为___，即log
a1＝0(a>0且a≠1)；
1
(3)底数的对数为___，即log
aa＝1(a>0且a≠1).
人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
嘿，挖到几枚恐龙蛋，送
到权威机构做了碳14同位素鉴定，
结果是白垩纪的恐龙蛋化石，现
在坐等博物馆人员上门收购！
碳14同位素法检测原理
生物死亡后，它机体内原有的碳14含
量每经过大约6000年会衰减为本来的
一半，这个时间称为“半衰期”.
研究人员常常根据机体内碳14的含量
来推断生物体的年代，其中半衰次数
=
(＜＜)
y
=
(＞)
a∈{a| ＞0，且a≠1}
x∈R
N∈+
O
x
四、典例精析
例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.
（1）log 5 125 = 3；（2）log 2
1
16
= −4；
（3）10−2 = 0.01；（4）e0 = 1（其中e=2.71828…）.
log = 1.
五、随堂练习
1.对数式与指数式的互化：
（1）2
−1
=
1
;
2
（2）ln1 = 0.
1
2
解：（1）log 2 =-1；（2） 0 =1.
2.求值：（1）log 3 9；
（2）log 9 3.
解：（1）设x=log 3 9，则3 = 9 = 32 ，所以x=2，即log 3 9=2；
1
2
与碳14的含量P之间的关系为： = ( ) .
但是，当生物组织内的碳14含量不足千分之一（这里我们按
来计算）时，放射性探测器就测不到碳14了．
1
1024
试回答以下几个问题：
（1）经过1次半衰期，碳14的含量会变为本来的多少？3次呢？
1
1 3 1
新教材人教A版数学必修第一册4.3.1 对数的概念课件
对数与指数的关系 指数式与对数式的互化(其中 a>0，且 a≠1)：
(1)开方运算和对数运算都是乘方运算的逆运算； (2)弄清对数式与指数式的互化是掌握对数运算的关键．
1．式子 logmN 中，底数 m 的范围是什么？ 提示：m>0 且 m≠1.
2．对数式 logaN 是不是 loga 与 N 的乘积？ 提示：不是，logaN 是一个整体，是求幂指数的一种运算，其运算结果是 一个实数．
第四
章
指数函数与对数函数
4．3 对数
新课程标准解读
核心素养
1.理解对数的概念和运算性质，能进行简单的对数运算 数学抽象、数学运算
2.知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数，并能进行简单的化简计算
数学运算
4．3.1 对数的概念
某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分裂成 4 个，……
所以lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A正确；
对于B，因为ln e＝1，lg 1＝0，所以lg(ln e)＝lg 1＝0，故B正确；
对于C，因为10＝lg x，所以x＝1010，故C错误；
对于D，因为log25x＝12，所以2512＝x，所以x＝5，故D错误．故选A、B. 答案：AB
4．已知logx16＝2，则x等于
[问题] 依次类推，1 个这样的细胞分裂 x 次得到的细胞个数 N 是多少？ 分裂多少次得到的细胞个数为 8 和 256？如果已知细胞分裂后的个数 N，如何 求分裂次数？
知识点一 对数的概念
1．定义 一般地，如果 ax＝N(a>0，且 a≠1)，那么数 x 叫做__以__a__为__底__N__的__对__数__， 记作__x_＝__lo_g_a_N____，其中 a 叫做_对__数__的__底__数___，N 叫做__真__数__． 2．常用对数与自然对数
4.3.1对数的概念
4.3.1 对数的概念【引入】1．庄子曰：一尺之棰，日取其半，万世不竭．(1)取5次，还有多长？(2)取多少次，还有0.125尺？2．细胞分裂问题，经过几次分裂后细胞的个数为4 096个？2x＝4 096．【新课】一、对数的概念一般地，如果a (a＞0且a≠1)的b次幂等于N，即a b＝N，那么幂指数b叫做以a为底N的对数．“以a为底N的对数b”记作b＝log a N (a＞0且a≠1)，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．注意：(1) 底数的限制：a＞0且a≠1；(2)对数的书写格式；(3)对数的真数大于零．二、对数式与指数式的关系由对数的定义可知，a b＝N与b＝log a N两个等式所表示的是a，b，N三个量之间的同一关系的两种不同表示形式．例如：32＝9⇔2＝log39．对数式与指数式的互化：a b＝N ⇔b＝log a N练习1(1) 将下列指数式写成对数式：22＝4；62＝36；7.60＝1；34＝81．(2) 将下列对数式写成指数式：log39＝2；log416＝2；log5125＝3；log749＝2．练习2 将下列指数式写成对数式 ( 其中 a ＞0且 a ≠1)：21＝2； a 1＝a ；60＝1； a 0＝1．三、对数的性质(1) log a a ＝1，即底数的对数等于1；(2) log a 1＝0，即1的对数等于零；(3) 0和负数没有对数．例1 求log 22，log 21，log 216，log 212． 解 (1) 因为 21＝2，所以 log 22＝1；(2) 因为 20＝1，所以 log 21＝0；(3) 因为 24＝16，所以 log 216＝4；(4) 因为 2－1＝12，所以 log 212＝－1． 四、常用对数以10为底的对数叫做常用对数．为了简便，log 10N 简记作 lg N ． 例2 求lg 10，lg 100，lg 0.01．解 (1) 因为 101＝10，所以 lg10＝1；(2) 因为 102＝100，所以 lg100＝2；(3) 因为 10－2＝0.01，所以lg0.01＝－2．例 3 利用计算器求对数(精确到0.000 1)．lg2 001； lg0.618；lg0.004； lg396.5．练习3 求下列各式的值(1) lg1＋lg10＋lg100；(2) lg0.1＋lg0.01＋lg0.001．【小结】一、对数二、指数式与对数式的关系式a b ＝N b ＝log a N三、常用对数以10为底的对数叫做常用对数，简记作 lg N ．。
