高效课堂直线的倾斜角和斜率
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《直线的倾斜角和斜率》ppt课件优质公开课北师大必修
故斜率的取值范围为
… … … … … … … … … 10分
∴要使直线l与线段PQ有交点，则k的取值范围是
或
k≥4. … … … … … … … … … … … … … … … … … … 12分
【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：
1 . 直线x=1的倾斜角等于( )
(A)180°
【规范解答】结合题意画出图形，如图所示.
又
……………………………………3分
……………………………………5分
结合图形可知当直线l由MP变化到与y轴平行时，它的倾斜 角逐渐增大到90°， 故斜率的取值范围为[4 ， + ∞ ) ； … … … … … … … … … 8 分 当直线l由与y轴平行的位置变化到MQ时，它的倾斜角由90° 逐渐增大到MQ的倾斜角的大小，
【规范解答】
又∵A、B、C三点共线，∴kAB=kBC， ∴a2+a=a3-a2，解得a=0或 又a＞0，
【典例】(1 2 分 ) 已知直线l过定点M ( 0 ， - 2 )，且与以P(1， 2 ) 、 Q ( - 4 ， 1 ) 为端点的线段PQ相交，求直线l的斜率的取值 范围. 【审题指导】直线l过定点且与线段PQ相交，因此在同一坐 标系中作出点M、P、Q，然后用运动的观点，结合图形得 出直线l倾斜角的范围，在此基础上结合倾斜角同斜率的关 系得出斜率的取值范围.
一、选择题(每题4分，共16分) 1. 下列说法正确的是( ) (A) 表示直线的倾斜程度，直线的斜率大 ( C ) 直线的斜率k的范围是k≥0 ( D ) 直线的倾斜角α的范围是0°≤α＜180°
【解析】选D . 直线的斜率和倾斜角均刻画直线的倾斜程度， 故A错；不能说直线的倾斜角越大其斜率就越大，应分0°≤α ＜90°和90°＜α＜180°两种情况分别进行讨论，故B错；直 线的斜率k的范围是(-∞，+∞)，故C错；直线的倾斜角α的 范围是0°≤α＜180°，故D正 确 .
数学直线的倾斜角与斜率公式
数学直线的倾斜角与斜率公式数学直线是数学中一个重要的概念，在数学的各个领域都有着广泛的应用。
其中直线的斜率与倾斜角也是数学中最基础的概念之一。
下面我们将介绍直线的斜率与倾斜角的基本概念及公式。
一、直线的斜率公式直线的斜率是指直线在平面直角坐标系中的倾斜程度，用于表示其在平面直角坐标系中的方向。
直线的斜率公式如下：斜率 k = （y2 - y1）/ （x2 - x1）其中 (x1, y1) 和 (x2, y2) 分别为直线上的两个点。
在计算斜率时，需要注意的是需要判断两点横坐标是否相等，因为此时斜率是不存在的。
二、直线的倾斜角公式直线的倾斜角是指直线与平面直角坐标系的 x 轴正方向所成的角度。
直线的倾斜角公式如下：倾斜角θ = atan k其中 atan 表示反正切函数，k 为直线的斜率。
需要注意的是，计算倾斜角时需要注意角度的参考系，一般以平面直角坐标系的 x 轴正方向为参考系。
三、斜率与倾斜角的关系斜率与倾斜角是相互关联的。
当我们知道一条直线的斜率时，可以通过求取反正切函数得到该直线的倾斜角。
相反地，当已知一条直线的倾斜角时，可以通过求取正切函数得到对应的斜率。
斜率k = tan θ倾斜角θ = atan k四、直线的性质在数学中，直线有许多重要的性质，这些性质不仅在理论研究中得到应用，也在实践中得到广泛应用。
其中一些性质如下：1. 相互垂直的两条直线的斜率乘积为 -1。
2. 直线的截距是指该直线与 y 轴的交点坐标，可以用斜率和另一个已知点来求解。
3. 两条直线互相平行的斜率相等。
4. 两条直线的夹角公式可以用两条直线的斜率求解。
5. 直线的点斜式表示法可以用已知点和斜率求解。
综上所述，数学直线的斜率与倾斜角是数学中重要的概念，通过斜率和倾斜角可以描述直线的方向和倾斜程度，同时也可以用于求解直线的其他性质。
通过了解这些概念和公式，可以更好地理解和应用数学的基础知识。
直线的倾斜角与斜率PPT课件
(1) 与两点的顺序无关; (2) 公式表明,直线的斜率可以通过直线上任意两
点的坐标来表示,而不需要求出直线的倾斜角 (3) 当x1=x2时,公式不适用,此时α=900
Y
.p
00 900 Y K>0
. 900 1800
p
K<0
O
X
O
X
（1）
（2）
Y
. K不存在 Y
p 90o
.p
K=0
1 2
钝角
O
x
kCA
1 2 03
1
锐角
C
（2）k [1,+) (-,- 1]
2
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率
分别为1，-1，2和-3的直线 l1, l2 , l3及l4 。
y
l3
l1
A3 (1,2) A1 (1,1)
O
x
A2 (1,-1)
Al44 (l12,-3)
例2 从 M(2, 2 )射出一条光线,经过 x轴反射
直线
圆
圆
直线
3.1.1 直线的倾斜角与斜率
y
A
1．由一点能否确定一条直线吗？
2．观察并回答问题：
1
B
CO
1x
在图中，直线 AB，AC 都经过哪一点？
它们相对于 x 轴的倾斜程度相同吗？
直线的倾斜角定义 一般地，平面直角坐标系内，直线向上
的方向与 x 轴正方向所成的最小正角 叫做
这条直线的倾斜角．
已知直线的倾斜角，求对应的斜率 k ：
（＝0；
（2）＝30；
（3）＝135；
（4）＝120．
如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率
直线的倾斜角和斜率 课件
(1)由倾斜角(或范围)求斜率(或范围)利用定义式 k＝tan α(α≠90°)解决． (2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式 k＝xy22－－yx11(x1≠x2)求解． (3)涉及直线与线段有交点问题常数形结合利用公式求解．
3．已知直线 l 经过点 A(1,2)，且不经过第四象限，则直线 l 的斜率 k 的
(1)利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项 ①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与 x 轴垂直，因为当直 线与 x 轴垂直时，斜率是不存在的； ②斜率公式与两点 P1，P2 的先后顺序无关，也就是说公式中的 x1与 x2， y1 与 y2 可以同时交换位置．
(2)在 0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
取值范围是( )
A．(－1,0]
B．[0,1]
C．[1,2]
D．[0,2]
解析：由图，可知当直线位于如图阴影部分所示的区域内时，满足题意， 所以直线 l 的斜率满足 0≤k≤2.故选 D.
答案：D
数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用 [典例] 已知 A(－3,4)，B(3,2)，P(1,0)，过点 P 的直线 l 与线段 AB 有公 共点． (1)求直线 l 的斜率 k 的取值范围； (2)求直线 l 的倾斜角 α 的取值范围．
y2－y1 k＝ x2－x1 .
探究一 直线的倾斜角
[典例 1] 设直线 l 过原点，其倾斜角为 α，将直线 l 绕坐标原点沿逆时
针方向旋转 45°，得到直线 l1，则直线 l1 的倾斜角为( )
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．α＋45°或 α－135°
[ 解 析 ] 由 倾 斜 角 的 取 值 范 围 知 ， 只 有 当 0°≤α ＋
直线的斜率与倾斜角ppt
斜率的计算公式
对于直线上的两点$(x_1, y_1)$和 $(x_2, y_2)$，斜率$m$可由下式计算： $m = frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$。
当$x_2$与$x_1$相等时，斜率不存在 ，表示直线垂直于x轴。
斜率与倾斜角的关系
斜率与倾斜角$alpha$之间存在一一 对应关系，即斜率等于倾斜角正切值， 即$m = tanalpha$。
倾斜角定义
直线倾斜角是指直线与x 轴正方向之间的夹角，通 常用α表示，取值范围为 [0,π)。
计算方法
斜率m=tan(α)，其中α为 直线的倾斜角。
直线的斜率与倾斜角的关系及应用
关系
直线的斜率与倾斜角α是线性关系，即 m=tan(α)。当α在[0,π/2)范围内时，斜 率为正，表示直线从左下到右上上升； 当α在(π/2,π)范围内时，斜率为负，表 示直线从左上到右下下降。
直线的斜率与倾斜角
目录
• 直线的斜率 • 直线的倾斜角 • 直线的斜率与倾斜角的应用 • 特殊情况的讨论 • 总结与回顾
01 直线的斜率
斜率的定义
01
斜率是直线在平面上的倾斜程度 ，表示为直线上的任意两点间纵 坐标差与横坐标差之商。
02
斜率是直线的重要属性，用于描 述直线的方向和倾斜程度，是解 析几何中重要的概念之一。
中研究直线的基础。
计算距离和角度
利用直线的斜率和倾斜角，可以计 算直线上的点到直线的垂直距离， 以及两条直线之间的夹角。
解决几何问题
在解决几何问题时，如求两条直线 的交点、判断直线与圆的位置关系 等，需要使用直线的斜率和倾斜角。
在物理学中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，直线的斜率和倾斜 角可以用来描述物体的运动轨迹， 如自由落体运动、抛物线运动等。
11.2直线的倾斜角和斜率 课件 (共22张PPT)
问题 5 任何一条直线都有倾斜角吗？不同的直线其倾斜角 一定不相同吗？只有倾斜角能确定直线的位置吗？你认为 确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是什么？
答 由倾斜角的定义可以知道，任何一条直线都有倾斜角； 不同的直线其倾斜角有可能相同，如平行的直线其倾斜角 是相同的；因此，只有倾斜角不能确定直线的位置；确定 一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的 倾斜角，两者缺一不可．
(4)k＝－26－－－ 3 2＝0，所以倾斜角为 0°.
例 2 在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率分别为 1， －1，2 及－3 的直线 l1，l2，l3 及 l4.
解 设直线 l1 上的另一个点 A1 的坐标 为(x，y)，根据斜率公式有 1＝xy－－00， 所以 x＝y,令 x＝1，y=1，于是点 A1 的坐标为(1,1)．此时过原点和点 A1(1,1)，可作直线 l1,如图所示.同理, l2 是过原点及 A2(1，－1)的直线，l3 是 过原点及 A3(1,2)的直线，l4 是过原点及 A4(1，－3)的直线．可作直线 l2，l3，及 l4.