4.3.1 对数的概念
4．3.1 对数的概念(一)教材梳理填空 (1)对数的概念一般地，如果a x ＝N (a ＞0，且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数．(2)对数的基本性质①当a ＞0，且a ≠1时，a x ＝N ⇔x ＝log a N . ②负数和0没有对数．③特殊值：1的对数是0，即log a 1＝0(a ＞0，且a ≠1)；底数的对数是1，即log a a ＝1(a ＞0，且a ≠1)．(3)常用对数与自然对数名称 定义记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数lg_N 自然对数 以无理数e ＝2.718 28…为底的对数称为自然对数ln_N(二)基本知能小试 1．判断正误(1)因为(－2)2＝4，所以2＝log (－2)4.( ) (2)log a N 是log a 与N 的乘积( )(3)使对数log 2(－2a ＋1)有意义的a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，12.( ) 2．若a 2＝M (a ＞0且a ≠1)，则有( ) A ．log 2M ＝a B ．log a M ＝2 C ．log a 2＝MD ．log 2a ＝M3．log 21＋log 22＝( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0 4．已知log 32x －15＝0，则x ＝________.题型一指数式与对数式的互化[学透用活](1)对数的概念的实质是指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部分的“去向”：(2)定义中规定a＞0，且a≠1.理由：①当a＜0且N为某些数值时，x不存在，如式子(－2)x＝3没有实数解，所以log(－2)3不存在，因此，规定a不能小于0.由指数函数的定义也可知a不能小于0.②当a＝0，且N≠0时，log a N不存在；当a＝0，且N＝0时，x可取无数个值，因此规定a≠0.③当a＝1，且N不为1时，x不存在；而a＝1且N＝1时，x可以为任何实数，因此规定a≠1.[典例1]将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)33＝27；(2)log128＝－3；(3)⎝⎛⎭⎫14－2＝16；(4)lg 1 000＝3.[对点练清]1．3b＝5化为对数式是()A．log b3＝5B．log35＝b C．log5b＝3 D．log53＝b 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是() A．100＝1与lg 1＝0B．27-13＝13与log2713＝－13C．log39＝2与912＝3D．log55＝1与51＝5题型二对数的计算[学透用活][典例2]求下列各式的值．(1)log1381；(2)lg 0.000 1；(3)log(5－2)(5＋2)．求对数式log a N的值的步骤[对点练清]1．求下列对数的值：(1)log 28；(2)log 919；(3)ln e ；(4)lg 1.2．求下列各式中x 的值：(1)⎝⎛⎭⎫13x ＝5；(2)log 64x ＝－23；(3)log x 8＝6；(4)lg 100＝x .题型三 对数的性质及对数恒等式[学透用活][典例3] 求下列各式中x 的值： (1)log 2(log 5x )＝0； (2)log 3(lg x )＝1； (3)log 3(log 4(log 5x ))＝0.[对点练清]1．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？2．[变设问]在本例(3)条件下，计算625log x 3的值．3．[变条件]本例(3)中若将“log 3(log 4(log 5x ))＝0”改为“3log 3(log 4(log 5x ))＝1”，又如何求解x 呢？[课堂一刻钟巩固训练]一、基础经典题1．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．4B ．±4C ．256D ．22．2－3＝18化为对数式为( )A ．log 182＝－3B ．log 18(－3)＝2C ．log 218＝－3D ．log 2(－3)＝183．求值：lg 1 000＝________；lg 0.001＝________. 4．已知log 2x ＝3，则x -12＝________.二、创新应用题5．先将下列式子改写成指数式，再求各式中x 的值．[课下双层级演练过关] A 级——学考水平达标练1．若a ＞0，且a ≠1，c ＞0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝aD ．log c a ＝b2．若对数log (2a －1)(6－2a )有意义，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，3) B.