倾斜角 (范围)
斜率 (范围)
α＝0° 0°<α<90° α＝90° 90°<α<
180°
斜率不存
0
大于 0
小于 0
在
问题探究点一 直线的倾斜角及斜率的概念 导引 对于平面直角坐标系内的一条直线 l，它的位置由哪
些条件确定呢？ 问题 1 我们知道，经过两点有且只有(确定)一条直线，那么，
经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗？ 答 不能确定． 问题 2 过一点 P 可以作无数条直线，它们都经过点 P，这 些直线区别在哪里呢？ 答 它们的倾斜程度不同．
《直线倾斜角和斜率》课件
斜率决定了直线与x轴之间的夹角，即倾斜角。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
斜率与直线图像的平移
01 斜率不变，平移直线图像
当直线沿x轴或y轴平移时，其斜率保持不变。
02 平移影响直线与坐标轴的交点
平移会导致直线与x轴或y轴的交点发生变化。
03 平移影响直线与坐标轴的距离
平移距离决定了直线与坐标轴之间的距离。
斜率与直线图像的旋转
斜率的计算公式
总结词
斜率的计算公式是$frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$，其中 $(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上任意两点的坐标。
详细描述
根据定义，斜率是直线在坐标系中倾斜程度的数值表示 。通过两点坐标可以计算出直线的斜率。当两点横坐标 相等时，斜率不存在。
在电磁学中，斜率可以用来描述电流与电 压之间的关系。
在重力场中，斜率可以用来描述物体下落 的加速度。
在光学中，斜率可以用来描述光的折射率 。
斜率在经济学中的应用
斜率在经济学中常被用于描述供求关 系，即需求曲线和供给曲线的斜率。
斜率在经济学中还可以用于描述边际 效用、边际成本等概念。
需求曲线的斜率表示价格与需求量之 间的关系，供给曲线的斜率表示价格 与供给量之间的关系。
1 2
斜率随旋转角度而变化
当直线围绕原点旋转时，其斜率会发生变化。
旋转影响直线与坐标轴的夹角
旋转角度决定了直线与x轴之间的夹角。
3
旋转影响直线图像的对称性
在某些旋转角度下，直线图像可能会呈现对称性 。
直线的斜率在实际生活中的05 Nhomakorabea应用
斜率在物理中的应用
斜率在物理中常被用于描述物体的运动状 态，如速度、加速度等。
关系图通常以角度为横轴，以 斜率为纵轴，使用不同的线型 或标记表示不同倾斜角下的斜 率值。
直线的倾斜角和斜率
分析： 分析：
倾斜角的范围
规定： 规定： 对于一条和X轴平行或重合的直线 轴平行或重合的直线L， 对于一条和 轴平行或重合的直线 ，称其倾斜角为 0 ° 倾斜角范围： ° 倾斜角范围：0°≤ α<180 ° 为正三角形， 为正三角形 例1。 如图△ABC为正三角形， 。 如图△ 所在直线的倾斜角。 求AC所在直线的倾斜角。 所在直线的倾斜角
解： 直线斜率 的变化范围（ –1，1]=（ –1，0）∪ [0，1]， 直线斜率K的变化范围 的变化范围（ ， （ ， ） ， ，
3π ,π ) 所以直线的倾斜角范围为 α ∈ [ 0 , ] U ( 4 4
π 当K∈ [0，1] 时， α ∈ [ 0 , ] ∈ ， 4 3π ,π) 当K∈ （ –1，0）时, α ∈ ( ∈ ， ） 4
上式仍然成立。 当α=0时，y2=y1上式仍然成立。 时 此时tan α 不存在。 不存在。 当α=90°时x 2≠ x 1 经过P 的直线P 经过 1（x1，y1 )，P2 （x2，y2 )的直线 1P2 的 ， 的直线 斜率公式： 斜率公式：
y2 y1 k= x 2 x1
3。讨论斜率的变化： 斜率动画演示 。讨论斜率的变化： 斜率动画演示 结论：直线的斜率可取一切实数。 结论：直线的斜率可取一切实数。
(三)、总结： 三 、总结：
已知直线倾斜角求斜率： ⒈ 已知直线倾斜角求斜率： 为锐角时， ⑴。 α为锐角时，k>0； ； 为钝角时， ⑵。 α为钝角时，k<0； ； ⑶。α=0°时，k=0； ° ； 不存在。 ⑷。α=90°时，k不存在。 ° 不存在
（二）直线的斜率： 直线的斜率：
1。当直线L的倾斜角α不等于 °时， α 的正切值即 tan α， 。当直线 的倾斜角 不等于90 的倾斜角α 叫做直线L的斜率，用 k 表示，即 k= tanα。 叫做直线 的斜率， 表示， α 的斜率 2。当α=90°时， tanα不存在，所以 k不存在。 。 不存在。 α不存在， 不存在
3.1.1-2直线的倾斜角与斜率PPT课件
汇报人：XXX 汇报日期：20XX年10月10日
11
率是l2的2倍.( X )
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
Thank you for reading! In order to facilitate learning and use, the content of this document can be modified, adjusted and printed at will after downloading. Welcome to down为零度角。
∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2020年10月2日
5
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜
率分别为1，-1，2和-3的直线 l1,l2,l3及l4。
y
l3
l1
A3 A1
O
x
A2
Al 44 l 2
2020年10月2日
4
例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
y.