⎝⎛⎭⎫12，3 C.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，1∪(1,3)3．若log x 7y ＝z ，则x ，y ，z 之间满足( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x zD ．y ＝z 7x4．对于a ＞0，且a ≠1，下列说法中，正确的是( ) ①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①③ B ．②④ C ．②D ．①②③④5．(2018·河北辛集中学高一期中)若x log 23＝1，则3x ＋9x 的值为( ) A ．6 B ．3 C ．52D ．126．若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________. 7．若a ＝lg 2，b ＝lg 3，则1002b a 的值为________．8．给出下列各式：①lg(lg 10)＝0；②lg(ln e)＝0；③若10＝lg x ，则x ＝10；④由log 25x ＝12，得x ＝±5. 其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． 9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． (1)53＝125； (2)4－2＝116； (3)log 3127＝－3. 10．若log 12x ＝m ，log 14y ＝m ＋2，求x 2y的值．B 级——高考水平高分练1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x -12等于( ) A.13 B.36 C.24D.332．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－log 2(x ＋1)，x ≥0，2x －1，x ＜0，则f (f (3))＝________.3．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34的值．4．分贝是计量声音强度相对大小的单位．物理学家引入了声压级(spl)来描述声音的大小：把一很小的声压P 0＝2×10－5 帕作为参考声压，把所要测量的声压P 与参考声压P 0的比值取常用对数后乘以20得到的数值称为声压级．声压级是听力学中最重要的参数之一，单位是分贝(dB)．分贝值在60以下为无害区，60～110为过渡区，110以上为有害区．(1)根据上述材料，列出分贝y 与声压P 的函数关系式；(2)某地声压P ＝0.002帕，试问该地为以上所说的什么区，声音环境是否优良？。
4.3.1对数的概念课件(人教版)
(2)由
26 1 , 可得
64
log2 64 6;
(3)由
(1)m 5.73, 3
可得 log1 5.73 m;
3
(4)由
log1 16
4,
可得 (1)4 2
16;
2
(6)由ln10＝2.303，可得e2.303＝10.
学习目标
新课讲授
课堂总结
总结归纳
指数式与对数式互化的方法 1.将指数式化为对数式，只需要将幂作为真数，指数当成对数值，底数 不变，写出对数式； 2.将对数式化为指数式，只需将真数作为幂，对数作为指数，底数不变， 写出指数式.
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1 将下列指数情势化为对数情势,对数情势化为指数情势：
（1）54 625;
（2）26
1 64
;
（3）(13)m 5.73;
（4）log1 16 4; （5）lg 0.01 2; （6）ln10 2.303;
2
解：(1) 由54＝625，可得log5625＝4； (5)由lg0.01＝-2，可得10-2＝0.01；
另外，在科技、经济、社会中经常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数， 以e为底的对数叫做自然对数，也有它特殊的符号，即
loge N ln N
学习目标
新课讲授
课堂总结
知识点2：对数与指数的关系
指数和对数之间有什么关系？
对数由指数变换而来
指数 幂
对数 真数
ax=N
logaN=x
底数 故a>0，且a≠1，ax＝N⇔x=logaN.
学习目标
新课讲授
课堂总结
根据今天所学，回答下列问题： 1.对数怎么表示？ 2.对数和指数之间有着怎样的关系，如何相互转换？
4.3.1对数的概念课件高一上学期数学人教A版
D.3
10
.
(3)2 2 3 +2log31-3log77+3ln 1=
解析 原式=3+2×0-3×1+3×0=0.
0
.
重难探究·能力素养速提升
探究点一
对数式与指数式的互化
【例1】 将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
2
(1)10 =100;(2)ln a=b;(3)7
1
=343;(4)log6 =-2.
人教A版 数学必修第一册
课程标准
1.理解对数的概念,掌握对数的基本性质.
2.掌握指数式与对数式的互化,能够应用对数的定义和性质解方程.
3.理解常用对数和自然对数的定义形式以及在科学实践中的应用.
基础落实·必备知识一遍过
知识点1 对数的概念
1.对数的定义:一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,
4
(1)2 =16;(2)3
1
1 b
a
= ;(3)5 =20;(4)
=0.45.
27
2
-3
解 (1)log216=4.
1
(2)log327 =-3.
(3)log520=a.
(4)log 1 0.45=b.
2
知识点2 对数的基本性质
1.对数与指数间的关系
(1)当a>0,a≠1时,ax=N⇔x=logaN.
25
x=-1;(5)logx64=2;(6)2lo g 2 3 =x.
解 由对数的定义,得
(1)x=34=81;
(2)5
1
= =5-2,所以
25
x
x=-2;
(3)x=log35;
4.3.1对数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学湘教版(2019)必修第一册
E N G L I S H
T I T L E
【问题】为什么规定 > 且 ≠ ?
【1】如果 < 0 ，则会出现N为某些数值时， 不存在的情况，比如，假设
(−4) 2 存在，设 (−4) 2 = ，则 (−4) = 2，无解.
【2】如果 = 0，且 ≠ 0 ，则 不存在；若 = 0，且 = 0 , 0 0有无
Y O U R
E N G L I S H
T I T L E
引例：庄子有云，一尺之棰，日取其半，
万世不竭．意思是说：一尺长的棍子，第
一天取其一半，第二天取剩余的一半….
【问题1】：取四次还有多长?怎样计算？
1
1 4
1
∗
= （ ） ∈ , = （ ） =
= 0.0625
2
2
16
【问题2】：取多少次还有0.03125尺？你能列
F R E S H
E D U C A T I O N
对 数 的 概 念
I don’t know if we each have a destiny, or if we’re all just floating around
accidental—like on a breeze.
0 1 |对数的由
来
出关系式吗？
1
由问题1，0.0625 ÷ 2 = 0.03125 = （ ）4 ×
1
2
数学史点击图片转链接
1
2
2
= （ ）5 ，这里 = 5，所以取5次还有0.03125
【问题3】：取多少次还有0.0000009536尺？
你能列出关系式吗？
0 1 |概念引入
Y O U R
高中数学人教A版必修第一册4.3.1对数的概念课件
(1)
log64
x
2 3
(3) lg100 x
(2) logx 8 6 (4) ln e2 x
解：(1)x
64
2 3
1
2
64 3
1
2
43 3
1 16
1
1
(2)x6 8, x 86 22 2
(3)10x 100, x 2
(4) ln e2 x ln e2 x e2 ex 2 x x 2
（1）54 625
(4) log1 16 4
2
（2）26 1 64
(5) lg 0.01 2
（3） 1 m 5.73 3
(6) ln10 2.303
其实指数式与对数式，虽然从情势上看， 两者不同，但本质上是一致的。 这个一致就是底数、指数（对数）、幂（真数） 三者之间的关系。
典例解析
例2.求下列各式中x的值：
3.求下列各式中x的值：
(1) log1 x 3
3
(2) logx 49 4
(3) lg 0.00001 x
(4) ln e x
知识拓展
对数恒等式: aloga N N (a 0，且a 1, N 0)
令 loga N x
ax N
即
aloga N N
请同学们记在课本里
巩固练习 金版P86-88 P88 A级 练习5
课堂练习 P123练习
1.把下列指数式写成对数式，对数式写成指数式：
（1）23 8 (4) log3 9 2
（2）e 3 m (5) lg n 2.3
（3）27
1 3
1
3
(6)
log3
1 81
4
2.求下列各式的值：
4.3.1 对数的概念 (教学课件)-高中数学人教A版(2019)必修第一册
情况，规定(a>0 且a≠1)
根据对数的定义，可以得到对数与指数间的关系(互化): 若a>0 且a≠1, 则a⁸=N⇔loga N=x
指
指数 以a为底N 的对数
数
幂 真数
式
X
al
log N =
对
底数
数
式
1.指数式与对数式的转化
练习1求下列各式的值：
(1)3¹+log₃2;
练习2 求下列各式中的x 的值：
(1)1g(In x)=0;
0.
(2)1g(Inx)=1;
(3)log₇[log₃(log₂x)]=
课本126页 习题4.3 第 1 题
求下列各式中x的值
(1)31o⁸₃(Inx)=2
(2)In(log₂x)=0
(3)log₁(lg x)=1 1)=2 2
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
(3)logaa=1(a>0 且a≠1). <=a¹=a.
例2求下列对数的值
(1)log₂2 = (2)log₂1=
(3)log₂16=
概念生成
3.对数的重要结论
(1)负数和零没有对数.
ax=N,N>0.
当真数N≤0 时，没有对数.
(2)loga1=0(a>0 且a≠1). <=a⁰=1.
x=3—2
x=6÷3
士 √9
a=N→x=logaN
是一种运算
概念生成
1.对数的概念
注意：①底 数 ：a>0 且a≠1
②对数的书写格式