解：
B
.A
直线AB的斜率 kAB28240 .
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率 kBC02( 82)841 2
C
直线CA的斜率 kCA24(02)441
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂
20直20年,1α0月=2日900
3
1.哪些条件可以确定一条直线？ 两点；一点与直线的倾斜角
2.给定直线的倾斜角为，如何求斜率？ 90º时，k=tan ； =90º时，k不存在.
11
率是l2的2倍.( X )
2020年10月2日
10
演讲完毕，谢谢观看！
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∵ kBC 0 ∴直线BC的倾斜角为钝角。
∵ kCA 0 ∴直线CA的倾斜角为锐角
2020年10月2日
5
例题分析
例2、在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜
率分别为1，-1，2和-3的直线 l1,l2,l3及l4。
y
l3
l1
A3 A1
O
x
A2
Al 44 l 2
2020年10月2日
4
例1、如图，已知A(4,2)、B(-8,2)、C(0,-2)，求
直线AB、BC、CA的斜率，并判断这 些直线
的倾斜角是什么角？
y.
解：
B
.A
直线AB的斜率 kAB28240 .
.
. . o.
.
.
.
x
直线BC的斜率 kBC02( 82)841 2
C
直线CA的斜率 kCA24(02)441
(3)当x1=x2时,公式不适用,此时直线与x轴垂
20直20年,1α0月=2日900
3
1.哪些条件可以确定一条直线？ 两点；一点与直线的倾斜角
2.给定直线的倾斜角为，如何求斜率？ 90º时，k=tan ； =90º时，k不存在.
2.1直线的倾斜角和斜率.PPT课件
x
y
. k不存 p 直在线垂直于
x轴
O
（4）
x
26
练习 1.下列哪些说法是正确的（E、F ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
l2
l1
，
y
l1
解：l1 的斜率为
k1 tan1
3 3
1 2 x l2 的倾斜角为 2 900 300 1200
o
l2 的斜率为 k2 tan2 3
l2
练习 已知直线的倾斜角满足 cos a , (| a | 5),
求该直线的斜率.
5
解:
(1)当a 0时, cos 0, 900, k不存在;
2、直线的倾斜角范围的探索
规定：当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
由此我们得[到0直o线,1倾8斜0角oα的) 范围为：
想一想
你认为下列说法对吗？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜
角与它对应。
对
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
错
3、直线倾斜角的意义
17
3、探究：由两点确定k的直ta线n的 斜率
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1)
y
. k不存 p 直在线垂直于
x轴
O
（4）
x
26
练习 1.下列哪些说法是正确的（E、F ）
A 、任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 B、直线的倾斜角越大，斜率也越大 C 、平行于x轴的直线的倾斜角是0或π D 、两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等 E 、两直线的斜率相等，它们的倾斜角也相等 F 、直线斜率的范围是R G、过原点的直线，斜率越大，越靠近y轴。
l2
l1
，
y
l1
解：l1 的斜率为
k1 tan1
3 3
1 2 x l2 的倾斜角为 2 900 300 1200
o
l2 的斜率为 k2 tan2 3
l2
练习 已知直线的倾斜角满足 cos a , (| a | 5),
求该直线的斜率.
5
解:
(1)当a 0时, cos 0, 900, k不存在;
2、直线的倾斜角范围的探索
规定：当直线和x轴平行或重合时， 它的倾斜角为0°
y
l
p
o x
y
ly
p
o x
o p x
y
p
l
o
x
l
由此我们得[到0直o线,1倾8斜0角oα的) 范围为：
想一想
你认为下列说法对吗？
1、所有的直线都有唯一确定的倾斜
角与它对应。
对
2、每一个倾斜角都对应于唯一的一条直线。
错
3、直线倾斜角的意义
17
3、探究：由两点确定k的直ta线n的 斜率
锐角
能不能构造
y
y2
y1
P2 (x2, y2 )
Q(x2, y1)
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2．1
2 ．1 ．1
直线与直线的方程
直线的倾斜角和斜率
问题提出
1 5730 p= 2
t
在平面直角坐标系中，经过一点P 在平面直角坐标系中，经过一点P可 以作无数条直线， 以作无数条直线，如何区别这些直 线的不同呢？ 线的不同呢？
目标解读
知识与技能： 知识与技能：结合具体图形探索确定直线的几 何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念， 何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，并 能应用其解决与斜率有关的问题。 能应用其解决与斜率有关的问题。 过程与方法： 过程与方法：经历用代数方法研究直线问题的 过程，从直观到抽象，从几何到代数的过程中， 过程，从直观到抽象，从几何到代数的过程中， 初步掌握解析几何的基本思想。 初步掌握解析几何的基本思想。 情感态度价值观： 情感态度价值观：认识数学内容之间的内在联 系，加强数形结合认识问题的观念。
（
）
直线的斜
升 高 量
思考1:初中学过的 思考1:初中学过的 1: “坡度（比）”是 坡度（ 什么含义？ 什么含义？它能否 表示直线的倾斜程 度？它 直线 的倾斜 什 么 ？
坡 （ ） 度 比
思考2:我们把一条直线的倾斜角α的 思考2:我们把一条直线的倾斜角α 2:我们把一条直线的倾斜角 正切值叫做这条直线的斜率 斜率. 正切值叫做这条直线的斜率.常用小 写字母k表示， k=tanα， 写字母k表示，即k=tanα，那么任何 一条直线都有斜率吗？ 一条直线都有斜率吗？
知识探究（ 知识探究（四）：直线的斜率公式
思考1:在直角坐标系中， 思考1:在直角坐标系中，经过两点 1:在直角坐标系中 ）、B（－1 A（2，4）、B（－1，3）的直线有 几条？直线AB的斜率是多少？ AB的斜率是多少 几条？直线AB的斜率是多少？
y B α α C o x A
思考2:一般地， 思考2:一般地，已知直线上的两点 2:一般地 ），P ），且直 P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直 轴不垂直， 线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直 的斜率是什么？ 线P1P2的斜率是什么？
崔鑫、 崔鑫、常明
知识探究（ 知识探究（一）：直线的确定
我们知道，平面上有很多直线， 我们知道，平面上有很多直线，它们的区别 就在于位置的不同。 就在于位置的不同。
那么在平面坐标系中， 那么在平面坐标系中，怎么刻画一条位 置确定的直线呢？ 置确定的直线呢？ 确定直线位置的几何条件： 确定直线位置的几何条件：已知直线 上的一个点和这条直线的方向。 上的一个点和这条直线的方向。
0的直线（垂直与x轴的 倾斜角是90 倾斜角是90 的直线（垂直与x
直线）斜率不存在. 直线）斜率不存在.
思考3:倾斜角为锐角、 思考3:倾斜角为锐角、钝角的直线的 3:倾斜角为锐角 斜率的取值范围分别是什么？一般地， 斜率的取值范围分别是什么？一般地， 直线的斜率的取值范围是什么？ 直线的斜率的取值范围是什么？ 倾斜角为锐角时,k 0; 倾斜角为锐角时,k>0; ,k 倾斜角为钝角时,k ,k<0; 倾斜角为钝角时,k 0; 倾斜角为0 倾斜角为00时,k=0.
讨论、交流（ 分钟） 讨论、交流（约7分钟） 分钟
（一）讨论目标： 讨论目标： 通过讨论每位同学要理解直线的倾斜角和斜率的概念， 通过讨论每位同学要理解直线的倾斜角和斜率的概念， 并能应用其解决与斜率有关的问题。 并能应用其解决与斜率有关的问题。 (二)重点讨论的问题： 二 重点讨论的问题 重点讨论的问题： 1 .合作探究（1）理解倾斜角和斜率之间的关系。 合作探究（ ）理解倾斜角和斜率之间的关系。 合作探究 2 .合作探究（2）直线斜率公式的应用。 合作探究（ ）直线斜率公式的应用。 合作探究 (三)讨论要求：（认真讨论！有效讨论！） 三 讨论要求：（认真讨论 有效讨论！） 讨论要求：（认真讨论！ 1.各小组长组织好讨论，（维持好纪律、 注意控制讨论 各小组长组织好讨论，（维持好纪律、 各小组长组织好讨论，（维持好纪律 节奏，声音不要过大，以免影响其他组讨论） 节奏，声音不要过大，以免影响其他组讨论） 2、小组学科内强帮弱，“兵教兵”；组内集体讨论，交 、小组学科内强帮弱， 兵教兵” 组内集体讨论， 流学习经验， 流学习经验，集中解决疑难问题 3、每位同学在讨论中做好勾画记录并且总结好解题方法 勾画记录并且总结好解题方法 、每位同学在讨论中做好勾画记录 以及规律，以便展示和质疑。 以及规律，以便展示和质疑。
前黑板
合作探究1 合作探究1 合作探究2 合作探究
后黑板 后黑板
点评安排及目标要求(10)
点评问题或 题目
基础自测（ ） 基础自测（2）
点评
目标及要求
1．目标：通过你的点 评使同学们思路更加 清晰。 2. 要求： 1、点评 人上台迅速，侧站位， 人上台迅速，侧站位， 做到大胆、 做到大胆、大方和大 语言精练、简洁， 声；语言精练、简洁， 须注重知识、 须注重知识、规律方 法的总结； 法的总结； 提高效率， 2 、 提高效率 ， 珍惜 时间； 时间；
老师 • 知识 学科 • 课堂情况 班长
知识探究（ 知识探究（二）：直线的倾斜角
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，任何一条直线 轴都有一个相对倾斜度， 与x轴都有一个相对倾斜度，可以用 倾斜角来反映直线与 来反映直线与x 倾斜角来反映直线与x轴的相对倾斜 程度。 程度。 当直线l与 轴相交时， 当直线 与x轴相交时，取x轴作 为基准， 轴正向与直线l向上方向 为基准，x轴正向与直线 向上方向 之间所成的角α叫做直线l的 之间所成的角α叫做直线 的倾斜 角．
翟召伟 崔鑫 王雪飞 王婷
基础自测（ 基础自测（2）
前黑板
合作探究1 合作探究1 合作探究2 合作探究
后黑板 后黑板
点评安排及目标要求(11)
点评问题或 题目
基础自测（ ） 基础自测（2）
点评
目标及要求
1．目标：通过你的点 评使同学们思路更加 清晰。 2. 要求： 1、点评 人上台迅速，侧站位， 人上台迅速，侧站位， 做到大胆、 做到大胆、大方和大 语言精练、简洁， 声；语言精练、简洁， 须注重知识、 须注重知识、规律方 法的总结； 法的总结； 提高效率， 2 、 提高效率 ， 珍惜 时间； 时间；
贾锦涛
合作探究1 合作探究
徐泽程
合作探究2 合作探究
毛晨阳
展示安排及目标要求(11)
展示问题或 题目
基础自测（ 基础自测（1）
展示方式 及位置
口头展示
展示
目标及要 求
1．目标：通过 你的展示使同 学们思路更加 清晰。 2. 要求：①展 示人上台迅速， 书写认真快速 规范，步骤清 晰简洁。②非 展示同学准备 点评、补充、 质疑。Leabharlann 导学案反馈 10班 10班
完 成 情 况
个 优秀个 优秀小组
存在问题
一、学习态度方面： 学习态度方面： 个别学生存在字迹潦 、 方面： 、 方面： 1. 2. 到
1、6、8、9
杨莹君、张源、闫丽媛、 杨莹君、张源、闫丽媛、 王海艳、刘敏、李洋、 王海艳、刘敏、李洋、王 国栋、王文、姚家明、 国栋、王文、姚家明、郑 马翠婷、 瑶、马翠婷、王婷 李文龙、苏小妹、贾锦涛、 李文龙、苏小妹、贾锦涛、 全麒麟、刘洋、 全麒麟、刘洋、李星
张宇轩
合作探究1 合作探究
杨杰
合作探究2 合作探究
李萌
当堂检测
已知点A 已知点A（3，2），B（－4，1），C ），B（－4 ），C ，－l），求直线AB，BC，CA的 求直线AB （0，－l），求直线AB，BC，CA的 斜率， 斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角． 锐角还是钝角．
当堂小结
y P2 P1 α α o Q x
y2 −y1 k= x2 −x1 y1 −y2 = (x1 ≠ x2) x1 −x2
思考3:当直线P 平行于x轴或与x 思考3:当直线P1P2平行于x轴或与x轴 3:当直线 重合时，上述公式还适用吗？ 重合时，上述公式还适用吗？为什 么？ 思考4:当直线P1P2平行于y轴或与y轴 思考4:当直线P 平行于y轴或与y 4:当直线 重合时，上述公式还适用吗？ 重合时，上述公式还适用吗？为什 么？
展示安排及目标要求(10)
展示问题或 题目
基础自测（ 基础自测（1）
展示方式 及位置
口头展示
展示
目标及要 求
1．目标：通过 你的展示使同 学们思路更加 清晰。 2. 要求：①展 示人上台迅速， 书写认真快速 规范，步骤清 晰简洁。②非 展示同学准备 点评、补充、 质疑。
王雷 赵欢 杨莹君 杨柳
基础自测（ 基础自测（2）
导学案反馈 11班 11班
完 成 情 况
个 优秀个 优秀小组
存在问题
一、学习态度方面： 学习态度方面： 个别学生存在字迹潦 、 方面： 、 方面： 1. 2. 到
1、4、8
程鑫、王婷、王嘉瑶、 程鑫、王婷、王嘉瑶、桑 炯锐、赵锦、翟召伟、 炯锐、赵锦、翟召伟、张 惠萍、秦瑶、王迪、 琪、惠萍、秦瑶、王迪、 熊坤
思考1:在直角坐标系中， 思考1:在直角坐标系中，下图中直线 1:在直角坐标系中 的倾斜角的范围分别是什么？ 的倾斜角的范围分别是什么？
y y x
（1） ）
o y
（2） o ）
y
x
（3） ）
o
x
（4） ）
o
x
思考2:当直线l与 轴平行或重合时， 思考2:当直线 与x轴平行或重合时， 2:当直线 规定它的倾斜角为0 规定它的倾斜角为0°，那么直线的倾 斜角的取值范围是什么？ 斜角的取值范围是什么？ 0°≤α＜180° ≤α＜180° 思考3:任何一条直线都有倾斜角吗？ 思考3:任何一条直线都有倾斜角吗？ 3:任何一条直线都有倾斜角吗 不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 不同的直线其倾斜角一定不相同吗？
2 ．1 ．1
直线与直线的方程
直线的倾斜角和斜率
问题提出
1 5730 p= 2
t
在平面直角坐标系中，经过一点P 在平面直角坐标系中，经过一点P可 以作无数条直线， 以作无数条直线，如何区别这些直 线的不同呢？ 线的不同呢？
目标解读
知识与技能： 知识与技能：结合具体图形探索确定直线的几 何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念， 何要素；理解直线的倾斜角和斜率的概念，并 能应用其解决与斜率有关的问题。 能应用其解决与斜率有关的问题。 过程与方法： 过程与方法：经历用代数方法研究直线问题的 过程，从直观到抽象，从几何到代数的过程中， 过程，从直观到抽象，从几何到代数的过程中， 初步掌握解析几何的基本思想。 初步掌握解析几何的基本思想。 情感态度价值观： 情感态度价值观：认识数学内容之间的内在联 系，加强数形结合认识问题的观念。
（
）
直线的斜
升 高 量
思考1:初中学过的 思考1:初中学过的 1: “坡度（比）”是 坡度（ 什么含义？ 什么含义？它能否 表示直线的倾斜程 度？它 直线 的倾斜 什 么 ？
坡 （ ） 度 比
思考2:我们把一条直线的倾斜角α的 思考2:我们把一条直线的倾斜角α 2:我们把一条直线的倾斜角 正切值叫做这条直线的斜率 斜率. 正切值叫做这条直线的斜率.常用小 写字母k表示， k=tanα， 写字母k表示，即k=tanα，那么任何 一条直线都有斜率吗？ 一条直线都有斜率吗？
知识探究（ 知识探究（四）：直线的斜率公式
思考1:在直角坐标系中， 思考1:在直角坐标系中，经过两点 1:在直角坐标系中 ）、B（－1 A（2，4）、B（－1，3）的直线有 几条？直线AB的斜率是多少？ AB的斜率是多少 几条？直线AB的斜率是多少？
y B α α C o x A
思考2:一般地， 思考2:一般地，已知直线上的两点 2:一般地 ），P ），且直 P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直 轴不垂直， 线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直 的斜率是什么？ 线P1P2的斜率是什么？
崔鑫、 崔鑫、常明
知识探究（ 知识探究（一）：直线的确定
我们知道，平面上有很多直线， 我们知道，平面上有很多直线，它们的区别 就在于位置的不同。 就在于位置的不同。
那么在平面坐标系中， 那么在平面坐标系中，怎么刻画一条位 置确定的直线呢？ 置确定的直线呢？ 确定直线位置的几何条件： 确定直线位置的几何条件：已知直线 上的一个点和这条直线的方向。 上的一个点和这条直线的方向。
0的直线（垂直与x轴的 倾斜角是90 倾斜角是90 的直线（垂直与x
直线）斜率不存在. 直线）斜率不存在.
思考3:倾斜角为锐角、 思考3:倾斜角为锐角、钝角的直线的 3:倾斜角为锐角 斜率的取值范围分别是什么？一般地， 斜率的取值范围分别是什么？一般地， 直线的斜率的取值范围是什么？ 直线的斜率的取值范围是什么？ 倾斜角为锐角时,k 0; 倾斜角为锐角时,k>0; ,k 倾斜角为钝角时,k ,k<0; 倾斜角为钝角时,k 0; 倾斜角为0 倾斜角为00时,k=0.
讨论、交流（ 分钟） 讨论、交流（约7分钟） 分钟
（一）讨论目标： 讨论目标： 通过讨论每位同学要理解直线的倾斜角和斜率的概念， 通过讨论每位同学要理解直线的倾斜角和斜率的概念， 并能应用其解决与斜率有关的问题。 并能应用其解决与斜率有关的问题。 (二)重点讨论的问题： 二 重点讨论的问题 重点讨论的问题： 1 .合作探究（1）理解倾斜角和斜率之间的关系。 合作探究（ ）理解倾斜角和斜率之间的关系。 合作探究 2 .合作探究（2）直线斜率公式的应用。 合作探究（ ）直线斜率公式的应用。 合作探究 (三)讨论要求：（认真讨论！有效讨论！） 三 讨论要求：（认真讨论 有效讨论！） 讨论要求：（认真讨论！ 1.各小组长组织好讨论，（维持好纪律、 注意控制讨论 各小组长组织好讨论，（维持好纪律、 各小组长组织好讨论，（维持好纪律 节奏，声音不要过大，以免影响其他组讨论） 节奏，声音不要过大，以免影响其他组讨论） 2、小组学科内强帮弱，“兵教兵”；组内集体讨论，交 、小组学科内强帮弱， 兵教兵” 组内集体讨论， 流学习经验， 流学习经验，集中解决疑难问题 3、每位同学在讨论中做好勾画记录并且总结好解题方法 勾画记录并且总结好解题方法 、每位同学在讨论中做好勾画记录 以及规律，以便展示和质疑。 以及规律，以便展示和质疑。
前黑板
合作探究1 合作探究1 合作探究2 合作探究
后黑板 后黑板
点评安排及目标要求(10)
点评问题或 题目
基础自测（ ） 基础自测（2）
点评
目标及要求
1．目标：通过你的点 评使同学们思路更加 清晰。 2. 要求： 1、点评 人上台迅速，侧站位， 人上台迅速，侧站位， 做到大胆、 做到大胆、大方和大 语言精练、简洁， 声；语言精练、简洁， 须注重知识、 须注重知识、规律方 法的总结； 法的总结； 提高效率， 2 、 提高效率 ， 珍惜 时间； 时间；
老师 • 知识 学科 • 课堂情况 班长
知识探究（ 知识探究（二）：直线的倾斜角
在直角坐标系中， 在直角坐标系中，任何一条直线 轴都有一个相对倾斜度， 与x轴都有一个相对倾斜度，可以用 倾斜角来反映直线与 来反映直线与x 倾斜角来反映直线与x轴的相对倾斜 程度。 程度。 当直线l与 轴相交时， 当直线 与x轴相交时，取x轴作 为基准， 轴正向与直线l向上方向 为基准，x轴正向与直线 向上方向 之间所成的角α叫做直线l的 之间所成的角α叫做直线 的倾斜 角．
翟召伟 崔鑫 王雪飞 王婷
基础自测（ 基础自测（2）
前黑板
合作探究1 合作探究1 合作探究2 合作探究
后黑板 后黑板
点评安排及目标要求(11)
点评问题或 题目
基础自测（ ） 基础自测（2）
点评
目标及要求
1．目标：通过你的点 评使同学们思路更加 清晰。 2. 要求： 1、点评 人上台迅速，侧站位， 人上台迅速，侧站位， 做到大胆、 做到大胆、大方和大 语言精练、简洁， 声；语言精练、简洁， 须注重知识、 须注重知识、规律方 法的总结； 法的总结； 提高效率， 2 、 提高效率 ， 珍惜 时间； 时间；
贾锦涛
合作探究1 合作探究
徐泽程
合作探究2 合作探究
毛晨阳
展示安排及目标要求(11)
展示问题或 题目
基础自测（ 基础自测（1）
展示方式 及位置
口头展示
展示
目标及要 求
1．目标：通过 你的展示使同 学们思路更加 清晰。 2. 要求：①展 示人上台迅速， 书写认真快速 规范，步骤清 晰简洁。②非 展示同学准备 点评、补充、 质疑。Leabharlann 导学案反馈 10班 10班
完 成 情 况
个 优秀个 优秀小组
存在问题
一、学习态度方面： 学习态度方面： 个别学生存在字迹潦 、 方面： 、 方面： 1. 2. 到
1、6、8、9
杨莹君、张源、闫丽媛、 杨莹君、张源、闫丽媛、 王海艳、刘敏、李洋、 王海艳、刘敏、李洋、王 国栋、王文、姚家明、 国栋、王文、姚家明、郑 马翠婷、 瑶、马翠婷、王婷 李文龙、苏小妹、贾锦涛、 李文龙、苏小妹、贾锦涛、 全麒麟、刘洋、 全麒麟、刘洋、李星
张宇轩
合作探究1 合作探究
杨杰
合作探究2 合作探究
李萌
当堂检测
已知点A 已知点A（3，2），B（－4，1），C ），B（－4 ），C ，－l），求直线AB，BC，CA的 求直线AB （0，－l），求直线AB，BC，CA的 斜率， 斜率，并判断这些直线的倾斜角是 锐角还是钝角． 锐角还是钝角．
当堂小结
y P2 P1 α α o Q x
y2 −y1 k= x2 −x1 y1 −y2 = (x1 ≠ x2) x1 −x2
思考3:当直线P 平行于x轴或与x 思考3:当直线P1P2平行于x轴或与x轴 3:当直线 重合时，上述公式还适用吗？ 重合时，上述公式还适用吗？为什 么？ 思考4:当直线P1P2平行于y轴或与y轴 思考4:当直线P 平行于y轴或与y 4:当直线 重合时，上述公式还适用吗？ 重合时，上述公式还适用吗？为什 么？
展示安排及目标要求(10)
展示问题或 题目
基础自测（ 基础自测（1）
展示方式 及位置
口头展示
展示
目标及要 求
1．目标：通过 你的展示使同 学们思路更加 清晰。 2. 要求：①展 示人上台迅速， 书写认真快速 规范，步骤清 晰简洁。②非 展示同学准备 点评、补充、 质疑。
王雷 赵欢 杨莹君 杨柳
基础自测（ 基础自测（2）
导学案反馈 11班 11班
完 成 情 况
个 优秀个 优秀小组
存在问题
一、学习态度方面： 学习态度方面： 个别学生存在字迹潦 、 方面： 、 方面： 1. 2. 到
1、4、8
程鑫、王婷、王嘉瑶、 程鑫、王婷、王嘉瑶、桑 炯锐、赵锦、翟召伟、 炯锐、赵锦、翟召伟、张 惠萍、秦瑶、王迪、 琪、惠萍、秦瑶、王迪、 熊坤
思考1:在直角坐标系中， 思考1:在直角坐标系中，下图中直线 1:在直角坐标系中 的倾斜角的范围分别是什么？ 的倾斜角的范围分别是什么？
y y x
（1） ）
o y
（2） o ）
y
x
（3） ）
o
x
（4） ）
o
x
思考2:当直线l与 轴平行或重合时， 思考2:当直线 与x轴平行或重合时， 2:当直线 规定它的倾斜角为0 规定它的倾斜角为0°，那么直线的倾 斜角的取值范围是什么？ 斜角的取值范围是什么？ 0°≤α＜180° ≤α＜180° 思考3:任何一条直线都有倾斜角吗？ 思考3:任何一条直线都有倾斜角吗？ 3:任何一条直线都有倾斜角吗 不同的直线其倾斜角一定不相同吗？ 不同的直线其倾斜角一定不相同吗？